Introdução ao Minitab 14 para Análise Estatística

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Apostila de Estatística 
Laboratório de EAA 
DME – Departamento de Matemática da PUC Minas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2º semestre de 2006 
 
 
 
© DME /2006-2 2 de 70 
LABORATÓRIO DE ESTATÍSTICA – AULA 1 
** Síntese Tabular, Gráfica e Numérica de Dados Qualitativos**. 
 
1.1. Introdução 
 
O Minitab 14 para Windows é um sistema computacional para análise estatística de dados. 
Caracteriza-se pela simplicidade de uso e pela correção com que as técnicas estatísticas foram 
programadas. Este pacote é um dos mais utilizados no ensino da disciplina. 
 
Iniciando o Software 
 
 Iniciar → Programas → MINITAB FOR WINDOWS → Minitab 
 
Após este procedimento o Minitab apresentará duas janelas visíveis: 
• Session: onde serão impressas as opções solicitadas e a maioria dos resultados obtidos. 
Pode-se também digitar os comandos desejados. 
• Worksheet : planilha para armazenagem de dados e de resultados. 
• A janela Project Manager normalmente permanece minimizada, mas pode ser maximizada a 
qualquer momento para obter-se informações sobre o projeto que está sendo trabalhado. 
 
A alternação entre as janelas pode ser feita: 
• Clicando com o mouse sobre a janela desejada, ou. 
• Usando as teclas de atalho: Ctrl+D - janela de Dados e Ctrl+M - janela da Seção 
 
O menu principal encontra-se no topo da janela contendo, na primeira linha, grupos de funções (File, 
Edit, Data, ...) e, na segunda linha, alguns atalhos (imprimir, salvar...): 
 
 
 
• File: funções de manipulação de arquivos: abrir e fechar projetos (Project), planilhas de dados 
(worksheet); salvar; imprimir e etc... 
• Edit: funções de manipulação de células da planilha e edições de preferências; 
• Data: manipulações da planilha de dados: recodificação; ordenação; atribuição de postos 
(ranking), cópia, empilhamento de colunas; etc... 
• Calc: funções que envolvem cálculos matemáticos ou probabilísticos em células, linhas ou 
colunas; 
• Stat: funções estatísticas envolvendo variáveis do banco de dados; 
• Graph: funções gráficas; 
• Editor: movimentações com colunas; busca e substituição de valores; etc... 
• Tools: algumas ferramentas disponíveis e complementares como, por exemplo, abertura do 
Notepad; Calculadoras, etc... 
• Windows: opções de apresentação das janelas de trabalho; apresentação das janelas 
utilizadas no projeto facilitando sua exposição; etc... 
• Help: Ajuda aos recursos, às funções, às definições das funções e aos procedimentos do 
Minitab. 
 
 
Grupo de Funções 
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1.2. Os Dados – Elementos e Variáveis 
 
EXERCÍCIO 1.1 (adaptado de Morettin & Bussab, Cap. 4, pág.98) 
O departamento de vendas da companhia X foi formado há um ano com a admissão de vendedores. Foi 
selecionada uma amostra aleatória de 15 vendedores. Naquela época, foram observados os valores de 
três variáveis para cada vendedor. 
Teste: resultado (número de acertos) em um teste apropriado para vendedores contendo 10 
questões de múltipla escolha; 
Experiência: nº de anos de experiência em vendas; 
Conceito do gerente: conceito do gerente de vendas quanto ao currículo do candidato. 
O diretor da companhia resolveu ampliar o quadro de vendedores e pede a sua colaboração para 
resolver algumas perguntas. Para isso, ele te dá informações adicionais sobre duas variáveis: 
Vendas: volume médio mensal de vendas em milhares de unidades monetárias; 
Zona: zona da capital na qual o vendedor trabalhou durante o ano. 
 
Considere a Tabela abaixo com o Conjunto de Dados (banco de dados). Esta tabela contém as 
informações sobre uma amostra aleatória de 15 vendedores 
 
Tabela 1.1: Informações sobre vendedores da Cia X 
Vendedor Teste Experiência Conceito do gerente Vendas Zona 
1 8 5 Excelente 54 Norte 
2 9 2 Excelente 50 Sul 
3 7 2 Regular 48 Sul 
4 8 1 Regular 32 Oeste 
5 6 4 Bom 30 Sul 
6 8 4 Bom 30 Oeste 
7 5 3 Bom 29 Norte 
8 5 3 Bom 27 Norte 
9 6 1 Regular 24 Oeste 
10 7 3 Regular 24 Oeste 
11 4 4 Bom 24 Sul 
12 7 2 Regular 23 Norte 
13 3 3 Regular 21 Sul 
14 5 1 Regular 21 Oeste 
15 3 2 Bom 16 Norte 
Fonte: Dados hipotéticos 
 
Dados: “São fatos e números coletados, analisados e sintetizados para 
apresentação e interpretação” (ANDERSON, 2003). 
 
Nesta tabela temos 15 Elementos e 5 Variáveis 
a) Complete: 
O vendedor 5 acertou _______ questões no teste de múltipla escolha apropriado para vendedores. 
O vendedor 3 tem ______ anos de experiência em vendas. 
O vendedor 9, na análise do currículo, foi classificado como _________ pelo gerente de vendas. 
O vendedor 2 vendeu ______ mil unidades monetárias, em média, e foi designado para a zona 
________ da capital. 
O vendedor 12 teve seu currículo classificado pelo gerente como _______ e foi designado para a zona 
______. Ele acertou _____ questões no teste, tem ______ anos de experiência e tem uma média de 
vendas mensais de _____ mil unidades monetárias. 
 
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Classificação das variáveis 
 
Para cada tipo de variável existem técnicas mais apropriadas para resumir as informações; daí a 
importância de classificar corretamente cada variável. Uma classificação muito usada é: 
 
 Nominal 
 Qualitativa 
 Ordinal 
 Discreta 
 Quantitativa 
 Continua 
 
b) Classifique as variáveis em qualitativas (nominais ou ordinais) ou quantitativas (discretas ou 
contínuas). 
Teste: ________________________ ________________ 
Experiência: ___________________ ________________ 
Conceito do gerente: _______________ _____________ 
Vendas: ________________________ ______________ 
Zona: ___________________ _____________________ 
 
Entrando e Salvando Dados no Minitab 
 
c) Crie o arquivo de dados. 
Observação: as informações (números ou categorias) e os respectivos títulos de cada Variável 
serão digitados nas colunas; 
 
c1) Preencha os títulos de cada coluna 
 
A planilha de dados é denominada Worksheet. Cada coluna corresponde a uma variável. As 
colunas são designadas por C1, C2,... . O nome de cada variável é digitado no espaço apropriado 
antes da numeração das linhas da planilha. 
 
c2) Preencha as informações de cada variável 
 
Para simplificar a digitação criamos a seguinte codificação para as variáveis: 
 ─ Conceito do gerente: Excelente = 3, Bom = 2 e Regular = 1; 
 ─ Zona: Norte = 1, Sul = 2 e Oeste = 3; 
Digite a planilha (verifique se apareceu a letra T ao lado de C1, C2.). 
 
 
 
 (Caso tenha aparecido, apague e refaça a digitação dos dados). 
 
 
 
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d) Salve o arquivo de dados seguindo a orientação do seu professor. 
 
 File →→→→ Save Current Worksheet As →→→→ C →→→→ Temp →→→→ Nome do Arquivo (Escolha Um Nome) 
 
e) Recodifique as variáveis “Conceito do gerente” e “Zona”. Salve novamente o arquivo. 
 
1. Escolha na barra de ferramentas a opção Data; 
2. Selecione Code; 
3. Dentre as alternativas apresentadas, escolha a 2ª opção: Numeric to text; 
4. Posicione o cursor em: (Code data from columns); 
5. Clique duas vezes (1) no nome da variável Conceito do gerente, para informar qual variável 
está sendo codificada; 
6. Posicione o cursor em: (Into columns); 
7. Clique novamente duas vezes no nome da variável Conceito do gerente para informar em 
que coluna será armazenada a informação; 
8. Preencha as informações: 
 Original values New 
 3 Excelente 
 2 Bom 
 1 Regular 
9. Clique Ok; 
10. Repita o procedimento para Zona; 
11. Salve as alterações no arquivo de dados: FILE →→→→ SAVE CURRENT WORKSHEET. 
 (1) Na maioria dos procedimentos temosque informar a variável que será utilizada. Primeiro 
posicionar o cursor no quadro variables Depois podemos proceder de uma das três maneiras: 
• Clicar duas vezes no nome da variável que aparece no retângulo à esquerda com o botão 
esquerdo do mouse. 
• Clicar uma vez no nome da variável e uma vez em select. 
• Digitar C e o número correspondente da coluna que contem os dados da variável. Por 
exemplo, no caso da variável Conceito do gerente, digite C3. 
 
Sintetizando os Dados 
 
Alguns procedimentos adequados a cada tipo de variável: 
 
Para as qualitativas nominais: 
• Tabelas (Distribuição de freqüência, Tabulação cruzada, Distribuição de freqüência relativa 
percentual); 
• Gráficos: (setores, barras, Pareto, etc); 
• Medidas (freqüências relativas e moda). 
 
Para as qualitativas ordinais: 
• Tabelas (Distribuição de freqüência, Tabulação cruzada, Distribuição de freqüência relativa 
percentual, Distribuição de freqüência relativa acumulada e Distribuição de freqüência relativa 
percentual acumulada); 
• Gráficos: (setores, barras, Pareto, etc); 
• Medidas: freqüências relativas e moda. 
 
Para as quantitativas: 
• Tabelas (Distribuição de freqüência, Distribuição de freqüência relativa percentual, Distribuição de 
freqüência acumulada e Distribuição de freqüência relativa percentual acumulada); 
• Gráficos (Gráfico de pontos, Ramo e folhas, Gráfico em caixas, Histograma, Diagrama de dispersão); 
• Medidas: (Média aritmética, Mediana, Quartil Inferior e Superior, Variância, Desvio padrão, Coeficiente 
de variação, Coeficiente de correlação etc.) 
 
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f) Sintetize as variáveis qualitativas através de freqüências e porcentagens (tabelas simples). 
 
1. Escolha na barra de ferramentas Stat; 
2. Escolha o comando Tables; 
3. Escolha a opção Tally Individual Variables; 
4. Escolha a variável qualitativa para as quais se deseja construir a distribuição de freqüências: 
Conceito do Gerente e Zona; 
5. Escolha as opções de saída (Display): frequências (Counts), porcentagens (Percents) para 
a variável Zona, frequências acumuladas (Cumulative counts) ou ainda porcentagens 
acumuladas (Cumulative percents); 
6. Clique Ok e analise as tabelas apresentadas. 
 
Complete: 
f1) Na amostra temos ________ vendedores regulares e _______% de bons. 
f2) ______ % são bons ou excelentes vendedores. 
f3) _______ % dos vendedores foram alocados na zona sul, que corresponde a _______ 
pessoas. 
 
Observação: A variável quantitativa discreta Teste também pode ser sintetizada da mesma 
maneira uma vez que assume poucos valores e é discreta. 
Complete: 
f4) ______ vendedores acertaram 5 questões no teste de múltipla escolha, que corresponde a 
_____%. 
f5) ______ vendedores acertaram menos de 5 questões no teste de múltipla escolha. 
f6) ______ % dos vendedores acertaram menos de 5 questões no teste de múltipla escolha. 
f7) ______ % dos vendedores acertaram 5 ou menos questões no teste de múltipla escolha. 
 
g) Construa um gráfico de barras para a variável Conceito do Gerente. 
 
1. Escolha na barra de ferramentas Graph; 
2. Escolha a opção Bar Chart (Gráfico de Barras); 
3. Clique Ok; 
4. Passe a variável Conceito do Gerente para o quadro Categorical variables, 
5. Escolha a opção Labels. Esta opção permite escrever um título apropriado para o gráfico 
(Titles/Footnotes) e apresentar as freqüências de cada categoria selecionando Data labels 
e Use Y-value labels em Label type; 
6. Clique Ok.. 
 
h) Construa um gráfico de setores para a variável Zona. 
 
1. Escolha na barra de ferramentas Graph; 
2. Selecione Pie Chart (Gráfico de Setores); 
3. Selecione Chart raw data; 
4. Passe a variável Zona para o quadro Categorical variables; 
5. Escolha a opção Labels. Esta opção é usada tanto para escolher um título apropriado para o 
gráfico (Titles/Footnotes), como para apresentar o nome, a freqüência e a porcentagem de 
cada categoria (Slice Labels); 
6. Clique Ok. 
 
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1.3. Análise Bidimensional (variáveis qualitativas) 
 
Os dados podem ser sintetizados simultaneamente em uma tabulação cruzada, a fim de revelar a relação 
entre duas (ou mais) variáveis. Podemos sintetizar simultaneamente os dados de duas variáveis em uma 
tabela de dupla entrada. Para isso: 
 
a) Faça o cruzamento entre as variáveis: Conceito e Zona e responda as perguntas a seguir: 
 
1. Escolha na barra de ferramentas Stat; 
2. Escolha o comando Tables; 
3. Escolha a opção Cross Tabulation and Chi Square; 
4. Agora, escolha para o quadro Categorical variables as variáveis Conceito no quadro 
correspondente a For rows: e Zona no quadro correspondente a For columns: . Entre as 
opções de saída (Display), escolha: frequências (Counts) 
5. Clique Ok. 
 
Complete a tabela 1.2: 
 
Tabela 1.2: Tabulação cruzada para o Conceito do Gerente e divisão por Zonas de Vendas 
 
Zona Conceito do 
gerente Norte Sul Oeste Total 
Regular 
Bom 
Excelente 
Total 
 
Responda: 
 
a1) Considerando os 15 vendedores, qual é a porcentagem de vendedores que obtiveram o conceito 
Regular e foram alocados na zona Oeste? ___________ 
a2) Entre os vendedores que tiveram o conceito Bom, qual é a porcentagem de vendedores que foi 
alocada na zona Norte? ___________ 
a3) Qual é a porcentagem de vendedores classificados como regulares?__________ 
a4) Entre os vendedores alocados na zona Oeste, qual é a porcentagem de vendedores que obtiveram 
conceito Regular? _________________ 
a5) Entre os vendedores alocados na zona Norte, qual é a porcentagem de vendedores que obtiveram 
conceito Regular? _________________ 
a6) Entre os vendedores alocados na zona Sul, qual é a porcentagem de vendedores que obtiveram 
conceito Regular? _________________ 
 
Se quisermos comparar as zonas em relação à classificação do vendedor devemos calcular as 
porcentagens relativas aos totais de coluna na tabela anterior. Isto pode ser feito diretamente no Minitab 
repetindo os passos de 1 a 4 e escolhendo entre as opções de saída as porcentagens relativas ao total 
das colunas (Column Percents). Em seguida, clique em ok. 
 
b) Complete a tabela 1.3: 
 
Tabela 1.3: Distribuição conjunta das proporções (em porcentagens) da classificação do Conceito do 
gerente de acordo com a Zona 
 
Zona Conceito do 
gerente Norte Sul Oeste Total 
Regular 
Bom 
Excelente 
Total 100 100 100 100 
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O minitab permite construir uma tabela de dupla entrada colocando em cada célula todas as informações 
possíveis, ou seja: 
Freqüência; 
Percentagem em relação ao total da linha; 
Percentagem em relação ao total da coluna; 
Percentagem em relação ao total da amostra; 
 
Para isso, siga os passos: 
 
1. Escolha na barra de ferramentas Stat; 
2. Escolha o comando Tables; 
3. Escolha a opção Cross Tabulation and Chi Square; 
4. Agora, escolha para o quadro Categorical variables as variáveis Conceito no quadro 
correspondente a For rows: e Zona no quadro correspondente a For columns: . Em 
seguida, escolha as opções de saída (Display): frequências (Counts), porcentagens 
relativas ao total das linhas (Row Percents),. porcentagens relativas ao total das colunas 
(Column Percents) e porcentagens relativas ao total geral (Total Percents); 
5. Clique Ok. 
 
c) Represente o cruzamento entre as variáveis Conceito do Gerente e Zona através de um gráfico de 
barras. 
 
