Cálculo 3 cal3txt s11 Mattuck

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Campos Vetoriais no Plano∗
Arthur Mattuck
Massachusetts Institute of Technology – MIT
1 Campos Vetoriais no Plano;
Campos Gradiente
Considere uma func¸a˜o do tipo
F (x, y) = (M(x, y), N(x, y)) . (1)
onde M e N sa˜o func¸o˜es de duas varia´veis. Para cada par de valores (x0, y0)
para os quais tanto M quanto N sa˜o definidas, a func¸a˜o associa um vetor
F (x0, y0) no plano. F e´ enta˜o chamada de func¸a˜o vetorial de duas varia´veis .
O conjunto dos pontos (x, y) para os quais F e´ definida e´ chamado de domı´nio
de F .
Para visualizar a func¸a˜o F (x, y), em cada ponto
(x0, y0) do domı´nio colocamos o vetor correspondente
F (x0, y0), com ponto inicial em (x0, y0). Enta˜o cada
ponto do domı´nio e´ o in´ıcio de um vetor, e o que obte-
mos e´ o que chamamos de campo vetorial . Esse campo
vetorial nos da´ uma imagem da func¸a˜o vetorial F (x, y).
Reciprocamente, dado um campo vetorial numa regia˜o do plano Oxy,
ele determina uma func¸a˜o vetorial do tipo (1), expressando cada vetor do
campo em termos de suas componentes. Na˜o ha´ uma distinc¸a˜o real entre uma
“func¸a˜o vetorial” e um “campo vetorial”. Tendo em vista as aplicac¸o˜es f´ısicas,
nessas notas usaremos com mais frequ¨eˆncia “campos vetoriais”. Usaremos o
mesmo s´ımbolo F para denotar tanto o campo quanto a func¸a˜o, dizendo “o
campo vetorial F”, ao inve´s de “o campo vetorial correspondente a` func¸a˜o
vetorial F”.
∗Traduc¸a˜o livre, por Mayra Madeira, do texto Plane Vector Fields
1
1. Campos Vetoriais no Plano; Campos Gradiente 2
Dizemos que o campo vetorial F e´ cont´ınuo em uma regia˜o do plano se
M(x, y) e N(x, y) sa˜o func¸o˜es cont´ınuas nessa regia˜o. A imagem intuitiva de
um campo vetorial cont´ınuo e´ aquela em que os vetores associados a pontos
suficientemente pro´ximos de (x0, y0) devem ter a direc¸a˜o e mo´dulo muito
pro´ximos daquelas de F (x0, y0) – em outras palavras, enquanto nos movemos
pelo campo, os vetores devem mudar de direc¸a˜o e mo´dulo suavemente, sem
dar saltos bruscos no tamanho ou na direc¸a˜o.
Da mesma forma, dizemos que F e´ diferencia´vel em uma regia˜o se M e
N sa˜o diferencia´veis. Nesse caso, todas as derivadas parciais
∂M
∂x
,
∂M
∂y
,
∂N
∂x
,
∂N
∂y
,
existem na regia˜o, Dizemos que F e´ continuamente diferencia´vel na regia˜o
se todas as derivadas sa˜o cont´ınuas a´ı. Em geral, os campos vetoriais mais
utilizados sa˜o continuamente diferencia´veis, exceto talvez em alguns pontos
isolados ou em algumas curvas. Mas, como veremos, esses pontos e curvas
afetam as propriedades do campo de uma forma muito importante.
Onde os campos vetoriais aparecem nas cieˆncias e nas engenharias?
Uma aplicac¸a˜o importante sa˜o os campos gradientes. Se
w = f(x, y) (2)
e´ uma func¸a˜o diferencia´vel de duas varia´veis, enta˜o seu gradiente
∆w =
(
∂w
∂x
,
∂w
∂y
)
(3)
e´ um campo vetorial, ja´ que ambas as derivadas parciais sa˜o func¸o˜es de x e
y. Vamos relembrar a interpretac¸a˜o geome´trica do gradiente:
direc¸a˜o de ∇w = a direc¸a˜o de u na qual ∂w
∂s
∣∣∣
u
e´ ma´xima;
||∇w|| = o maior valor de ∂w
∂s
∣∣∣
u
(4)
onde
∂w
∂s
∣∣∣
u
=< ∇w, u > e´ a derivada direcional de w na direc¸a˜o u.
