aula 28 - Integrais de linha

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Integrais de linha
Integrais de linha
Danilo Sande
January 15, 2014
Danilo Sande Integrais de linha
Integrais de linha Integrais de linha de um campo escalar
Integrais de linha de um campo escalar
Integrais de linha de um campo escalar
A integral de linha e´ calculada sobre um curva C, se a func¸a˜o for
positiva, essa integral pode ser interpretada como a a´rea lateral de
uma ”cerca”.
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Seja C uma curva plana suave, dada pelas equac¸o˜es parame´tricas
x = x(t), y = y(t), onde a ≤ t ≤ b, ou pelo vetor
~r(t) = x(t)~i + y(t)~j .
Se dividirmos o intervalo [a,b] em n sub-intervalos [ti−1, ti ] iguais e
fizermos xi = x(ti ) e yi = y(ti ), enta˜o os correspondentes pontos
Pi (xi , yi ) ira˜o dividir C em n sub-arcos com comprimentos ∆S1,
∆S2,...,∆Sn.
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Escolhemos qualquer ponto P∗i (x
∗
i , y
∗
i ) no i-e´simo sub-arco.
Se f(x,y) e´ uma func¸a˜o de duas varia´veis cujo dom´ınio inclui C,
podemos calcular f no ponto (x∗i , y
∗
i ), multiplicar pelo
comprimento ∆Si do sub-arco e formar a soma
n∑
i=1
f (x∗i , y
∗
i )∆Si .
Tomando o limite quando n→∞,
temos:∫
C
f (x , y)ds = lim
n→∞
n∑
i=1
f (x∗i , y
∗
i )∆Si .
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O comprimento de arco de uma curva e´ dado por (aula 12):
S =
∫ b
a
√(
dx
dt
)2
+
(
dy
dt
)2
dt, assim, dSdt =
√(
dx
dt
)2
+
(
dy
dt
)2
.
Fazendo uma mudanc¸a de varia´veis na integral de linha, temos:∫
C
f (x , y)ds =
∫ b
a
f (x(t), y(t))
ds
dt
dt∫
C
f (x , y)ds =
∫ b
a
f (x(t), y(t))
√(
dx
dt
)2
+
(
dy
dt
)2
dt
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Integrais de linha de um campo escalar
Integrais de linha de um campo escalar∫
C
f (x , y)ds =
∫ b
a
f (x(t), y(t))
√(
dx
dt
)2
+
(
dy
dt
)2
dt, pode ser
escrita como:∫
C
f (x , y)ds =
∫ b
a
f (x(t), y(t))|~r ′(t)|dt, onde
~r ′(t) = dxdt~i +
dy
dt
~j .
No caso 3-D:∫
C
f (x , y , z)ds =
∫ b
a
f (x(t), y(t), z(t))|~r ′(t)|dt, onde
~r ′(t) = dxdt~i +
dy
dt
~j + dzdt
~k.
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Exemplo 1
Calcule
∫
C
(2 + x2y)ds, onde C e´ a metade superior da
circunfereˆncia x2 + y2 = 1.
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Vamos supor que C e´ uma curva suave por partes, ou seja, e´ a
unia˜o de um finito nu´mero de curvas suaves:
Nesse caso, a integral de f ao longo de C e´ definida como o
somato´rio de integrais de f ao longo de cada curva suave que
compo˜e C:∫
C
f (x , y)ds +
∫
C1
f (x , y)ds +
∫
C2
f (x , y)ds + ... +
∫
Cn
f (x , y)ds
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Exemplo 2
Calcule
∫
C
2xds, onde C consiste do arco C1 da para´bola y = x
2
de (0,0) a (1,1), seguido da linha vertical C2 de (1,1) a (1,2).
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Substituindo ∆Si por ∆xi ou ∆yi na definic¸a˜o de integral de linha,
obtemos outras duas integrais:∫
C
f (x , y)dx = lim
n→∞
n∑
i=1
f (x∗i , y
∗
i )∆xi ;∫
C
f (x , y)dy = lim
n→∞
n∑
i=1
f (x∗i , y
∗
i )∆yi .
Essas integrais podem ser calculadas expressando todos os termos
em func¸a˜o de t:
x = x(t), y = y(t), dx = x ′(t)dt e dy = y ′(t)dt, assim:∫
C
f (x , y)dx =
∫ b
a
f (x(t), y(t))x ′(t)dt;∫
C
f (x , y)dy =
∫ b
a
f (x(t), y(t))y ′(t)dt.
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E´ frequente aparecerem as integrais de linha com relac¸a˜o a` x e y
juntas, nesse caso podemos abreviar a escrita:∫
C
P(x , y)dx +
∫
C
Q(x , y)dy =
∫
C
P(x , y)dx + Q(x , y)dy
(Nesse caso P e Q podem ser interpretadas como componentes de um
forc¸a que realiza trabalho ao longo de C).
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Na resoluc¸a˜o de integrais de linhas, a maior dificuldade e´
parametrizar a curva dada. Para o caso de segmentos de reta,
podemos parametrizar da seguinte forma:
~r(t) = (1− t)~ro + t~r1, onde 0 ≤ t ≤ 1, onde ~ro e´ o vetor inicial e
~r1 e´ o vetor final.
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Exemplo 3
Calcule
∫
C
y2dx + xdy , onde:
a) C = C1 e´ o segmento de reta de (-5,-3) a (0,2);
b) C = C2 e´ o arco da para´bola x = 4− y2 de (-5,-3) a (0,2).
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Integrais de linha em geral dependem do caminho, veremos
posteriormente quando isso na˜o ocorre.
Ale´m disso, temos como propriedades das integrais de linhas que:∫
−C
f (x , y)dx = −
∫
C
f (x , y)dx ;∫
−C
f (x , y)dy = −
∫
C
f (x , y)dy , pore´m:∫
−C
f (x , y)ds =
∫
C
f (x , y)ds, pois ∆S e´ sempre positivo,
enquanto ∆x e ∆y mudam de sinal quando revertemos a curva.
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