1. Escolha na barra de ferramentas Graph; 
2. Escolha a opção Bar Chart; 
3. Escolha o tipo Stack ou Cluster e deixe a opção default ‘counts of unique values’ para Bar 
represents: e clique Ok ; 
4. Para o quadro Categorical variables, selecione as variáveis Zona e Conceito; 
5. Selecione Labels → Data Label → Use y-values labels em Label Type → Ok(2);6. Clique Ok. 
(2) Caso tenha esquecido de mandar mostrar os valores acima de cada coluna isto pode ser feito 
depois do gráfico pronto. Para isso clique com o botão direito do mouse em cima do gráfico 
→Add → Data Label → Label Type → Use y-values labels → Ok. 
 
Bibliografia 
ANDERSON, D. R.; SEENEY, D. J.; WILLIAMS, T. A. Estatística Aplicada à Administração e Economia. 
2. ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002. 
 
BUSSAB, W. O., MORETTIN, P. A. Estatística Básica. 5. ed. rev. São Paulo: Saraiva, 2003. 
© DME /2006-2 9 de 70 
LABORATÓRIO DE ESTATÍSTICA – AULA 2 
** Síntese Tabular, Gráfica e Numérica de Variáveis Quantitativas**. 
**Análise Bidimensional** 
 
2.1 Abrindo arquivos (planilha de trabalho) 
 
Abra o arquivo de dados que você salvou na aula passada. 
 
 File →→→→ Open Worksheet →→→→ C →→→→ Temp →→→→ Nome do Arquivo 
 
2.2 Síntese numérica de variáveis quantitativas 
 
Sintetize as variáveis quantitativas calculando as medidas usuais: média aritmética, mediana, desvio 
padrão o primeiro quartil (Q1), terceiro quartil (Q3), o mínimo e o máximo. 
 
1. Escolha a opção Stat na barra de ferramentas; 
2. Escolha a opção Basic Statistics; 
3. Selecione a opção Display Descriptive Statistics; 
4. Passe para o quadro Variables as variáveis Teste, Experiência e Vendas. 
5. Selecione Ok. 
 
Observação: 
Como não usamos a opção Statistics o Minitab forneceu sua escolha padrão: 
N = número de dados; N* = número de dados omissos; 
Mean = média aritmética; 
SE Mean = erro padrão da média, que é o desvio padrão dividido pela raiz quadrada do tamanho 
da amostra. Esta medida é utilizada na inferência sobre a média populacional e será estudada 
posteriormente; 
StDev = desvio padrão; Minimum = mínimo; Q1 = primeiro quartil; 
Median = mediana; Q3 = terceiro quartil; Maximun = máximo. 
 
Poderíamos ter escolhido as medidas desejadas dentre uma lista de estatísticas disponíveis 
usando a opção Statistics. 
 
a) Complete: 
 
Quadro 2.1: Síntese numérica para as variáveis quantitativas 
Variáveis 
 
Medidas 
Teste (número de 
questões certas) 
Experiência (anos) Vendas (1000 
unidades 
monetárias) 
Menor valor 
Primeiro quartil 
Segundo quartil 
Terceiro quartil 
Maior valor 
Média aritmética 
Desvio padrão 
 
b) O desvio padrão da variável vendas é de ________ mil unidades monetárias. 
c) Suponha que um vendedor seja considerado excepcional se seu volume médio de vendas for 
maior que dois desvios padrão acima da média geral. Quanto ele deve vender para ser 
considerado excepcional?___________________________. Quais são os vendedores 
excepcionais 
____________________________________________________________________ 
d) Cinquenta por cento venderam, em média, menos de _________ mil unidades monetárias. 
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e) O diretor de vendas anunciou que transferirá para outra praça todos os vendedores cujo 
volume médio de vendas for inferior ao 1o quartil da distribuição. Qual é o volume mínimo de 
vendas que um vendedor deve realizar para não ser transferido? 
____________________________________________. 
f) A menor nota no teste foi _______ e a maior _______. Setenta e cinco por cento acertaram 
_____ ou mais questões. 
g) Vinte e cinco por cento dos vendedores têm _______ ou mais anos de experiência. 
h) Em média, os vendedores têm _____ anos de experiência. 
 
 
2.3 Gráfico de pontos 
Construa um gráfico de pontos para a variável Vendas. 
 
1. Escolha na barra de ferramentas Graph; 
2. Escolha a opção Dot Plot (Gráfico de Pontos); 
3. Escolha a opção Simple de One Y; 
4. Selecione para o quadro Variables a variável Vendas; 
5. Clique Ok. 
 
Complete: 
 
O valor máximo de vendas foi de _______ mil unidades monetárias. ______ vendedores tiveram um 
volume médio mensal de 24000 unidades monetárias. No intervalo de 36 a 48 mil, temos _____ 
vendedores. 
 
2.4 Gráfico de Ramo-e-folhas 
Construa um Ramo-e-folhas para a variável Vendas. 
 
1. Escolha na barra de ferramentas Graph; 
2. Escolha a opção Stem-and-leaf; 
3. Selecione para o quadro Variables a variável Vendas; 
4. Digite 5 no quadro correspondente ao Incremento; 
5. Clique Ok. 
 
Stem-and-Leaf Display: Vendas 
 
Stem-and-leaf of Vendas N = 15 
Leaf Unit = 1,0 
 
 1 1 6 
 7 2 113444 
(2) 2 79 
 6 3 002 
 3 3 
 3 4 
 3 4 8 
 2 5 04 
 
Complete: 
_________ venderam 24 000 unidades monetárias ou menos. 
_________ venderam de 27 a 29 000 unidades monetárias. 
_________ venderam 48 000 unidades monetárias ou mais. 
_________ venderam 30 000 unidades monetárias ou mais. 
 
A forma da distribuição dos valores da variável Vendas é _____________________________. 
Compare os valores da média aritmética e da mediana. A média está localizada no _______ ramo e 
a mediana no _______ ramo. 
 
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Complete: 
 
Tabela 2.1: Vendas, em unidades monetárias. 
Faixas de vendas Freqüências 
10 000 ≤ x < 20 000 
20 000 ≤ x < 30 000 
30 000 ≤ x < 40 000 
40 000 ≤ x < 50 000 
50 000 ≤ x < 60 000 
Total 
 
2.5 Gráfico de Caixas (Boxplot) 
 
Faça um Boxplot para a variável Vendas. 
 
1. Escolha na barra de ferramentas Graph; 
2. Escolha a opção Boxplot; 
3. Escolha a 1ª opção de gráfico Simple; 
4. Clique Ok; 
5. Passe a variável Vendas para o quadro Graph variables 
6. Selecione Labels e escreva um título para o gráfico; 
7. Clique Ok. 
 
 
2.6 Análise Bidimensional I (uma variável quantitativa e outra qualitativa) 
 
Os vendedores argumentam ao diretor que o critério de ser transferido devido às vendas menores 
que o primeiro quartil não é justo, pois há zona de vendas menos privilegiada. A quem você daria 
razão? 
 
Para você responder este item, é necessário seguir os seguintes passos: 
 
a) Calcule as medidas descritivas, para a variável Venda, de acordo com a variável Zona. 
Analise os resultados, levando em conta as medidas de posição e de variabilidade. Não 
esqueça de calcular os coeficientes de variação. 
 
1. Escolha a opção Stat na barra de ferramentas; 
2. Escolha a opção Basic Statistics; 
3. Selecione a opção Display Descriptive Statistics; 
4. Passe para o quadro Variables a variável Vendas; 
5. Passe a variável Zona para o quadro By variable; 
6. Clique em Statistics e selecione as estatísticas: Mean (Média), Standard Deviation (Desvio 
padrão), Coefficient of variation (coeficiente de variação), Minimum (Mínimo), Maximum 
(Máximo), First quartile (1º Quartil), Median (Mediana), Third quartile (3º Quartil); 
7. Selecione Ok; 
8. Selecione Ok. 
 
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Complete: 
 
Quadro 2.2: Sumário da variável Vendas, de acordo com a Zona para a qual o 
vendedor foi designado. 
Zona Medidas 
Norte Sul Oeste 
Menor valor 
1º Quartil 
Segundo quartil 
3º Quartil 
Maior valor 
Média aritmética 
Desvio padrão 
Coeficiente de 
variação 
 
 
Responda: 
 
Em média a zona pior para vendas é a _____________. 
Os valores observados foram mais homogêneos em torno da respectiva média na zona 
__________. 
 
b) Faça o gráfico de caixas para a variável Vendas, de acordo com a variável Zona. 
 
1. Escolha na barra de ferramentas Graph; 
2. Escolha a opção Boxplot; 
3. Escolha With Groups na opção One Y e clique Ok; 
4. Selecione para o quadro Graph Variables a variável Vendas; 
5. Clique no quadro correspondente a Categorical variables for grouping e escolha a variável 
Zona; 
6. Clique Ok. 
 
Analise o gráfico observando o que ocorreu com a zona oeste, em comparação com as outras. 
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________ 
 
Complete: 
os valores das amplitudes interquartílicas são: _______, ______ e ______ para as zonas norte, 
sul e oeste, respectivamente. 
 
2.7 Análise Bidimensional II (variáveis quantitativas) 
 
Qual das variáveis, Teste ou Experiência observada na admissão, é mais importante para julgar um 
futuro candidato ao emprego? 
 
1) Faça um gráfico de dispersão para as variáveis: Teste e Vendas. 
 
1. Escolha na barra de ferramentas Graph; 
2. Escolha a opção Scatterplot; 
3. Selecione o tipo Simple e clique Ok; 
4. Escolha para Y a variável Vendas e para X a variável Teste; 
5. Clique Ok. 
 
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2) Calcule o coeficiente de correlação linear entre as variáveis: Teste e Vendas. 
 
1. escolha a opção Stat na barra de ferramentas; 
2. escolha a opção Basic Statistics; 
3. selecione a opção Correlation; 
4. passe para o quadro Variables as variáveis Vendas e Teste; 
5. clique Ok. 
 
c) Refaça os itens (a) e (b) para as variáveis Experiência e Vendas. 
 
 
Bibliografia 
ANDERSON, D. R.; SEENEY, D. J.; WILLIAMS, T. A. Estatística Aplicada à Administração e Economia. 
2. ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002. 
 
BUSSAB, W. O., MORETTIN, P. A. Estatística Básica. 5. ed. rev. São Paulo: Saraiva, 2003. 
 
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LABORATÓRIO DE ESTATÍSTICA - AULA 3 
** Histograma ** 
 
3.1 Construção de Histograma 
 
EXERCÍCIO 3.1 (Adaptado de Werkema, cap. 6, pág. 167). Uma fábrica de azulejos recentemente 
começou a receber reclamações de seus clientes. A maioria das reclamações era relativa aos seguintes 
problemas: 
1. os azulejos, ao serem manuseados, quebravam-se facilmente. 
2. o assentamento dos azulejos não produzia um resultado uniforme em relação ao nível da parede. 
Em vista dessa situação, o gerente de vendas da indústria decidiu formar um grupo de trabalho para 
estudar estes problemas. Na primeira fase do estudo, o grupo de trabalho concluiu que a produção de 
azulejos com espessura inadequada poderia ser a causa dos problemas relatados pelos clientes. Esta 
conclusão resultou do conhecimento dos seguintes fatos: 
1. azulejos com espessura muito fina quebram-se facilmente. 
2. a falta de uniformidade na espessura dos azulejos provoca dificuldades durante o seu 
assentamento. 
Sabe-se que os limites de especificação para a espessura dos azulejos são 5,0 ± 1.5 mm, ou seja, a 
espessura dos azulejos deve variar entre 3.5 a 6.5 mm, sendo o valor nominal de especificação igual a 
5.0 mm. Para avaliar se estavam ocorrendo problemas com a espessura dos azulejos produzidos, o 
grupo decidiu retirar uma amostra aleatória dos azulejos fabricados pela empresa, medir a espessura 
destes azulejos e comparar os resultados obtidos com as especificações. Como a indústria emprega 
duas turmas de trabalho (turmas A e B) e pode haver diferença na qualidade dos azulejos produzidos por 
cada turma, foi utilizada uma estratificação, sendo então retirada uma amostra de 80 azulejos produzidos 
pela turma A e 80 fabricados pela turma B. Os dados coletados estão apresentados na Tabela 3.1 a 
seguir e digitados no arquivo aula3ex1.mtw. 
 
Tabela 3.1 - Medidas de espessura (em mm) de 160 azulejos produzidos pela fábrica separados por 
turma de trabalho 
Espessura dos azulejos (em mm) 
Turma A Turma B 
4.2 2.6 4.3 3.5 5.3 5.8 6.0 5.7 
3.0 5.4 3.3 3.1 5.9 5.5 6.9 5.3 
3.5 3.3 3.6 4.0 6.5 6.3 5.3 5.1 
3.7 4.6 3.6 4.0 5.7 5.7 6.2 5.5 
4.3 4.7 5.6 3.4 6.4 6.0 5.7 6.1 
5.6 2.8 3.9 2.4 6.4 5.8 6.7 5.7 
5.4 3.9 4.5 3.4 5.7 6.0 5.9 5.9 
3.8 3.9 2.9 3.8 6.1 5.7 5.6 5.8 
4.9 4.7 4.5 4.1 6.3 7.0 5.3 5.7 
4.1 2.8 5.9 4.0 5.9 5.7 6.6 5.8 
3.0 5.5 3.5 3.7 6.7 5.9 6.1 5.8 
4.1 2.9 3.1 2.3 5.7 5.7 6.5 5.6 
4.9 4.0 4.5 2.9 5.8 6.1 5.4 6.4 
3.8 2.4 4.5 3.1 6.4 6.7 6.3 6.8 
4.3 3.7 3.0 4.0 6.0 5.8 6.2 5.0 
4.4 3.1 3.5 4.6 6.5 4.9 5.4 5.4 
4.2 3.7 2.4 4.5 5.4 4.9 5.7 5.7 
3.1 3.5 2.7 4.4 5.6 5.8 5.3 5.1 
2.8 2.7 3.5 5.2 6.1 6.2 5.9 6.5 
5.7 4.2 5.1 3.1 5.1 5.3 6.2 5.4 
 
a) Responda: 
Quais as reclamações dos Clientes? 
____________________________________________________________________________________
____________________________________________________________ 
Os azulejos aceitáveis devem ter uma espessura de ______ a ______ mm. 
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Os azulejos são fabricados por ___ turmas de trabalho. 
O plano amostral utilizado foi: _________________ _______________. 
 
b) Abra o arquivo aula3ex1.mtw. 
 
File → Open Worksheet → ...... → aula3ex1.mtw 
 
A primeira coluna (C1) contem todas as medidas de espessura. A coluna seguinte (C2) serve para indicar 
qual turma produziu cada azulejo. 
 
c) Calcule as medidas descritivas utilizando todos os dados de espessura. 
 
Complete: 
Média aritmética: _______ mm; Desvio padrão: _______ mm; 
Menor valor: _______ mm; Primeiro quartil: _______ mm; 
Mediana: _______ mm; Terceiro quartil: _______ mm; 
Maior valor: _______ mm; Tamanho da amostra: ______ azulejos. 
 
d) Construa um gráfico de pontos utilizando todos os dados e responda: 
d1) Qual é a forma da distribuição das medidas de espessura dos azulejos produzidos pela 
fábrica? ___________________________________________________________ 
d2) Qual é a moda (o valor de espessura mais freqüente)? _________mm. 
 
e) Construa um histograma utilizando os dados de espessura dos 160 azulejos. Mostre as freqüências 
acima de cada coluna e exiba no gráfico os limites de especificação. Para isso, siga os passos: 
 
1. Selecione Graph;. 
2. Selecione Histogram; 
3. Escolha a opção Simple; 
4. Selecione a variável Espessura para o quadro Graph variables. 
 
... Dando um título ao histograma... 
1. Selecione Labels; 
2. Digite no quadro Title um título apropriado para o seu gráfico. 
 
... Mostrando a frequência absoluta de cada classe... 
1. Selecione Data Labels ainda na opção Labels; 
2. Assinale Use y-values labels em Label Type; 
3. Selecione Ok.. 
 
... Traçando os limites de especificação... 
1. Selecione Scale; 
2. Selecione Reference Lines...; 
3. Digite 3,5 6,5 na caixa referente à Show references lines at X position; 
4. Selecione Ok. 
 
... Finalizando a primeira parte ... 
5. Selecione Ok. 
 
Responda: 
e1) O histograma possui _____ classes; 
e2) O ponto médio da primeira classe é de _____ mm; 
e3) O ponto médio da última classe é de _____ mm; 
e4) A largura da classe (diferença entre dois pontos médios consecutivos) é de ___ mm. 
 
© DME /2006-2 16 de 70 
f) O histograma não ficou da maneira desejada. Serão necessárias algumas modificações para que ele 
apresente um formato mais útil para a análise dos dados. Essas modificações serão feitas 
diretamente no gráfico. 
 
