AL_EX_01_SLIDES_PDF_GAB

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MATEMÁTICA-III
ÁLGEBRA LINEAR
EXERCÍCIO-01
1) Dados os vetores u = ( 1 , y , z - 3) e v = ( x , 2 , -4), calcular
x, y e z sabendo que u = 3v.
u = 3v
BANANA COM BANANA LARANJA COM LARANJA
⇒ ( 1 , y , z - 3) = 3 × ( x , 2 , -4)
( 1 , y , z - 3) = (3 x , 6 , -12)
(1 , y , z - 3) = (3 x , 6 , -12)
MAÇÃ COM MAÇÃ
3 x = 1 ⇒ x = 1/3
y = 6
z - 3 = -12 ⇒ z = -12 + 3 ⇒ z = -9
BANANA COM BANANA
LARANJA COM LARANJA
MAÇÃ COM MAÇÃ
ÁLGEBRA LINEAR
EXERCÍCIO_01_GABARITO 1 MANUEL
2) Os vetores u = (k,1), v = (5,m) e w = (1,-4) do R2 verificam a
equação 2u - 3v = w. Calcular os valores de m e k.
2u - 3v = w
BANANA COM BANANA LARANJA COM LARANJA
2 (k,1) - 3 (5,m) = (1,-4)
2k-15 = 1 ⇒ 2k = 1+15 ⇒ 2k = 16 ⇒ k = 16/2 ⇒ k=8 
2 - 3m = - 4 ⇒ - 3m = - 4 - 2 ⇒ - 3m = - 6
(2k , 2) - (15 , 3m) = (1,-4)
(2k -15, 2 - 3m) = (1 , - 4)
m = - 6 / -3 m = 2
NÚMEROS RELATIVOS
SOMA / SUBTRAÇÃO
2 + 5 = + 7
RELEMBRANDO...O TEMPO EM QUE A GENTE ERA
FELIZ....E NÃO SABIA !
- 2 - 5 = - 7
+ 5 - 2 = + 3
+ 2 - 5 = - 3
SINAL DO MAIOR
SINAL DO MAIOR
ÁLGEBRA LINEAR
EXERCÍCIO_01_GABARITO 2 MANUEL
NÚMEROS RELATIVOS
PRODUTO / DIVISÃO
+ × + = +
- × - = +
+ × - = -
- × + = -
RESUMINDO
SINAIS IGUAIS ⇒ POSITIVO
SINAIS DIFERENTES⇒ NEGATIVO
+2 × +5 = + 10
-2 × -5 = + 10
+2 × -5 = - 10
-2 × +5 = - 10
RELEMBRANDO...
3) Sejam u = (3,-2,1) e v = (7,1,-3). Calcule:
a) u + v = (3 + 7 , -2 + 1 , 1 - 3 ) = (10, -1 , -2)
b) 4u = 4(3,-2,1) = (12 , -8 , 4)
c) 2u - 3v = 2 (3,-2,1) - 3 (7,1,-3) = (6 , -4, 2) - (21 , 3 , -9) =
(6 -21 , - 4 - 3, 2 - (-9)) = (6 -21 , - 4 - 3, 2 + 9) =
(-15 , - 7, 11) 
d) u o v = (3,-2,1) o (7,1,-3) = 
3 × 7 -2 × 1 + 1 × (-3) = 
21 - 2 - 3 = 21 - 5 = 16
ÁLGEBRA LINEAR
EXERCÍCIO_01_GABARITO 3 MANUEL
• Um número NEGATIVO elevado a um expoente ÍMPAR é
SEMPRE NEGATIVO.
(-4)1 = - 4
(-2)3 = (-2) × (-2) × (-2) = 4 × (-2) = - 8
(-3)3 = (-3) × (-3) × (-3) = 9 × (-3) = - 27
(-10)3 = (-10) × (-10) × (-10) = 100 × (-10) = - 1000
RELEMBRANDO...
O TEMPO QUE A GENTE ERA FELIZ.......E NÃO SABIA !
• Um número NEGATIVO elevado a um expoente PAR é
SEMPRE POSITIVO.
(-2)4 = -2 × -2 × -2 × -2 = 4 × 4 = 16
(-3)4 = -3 × -3 × -3 × -3 = 9 × 9 = 81
RELEMBRANDO.......
QUANTO VALE 2 ELEVADO A 0 (ZERO) ?
1
2
2220 === − X
X
XX
NO TEMPO EM QUE A GENTE ERA FELIZ E NÃO SABIA...
235
3
5
22
2
2
==
−
OLHOU... E VIU !
MESMA BASE SUBTRAI OS EXPOENTES !
QUALQUER NÚMERO DIFERENTE DE ZERO ELEVADO A
ZERO VALE 1 !
120 = 1100 = 11000 = 110000 =
ÁLGEBRA LINEAR
EXERCÍCIO_01_GABARITO 4 MANUEL
3) Sejam u = (3,-2,1) e v = (7,1,-3). Calcule:
e) u e v
141491)2(3 222 =++=+−+=u
599149)3(17 222 =++=−++=v
4) Encontrar o vetor unitário obtido a partir de cada um dos
vetores dados:
416691631 222 ==++=++=u
)6,3,1() =ua 