Outro importante fato sobre o gradiente e´ que se considerarmos as curvas
de n´ıvel de f(x, y), que por definic¸a˜o sa˜o as curvas
f(x, y) = c, c constante,
enta˜o, em cada ponto (x0, y0), o vetor gradiente ∇w e´ perpen-
dicular a` curva de n´ıvel que passa por esse ponto, isto e´,
o campo gradiente de f e´ perpendicular as curvas de n´ıvel de f. (5)
2. Campos de Forc¸a 3
Exemplo 1 Seja w =
√
x2 + y2 = r. Usando a definic¸a˜o (3) de gradiente,
encontramos
∇w =
(x
r
,
y
r
)
=
1
r
(x, y)
O domı´nio de ∇w e´ o plano Oxy exceto o ponto
(0, 0), e e´ continuamente diferencia´vel nesta regia˜o. Ja´ que
||(x, y)|| = r, vemos que ||∇w|| = 1. Enta˜o todos os vetores
do campo vetorial ∇w sa˜o vetores unita´rios, e eles apontam
radialmente para fora da origem. Isso faz sentido por (4),
ja´ que a definic¸a˜o de w mostra que dw/ds deve ser ma´xima
na direc¸a˜o radial apontando pra fora, e tem o valor 1 nessa
direc¸a˜o.
Finalmente, as curvas de n´ıvel de w sa˜o c´ırculos centrados em (0, 0), que
sa˜o sempre perpendiculares aos vetores ∇w, o que esta´ de acordo com (5).
2 Campos de Forc¸a
Buscando por situac¸o˜es onde os campos vetoriais aparecem, podemos
citar duas situac¸o˜es f´ısicas que sa˜o descritas matematicamente por campos
vetoriais. Vamos nos referir a elas com frequeˆncia no que segue, usando
nossa intuic¸a˜o f´ısica para sugerir quais propriedades matema´ticas os campos
vetoriais devem ter.
A primeira situac¸a˜o sa˜o os Campos de Forc¸as. Da f´ısica, temos os campos
de forc¸as eletrosta´ticos bidimensionais gerados por uma distribuic¸a˜o de cargas
esta´ticas (i.e., que na˜o se movem) no plano. Em cada ponto (x0, y0) do plano,
colocamos um vetor representando a forc¸a que agiria em uma unidade de
carga positiva colocada naquele ponto.
Da mesma forma, temos campos vetoriais decorrentes de distribuic¸o˜es de
massa no plano Oxy, representando a forc¸a gravitacional agindo sobre uma
massa unita´ria colocada em cada ponto. Ha´ tambe´m campos magne´ticos
gerados por cargas ele´tricas em movimento e/ou distribuic¸o˜es de magnetos,
representando a forc¸a eletromagne´tica em cada ponto.
Vamos nos referir a` essas situac¸o˜es apenas como campos de forc¸as.
Exemplo 2 Encontre o campo bidimensional de forc¸a eletrosta´tica F gerado
por uma carga positiva colocada na origem, dado que F e´ orientado para fora
da origem e tem mo´dulo c/r2.
Soluc¸a˜o. Ja´ que o vetor (x, y) esta´ radialmente orientado para fora e tem
mo´dulo r, ele tem a direc¸a˜o certa, e precisamos apenas fazer com que seu
3. Campos de Fluxo e de Velocidade 4
mo´dulo seja c/r2. Fazemos isso multiplicando por c/r3, que nos da´
F =
(c x
r3
,
c y
r3
)
=
c
(x2 + y2)3/2
(x, y).
�
3 Campos de Fluxo e de Velocidade
Um segundo tipo de campos vetoriais sa˜o os campos de fluxo e de velo-
cidade em estado de equil´ıbrio.
Imagine um fluido em movimento em um tanque horizontal raso de pro-
fundidade uniforme, e assuma que o movimento t´ıpico em qualquer ponto seja
puramente horizontal e na˜o mude com o tempo. Chamamos isto de um fluxo
bidimensional em estado de equil´ıbrio, ou simplesmente, um fluxo. O fluxo
pode ser tanto compress´ıvel (como um ga´s), como incompress´ıvel (como a
a´gua). Tambe´m pode acontecer que, em va´rios pontos, o fluido esteja sendo
adicionado ou retirado do fluxo; por exemplo, algue´m pode estar sobre o
tanque adicionando a´gua em algum ponto ou em certa a´rea. A densidade
tambe´m pode variar de ponto para ponto, como seria para um ga´s aquecido
de forma desigual.
Com esse tipo de fluxo podemos associar dois tipos de campos vetoriais.
Ha´ o campo de velocidades v(x, y), que representa o vetor velocidade do
fluido no ponto (x, y) – isto e´, sua direc¸a˜o nos da´ a direc¸a˜o do fluxo e seu
mo´dulo nos da´ a velocidade do fluxo.
E ha´ tambe´m o campo de fluxo definido por
F = δ(x, y)v(x, y) (6)
onde δ(x, y) nos da´ a densidade (massa por unidade de a´rea) do fluido no
ponto (x, y). Assumindo que ela na˜o e´ 0 no ponto (x, y), podemos interpretar
F (x, y) como segue:
direc¸a˜o de F = direc¸a˜o do fluido em (x, y);
||F || =

taxa (por unidade de comprimento
por segundo) de massa transportada
atrave´s da reta perpendicular
a` direc¸a˜o do fluxo em (x, y)
(7)
De fato, vemos primeiro por (6) depois pela figura que
||F ||∆l∆t = δ||v||∆t∆l = massa em ∆A,
3. Campos de Fluxo e de Velocidade 5
de onde (7) segue dividindo-se por ∆l∆t e deixando ∆l e ∆t→ 0.