Vamos modificar o histograma fazendo exibir os limites de classe em vez dos pontos médios. 
Inicie a primeira classe com o limite de 2 mm e faça a última classe exibir o limite superior de 7,5 
mm, com a largura de cada classe de 0,5 mm. Para isso, siga os passos: 
 
... Definindo os limites de classe ... 
1. Clique duas vezes nos valores do eixo X. Irá ser abrir uma caixa de diálogo Edit Scale; 
2. Selecione Scale, e em Major Tick Positions selecione Positions of Ticks e digite 2:7,5/0,5 no 
quadro correspondente; 
3. Selecione Binning, 
4. Selecione Cutpoint.em Interval Type e dentre as opções de Intervals Definition, selecione 
Midpoint/cutpoint positions e digite 2:7,5/0,5 no quadro correspondente; 
5. Selecione Ok. 
 
... Nomeando os limites de especificação (limite inferior e limite superior de 
especificação)... 
1. Clique duas vezes em cima da referência 3,5. Irá abrir a caixa de diálogo: Edit Reference Lines; 
2. Selecione Text e digite LIE no quadro correspondente ao 3,5; 
3. Selecione Alignment; custom em Positions e escolha a opção Below, to the right na seta de 
rolagemdo quadro habilitado; 
4. Repita os processos acima para a referência 6,5 e digite LSE no quadro correspondente ao 6,5 e 
coloque-o na mesma posição em Alignment; 
5. Selecione Ok. 
 
Responda: 
f1) O histograma possui agora _______ classes no lugar de 20 classes. 
f2) A classe com maior número de azulejos possui o limite inferior de ____ mm e o superior de ____ 
mm. 
f3) A primeira classe possui os limites: ______ e ______, enquanto que a última possui _____ e 
_____ mm. 
f4) Abaixo do limite inferior de especificação (LIE) temos _____ azulejos e acima do limite superior 
de especificação (LSE) temos _____. 
f5) A proporção de azulejos abaixo do limite inferior de especificação é de ____ % e a proporção de 
azulejos acima do limite superior de especificação é de ____ %. 
f6) A proporção de azulejos fora da especificação é de ____ %. 
f7) A proporção de azulejos fabricados de acordo com a especificação é de ____ %. 
f8) Você considera que a “espessura não adequada dos azulejos” pode ser considerada como uma 
causa influente dos problemas detectados? _____. 
f9) Justifique sua resposta. 
______________________________________________________________________________
________________________________________________________________ 
 
g) Separe as medidas de espessura que estão na coluna 1 (Espessura) de acordo com a turma, ou 
seja, coloque na coluna C3 os dados produzidos pela turma A e na coluna C4 os da turma B. Para 
isso, siga os passos: 
 
Criação das colunas C3 e C4 com os dados das Turmas A e B, respectivamente. 
1. Selecione Data na barra de ferramentas; 
2. Selecione Unstack Columns; 
3. Para o quadro Unstack the data in, selecione C1 (Espessura); 
4. Para o quadro Using subscripts, selecione C2 (Turma); 
5. Assinale a opção: After last column in use em Store unstacked data; 
6. Selecione Ok. 
 
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h) Calcule as medidas descritivas usuais para a espessura dos azulejos de cada turma. 
 
1. Selecione Stat; 
2. Selecione Basic Statistics; 
3. Selecione Display Descriptive Statistics; 
4. Selecione as variáveis Espessura_A e Espessura_B para o quadro Variables (3); 
5. Selecione Statistics e escolha: Mean (Média), Standard deviation (Desvio-padrão), Coefficient 
of variation (coeficiente de variação), First quartile (primeiro quartil), Median (Mediana), Third 
quartile (terceiro quartil), Minimum (mínimo), Maximum (máximo), N nonmissing (no. válidos 
de observações);. 
6. Selecione Ok, duas vezes. 
 (3) Podemos também selecionar C1 em Variables e C2 em By Variables(optional) 
 
Complete o quadro abaixo: 
 
Quadro 3.1 Sumário das medidas de espessura para as turmas A e B 
Turmas 
 
Medidas A B 
Número de observações 
Menor valor 
Quartil Inferior 
Segundo quartil 
Quartil Superior 
Maior valor 
Média aritmética 
Desvio padrão 
Coeficiente de variação 
 
Qual turma produz azulejos mais homogêneos em torno da respectiva média? _______ 
 
i) Construa dois histogramas, para a Turma A e B separadamente. 
 
1. Selecione Graph; 
2. Selecione Histogram; 
3. Selecione as variáveis C3 (Turma A) e C4 (Turma B) para o quadro Graph variables; 
4. Selecione Ok. 
5. Refaça os processos para ‘definir os limites das classes’ e nomear ‘os limites de especificação’. 
 
Com base em tudo que foi feito, responda: 
i1) Compare a espessura dos azulejos produzidos pelas duas turmas levando em consideração a 
proporção de azulejos fora de especificação produzidos por cada turma. A turma A produz ____% 
abaixo do limite inferior de especificação e a turma B produz ____% acima do limite superior de 
especificação. 
 
i2) Você considera que as duas turmas trabalham do mesmo modo ou existe diferença entre a 
qualidade dos azulejos produzidos pelas duas turmas? Justifique sua resposta. 
________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________ 
 
i3) O problema de quebra dos azulejos parece ser comum aos azulejos produzidos por ambas as 
turmas de trabalho da empresa ou parece estar associado a uma turma específica? Por quê? 
_______________________________________________________ 
 
 
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3.2 Exercitando o que você aprendeu 
 
EXERCÍCIO 3.2. Apresentamos a seguir as notas finas de uma turma de Estatística, do semestre 
passado, com 60 alunos. Os dados estão digitados no arquivo aula3ex2.mtw. 
 
 68 63 51 60 65 73 60 60 67 60 
 62 49 60 52 61 79 41 60 60 64 
 27 47 60 85 68 72 75 60 49 26 
 65 68 70 65 60 75 49 29 74 61 
 65 38 39 80 42 82 65 38 52 57 
 53 70 82 76 82 97 31 96 77 75 
 
a) Abra o arquivo aula3ex2.mtw que contém os dados s sintetize as notas finais desta turma calculando 
as medidas descritivas usuais. 
 
Complete: 
A s notas finais dos ____ alunos variaram de ____ a ____, com média de ____, mediana de _____ e 
desvio padrão de ___ pontos. Os 25% melhores alunos ficaram com nota maior ou igual _____ e os 25% 
piores ficaram com nota menor ou igual a ____ pontos. 
 
b) Construa um gráfico de pontos. Comente. 
____________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________ 
 
c) Construa um gráfico Ramo-e-folhas com um incremento de 10 pontos. 
 
Responda: 
c1) A mediana está localizada no __________ ramo e a média no ____ ramo; 
c2) ______ alunos ficaram com 57 pontos ou menos; 
c3) ______ alunos ficaram com 70 pontos ou mais; 
d4) ______ alunos ficaram com nota de 60 a 68 pontos; 
c5 ) ______ alunos ficaram com 39 pontos ou menos; 
c6) A forma da distribuição das notas é: ________________. 
 
Stem-and-Leaf Display: Notas 
 
Stem-and-leaf of Notas N = 60 
Leaf Unit = 1,0 
 3 2 679 
 7 3 1889 
 13 4 127999 
 18 5 12237 
(24) 6 000000000011234555557888 
 18 7 00234555679 
 7 8 02225 
 2 9 67 
 
d) Construa um histograma com o limite inferior da primeira classe igual a 20, o limite superior da última 
igual a 100 e a amplitude da classe igual a 10 pontos. Considerando que a nota mínima de 
aprovação é 60, coloque este limite de especificação no gráfico e calcule a porcentagem de alunos 
reprovados nessa disciplina de Estatística (Caso você tenha concluído o histograma sem usar a 
opção Data Labels dentro de Labels, você pode clicar na barra de ferramentas em: Editor →→→→ Add →→→→ 
Data Labels →→→→ Ok). 
 
Bibliografia 
WERKEMA, M. C. C. As ferramentas estatísticas básicas para o gerenciamento de processos. 
Belo Horizonte: UFMG: Fundação Christiano Ottoni, 1995. (Ferramentas de Qualidade, 2). 
© DME /2006-2 19 de 70 
 
LABORATÓRIO DE ESTATÍSTICA - AULA 4 
** Diagrama de Causa-e-Efeito e Gráfico de Pareto ** 
 
4.1 Diagrama de Causa e Efeito 
 
“O Diagrama de Causa e Efeito é uma ferramenta utilizada para apresentar a relação existente entre um 
resultado de um processo (efeito) e os fatores (causas) do processo que, por razões técnicas, possam 
afetar o resultado considerado” (Werkema, 1995). 
 
O diagrama é utilizado para sumarizar e apresentar as possíveis causas do problema considerado, 
atuando como um guia para a identificação da causa fundamental deste problema e para a determinação 
das medidas corretivas que deverão ser adotadas. O diagrama, por lembrar, o esqueleto de um peixe é 
também denominado de Diagrama de Espinha de Peixe, ou Diagrama de Ishikawa (em homenagem ao 
professor Kaoru Ishikawa1). 
 
EXERCÍCIO 4.1 (WERKEMA, 1995, p. 97):Uma indústria automobilística verificou que,nos últimos 
meses, ocorreu um aumento do número de reclamações sobre a ocorrência de defeitos no suporte da 
lanterna traseira de um modelo de automóvel por ela fabricado. A empresa desejava eliminar esta 
situação indesejável. Na etapa de identificação do problema, os técnicos da indústria fizeram uma 
reunião com as pessoas envolvidas no processo, com o objetivo de levantar as possíveis causas de 
defeito no suporte da lanterna (brainstorming). Os principais tipos de defeitos sugeridos foram: moldagem 
solta, solda quebrada, centro da moldagem deslocado, lateral da moldagem deslocada, moldagem 
arranhada, moldagem dentada, plástico arranhado, limpeza incompleta, orifício deslocado e pino 
deslocado. 
 
Os defeitos foram classificados, no quadro abaixo, de acordo com sua causa. Por exemplo, o defeito 
Moldagem solta foi considerado como devido à Causa Humana. 
 
 Quadro 4.1 - Principais tipos de defeitos levantados de acordo com suas causas 
Causas Tipos de defeitos 
Causa Humana Moldagem solta. 
Causa de Máquina Solda quebrada. 
Causa de Material Plástico arranhado. 
Causa do Método Centro da moldagem deslocado; Lateral da moldagem deslocada; 
Moldagem arranhada; Moldagem dentada. 
Causa da Medida Orifício deslocado; Pino deslocado. 
Causa do Ambiente Limpeza incompleta. 
 
a) Com os dados do quadro 4.1, veja a maneira de construir a planilha de trabalho. 
 
1. Inicie o Minitab e abra a pasta de trabalho (worksheet) aula4ex1.mtw; 
2. Observe que as causas: Humana, Máquina, Material, Método, Medida e Ambiente foram 
digitadas nos locais apropriados das colunas de C1 a C6, respectivamente; 
3. Em cada coluna, foram digitados os tipos de defeitos, um em cada linha, de acordo com sua 
causa. 
 
 
1
 O professor Kaoru Ishikawa construiu o primeiro diagrama de causa e efeito para explicar a alguns engenheiros de uma indústria 
japonesa como vários fatores de um processo estavam interrelacionados. 
© DME /2006-2 20 de 70 
b) Com os dados da planilha, construa um Diagrama de Causa e Efeito (Gráfico de Espinha de 
Peixe). 
 
Para isso, siga os passos: 
 
1) Selecione Stat > Quality Tools > Cause-and-Effect 
2) Em Causes, selecione as colunas C1 a C6, respectivamente, nas seis primeiras linhas; 
3) Em Label, é preferível traduzir as identificações das causas. Digite Humana, Máquina, Material, 
Método, Medida e Ambiente, respectivamente, nas seis primeiras linhas; 
4) Em Effect digite Defeitos no suporte da lanterna traseira. Em Titlle digite Diagrama de Causa e 
efeito para os Defeitos no suporte da lanterna traseira. 
5) Clique Ok. 
 
 
4.2 Gráfico de Pareto 
 
Este gráfico é usado nas aplicações de controle da qualidade para identificar a maioria das causas 
importantes de problemas. É um gráfico de colunas arranjadas em ordem descendente de altura, com a 
categoria que ocorre com maior freqüência aparecendo em primeiro lugar. 
 
 O princípio de Pareto estabelece que um problema pode ser atribuído a um pequeno número de causas 
vitais. Logo, se forem identificadas as poucas causas vitais dos poucos problemas vitais enfrentados pela 
empresa, será possível eliminar quase todas as perdas por meio de um pequeno número de ações. Ou 
seja, em um primeiro momento, devemos concentrar nossa atenção sobre os poucos vitais, deixando de 
lado os muitos triviais, para que os problemas possam ser resolvidos da forma mais eficiente possível. 
 
O princípio de Pareto foi inicialmente estabelecido por J. M. Juran, que adaptou aos 
problemas da qualidade a teoria para modelar a distribuição de renda desenvolvida pelo 
sociólogo e economista italiano Vilfredo Pareto (1843-1923). Pareto mostrou, em 1897, que 
a distribuição de renda era muito desigual, com a maior parte da riqueza pertencendo a 
muito poucas pessoas. Juran foi o primeiro a notar que esta mesma idéia se aplicava aos 
problemas da qualidade – a distribuição dos problemas e de suas causas é desigual e, 
portanto as melhorias mais significativas poderão ser obtidas se nossa atenção for 
concentrada, primeiramente, na direção dos poucos problemas vitais e logo a seguir na 
direção das poucas causas vitais destes problemas. 
 
O Gráfico de Pareto dispõe a informação de forma a permitir a concentração dos 
esforços para melhoria nas áreas onde os maiores ganhos podem ser obtidos. 
 (WERKEMA, 1995, p. 76) 
 
 
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EXERCÍCIO 4.2: Voltando ao exercício 4.1. Depois de criado o Diagrama de Causa e Efeito, os técnicos 
da indústria contaram o total de peças defeituosas encontradas em uma amostra de peças produzidas 
durante uma semana de trabalho, de acordo com os tipos de defeito que foram detectados. Os dados 
estão na tabela abaixo e se encontram no arquivo aula4ex2.mtw. 
 
Note que nesta tabela a segunda coluna representa a freqüência de ocorrência de cada tipo de defeito e 
a terceira coluna representa o prejuízo resultante da ocorrência de um defeito do tipo correspondente 
(prejuízo unitário). 
 
Tipo de defeito Quantidade de Defeitos 
Prejuízo 
Unitário (US$) 
Moldagem solta 14 0,25 
Solda quebrada 01 0,10 
Centro da moldagem deslocado 04 0,15 
Lateral da moldagem deslocada 24 0,10 
Moldagem arranhada 01 0,10 
Moldagem dentada 44 0,75 
Plástico arranhado 07 5,25 
Limpeza incompleta 79 0,30 
Orifício deslocado 01 0,10 
Pino deslocado 05 0,35 
 
a) Abra o arquivo aula4ex2.mtw. 
b) Crie uma coluna com os prejuízos totais correspondente a cada tipo de defeito. Para isso 
siga os passos: 
1. Selecione Calc > Calculator. 
2. No quadro Store result in variable, digite C4 e no quadro Expression, digite C3*C2. 
3. Clique em Ok 
4. Na planilha, digite um título apropriado para C4 (por exemplo: Prejuízo Total). 
 
Responda: 
b1) Qual o tipo de defeito que possui o maior prejuízo unitário? ____________ 
b2) Qual o tipo de defeito que possui o maior prejuízo total? ____________ 
 
c) Construa um Gráfico de Pareto onde o eixo vertical represente a quantidade de defeitos. Siga 
os passos: 
1. Selecione Stat > Quality Tools > Pareto Chart. 
2. Escolha Chart defects table (na segunda parte do quadro). 
3. Para o quadro Labels in selecione a coluna C1 e para o quadro Frequencies in selecione a 
coluna C2. 
4. Digite um título apropriado para o gráfico no quadro Title (por exemplo: Quantidade de defeitos). 
5. Clique Ok. 
 