===
4
6
,
4
3
,
4
1
4
)6,3,1(
u
u
uu
ÁLGEBRA LINEAR
EXERCÍCIO_01_GABARITO 5 MANUEL
4) Encontrar o vetor unitário obtido a partir de cada um dos
vetores dados:
749936436)2( 222 ==++=++−=v
)3,6,2() −=v b


 −=−==
7
3
,
7
6
,
7
2
7
)3,6,2(
v
v
uv
4) Encontrar o vetor unitário obtido a partir de cada um dos
vetores dados:
171601)4(0)1( 222 =++=−++−=w
)4,0,1() −−=w c


 −−=−−==
17
4
,
17
0
,
17
1
17
)4,0,1(
w
w
uw
ÁLGEBRA LINEAR
EXERCÍCIO_01_GABARITO 6 MANUEL
5) Dados os vetores u = (1 , 1, 0) e v = (0 , 1 , -1) no R3,
encontre o ângulo formado por u e v.
2011011 222 =++=++=u
FÓRMULA ⇒ cos
.
θ = u v
u v
o
uov = (1,1,0) o (0,1,-1) = 1 × 0 + 1 × 1 + 0 × (-1) = 0 + 1 + 0 = 1
2110)1(10 222 =++=−++=v
2
1
4
1
22
1
.
cos ==
×
==
vu
vu oθ
RELEMBRANDO...O TEMPO EM QUE A GENTE ERA
FELIZ E NÃO SABIA....
422 ≠+
105252 =×=×
( ) aaaaa ==×= 22
2222 =+
242222 ==×=×
ÁLGEBRA LINEAR
EXERCÍCIO_01_GABARITO 7 MANUEL
6) Encontrar o valor de m para que os vetores u = (3 ,-m , 4) e
v = (m-1 , 2 ,1) sejam ortogonais.
CONDIÇÃO DE ORTOGONALIDADE ⇒
PRODUTO ESCALAR É ZERO ⇒ u o v = 0 !
uov = (3,- m,4) o (m-1,2,1) = 0
BANANA COM BANANA LARANJA COM LARANJA MAÇÃ COM MAÇÃ
uov = (3,- m, 4) o (m-1,2,1) = 0
3(m -1) - 2m + 4 ×1 = 0
3m - 3 - 2m + 4 = 0
3m - 2m + 4 -3 = 0
m + 1 = 0
m = -1
Sou composta por urgências
minhas alegrias são intensas
minhas tristezas, absolutas. 
Me entupo de ausências, 
me esvazio de excessos.
Eu não caibo no estreito, 
eu só vivo nos extremos. 
Eu caminho, desequilibrada, 
em cima de uma linha tênue 
entre a lucidez e a loucura. 
De ter amigos eu gosto 
porque preciso de ajuda pra sentir, 
embora quem se relacione comigo 
saiba que é por conta-própria e auto risco. 
O que tenho de mais obscuro, 
é o que me ilumina. 
E a minha lucidez é que é perigosa ... 
Se eu pudesse me resumir, 
diria que sou irremediável!
Clarice Lispector 
(Tchetchelnik-Ucrânia -1925 / Rio de Janeiro -1977)
ÁLGEBRA LINEAR
EXERCÍCIO_01_GABARITO 8 MANUEL