Se a densidade e´ constante δ0, como e´ o caso de um fluido incompress´ıvel
em uma temperatura uniforme, enta˜o por (6) os campos de fluxo e de ve-
locidades sa˜oessencialmente os mesmos – os vetores de um sa˜o apenas um
mu´ltiplo escalar dos vetores do outro.
Exemplo 3 Descreva e interprete F =
1
x2 + y2
(x, y) como um campo de
fluxo e como um campo de forc¸a.
Soluc¸a˜o. Como no Exemplo 2, o campo F e´ definido em todo lugar exceto
em (0, 0), e a direc¸a˜o e´ radial e para fora; agora, entretanto, o seu mo´dulo e´
r/r2, i.e., ||F || = 1/r.
F e´ o campo de fluxo de uma fonte de mo´dulo 2pi na origem. Para ver
isso, olhe para o c´ırculo de raio a centrado na origem. Em cada ponto P do
c´ırculo, o fluxo e´ radialmente para fora e, por (7),
taxa de transporte de massa em P = 1/a, enta˜o
taxa de transporte de massa atrave´s do c´ırculo = (1/a)2pia = 2pi.
Isso nos mostra que em um segundo, 2pi de massa flui atrave´s de todo c´ırculo
centrado na origem. Esse e´ o campo de fluxo de uma fonte de mo´dulo 2pi
na origem – por exemplo, podemos imaginar um cano fino sobre o tanque,
introduzindo 2pi unidades de massa por segundo no ponto (0, 0).
Sabemos que ||F || = δ||v|| = 1/r. Dois casos importantes sa˜o:
• se o fluido e´ incompress´ıvel, como a a´gua, enta˜o a densidade e´ constante,
e portanto a velocidade do fluxo tem que decrescer como 1/r – o fluxo
se torna cada vez mais lento a` medida que se afasta da origem;
• se o fluxo e´ compress´ıvel com um ga´s, e a velocidade do fluxo e´ cons-
tante, enta˜o a densidade deve decrescer como 1/r.
Agora vamos interpretar o mesmo campo como um campo de forc¸a.
Suponha que pensamos no eixo Oz no espac¸o como um longo fio retil´ıneo,
possuindo uma carga eletrosta´tica positiva e uniforme. Isso nos da´ um campo
vetorial no espac¸o, representando o campo da forc¸a eletrosta´tica.
Uma vez que uma parte do fio e´ exatamente igual a qualquer outra parte,
a simetria radial nos mostra primeiro que os vetores no campo de forc¸a tem
a componente do eixo Oz nula, i.e., eles apontam radialmente para fora do
fio, e segundo que os mo´dulos dos vetores dependem somente da distaˆncia r
do fio. Pode ser de fato mostrado que o campo de forc¸a resultante e´ F , a
menos de uma constante.
3. Campos de Fluxo e de Velocidade 6
Esse tipo de campo e´ chamado de “campo bidimensional”, mesmo sendo
um campo vetorial no espac¸o, porque z na˜o entra na sua descric¸a˜o – uma vez
que se sabe como ele e´ no plano Oxy, sabe-se como ele e´ em todo o espac¸o.
O que e´ importante notar e´ que o mo´dulo do campo de forc¸a no plano
Oxy decresce como 1/r e na˜o como 1/r2, como seria se as cargas estivessem
todas em um ponto.
Da mesma forma, o campo gravitacional de uma distribuic¸a˜o uniforme
de massa ao longo do eixo Oz seria −F , a menos de uma constante, e seria
chamado de “campo gravitacional bidimensional”. Naturalmente, na˜o temos
fios infinitos, mas se voceˆ tiver um longo fio reto e ficar longe das pontas, ou
tiver apenas um pequeno fio reto, mas ficar pro´ximo a` ele, o campo de forc¸a
se parecera´ com F pro´ximo ao fio. �
Exemplo 4 Encontre o campo de velocidade de um fluido com densidade 1
na superf´ıcie de um tanque raso, girando com uma velocidade angular cons-
tante ω no sentido anti-hora´rio ao redor da origem.
Soluc¸a˜o. Primeiro vamos encontrar a direc¸a˜o do campo em cada ponto
(x, y).
Sabemos que o vetor (x, y) e´ direcionado radial-
mente para fora. Enta˜o um vetor perpendicular
a este no sentido anti-hora´rio (veja figura) sera´
(−y, x) (ja´ que o produto escalar com (x, y) e´ 0 e
os sinais esta˜o corretos).
O vetor (−y, x) tem mo´dulo r. Se a velocidade angular e´ ω, enta˜o a
velocidade linear sera´ dada por:
||v|| = ω r ,
enta˜o para obter a velocidade do campo, devemos multiplicar o campo acima
por ω:
v = (−ω y, ω x).
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	1 Campos Vetoriais no Plano; Campos Gradiente
	2 Campos de Força
	3 Campos de Fluxo e de Velocidade