Responda: 
c1) Você tem na coluna 1 da planilha____ categorias de defeitos e no gráfico foram destacadas 
____ categorias. 
 
c2) Quantas categorias de defeitos foram agrupadas na coluna “outros” do gráfico? ______. A 
categoria “outros” corresponde a ___ % do total de defeitos. 
© DME /2006-2 22 de 70 
 
c3) Agrupe as categorias menos freqüentes criando uma nova categoria “outros” que englobe até 
10% do total de defeitos. Para isso, siga os passos 1 a 3 do quadro acima e modifique 95 para 90 
em: 
Combine defects after the first ______ % into one 
 
No novo gráfico: 
Quantas categorias de defeitos foram agrupadas na categoria “outros”? ______. 
 A categoria “outros” corresponde a ___ % do total de defeitos. 
 
c4) Qual o principal defeito no suporte da lanterna? ________________. Quantas vezes este 
defeito ocorreu? _____________. Este defeito corresponde a ___ % do total de defeitos. 
 
c5) Os dois defeitos mais freqüentes contribuem com ___ % do total dos defeitos. Identifique os 
tipos de defeitos que os técnicos da empresa deveriam “atacar” em primeiro lugar, com o objetivo 
de melhorar os resultados que vinham sendo obtidos pela indústria. Justifique sua resposta. 
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________d) Construa um Gráfico de Pareto onde o eixo vertical represente o prejuízo total associado a 
cada tipo de defeito. 
Siga os passos: 
1. Selecione Stat > Quality Tools > Pareto Chart. 
2. Escolha Chart defects table (na segunda parte do quadro). 
3. Para o quadro Labels in selecione a coluna C1 e para o quadro Frequencies in selecione a 
coluna C4. 
4. Digite um título apropriado para o gráfico no quadro Title (por exemplo: Prejuízo Total). 
5. Clique Ok. 
 
d1) Qual categoria de defeito responde pelo maior prejuízo total? _______________. O prejuízo 
em dólares para este tipo de defeito é de ___________, que corresponde a ____ % do prejuízo 
total. 
 
d2) Quantas colunas há no gráfico? Foram aglomerados _____ categorias de prejuízo total na 
categoria “outros”. 
 
d3) Identifique os dois tipos de defeitos que os técnicos da empresa deveriam “atacar” em 
primeiro lugar, com o objetivo de melhorar os resultados que vinham sendo obtidos pela indústria. 
Justifique sua resposta. _________________________ 
____________________________________________________________________ 
 
d4) Calcule a quantia em dólares que poderia ser economizada pela indústria, caso estes dois 
defeitos fossem eliminados (obs: posicione o cursor no segundo ponto da ogiva). 
 
© DME /2006-2 23 de 70 
EXERCÍCIO 4.3 (WERKEMA, 1995, p. 77): Uma indústria fabricante de lentes classificou uma amostra 
retirada da produção de uma semana, de acordo com os tipos de defeitos detectados. Os resultados 
estão abaixo. 
 
Tipo de defeito Quantidade 
Arranhão 12 
Trinca 41 
Revestimento inadequado 55 
Espessura inadequada 11 
Não acabada 5 
Outros 3 
 
a) Abra o arquivo aula4ex3.mtw. 
 
b) Construa o Gráfico de Pareto onde o eixo vertical representa a quantidade de defeitos inicial 
(colunas C1 e C2). 
 
c) Identifique os dois tipos de defeitos que você "atacaria" em primeiro lugar, com o objetivo de 
melhorar os resultados que vêm sendo obtidos pela indústria. Justifique a sua resposta. 
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________ 
 
d) Após a adoção das medidas corretivas propostas pelos funcionários, a indústria coletou uma 
nova amostra, constituída de 1200 lentes, obtendo os resultados apresentados na tabela a 
seguir. 
 
Tipo de defeito Quantidade após adoção de 
medidas corretivas 
Arranhão 14 
Trinca 6 
Revestimento inadequado 8 
Espessura inadequada 12 
Não acabada 7 
Outros 4 
 
 
d1) Construa o Gráfico de Pareto onde o eixo vertical representa a quantidade de defeitos após a 
implantação das melhorias (colunas C1 e C3). 
 
d2) Quais são os dois principais problemas agora? _______________ e ___________? 
Eles representam ____% do total de defeitos. 
 
e) Calcule a Melhoria Total usando a seguinte fórmula: 
 
%100
TDA
TDD-TDA
 MT ×=
 
 onde: 
MT = Melhoria Total; TDA = Total de Defeitos Antes e TDD = Total de Defeitos Depois. 
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4.3 Desdobramento de Gráficos de Pareto 
O desdobramento de gráficos de Pareto consiste em tomar as categorias identificadas como prioritárias 
(“poucos vitais”) em um primeiro gráfico como novos problemas a serem analisados por meio de novos 
gráficos de Pareto. O desdobramento continua até que o nível de detalhamento desejado seja obtido. 
EXERCÍCIO 4.4: (WERKEMA,1995 p. 94). Uma indústria automobilística registrou a ocorrência de 161 
defeitos em automóveis de um certo modelo. Os dados da tabela abaixo e os desdobramentos dos dois 
principais defeitos estão no projeto do Minitab projAula4ex4.mpj . 
 
Tipo de defeito Quantidade de defeitos 
Motor 20 
Sistema elétrico 11 
Carroceria 80 
Acessórios 45 
Outros 5 
 Defeitos em Carroceria Defeitos em Acessórios 
Tipo de 
defeito 
Quantidade 
de 
defeitos 
 
Tipo de defeito 
Quantidade 
de 
defeitos 
Pintura 45 Ar-condicionado 25 
Pára-Brisa 20 Limp. pára-brisa 12 
Estofamento 10 Rádio 5 
Outros 5 Outros 3 
 Defeitos em Pintura Defeitos em Ar-condicionado 
Tipo de 
defeito 
Quantidade 
de 
defeitos 
 Tipo de 
defeito 
Quantidade 
de 
defeitos 
Bolha 11 Muito quente 6 
Mancha 4 Não funciona 14 
Arranhão 28 Muito frio 3 
Outros 2 Outros 2 
a) Abra o arquivo: 
File → Open project →....→ projAula4ex4.mpj 
 
b) Construa os gráficos de Pareto para as tabelas acima. Selecione, usando o menu Window, cada 
uma das pastas de trabalho (worksheets) 
b1) Abra a planilha “defeitos nos automóveis”, construa o gráfico de Pareto e responda: 
Os defeitos mais frequentes são: ______________ e ______________. Eles respondem por ____ e 
____% dos defeitos respectivamente. Juntos respondem por ___% dos defeitos. 
b2) Abra a planilha “defeitos na carroceria”, construa o gráfico de Pareto e responda: 
Os defeitos mais frequentes são: ______________ e ______________. Eles respondem por ____ e 
____% dos defeitos respectivamente. Juntos respondem por ___% dos defeitos. 
b3) Abra a planilha “defeitos na pintura” , construa o gráfico de Pareto e responda: 
A categoria arranhão corresponde a ____% dos defeitos na pintura. 
b4) Abra a planilha “defeitos nos acessórios”, construa o gráfico de Pareto e responda: 
Os defeitos no ar condicionado respondem por ____% dos defeitos nos acessórios 
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b5) Abra a planilha “defeitos no ar condicionado”, construa o gráfico de Pareto e responda: 
O que mais causa reclamação é que o ar não funciona, correspondendo a ____% das reclamações. 
4.4 Estratificação de Gráficos de Pareto 
A comparação de gráficos de Pareto construídos considerando diferentes níveis de fatores de 
estratificação de interesse pode ser muito útil para a identificação das causas fundamentais de um 
problema. A estratificação consiste agrupar os dados de acordo com fatores de forma a possibilitar uma 
melhor avaliação do problema. Os fatores de estratificação usuais são: região, turno, tempo (dia, semana, 
mês), operador, lote de matéria prima e máquina (tipo, fabricante). 
EXERCÍCIO 4.5: Uma companhia de seguros colocou como meta reduzir a ocorrências de erros no 
preenchimento de formulários de apólice de seguro. Nesta empresa, existiam dois modelos distintos de 
formulários (I e II), quatro operadores (Júnia, Júlia, Jorge e José) trabalhavam no preenchimento das 
apólices e cinco tipos de erros (A, B, C , D e E) poderiam ocorrer. Durante uma semana de trabalho 
foram registrados 557 erros de preenchimentos nos formulários. Os dados estão digitados no arquivo 
aula4ex5.mtw. (adaptado de WERKEMA,1995, p. 100). 
a) Construa um gráfico de Pareto para os Tipos de erro; 
1. Abra o arquivo aula4ex5.mtw; 
2. No menu, selecione Stat > Quality Tools > Pareto Chart; 
3. Escolha Chart defects data in e selecione C1 (Tipo de erro). Clique em Ok. 
 
Observação: Note que estamos trabalhando com os dados brutos, ou seja, cada linha do 
arquivo corresponde a um erro de preenchimento do formulário. Por isto é que usamos 
“Chart defects data in” em vez de “Chart defects table”. Este último é usado quando já 
temos uma tabela já pronta com os tipo de erros e a freqüência de cada um. 
b) Repetir os passos do item a) para Operador, Dia da semana e Formulário. Quais são as suas 
conclusões? 
Complete: 
O tipo de erro mais freqüente no preenchimento das apólices é o tipo ____, que corresponde a _____ % 
do total de erros. O operador que mais comete erros é __________, que responde por ___% do total de 
erros dos operadores. O dia da semana não é um causador de problemas, pois a Quinta, a Terça, a 
Quarta, a Sexta e a Segunda feira respondem por _____, _____, _____, _____e _____% dos erros,respectivamente. Também não há grande diferença entre a quantidade de erros nos dois tipos de 
formulário, onde o formulário I responde por ___%dos preenchidos com erro e o do tipo II com o restante. 
c) Construa um gráfico de Pareto para os tipos de erros considerando: Operador, Dia da semana e 
Formulário. Analise os resultados. 
Siga os passos: 
1. No menu, selecione Stat > Quality Tools > Pareto Chart; 
2. Escolha Chart defects data in e selecione C1 (Tipo de erro); 
3. Em BY variable in, selecione C2 (ou C3 ou C4). Clique em Ok 
4. Deixe a opcao padrão: Default (all on one graph, same ordering of bars). 
 
Bibliografia 
 
WERKEMA, M. C. C. As ferramentas básicas para o gerenciamento de processos. Belo Horizonte: 
UFMG: Fundação Christiano Ottoni, 1995 (Ferramentas da Qualidade, 2). cap 4 e 5. 
 
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LABORATÓRIO DE ESTATÍSTICA - Aula 5 
** Correlação ** 
EXERCÍCIO 5.1 (Bussab & Morettin, cap. 4, pag. 96) Numa amostra de cinco operários de uma empresa 
foram observadas duas variáveis: anos de experiência num dado cargo e tempo, em minutos, gasto na 
execução de uma certa tarefa relacionada com esse cargo. Os dados estão digitados no arquivo 
aula5ex1.mtw. 
Experiência 1 2 4 4 5 
Tempo 7 8 3 2 2 
a) Abra o arquivo. 
b) Calcule a média e o desvio padrão de cada variável. Preencha o quadro abaixo. 
 
Estatísticas Experiência Tempo 
Média 
Desvio padrão 
c) Escolha adequadamente X (variável explicativa) e Y (variável resposta). 
 X = ________________________________ Y = ________________________________ 
d) Construa o diagrama de dispersão. 
 
1. escolha a opção Graph na barra de ferramentas; 
2. escolha a opção Scatterplot; 
3. escolha a opção Simple e selecione Ok; 
4. em Y variables entre com a variável Tempo e em X variables entre com a variável Experiência; 
5. selecione Ok. 
 
e) Algumas linhas de referência podem ser incluídas no gráfico para auxiliar na interpretação. Inclua no 
diagrama de dispersão as linhas de referência nas posições: 4,4 minutos ( y = 4,4) e 3,2 anos 
( x = 3,2). Analise o gráfico. 
 
1. selecione o gráfico clicando sobre ele com o mouse; 
2. escolha a opção Editor na barra de ferramentas (ou use o botão direito do mouse); 
3. escolha a opção Add e depois Reference Lines; 
4. em Show reference lines for Y positions digite 4,4; 
5. em Show reference lines for X positions digite 3,2. 
6. selecione Ok. 
 
f) Calcule a covariância entre as variáveis X e Y. 
 
1. escolha a opção Stat na barra de ferramentas; 
2. escolha a opção Basic Statistics; 
3. selecione a opção Covariance; 
4. em Variables, entre com as variáveis Experiência e Tempo; 
5. selecione Ok. 
 
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g) Calcule e interprete o coeficiente de correlação linear de Pearson. 
 
1. escolha a opção Stat na barra de ferramentas; 
2. escolha a opção Basic Statistics; 
3. selecione a opção Correlation; 
4. em Variables, entre com as variáveis X e Y e desmarque a seleção Display p-values; 
5. selecione Ok. 
 
Para melhor entendimento a respeito do coeficiente de correlação abra o projeto projAula5ex1.mpj 
com alguns gráficos exibindo diversas formas de correlação. 
 
 File → Open project → .... → projAula5ex1.mpj 
EXERCÍCIO 5.2 (Bussab & Morettin, cap. 4, pag. 81) Dados o tempo de serviço em anos de 10 
funcionários de uma companhia de seguros e a quantidade de clientes que cada um possui, verifique se 
existe uma associação entre essas variáveis. Os dados estão digitados no arquivo aula5ex2.mtw. 
Tempo de serviço 2 3 4 5 4 6 7 8 8 10 
Quantidade de clientes 48 50 56 52 43 60 62 58 64 72 
 
a) Escolha adequadamente X e Y. 
b) Construa o diagrama de dispersão e descreva a relação que existe entre as variáveis. 
c) Calcule a média das duas variáveis e inclua no gráfico as linhas de referência 
d) Calcule e interprete o coeficiente de correlação linear de Pearson. 
EXERCÍCIO 5.3 (Bussab & Morettin, cap. 4, pag. 82) Numa pesquisa feita com 10 famílias com renda 
bruta mensal entre 10 e 60 salários mínimos, mediram-se as seguintes variáveis: Renda: renda bruta 
mensal (expressa em números de salários mínimos) e %R_Saúde: porcentagem da renda bruta anual 
gasta com assistência médica. Os dados estão digitados no arquivo aula5ex3.mtw. 
Renda 12 16 18 20 28 30 40 48 50 54 
%R_Saúde 7,2 7,4 7,0 6,5 6,6 6,7 6,0 5,6 6,0 5,5 
 
a) Escolha adequadamente X e Y. 
b) Construa o diagrama de dispersão; 
c) Calcule e interprete o coeficiente de correlação linear de Pearson. 
EXERCÍCIO 5.4 (Farias et al, cap 13, pág. 232) Os quatro conjuntos de dados a seguir foram preparados 
pelo estatístico F. J. Anscombe e são usados com freqüência em aulas sobre correlação. Os dados estão 
digitados no arquivo aula5ex4.mtw. 
Conjunto 1 Conjunto 2 Conjunto 3 Conjunto 4 
1X 1Y 2X 2Y 3X 3Y 4X 4Y 
10 8,04 10 9,14 10 7,46 8 6,58 
8 6,95 8 8,14 8 6,77 8 5,76 
13 7,58 13 8,74 13 12,74 8 7,71 
9 8,81 9 8,77 9 7,11 8 8,84 
11 8,33 11 9,26 11 7,81 8 8,47 
14 9,96 14 8,10 14 8,84 8 7,04 
6 7,24 6 6,13 6 6,08 8 5,25 
4 4,26 4 3,10 4 5,39 19 12,50 
12 10,84 12 9,13 12 8,15 8 5,56 
7 4,82 7 7,26 7 6,42 8 7,91 
5 5,68 5 4,74 5 5,73 8 6,89 
 
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a) Calcule a média e o desvio padrão das variáveis 1 2 3 4, , eX X X X . 
b) Calcule a média e o desvio padrão das variáveis 1 2 3 4, , eY Y Y Y . 
c) Calcule o coeficiente de correlação linear de Pearson para cada conjunto de dados. 
d) Construa o diagrama de dispersão para cada conjunto de dados. 
 
1. escolha a opção Graph na barra de ferramentas; 
2. escolha a opção Scatterplot; 
3. escolha a opção Simple e selecione Ok; 
4. preencha o quadro: 
 
 
Y variables X variables 
1 1Y 1X 
2 2Y 2X 
3 3Y 3X 
4 4Y 4X 
 
5. selecione a opção Múltiple graphs; 
6. escolha a opção In separate panels of the same graph; 
7. selecione Ok duas vezes. 
 
e) Analise os resultados. 
EXERCÍCIO 5.5 (Barbetta, cap. 13, p.275). Considere as variáveis nota na prova do vestibular de 
matemática e nota final na disciplina de cálculo. Estas variáveis foram observadas para 20 alunos, ao 
final do primeiro período letivo de um curso de engenharia. Os dados são apresentados logo abaixo e 
estão digitados no arquivo aula5ex5.mtw. 
Matemática 39 57 34 40 43 47 52 70 21 28 35 80 64 75 30 32 65 47 28 67 
Cálculo 65 92 56 70 78 89 75 50 52 73 50 90 82 98 50 58 88 71 52 88 
 
a) Escolha adequadamente X e Y. 
b) Construa um diagrama de dispersão e verifique se existe correlação entre os dados observados 
das duas variáveis. 
c) Calcule coeficiente de correlação entre a nota no vestibular de matemática e a nota na disciplina 
de cálculo. 
d) Existe algum aluno que foge ao comportamento geral dos demais (ponto discrepante)? 
e) Retire o valor discrepante detectado e calcule novamente o coeficiente de correlação. Interprete. 
 
EXERCÍCIO 5.6 (Bussab & Morettin, cap.4, p. 96) Muitas vezes a determinação da capacidade de 
produção instalada para certo tipo de indústria em certas regiões é um processo difícil e caro. Como 
alternativa, pode-se estimar a capacidade de produção através da escolha de uma outra variável de 
medida mais fácil e que esteja linearmente relacionada com ela. 
Suponha que foram observados os valores para as variáveis: capacidade de produção instalada (em 
toneladas), potência instalada (em 1000 kw) e área construída (em 100 m2). Com base em um critério 
estatístico qual das variáveis você escolheria para estimar a capacidade de produção instalada. Os 
dados estão digitados no arquivo aula5ex6.mtw. 
 
Cap. Prod. Inst. 4 5 4 5 8 9 10 11 12 12 
Potência Inst. 1 1 2 3 3 5 5 6 6 6 
Área construída 6 7 10 10 11 912 10 11 14 
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a) Construa o diagrama de dispersão da capacidade de produção instalada com cada uma das 
possíveis variáveis explicativas. Qual variável parece estar mais correlacionada com a 
capacidade de produção instalada? 
b) Calcule o coeficiente de correlação nos dois casos. O coeficiente confirma a impressão visual dos 
diagramas? 
 
EXERCÍCIO 5.7 No arquivo aula5ex7.mtw são apresentados os dados de 100 profissionais da área 
gerencial referentes às seguintes variáveis: tempo de conclusão do curso de graduação, salário (em 
número de salários mínimos) e instituição em que se formou. 
a) Abra o arquivo de dados; 
b) Escolha adequadamente X e Y; 
c) Construa o diagrama de dispersão e calcule o coeficiente de correlação; 
d) Construa o diagrama de dispersão levando em consideração a instituição em que o aluno se 
formou; 
 
1. escolha a opção Graph na barra de ferramentas; 
2. escolha a opção Scatterplot; 
3. escolha a opção With groups e selecione Ok; 
4. em Y variables entre com a variável Salário e em X variables entre com a variável Tempo; 
5. em Categorical variables entre com a variável Instituição; 
6. selecione Ok. 
e) Separe os dados dos profissionais por instituição. 
7. Selecione Data na barra de ferramentas; 
8. Selecione Unstack Columns; 
9. Para o quadro Unstack the data in, selecione C1 (Tempo) e C2 (Salário); 
10. Para o quadro Using subscripts, selecione C3 (Instituição); 
11. Assinale a opção: After last column in use em Store unstacked data; 
12. Selecione Ok. 
f) Recalcule os coeficientes de correlação por instituição. 
 
BIBLIOGRAFIA 
 
BARBETTA, P. A. Estatística aplicada às ciências sociais. 5.ed. rev. Florianópolis: Ed. da UFSC, 2002. 
BUSSAB, W. O., MORETTIN, P. A. Estatística Básica. 5. ed. rev. São Paulo: Saraiva, 2003. 
STEVENSON, W. J. Estatística aplicada à administração. São Paulo: Harper & Row do Brasil, 1981. 
SOARES, J. F., FARIAS, A. A, CESAR, C. C. Introdução à estatística. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2003. 
 
 
 
 
 
 
 
 
© DME /2006-2 30 de 70 
ESTATÍSTICA LABORATÓRIO - AULA 6 
** Regressão Linear ** 
 
6.1 INTRODUÇÃO 
 
Após a análise do diagrama de dispersão e do coeficiente de correlação, se concluirmos que existe uma 
correlação linear significativa entre duas variáveis, o próximo passo será tentar estimar uma equação que 
melhor descreva a relação entre essas variáveis. A relação mais simples que conhecemos é aquela 
descrita pela equação de uma reta. 
Considere que certo banco esteja interessado em estabelecer um critério objetivo para avaliar a eficiência 
de seus gerentes e para isso, levantou dados à respeito do depósito médio mensal por agência e a 
quantidade de estabelecimentos comerciais para uma amostra de 9 subdistritos onde o banco 
possuía agência. Pelo diagrama de dispersão mostrado na figura 1a fica evidente que o valor do depósito 
depende da quantidade de comércios e pela disposição dos pontos vemos que uma reta seria a melhor 
descrição. Na figura b1, é exibida a reta que melhor ajusta aos pontos e a equação que gerou a reta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( a ) ( b ) 
Figura 1 – Relação observada entre depósito médio mensal nas agências bancárias e a quantidade de 
estabelecimentos comerciais 
 
A reta ajustada na figura 1b é denominada de reta de regressão e sua equação é denominada de 
equação de regressão. O termo regressão originou de um trabalho de Sir Francis Galton (1822-1911) 
sobre fenômeno de hereditariedade. 
 
 
Modelo de regressão linear simples 
Uma vez que assumimos uma relação linear entre as variáveis o modelo linear proposto será: 
ε+β+β= xy 10 
Onde 
Y = Variável dependente (ou resposta) - é a variável que imaginamos depender de X 
X = Variável independente (ou preditora ou explanatória) 
ββββ0 = parâmetro que representa o coeficiente linear (ou intercepto) da reta 
ββββ1 = Parâmetros que representa o coeficiente angular (ou inclinação) da reta 
εεεε = Erro aleatório (vindo de erros de medidas e/ou de ausência de outras variáveis independentes (x) 
também consideradas importante para explicar a a variável resposta (y) ) 
 
Quantidade de estabelecimentos comerciais (x)
D
e
p
ó
s
it
o
 m
é
d
io
 m
e
n
s
a
l 
(y
)
400350300250200150100500
500
450
400
350
300
250
200
Diagrama de dispersão
Y = 207,7 + 0,8321 X
Quantidade de estabelecimentos comerciais (x)
D
e
p
ó
s
it
o
 m
é
d
io
 m
e
n
s
a
l 
(y
)
400350300250200150100500
500
450
400
350
300
250
200
Diagrama de dispersão
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6.2 Suposições para o modelo linear 
 
Mesmo que ε+β+β= xy 10 seja um modelo simples, ainda assim devemos fazer algumas suposições à 
respeito do erro aleatório εεεε. As suposições são necessárias para que possamos fazer inferências sobre 
alguma previsão e parâmetros do modelo (teste de hipóteses e construção de intervalo de confiança). 
 
Suposições 
1) Os erros se distribuem normalmente com média zero e variância constante σ2 
2) Os erros não são correlacionados. Ou seja, o fato de um erro ser maior não tende a elevar o 
valor de um outro erro. 
 
 
6.3 Critério dos Mínimos Quadrados Ordinais para ajustar a reta 
 
Usando apenas os dados amostrais não podemos obter os valores exatos dos parâmetros β0 e β1. Esses 
parâmetros deverão ser estimados com base nos dados amostrais. A equação de regressão com os 
parâmetros estimados é representada por 
XbbYˆ 10 += 
0b é uma estimativa do 0β e representa o coeficiente linear (ou intercepto) da reta estimada 
1b é uma estimativa do 1β e representa o coeficiente angular (ou inclinação) da reta estimada 
 
Como é impossível a reta passar por todos os pontos, sempre haverá diferença entre algum valor 
observado iy e o valor ajustado pela reta iyˆ para o i-ésimo ponto. Essa diferença ii yˆy − é denominada 
de resíduo (ou erro de estimação) . 
 
O Método dos Mínimos Quadrados é um critério que utiliza os dados da amostra para obter os valores de 
b0 e b1. O método procura os valores de b0 e b1 que minimiza a soma dos quadrados dos resíduos 
)b,b(L 10 . Com essas estimativas conseguimos tornar os resíduos tão menores quanto possível e ajustar 
a reta que chamamos de reta de regressão (ou reta ótima, ou reta de melhor ajuste ou reta de mínimos 
quadrados). 
 
)b,b(L 10 = ∑
=
−
n
1i
2
ii )yˆy( ∑
=
−−=
n
1i
2
1oi )xbby( 
 
O critério de mínimos quadrados procura nas seguintes estimativas: 
• 
( ) ( ) ( )
( ) ( )2i2i
iiii
1
xxn
yxyxn
 b
∑∑
∑∑∑
−
⋅−
= coeficiente angular ou inclinação da reta 
• xbyb 10 −= coeficiente linear ou intercepto da reta 
 
6.4 Erro-padrão da estimativa es 
 
O erro-padrão da estimativa ( es ) representa uma estimativa da medida de dispersão dos pontos em torno 
da reta ajustada. Da mesma forma que desvio-padrão mede a variabilidade dos dados em torna da meda 
amostral, o erro-padrão da estimativa mede a variabilidade dos pontos em torno da reta ajustada. 
( ) ( ) ( )
2n
yxbyby
2n
)yˆy(
s
ii1i0
2
i
2
i
e
−
−−
=
−
−
=
∑∑∑∑
 
 
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6.5 Intervalo de confiança e Intervalo de previsão 
 
• Estimativa pontual de Y quando X = x0 
0100 xbbyˆ += 
 
• Intervalo de confiança para 
0xX|Y =µ = média de Y quando X = xo 
( ) ( )2i2i
2
0
e20
xxn
)xx(n
n
1
styˆ
∑∑ −⋅
−⋅
+⋅⋅± α 
 
• Intervalo de confiança para 
0xXY = = valor individual de Y quando X = xo 
( ) ( )2i2i
2
0
e20xxn
)xx(n
n
11styˆ
∑∑ −⋅
−⋅
++⋅⋅± α 
 
 
 
6.7 Coeficiente de Determinação (R2) 
 
O coeficiente de determinação (R2) mede a proporção da variação em Y que é explicada pela equação de 
regressão estimada. Quanto maior for o valor de R2, maior será a proporção da variação em Y explicada 
pela equação estimada. É freqüentemente usada para julgar a adequação de um modelo de regressão. 
 
∑
∑
−
−
=== 2
i
2
i2
)yy(
)yyˆ(
Total Variação
estimado regressão de modelo
 pelo Explicada Variação
VT
VER Note que: 0% ≤ R2 ≤ 100% 
 
EXERCÍCIO 6.1 (Bussab & Morettin, cap. 4, pag. 81) Um gerente de uma companhia de seguros 
selecionou uma amostra 10 funcionários e registrou para cada um deles o tempo de serviço (em anos) e 
a quantidade de clientes que cada um possui. O interesse do gerente é estabelecer um modelo para 
prever a quantidade de clientes de um funcionário com base no tempo de serviço. Os dados estão na 
tabela abaixo e digitados no arquivo aula6ex1.mtw. 
Func. Tempo Quantidade de clientes 
Beto 2 48 
Nivia 3 50 
Bina 4 56 
Bob 5 52 
João 4 43 
Manoel 6 60 
Pedro 7 62 
José 8 58 
Rui 8 64 
Lucas 10 72 
 
 
a) Estabeleça inicialmente a variável independente X e 
variável dependente Y. 
b) Construa o diagrama de dispersão e determine o 
coeficiente de correlação. Escreva uma frase 
descrevendo o tipo da relação entre as variáveis. 
c) Assumindo uma relação linear entre as variáveis, 
estime a equação de regressão que melhor descreve 
essa relação. Interprete os coeficientes de regressão b0 
e b1. 
d) Faça uma previsão da quantidade de clientes para um 
funcionário com 8 anos de casa. 
e) Calcule e interprete o coeficiente de determinação (R2). 
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SOLUÇÃO 
 
a) Variável Dependente (Y) = 
 
Variável Independente (X) = 
 
b) Com o arquivo aula6ex1.mtw já aberto 
 
Diagrama de dispersão 
• Graph > Scatterplot > Simple > Ok; 
• Clientes em Y variables e Tempo em X variables > Ok. 
 
Coeficiente de correlação 
• Stat > Basics Statistics > Correlation; 
• Clientes e Tempo em Variables; desmarque a seleção Display p-values > Ok 
 
Descrição da relação entre as variáveis 
Pelo diagrama de dispersão e pelo coeficiente de correlação (rxy = 0,877) há evidência de uma 
‘forte’ (rxy > 0,70) correlação positiva entre as variáveis Tempo e Clientes, indicando que 
funcionários com maior tempo de serviço tendem a ter uma maior quantidade de clientes. 
 
 
c) Ajustar a equação de regressão xbbyˆ 1o ⋅+= (veja GRÁFICO 1) 
• Stat > Regression > Fitted Line plot (gráfico com linha ajustada); 
• Clientes em Response (Y) e Tempo em Predictor (X); Type of Regression Model: Linear > 
Ok. 
 
Equação de regressão estimada: Clientes = 39,67 + 2,952 Tempo onde, 
 
b0 = 39,67 é o coeficiente linear ou intercepto da reta (valor de y para x = 0). Para funcionários 
iniciando hoje (tempo zero) ele teria cerca de 40 funcionários (39,67 arredondado). Isso tem 
sentido?. Note que a unidade de b0 é a mesma do y. 
 
b1 = 2,952 é o coeficiente angular ou inclinação da reta. Significa um acréscimo de quase de 3 
clientes (2,952 arredondado) para cada uma ano a mais de tempo de serviço. Note que, para 
estes dados, uma unidade no X representa exatamente um ano e serviço. 
 
d) Clientes = 39,67 + 2,952 * (8) = 63,286 ≈ 63 clientes (quantidade prevista de clientes para um 
funcionário com 8 anos de casa) 
 
Note que devemos dar muita atenção às unidades das variáveis. Por exemplo, qual seria a previsão 
da quantidade de clientes para um funcionário com 60 meses de casa? 
 
e) Coeficiente de Determinação R2 = (Variação Explicada) / (Variação Total) = 76,9% 
 
76,9% da variação total nos números de clientes pode ser explicada pela variação no tempo de 
serviço através da equação de regressão estimada. Os outros 23,1% restantes são explicados 
por outros fatores além do tempo de serviço e que não foram incluídos no modelo. 
 
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Tempo
C
lie
n
te
s
10987654321
75
70
65
60
55
50
45
40
S 4,36270
R-Sq 76,9%
R-Sq(adj) 74,0%
Fitted Line Plot
Clientes = 39,67 + 2,952 Tempo
 
GRÁFICO 1 – Ajuste do Número de clientes em função do 
Tempo de serviços 
 
Continuando com o exemplo 1, a previsão feita na letra “d” do número de clientes para funcionário com 8 
anos de casa é apenas uma estimativa pontual. Podemos melhorar essa estimativa incorporando a ela 
alguma medida de precisão e conseguimos isto ao construir uma estimativa de intervalo de confiança 
(para estimar a média populacional de Y) e de intervalo de predição (para estimar um valor individual 
de Y) . 
 
f) Construa o intervalo de confiança de 95% para o número médio de clientes dos [todos] 
funcionários com 8 anos de tempo de serviço. 
Queremos um intervalo de confiança IC para a média 
0xX|Y =µ = 0Yµ = número médio 
de clientes dos [todos] funcionários com x0 = 8 anos de tempo de serviço. 
 
g) Construa o intervalo de previsão de 95% para o número de clientes para um único funcionário com 
8 anos de tempo de serviço. 
Queremos um intervalo de previsão IP para a previsão 
0xXY = = 0Y = previsão do 
número de clientes de um único funcionário com x0 = 8 anos de tempo de serviço. 
 
 
Estimar a equação de regressão, fazer previões da variável Y (Número de clientes) com base na 
variável X (Tempo de serviço) e construir intervalos de confiança e predição 
• Stat > Regression > Regression 
• Clientes em Response e Tempo em Predictors. 
• Entre em Options 
 em prediction intervals for new observations digite 8 (valor de X para o qual você quer fazer 
previsão) 
 em Confidence level, escolha o nível de confiança para o intervalo de confiança e intervalo de 
predição 
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Os resultados estão na janela Session 
The regression equation is 
Clientes = 39,7 + 2,95 Tempo 
... (resultados omitidos) 
Predicted Values for New Observations 
 
New 
Obs Fit SE Fit 95% CI 95% PI 
 1 63,29 1,91 (58,89; 67,69) (52,31; 74,27) 
 
Values of Predictors for New Observations 
New 
Obs Tempo 
 1 8,00 
 
 
(Resposta da letra f) Estamos 95% confiantes de que 
0Yµ , número médio de clientes dos funcionários 
com 8 anos de tempo de serviço, está dentro do intervalo de 58,89 a 67,69 clientes (arredondando 
para 59 a 68 clientes) 
 
(Resposta da letra g) Estamos 95% confiantes de que 0Y , número de clientes de um único funcionários 
com 8 anos de tempo de serviço, está dentro do intervalo de 52,31 a 74,27 clientes (arredondando para 
52 a 74 clientes) 
 
EXERCÍCIO 6.2 Suponha os seguintes dados na tabela abaixo. Os dados estão digitados no arquivo 
aula6ex2.mtw. 
Despesas com 
Propaganda 
Vendas de Certo 
Produto 
(milhão de 
reais) 
(mil unidades) 
2,5 120 
6,5 190 
11,0 240 
4,0 140 
8,5 180 
14,0 280 
6,0 150 
5,0 115 
10,0 215 
13,5 220 
16,0 320 
 
a) Estabeleça inicialmente a variável independente X e 
variável dependente Y. 
b) Construa o diagrama de dispersão e determine o 
coeficiente de correlação. Escreva uma frase 
descrevendo o tipo da relação entre as variáveis. 
c) Assumindo uma relação linear entre as variáveis, 
estime a equação de regressão que melhor descreve 
essa relação. Interprete os coeficientes de regressão 
b0 e b1. 
d) Faça uma previsão das vendas do produto, para uma 
despesa com propaganda de 12 milhões de reais. 
e) Qual o acréscimo nas vendas para cada milhão a 
mais de despesas com propaganda? 
 
0Yµ 0Y 
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EXERCÍCIO 6.3 (Toledo e Ovalle, 1995) A tabela abaixo fornece os resultados de uma pesquisa com 10 
famílias de determinadaregião. Os dados estão digitados no arquivo aula6ex3.mtw. 
 
Famílias Renda 
(mil reais) 
Poupança Número 
de 
Filhos 
Média de anos de 
estudo da família 
A 
B 
C 
D 
E 
F 
G 
H 
I 
J 
1,0 
1,5 
1,2 
7,0 
8,0 
10,0 
2,0 
3,0 
1,0 
6,0 
40 
70 
50 
200 
200 
300 
80 
80 
30 
150 
8 
6 
5 
1 
2 
2 
3 
2 
6 
1 
3 
4 
5 
12 
16 
18 
8 
8 
4 
8 
 
a) Calcule o coeficiente de correlação entre as variáveis: renda, poupança, número de filhos e 
média de anos de estudo. Escreva as suas conclusões. 
b) Ajuste um modelo linear utilizando as variáveis renda (X) e poupança (Y). Estime o valor poupado 
para uma família com renda de R$ 2.000,00. 
c) Construa uma estimativa do intervalo de confiança de 95% da média do valor poupado para 
todas as famílias com renda de R$ 2.000,00. 
Queremos um intervalo de confiança IC para a média 
0xX|Y =µ = 0Yµ = média do 
valor poupado para [todas] as famílias com renda x0 = 2 mil reais 
 
d) Construa uma estimativa do intervalo de previsão de 95% do valor poupado para uma única 
família com R$ 2.000,00. 
Queremos um intervalo de previsão IP para a previsão 
0xXY = = 0Y = previsão do 
valor poupado para uma única família com renda x0 = 2 mil reais 
EXERCÍCIO 6.4 Barbetta (2001, p.308). Com o objetivo de verificar se numa certa região existe 
correlação entre o nível de escolaridade médio dos pais e o nível de escolaridade dos filhos, observou-se 
uma amostra aleatória de 8 indivíduos adultos, verificando o número de anos que estes freqüentaram (e 
tiveram aprovação) em escolas regulares (Y) e o número médio de anos que os seus pais freqüentaram 
(e tiveram aprovação) em escolas regulares (X). Os resultados são apresentados na tabela abaixo e 
estão digitados no arquivo aula6ex4.mtw. 
X 0 0 2 3 4 4 5 7 
Y 2 3 2 5 9 8 8 15 
 
a) Calcule o coeficiente de correlação de Pearson. 
b) Em termos do resultado do item ‘a’, o que se pode dizer sobre a correlação entre o número de 
anos que os 8 indivíduos freqüentaram escolas regulares (Y) e o número médio de anos que os 
seus pais freqüentaram escolas regulares (X)? 
c) Assumindo uma relação linear entre as variáveis, estime a equação de regressão que melhor 
descreve essa relação. Interprete o coeficiente de regressão b1. 
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EXERCÍCIO 6.5 A administração de um banco deseja estabelecer um critério objetivo para avaliar a 
eficiência de seus gerentes. A princípio, o banco gostaria de prever o depósito médio em suas agências 
com base na quantidade de estabelecimentos comerciais. Nove subdistritos foram selecionados e 
registrados o depósito médio mensal por agência e a quantidade de estabelecimentos comerciais 
existentes nesses subdistritos. Os dados obtidos estão na tabela abaixo e estão digitados no arquivo 
aula6ex5.mtw. 
 
Subdistritos 
Quantidade 
de 
Comércios 
Depósito 
Médio 
 (mil reais) 
Nossa Senhora 16 140 
Casa verde 30 160 
Vila Formosa 35 190 
Santana 70 300 
Barra Funda 90 310 
Jardim Paulista 120 330 
Santo Amaro 160 350 
Lapa 237 430 
Pinheiros 378 500 
 
 
 
EXERCÍCIO 6.6 Barbetta (2001, p.308). A tabela a seguir relaciona os pesos (em centenas de kg) e as 
taxas de consumo de combustível em rodovia (km/litro) numa amostra de 10 carros de passeio novos. Os 
dados estão digitados no arquivo aula6ex6.mtw. 
Peso (100 kg) 12 13 14 14 16 18 19 22 24 26 
Consumo (km/litro) 16 14 14 13 11 12 9 9 8 6 
 
a) Calcule o coeficiente de correlação de Pearson. Como você avalia o relacionamento entre o peso 
e o consumo, na amostra observada? 
b) Para estabelecer uma reta de regressão, qual deve ser a variável dependente e qual deve ser a 
variável independente? Considerando a resposta, estabeleça a equação de regressão entre Y e 
X. 
c) Você considera adequado o ajuste do modelo de regressão do item ‘c’? Dê uma medida desta 
adequação interpretando-a. 
d) Qual o consumo esperado para um carro de 2.000 kg? Lembrete: os dados de consumo na 
tabela estão em centenas de kg. 
e) Você considera seu estudo capaz de predizer o consumo esperado para um carro de 7000 kg? 
Justifique sua resposta. 
a) Estabeleça inicialmente a variável 
independente X e variável dependente Y. 
b) Construa o diagrama de dispersão e 
determine o coeficiente de correlação. 
Escreva uma frase descrevendo o tipo da 
relação entre as variáveis. 
c) Assumindo uma relação linear entre as 
variáveis, estime a equação de regressão que 
melhor descreve essa relação. Interprete os 
coeficientes de regressão b0 e b1. 
d) Faça uma previsão do depósito médio para 
um subdistrito com 100 estabelecimentos 
comerciais. 
e) Calcule e interprete o coeficiente de 
determinação. 
© DME /2006-2 38 de 70 
a) Estabeleça inicialmente a variável independente X e variável 
dependente Y. Escreva uma frase descrevendo o tipo da 
relação entre as variáveis (para ist você deverá construir o 
diagrama de dispersão e calcular o coeficiente de correlação) 
b) Assumindo uma relação linear entre as variáveis, estime a 
equação de regressão que melhor descreve essa relação. 
Interprete os coeficientes de regressão b0 e b1. 
c) Diga qual é o acréscimo na poupança agregada para cada 
bilhão a mais na renda. 
d) Estime a poupança para uma renda de 
R$469.400.000.000,00 (quatrocentos sessenta e nove bilhões 
e quatrocentos milhões de reais). Quanto também seria o 
consumo agregado das famílias? 
Obs: consumo + poupança = renda 
e) Calcule e interprete o coeficiente de determinação (R2). 
f) Construa o diagrama de dispersão considerando o consumo 
como variável resposta e a renda como variável explicativa 
(preditora). Estime a reta de regressão e compare o resultado 
com o item ‘a’. 
EXERCÍCIO 6.7 Use as observações de poupança agregada e renda (em bilhões de reais) em um país 
XYZ no período de 1990 a 1999 (dados fictícios), para estimar a influência do nível de renda sobre a 
poupança. Os dados estão digitados no arquivo aula6ex7.mtw. 
Poupança e Renda no país XYZ 
(em bilhões de reais) 1990-1999 
Ano Poupança Renda 
1990 25 350 
1991 29 364 
1992 30 385 
1993 30 405 
1994 37 438 
1995 40 473 
1996 46 512 
1997 55 547 
1998 53 590 
1999 54 630 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESPOSTAS (com o arquivo já aula6ex7.mtw aberto) 
a) Variável Dependente (Y) = 
 
Variável Independente (X) = 
 
Com o arquivo aula5ex5.mtw já aberto 
 
Diagrama de dispersão 
• Graph > Scatterplot > Simple > Ok; 
• Poupança em Y variables e Renda em X variables > Ok. 
 
Coeficiente de correlação 
• Stat > Basics Statistics > Correlation; 
• Poupança e Renda em Variables; desmarque a seleção Display p-values > Ok 
 
Descrição da relação entre as variáveis 
Coeficiente de correlação linear de Pearson: rxy = 0,970 
Existe uma ‘forte’ (rxy > 0,70) correlação positiva entre as variáveis renda e poupança, indicando 
que valores baixos de renda se associam com valores baixos de poupança e valores altos de 
renda se associam com valores altos de poupança. 
 
b) Ajustar a equação de regressão xbbyˆ 1o ⋅+= (veja Figura 2) 
• Stat > Regression > Fitted Line plot (gráfico com linha ajustada); 
• Poupança em Response (Y) e Renda em Predictor (X); Type of Regression Model: Linear > 
Ok. 
 
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Equação de regressão estimada: Poupança = - 13,54 + 0,1138 Renda onde, 
bo = -13,54 é o coeficiente linear ou intercepto da reta (valor de y para x = 0). Essa é a parte da 
poupança que independe da renda.. 
b1 = 0,1138 é o coeficiente angular, significando o acréscimo na poupança (y) para cada unidade a 
mais na renda (x). Para estes dados, é denominada de propensão marginal a poupar (PMgS). 
 
c) Para cadabilhão a mais na renda o acréscimo na poupança agregada será de 0,1138 bilhão de 
reais. 
 
d) Poupança = -13,54 + 0,1138 * 469,4 = 39,8777 bilhões de reais 
 (Obs: R$469.400.000.000,00 = 469,4 bilhões) 
Consumo = 469,4 - 39,8777 = 429,5222 bilhões de reais (Lembre-se: consumo + poupança = renda) 
 
e) Coeficiente de Determinação R2 = VE (Variação Explicada) / VT (Variação Total) = 94,2% 
94,2% das variações verificadas na variável poupança são explicadas pela variável renda pela 
equação estimada. 
 
f) Inicialmente devemos criar variável Consumo (Consumo = Renda – Poupança ) 
• Calc > Calculator; 
• Digite Consumo em Store result in variable; Renda – Poupança em Expression. 
 
 Ajuste da equação de regressão do Consumo em função da Renda 
 
Consumo = 13,54 + 0,8862 Renda (veja Figura 2) 
0,8862 é a propensão marginal a consumir (PMgC = 1 – PMgS). É o acréscimo no consumo 
devido à uma unidade (1 bilhão) a mais na renda. 
 
Renda
P
o
u
p
a
n
ç
a
650600550500450400350
60
55
50
45
40
35
30
25
S 2,93404
R-Sq 94,2%
R-Sq(adj) 93,4%
Fitted Line Plot
Poupança = - 13,54 + 0,1138 Renda
 
Renda
c
o
n
s
u
m
o
650600550500450400350
600
550
500
450
400
350
300
S 2,93404
R-Sq 99,9%
R-Sq(adj) 99,9%
Fitted Line Plot
consumo = 13,54 + 0,8862 Renda
 
Figura 2 - Ajuste da Poupança vs Renda e Consumo vs Renda 
 
 
Bibliografia 
 
� LEVINE, David M.; STEPHAN, David; KREHBIEL, Timothy C.; BERENSON, Mark L.. Estatística: 
Teoria e Aplicações usando Microsoft Excel em português. 3 ed.. Rio de Janeiro - RJ: LTC - Livros 
Técnicos e Científicos. 2005. 
� TRIOLA, Mario F. Introdução à estatística. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos, c2005. 
656p. 
� VIEIRA, S. Princípios de Estatística, São Paulo: Pioneira, 1999. 
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LABORATÓRIO DE ESTATÍSTICA - AULA 7 
** DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL ** 
 
7.1 Introdução 
 
A distribuição Binomial é uma distribuição de probabilidade de uma variável aleatória discreta X = número 
de sucessos em n realizações de um experimento. 
A função de probabilidade da variável aleatória X é: 
==== )()()( xXPxpxf ( )n 1
x
n xxp p −
 
− 
 
 , para x = 0, 1, ..., n, 
onde: 
 “n” é o número de vezes que o experimento é realizado (n ensaios independentes); 
 “x” é o número de sucessos nas n tentativas; 
n
x
 
 
 
é igual ao número de maneiras de obter x sucessos em n ensaios; 
“p” é a probabilidade de ocorrer sucesso em cada ensaio. 
 
Podemos escrever resumidamente que uma variável aleatória X tem distribuição Binomial com 
parâmetros n e p do seguinte modo: X ~ B(n; p). 
 
No Minitab: 
 
1. Na barra de ferramentas, escolha Calc; 
2. Selecione Probability distributions; 
3. Selecione Binomial 
 
Aparecerá o seguinte quadro: 
 
 
 
 
 
onde: 
 
Na PRIMEIRA PARTE da tela, assinale o que 
deseja calcular: 
• Probability: probabilidade no ponto, ou 
seja, f(x) = p(x) = P(X = x); 
• Cumulative probability: probabilidade 
acumulada, F(x) = P(X ≤ x); 
• Inverse cumulative probability: inverso da 
probabilidade acumulada, ou seja, x tal que 
P(X ≤ x) = pac. 
 
Na SEGUNDA PARTE da tela, informe os 
parâmetros do modelo Binomial: 
• Number of trials: número de ensaios: n; 
• Probability of success: probabilidade de 
sucesso: p. 
A TERCEIRA PARTE corresponde à entrada de dados, ou seja, se você assinalou Probability ou 
Cumulative probability, você deve fornecer o valor de x em Input constant, ou os valores de x em 
Input column. Neste último caso, a coluna contendo os valores de x já deve estar pronta. Se você 
assinalou Inverse cumulative probability, você deve informar o valor da probabilidade acumulada 
- pac (Input constant ) ou os valores de pac (Input column). Caso haja interesse, é possível 
guardar os resultados assinalando Optional storage e indicando onde os mesmos devem ser 
armazenados. 
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7.2 Construindo a distribuição de probabilidade e a distribuição de probabilidade 
acumulada 
 
Considere o seguinte exercício: 
 
EXERCÍCIO 7.1 A experiência indica que 10% das pessoas que entram em uma loja de computadores 
fazem compras. Se 10 pessoas entram na loja:: 
a) Calcule o número esperado de pessoas que compram. ____________ 
b) Determine a distribuição de probabilidade da variável aleatória X: número de pessoas que 
compram entre as 10 que entram na loja. 
 
Para isso: 
 
1. Digite na coluna 1 os valores de zero a dez (um em cada linha). Digite o título para a coluna no 
local apropriado: x 
2. Na barra de ferramentas, escolha Calc; 
3. Selecione Probability distributions; 
4. Selecione Binomial 
5. Selecione Probability 
6. Digite 10 na caixa Number of trials 
7. Digite 0,1 na caixa Probability of success 
8. Digite C1 na caixa Input column 
9. Digite C2 na caixa Optional storage 
10. Selecione Ok para produzir as probabilidades 
11. Coloque f(x) como título na coluna C2. 
 
c) Determine a distribuição de probabilidade acumulada da variável aleatória X: número de pessoas 
que compram entre as 10 que entram na loja. 
 
Para isso: 
 
1. Na barra de ferramentas, escolha Calc; 
2. Selecione Probability distributions; 
3. Selecione Binomial 
4. Selecione Cumulative Probability 
5. Digite 10 na caixa Number of trials 
6. Digite 0,1 na caixa Probability of success 
7. Digite C1 na caixa Input column 
8. Digite C3 na caixa Optional storage 
9. Selecione Ok para produzir as probabilidades 
10. Coloque F(x) como título na coluna C3. 
 
d) Com as duas distribuições, calcule as probabilidades para as próximas 10 pessoas que entram 
na loja: 
d1) Exatamente uma faça compras: f(1) = 38,74% 
d2) X= média: f(1) = 38,74% 
d3) Exatamente nove não comprem: f(1) = 38,74% 
d4) Ninguém compre: f(0) = 34,87% 
d5) Ao menos uma faça compras: 1 – f(0) = 65,13% 
d6) Três ou menos pessoas façam compras: F(3) = 98,72% 
d7) Menos de cinco pessoas façam compras: F(4) = 99,84% 
d8) Cinco pessoas ou mais façam compras: 1- F(4) = 0,16% 
d9) De 3 a 5 pessoas façam compras: F(5) – F(2) = 7%; 
d10) Entre 2 a 6 pessoas façam compras: F(5) – F(2) = 7% 
 
e) Faça os gráficos da distribuição de probabilidade de X e da função de distribuição acumulada 
 
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7.3 Criando o gráfico para a distribuição de probabilidade 
 
1. escolha na barra de ferramentas Graph; 
2. escolha a opção Bar-Chart; 
3. Escolha a opção Values from a table em: Bars represent 
4. Selecione o primeiro tipo: Simple 
5. Cliique Ok. 
6. Em Graph variables, digite C2 
7. Em Categorical variable, digite C1 
8. Selecione Labels → Data Labels → Use y-value labels 
9. Cliique Ok. 
10. Cliique Ok. 
 
Qual a forma do gráfico? _______________________ 
 
Repita os passos para a construção do gráfico para a distribuição acumulada, trocando C2 por C3 
no item 6 
 
 
7.4 Usando a opção Input constant 
 
No exercício (1) foi necessário digitar os valores de x e guardar os resultados das probabilidades em 
uma coluna para a posterior construção dos gráficos. Os resultados são impressos na Session 
quando não se usa a opção Optional storage. A vantagem desse procedimento é que você pode 
conferir se digitou e selecionou certo todas as informações para a solução do exercício. 
 
Como só vamos calcular uma probabilidade, usaremos a opção Input constant no lugar de Input 
column. 
 
Resolva o exercício: 
 
EXERCÍCIO 7.2 Uma pesquisa de opinião pública revelou que 1/4 da população de determinada cidade 
assiste regularmente televisão. Colocando-se 300 pesquisadores, sendo que cada um possa entrevistar 
10 pessoas diariamente, fazeruma estimativa de quantos desses pesquisadores informarão que até 50% 
das pessoas entrevistadas são realmente telespectadores habituais? Resp: 294 pesquisadores 
 
Siga os passos: 
 
1. Na barra de ferramentas, escolha Calc; 
2. Selecione Probability distributions; 
3. Selecione Binomial 
4. Selecione Cumulative Probability 
5. Digite 10 na caixa Number of trials 
6. Digite 0,25 na caixa Probability of success 
7. Digite 5 na caixa Input constant 
8. Selecione Ok para produzir a probabilidade 
9. Calcule o valor esperado, multiplicando a probalidade pelo número de pesquisadores. 
 
 
 
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7.5 Verificando o que você aprendeu 
 
Resolva os exercícios: 
 
EXERCÍCIO 7.3 Sabe-se que a probabilidade de um estudante que entra na Universidade se formar é 
0,3. Determine a probabilidade de que dentre 6 estudantes escolhidos aleatoriamente: 
a) Nenhum se forme; 11,765% 
b) Pelo menos 2 se formem; 57.98% 
c) A média e o desvio padrão dos que se formam. 28,1 ≅=µ 112,1 ≅=σ 
 
EXERCÍCIO 7.4 A probabilidade de uma peça ser defeituosa em uma linha de produção é de 0,05. Para 
quinze peças escolhidas aleatoriamente, determine: 
a) A probabilidade de se encontrar menos que duas peças defeituosas; 82,905% 
b) Mais que doze peças perfeitas; 96,38% 
c) Entre dez e treze peças perfeitas; 3,56% 
d) De dez a treze peças perfeitas; 17,09% 
e) Mais que três peças defeituosas; 0,55% 
 
EXERCÍCIO 7.5 Sabe-se que uma lâmpada comum tem uma probabilidade de 0,90 de durar mais de seis 
meses. Se uma pessoa instalou 20 dessas lâmpadas, determine a probabilidade dela ter que substituir: 
a) No máximo 2 lâmpadas antes de seis meses; 67,69% 
b) Mais que duas lâmpadas antes de seis meses; 32,31% 
c) De duas e quatro lâmpadas antes de seis meses; 56,39% 
d) Nenhuma lâmpada antes de seis meses; 12,16%; 
e) Para cada lote de 50 lâmpadas, qual o número médio de lâmpadas que deverão ser substituídas 
depois de seis meses de uso? 45 
 
EXERCÍCIO 7.6 Apenas 10% das empresas de exportação de matéria prima, que atuam em Minas 
Gerais, não reduziram pessoal no ano de 2002. Sorteando-se aleatoriamente quinze destas empresas, 
determine as seguintes probabilidades: 
a) Apenas duas empresas não terem reduzido seu quadro de funcionários; 26,69% 
b) Ao menos uma não ter reduzido seu quadro de funcionários; 79,41% 
c) Mais que duas empresas tenham reduzido o quadro de funcionários. 100% 
 
EXERCÍCIO 7.7 Abra o projeto: projAula7ex7.mpj. 
 
Analise os gráficos das distribuições de probabilidade quanto à simetria e calcule os respectivos valores 
esperados. Verifique a forma das distribuições de probabilidades acumuladas. 
 
B(10; 0,5) _________________ 
Média = ________ 
B(10; 0,25) _________________ 
Média = ________ 
B(10; 0,75) _________________ 
Média = ________ 
 
EXERCÍCIO 7.8 Uma prova de múltipla escolha, que vale 10 pontos, tem 50 questões e 5 alternativas por 
questão. Apenas uma das alternativas é a correta. Se um aluno resolve a prova respondendo a esmo as 
questões, qual a probabilidade de tirar nota 5? Calcule E(X) e o Desvio-padrão σ . 
Resp: 20,0
5
1p == 0)25X(P == 10)X(E = questões σ = 2,828 questões 
 
EXERCÍCIO 7.9 Abra o projeto: projAula7ex9.mpj. 
 
Analise os gráficos e calcule a média de sucessos e de falhas para cada caso. 
B(50; 0,5) _________________ 
Média de sucessos = ________ 
Média de fracassos = ________ 
B(50; 0,25) _________________ 
Média de sucessos = ________ 
Média de fracassos = ________ 
B(50; 0,75) _________________ 
Média de sucessos = ________ 
Média de fracassos = ________ 
 
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LABORATÓRIO ESTATÍSTICA – AULA 8 
** DISTRIBUIÇÃO NORMAL ** 
 
8.1. A Distribuição Normal 
 
A função densidade de probabilidade de uma variável aleatória Normal ou Gaussiana é dada por: 
 
∞<<∞−=






−
−
xxf
x
e para
2
1)(
2
2
1
σ
µ
σpi
 
 
onde: 
e = 2,71828182; 
pi = 3,14159265; 
µ = média da população; 
σ = desvio padrão da população; 
x = qualquer valor da variável aleatória. 
 
Podemos escrever resumidamente que uma variável aleatória X tem distribuição Normal com parâmetros 
µ e σ do seguinte modo: X ~ Normal(µ;σ). 
 
EXERCÍCIO 8.1 Considere a seguinte distribuição de probabilidade: 
 
∞<<∞−=






−
−
xxf
x
e para
1202
1)(
2
1202
1 550
pi
 
 
Escreva resumidamente: X ~ Normal(____; ____). 
 
 
8.2. Fazendo o gráfico da distribuição Normal Padrão 
 
Quando µ = 0 e σ =1, temos a distribuição Normal Padrão que tem a seguinte função densidade de 
probabilidade: 
 
∞<<∞−=
−
zezf z para
2
1)(
2
2
1
pi
 
 
EXERCÍCIO 8.2 Construa do gráfico da distribuição normal padrão. 
 
Siga os passos: 
 
1. Abra o Minitab; 
2. Digite z como título da coluna C1; 
3. Digite f(z) como título da coluna C2; 
4. Na linha 1 da coluna C1, digite o valor –4 e na linha 2 da mesma coluna digite o valor –3,99. Selecione 
os dois valores usando o botão esquerdo do mouse e arraste até a linha 801; 
5. Na barra de ferramentas, selecione Calc→Probability Distributions→Normal 
6. Selecione Probability density; 
7. Digite 0 na caixa Mean; 
8. Digite 1 na caixa Standart deviation; 
9. Selecione: Input column; 
10. Digite C1 na caixa Input column; 
11. Digite C2 na caixa Optional storage; 
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12. Selecione Ok; 
13. Escolha a opção Graph na barra de ferramentas; 
14. Escolha a opção Scatterplot; 
15. Escolha a opção Simple e selecione Ok; 
16. Em Y variables selecione f(z) e em X variables selecione z; 
17. Selecione Ok. 
 
8.3. Cálculo de probabilidades 
 
Considere o exemplo: 
 
EXERCÍCIO 8.3 O total de pontos obtidos no vestibular de uma universidade é uma variável aleatória 
normal com média 550 e desvio padrão 120. 
 
a) Determine a probabilidade de um candidato obter mais de 700 pontos. 
 
Siga os passos: 
 
1. Selecione Calc→Probability Distributions→Normal; 
2. Selecione: Cumulative probability; 
3. Digite 550 na caixa Mean; 
4. Digite 120 na caixa Standart deviation; 
5. Digite 700 na caixa Input Constant; 
6. Selecione Ok. 
 
Teremos o resultado: 
 
Cumulative Distribution Function 
 
Normal with mean = 550,000 and standard deviation = 120,000 
 
 x P( X <= x) 
 700,0000 0,8944 
 
Então, para calcular a probabilidade solicitada, faça na calculadora: 
 
P (X > 700) = 1 – P (X ≤ 700) = 1 – 0,8944 = 0,1056 
 
b) menos de 200 pontos; 
c) entre 200 e 700 pontos. 
 
Siga os passos: 
 
1. Digite 200 na linha 1 e 700 na linha 2 da coluna C3; 
2. Selecione Calc→Probability Distributions→Normal; 
3. Selecione Cumulative probability; 
4. Mantenha Mean: 550 e Standart deviation: 120; 
5. Selecione Input column; 
6. Digite C3 em Input column; 
7. Selecione Ok. 
 
Então, para calcular aa probabilidade solicitada, faça na calculadora: 
 
P (200 < X < 700) = P (X < 700) - (X ≤ 200) = 0,8944 - __________= 0,8926 
 
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8.4. Encontrando os valores da variável aleatória X correspondentes a 
probabilidades acumuladas conhecidas 
 
EXERCÍCIO 8.4 O total de pontos obtidos no vestibular de uma universidade é uma variável aleatória 
normal com média 550 e desvio padrão 120. 
 
a) Determine a pontuação acima da qual encontram-se os 5% melhores candidatos (percentil 95). 
 
0,050,95
 
 550 748,38 
 
Teremos o resultado: 
Inverse Cumulative Distribution Function 
 
Normal with mean = 550,000 and standard deviation = 120,000 
 
 P( X <= x) x 
 0,9500 747,3824 
 
b) Determineuma faixa de pontuação, simétrica em torno da média, que contenha aproximadamente 
85% dos candidatos. Resp.: 377,26 pts a 722,74 pts 
 
8.5. Verificando o que você aprendeu 
 
Resolva os exercícios 
 
EXERCÍCIO 8.5 Abra o projeto projAula8ex5.mpj 
 
a) Compare o gráfico da distribuição Normal Padrão com o gráfico das outras distribuições 
Normais; 
b) Usando os valores de x (coluna C1) do projeto, calcule f(x) de uma Normal(1; 2) e guarde os 
resultados na coluna C6. Nomeie a coluna C6 como ‘f(x) Normal(1; 2)’; 
c) Acrescente o gráfico da distribuição N(1; 2) no mesmo gráfico seguindo os seguintes passos: 
 
1. Selecione Graph → Scatterplot → Simple → Ok; 
2. Complete o quadro: 
 Y variables X variables 
1 ´f(x) N(0;1)´ x 
2 ´f(x) N(0;0,5)´ x 
3 ´f(x) N(0;2)´ x 
4 ´f(x) N(-2;1)´ x 
5 ´f(x) N(1;2)´ x 
 
3. Verifique se em Multiple Graphs está selecionada a opção Overlaid on the same graph; 
4. Selecione Ok. 
 
EXERCÍCIO 8.6 Uma clínica de emagrecimento recebe pacientes adultos com peso seguindo uma 
distribuição normal com média 130 kg e desvio padrão 20 kg. Para efeito de determinar o tratamento 
mais adequado, os 25% pacientes de menor peso são classificados de “magros”, enquanto os 25% de 
maior peso de “obesos”. Determine os valores que delimitam cada uma dessas classificações. 
Resp.: magros: 116,51 kg; obesos: 143,49 kg 
 
x 
1. Selecione Calc→Probability Distributions→Normal; 
2. Selecione Inverse cumulative probability; 
3. Mantenha: Mean: 550 e Standart deviation: 120; 
4. Digite 0,95 em Input Constant; 
5. Selecione Ok. 
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EXERCÍCIO 8.7 Um teste de aptidão feito pelos pilotos de aeronaves em treinamento inicial requer que 
uma série de operações seja realizada em uma rápida sucessão. Suponha que o tempo necessário para 
completar o teste seja distribuído normalmente com média de 90 minutos e desvio padrão 20 minutos. 
 
a) Para passar no teste, o candidato deve completá-lo em menos de 80 minutos. Considerando 65 
candidatos, quantos são esperados passar? 
b) Se os 5% melhores candidatos serão alocados em aeronaves maiores, em no máximo quantos 
minutos um candidato deve concluir o teste de aptidão para obter esta posição. 
 Resp.: a) 20 candidatos b) 57,10 minutos 
 
EXERCÍCIO 8.8 (Barbetta, 2001, p.156) Suponha que numa universidade, a altura dos estudantes do 
sexo masculino tenha distribuição normal com µ=170 cm e σ=10 cm. Calcule: 
 
a) P(X>190); 
b) P(150<X<190); 
c) P(X<160); 
d) A percentagem esperada de estudantes com altura entre 150 e 190 cm. 
Resp.: a) 0,0228 b) 0,9545 c) 0,1587 d) 95,45% 
 
EXERCÍCIO 8.9 (Barbetta, 2001, p.165) Calculou-se em 70 minutos o tempo médio para o vestibular de 
uma universidade, com variância de 144 minutos2. Quanto deve ser a duração da prova, de modo a 
permitir tempo suficiente para que 90% dos vestibulandos terminem a prova? Admita distribuição normal 
para o tempo de duração da prova. Resp.: 85,38 minutos 
 
EXERCÍCIO 8.10 Em um processo industrial, as peças com mais de 22 kg ou menos de 18 kg são 
consideradas defeituosas. O processo atual produz 30% de peças defeituosas. Foi proposta a troca por 
um processo em que o peso das peças tem distribuição Normal com média 21 kg e desvio padrão 0,9 kg. 
Qual a proporção de peças defeituosas produzidas pelo novo processo? Deve ser feita a troca? 
Resp.: 13,37% Sim 
 
A distribuição Normal como aproximação das distribuições discretas 
 
EXERCÍCIO 8.11 (Freund & Simon, cap. 9, pág. 176) 
 
a) Com o auxílio da distribuição normal, obtenha uma aproximação da probabilidade de que, no 
máximo 12 de 50 pacientes venham a ter dor de cabeça em conseqüência da ingestão de um 
certo remédio, se a probabilidade de um tal evento é igual a 0,22 (não esqueça da correção de 
continuidade). 
b) Calcule a probabilidade pedida no item (a) usando o modelo binomial e determine o erro 
percentual da aproximação. 
Resp.: a) 0,6957 b)0,7037 erro = 1,14% 
 
EXERCÍCIO 8.12 Um estudo do Sindicato dos Bancários indica que cerca de 30% dos funcionários de 
banco têm problemas de estresse provenientes das condições de trabalho. Numa amostra de 200 
bancários, qual é a probabilidade de pelo menos 50 com essa doença? (calcule aproximando pela 
normal). Resp.: 0,9474 
 
EXERCÍCIO 8.13 Barbetta, 2001, p.165) Numa amostra aleatória de 3000 eleitores, qual a probabilidade 
de a maioria se declarar favorável a um certo candidato, se na população existem 52% de favoráveis a 
este candidato? (aproxime pela normal) Resp.: 0,9852 
 
EXERCÍCIO 8.14 (Freund & Simon, cap.9, pag. 76) Uma companhia aérea sabe que o número de malas 
que ela perde semanalmente em certa rota é uma variável aleatória que tem distribuição 
aproximadamente Normal com média 26,2 e desvio padrão 5,8. Determine as probabilidades de que, em 
uma semana, a companhia aérea perca nesta rota: 
a) exatamente 22 malas; 
b) no máximo 22 malas; 
c) no mínimo 22 malas. Resp.: a) 0,0529 b) 0,2618 c) 0,7911 
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LABORATÓRIO DE ESTATÍSTICA – AULA 9 
** Inferência sobre a média e a proporção populacional ** 
** (Estimativa por intervalo) ** 
 
 
9.1 Estimativa por intervalo da média populacional µµµµ, quando o desvio padrão 
populacional σσσσ é conhecido. 
/ 2
/ 2
, onde: é o erro padrão da média;
é a margem de erro.
n
n
x z
n
z
α
α
σ σ
σ
±
 
 
9.1.1 Construindo o intervalo a partir dos dados amostrais 
 
EXERCÍCIO 9.1 Um investidor planeja abrir uma agência de viagens e deseja estimar o faturamento 
médio mensal em dólares. Suponha que os faturamentos mensais de uma agência de viagens, do porte 
que o investidor pretende abrir, se distribuam normalmente com um desvio padrão σ = US$130. Durante 
nove meses, o investidor anotou o faturamento líquido mensal de uma agência de viagem do mesmo 
porte. Os dados estão digitados no arquivo aula9ex1.mtw. 
 
 3810 3690 3350 3400 3320 3250 3430 3600 3670 
 
a) Qual é o parâmetro que o investidor deseja estimar? 
___________________________________________________________________ 
 
b) Qual é o tamanho da amostra? _________ 
 
c) Construa e interprete um intervalo de 95% de confiança para o faturamento médio mensal de uma 
agência de viagem desse porte. 
 
1. Selecione Stat →→→→ Basic Statistics →→→→ 1-Sample Z; 
2. Para o quadro: Samples in columns, selecione C1 (Faturamento); 
3. Preencha o quadro com o valor de sigma Standard deviation: 130; 
4. Selecione Options → Preencha o quadro com o nível de confiança Confidence level: 95,0 e 
selecione Alternative: not equal; 
5. Ok →→→→ Ok. 
 
Obtemos o resultado: 
One-sample Z: Faturamento 
The assumed standard deviation = 130 
 
Variable N Mean StDev SE Mean 95,0 % CI 
 C1 9 3502,22 194,73 43,33 ( 3417,29; 3587,15) 
 
Interpretação do intervalo: O investidor pode afirmar com 95% de confiança que o faturamento médio 
mensal de uma agência de viagens desse porte está entre 3417,29 e 3587,15 dólares. 
 
d) Com base nessa amostra, qual é a estimativa pontual do faturamento médio mensal de uma 
agência de viagem desse porte? ____________dólares 
 
e) Qual é o erro padrão da média? __________ dólares 
 
f) Com base no intervalo de confiança calculado, qual é a margem de erro? ________dólares 
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9.1.2 Construindo o intervalo a partir da síntese numérica dos dados amostrais 
 
EXERCÍCIO 9.2 (Larson & Farber, cap. 6, pág.214). O diretor do comitê de admissão de uma 
universidade deseja estimar a idade média de todos os estudantes aprovados no momento. Em uma 
amostra aleatória de 20 estudantes,a idade média encontrada foi de 22,9 anos. A partir de estudos 
passados, sabe-se que o desvio padrão é de 1,5 ano e que a população está normalmente distribuída. 
 
a) Qual é o parâmetro que o diretor do comitê de admissão de uma universidade deseja estimar? 
___________________________________________________ 
 
b) Qual é o tamanho da amostra? _________ 
 
c) Construa um intervalo de 90% de confiança para a idade média da população. 
 
1. Selecione Stat →→→→ Basic Statistics →→→→ 1-Sample Z; 
2. Selecione Summarized data; 
3. Preencha o quadro com o valor do tamanho da amostra Sample size: 20; 
4. Preencha o quadro com o valor da média da amostra Mean: 22,9; 
5. Preencha o quadro com o valor do desvio padrão populacional Standard deviation: 1,5; 
6. Selecione Options → Preencha o quadro com o nível de confiança Confidence level: 90,0 e 
selecione Alternative: not equal; 
7. Ok →→→→ Ok. 
 
Obtemos o resultado: 
One-sample Z 
The assumed standard deviation = 1,5 
N Mean SE Mean 90% CI 
20 22,9 0,3354 (22,3483; 23,4517) 
 
d) Com base nessa amostra, qual é a estimativa pontual da idade média dos estudantes aprovados? 
____________anos 
 
e) Qual é o erro padrão da média? __________ anos 
 
f) Com base no intervalo de confiança calculado, qual é a margem de erro? ________anos 
 
 
 
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9.2 Estimativa por intervalo da média populacional µµµµ, quando o desvio padrão 
populacional σσσσ é desconhecido. 
 
/ 2
/ 2
, onde: é o erro padrão estimado da média;
é a margem de erro.
n
n
s s
x t
n
s
t
α
α
±
 
 
9.2.1 Construindo o intervalo a partir dos dados amostrais 
 
EXERCÍCIO 9.3 O tempo médio necessário para os operários completarem determinada montagem tem 
sido igual a 55 minutos. Suponha que a distribuição do tempo de execução da montagem tenha 
distribuição normal. Para avaliar se atualmente o tempo médio de execução da montagem continua 
sendo igual a 55 minutos, o supervisor decide registrar, em um determinado dia, os tempos de execução 
para uma amostra de 16 operários, obtendo os resultados abaixo que estão digitados no arquivo 
aula9ex3.mtw. 
 
63,9 77,3 61,2 62,2 58,5 58,5 53,8 61,6 
57,9 53,2 56,4 62,2 57,3 63,1 70,3 67,6 
 
a) Qual é o parâmetro que o supervisor deseja estimar? 
 _____________________________________________________________________ 
 
b) Qual é o tamanho da amostra? _________ 
 
c) Construa um intervalo de 95% de confiança para o tempo médio de execução da montagem. 
 
1. Selecione Stat →→→→ Basic Statistics →→→→ 1-Sample t 
2. Para o quadro: Samples in columns, selecione C1 (Tempo) 
3. Selecione Options → Preencha o quadro com o nível de confiança Confidence level: 95,0 e 
selecione Alternative: not equal 
4. Ok →→→→ Ok. 
 
Obtemos o resultado: 
One-sample T: Tempo 
Variable N Mean StDev SE Mean 95,0 % CI 
C2 16 61,5625 6,1990 1,5498 (58,2593; 64,8657) 
 
d) Com base nessa amostra, qual é a estimativa pontual do tempo médio de execução da 
montagem atualmente? ____________minutos 
 
e) Qual é o erro padrão estimado da média? __________ minutos 
 
f) Com base no intervalo de confiança calculado, qual é a margem de erro? ________minutos 
 
g) Com base no intervalo de confiança calculado, o tempo médio de execução da montagem 
continua sendo igual a 55 minutos? Justifique a sua resposta. 
______________________________________________________________________________
______________________________________________________ 
 
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9.2.2 Construindo o intervalo a partir da síntese numérica dos dados amostrais 
 
EXERCÍCIO 9.4 Em uma pesquisa de orçamento familiar desenvolvida pelo Instituto ZX no período t, 
solicitou-se a 16 domicílios de certa região que anotassem suas despesas com alimentação durante uma 
semana. O resultado foi uma despesa média de R$330,00 com um desvio padrão de R$40,00. 
 
a) Construa um intervalo com 98% de confiança para a verdadeira despesa média com alimentação 
por domicílio de toda a região. (Suponha que a população tenha uma distribuição 
aproximadamente normal). 
 
1. Selecione Stat →→→→ Basic Statistics →→→→ 1-Sample t; 
2. Selecione Summarized data; 
3. Preencha o quadro com o valor do tamanho da amostra Sample size: 16; 
4. Preencha o quadro com o valor da média da amostra Mean: 330; 
5. Preencha o quadro com o valor do desvio padrão da amostra Standard deviation: 40; 
6. Selecione Options → Preencha o quadro com o nível de confiança Confidence level: 98,0 e 
selecione Alternative: not equal; 
7. Ok →→→→ Ok. 
 
 Obtemos o resultado: 
One-sample T 
 N Mean StDev SE Mean 98% CI 
16 330,00 40,00 10,00 (303,975; 356,025) 
 
b) Interprete o intervalo de confiança. 
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________ 
 
 
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9.3 Estimativa por intervalo da proporção populacional p, baseado na distribuição 
normal 
 
/ 2
/ 2
ˆ ˆ ˆ ˆ(1 ) (1 )
ˆ , onde: é o erro padrão da proporção;
ˆ ˆ(1 ) é a margem de erro.
p p p pp z
n n
p p
z
n
α
α
− −±
−
 
 
 
9.3.1 Construindo o intervalo a partir dos dados amostrais 
 
EXERCÍCIO 9.5 (Magalhães & Lima, cap. 7, pág.240) Uma amostra de 30 dias do número de ocorrências 
policiais em certo bairro de Belo Horizonte, apresentou os resultados abaixo que estão digitados no 
arquivo aula9ex5.mtw. 
 
7 11 8 9 10 14 6 8 8 7 8 10 10 14 12 
14 12 9 11 13 13 8 6 8 13 10 14 5 14 10 
 
a) Definindo dia violento como dia com pelo menos 12 ocorrências policiais, crie a variável “Dia 
violento” na coluna C2 com as categorias “Sim” e “Não”. 
 
1. Selecione Data → Code → Numeric to Text → Ok; 
2. Complete: Code data from columns: C1 
 Into columns: C2 
Original Values New 
0:11 Não 
12:14 Sim 
3. Ok. 
 
b) Construa um intervalo de 88% de confiança para a proporção de dias violentos nesse bairro. 
 
1. Selecione Stat →→→→ Basic Statistics →→→→ 1-Proportion; 
2. Para o quadro: Samples in columns, selecione C2 (Dia violento); 
3. Selecione Options, preencha Confidence level: 88 e escolha Alternative: not equal; 
4. Assinale: Use test and interval based on normal distribution; 
5. Ok. 
 
Temos o resultado: 
Variable X N Sample p 88% CI 
Dia violento 10 30 0,333333 (0,199520; 0,467147) 
 
c) Quais são as suposições necessárias para a construção do intervalo de confiança do item b? 
__________________________________________________________________ 
 
d) Em um ano (360 dias) e com a mesma confiança de 88%, qual seria a estimativa do número de 
dias violentos nesse bairro? ________________________________ 
 
 
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9.3.2 Construindo o intervalo a partir da síntese numérica dos dados amostrais 
 
EXERCÍCIO 9.6 Em um levantamento, solicitou-se a 200 pessoas que identificassem sua maior fonte de 
informação; 110 delas afirmaram que suas maiores fontes eram as notícias de televisão. 
 
a) Construa um intervalo de confiança de 94% para a proporção de pessoas na população que 
consideram a televisão sua maior fonte de informação. 
 
1. Selecione Stat →→→→ Basic Statistics →→→→ 1-Proportion; 
2. Selecione Summarized data; 
3. Complete: Number of trials: 200 Number of events: 110; 
4. Selecione Options, preencha Confidence level: 94 e selecione em Alternative: not equal; 
5. Assinale: Use test and interval based on normal distribution; 
6. Ok.Temos o resultado: 
Sample X N Sample p 94,0 % CI 
1 110 200 0,55 (0,483837; 0,616163 
 
a) Qual é a estimativa pontual da proporção de pessoas que identificam as notícias de televisão como 
sua maior fonte de informação? _________ 
 
b) Com base no intervalo de confiança calculado, qual é a margem de erro? _____________ 
 
c) Construa um intervalo de confiança de 99% para a proporção de pessoas na população que 
consideram a televisão sua maior fonte de informação. ________________________________ 
 
d) Compare as margens de erro dos intervalos calculados. 
_____________________________________________________________________ 
 
 
9.4 Verificando o que você aprendeu 
 
Resolva os exercícios 
 
EXERCÍCIO 9.7 (Magalhães & Lima, cap 7, pág. 239) O consumo de combustível é uma variável 
aleatória com parâmetros dependendo do tipo de veículo. Suponha que, para certo automóvel, o desvio 
padrão do consumo seja conhecido e igual a 2 km/l, porém precisamos informações sobre o consumo 
médio. Para tal, foi observado o consumo para uma amostra de 40 automóveis desse modelo e 
encontrado um consumo médio de 9,3 km/l. 
 
a) Escreva com palavras o parâmetro que está sendo estimado. 
b) Com base na amostra, qual é a estimativa do parâmetro? 
c) Construa e interprete um intervalo de 94% de confiança para o parâmetro. 
 
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EXERCÍCIO 9.8 Para saber a situação do trabalhador em relação ao vale transporte, foi feita uma 
pesquisa com 500 trabalhadores da região metropolitana de Belo Horizonte. Os dados coletados estão 
digitados no arquivo aula9ex8.mtw. 
 
a) Sintetize os dados da pesquisa e complete a seguinte tabela: 
 
Vale transporte Quantidade Porcentagem 
 
 
 
 
 
b) Determine e interprete um intervalo de 95% de confiança para a proporção de trabalhadores da 
região metropolitana de Belo Horizonte que não recebem vale transporte. 
c) Determine um intervalo de 95% de confiança para a proporção de trabalhadores da região 
metropolitana de Belo Horizonte que recebem vale transporte em cartão. 
d) Complete o quadro: 
 
Vale transporte Estimativa Margem de erro 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 9.9 Usando os dados do exemplo 9.5 que estão no arquivo aula9ex5.mtw, 
 
a) Estime o número médio de ocorrências policiais por dia. 
b) Construa e interprete um intervalo de 90% de confiança para o número médio de ocorrências 
policiais por dia. 
 
 
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9.5 Distribuição Amostral da Média 
 
Esta tarefa tem o objetivo de fixar os conceitos envolvidos em um problema de estimação da média 
quando uma Amostra Aleatória Simples é utilizada. Para cada item, recomendamos que você associe o 
que se pede com os conceitos desenvolvidos na parte teórica da disciplina. Compare os resultados de 
cada item após a resolução de todos eles e medite sobre as relações envolvendo os conceitos 
subjacentes a cada item. 
 
EXERCÍCIO 9.8 - Simular uma distribuição amaostral para a média de uma amostra 
 
1ª parte: Considere uma população fictícia de uma turma de 10 alunos de um curso de Laboratório de 
Estatística. Seja Yi o número de acessos de cada aluno à Internet em uma aula em que a 
Internet foi disponibilizada. 
 
 
Abra o arquivo aula9ex8.mtw. Na coluna C1, está digitado o número de acessos de cada aluno da 
turma. 
 
C1 
Nº de acessos 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
 
a) Construa um histograma para esta variável. Qual e a forma deste histograma? 
b) Calcule as estatísticas descritivas deste conjunto de dados. Complete: o número de acessos à Internet 
variou de ________ a _________ acessos, com média de __________ acessos, variância de 
_____________ (acessos)2 e desvio padrão de _________ acessos. 
 
Ordem Cadastral População População Matriz
1 ARI (Y1) y1 = 1
2 BIA (Y2) y2 = 2
3 CID (Y3) y3 = 3
4 DIC (Y4) y4 = 4
5 EMA (Y5) y5 = 5
6 FIO (Y6) y6 = 6
7 GIL (Y7) y7 = 7
8 ILO (Y8) y8 = 8
9 LEO (Y9) y9 = 9
10 MIN (Y10) y10 = 10
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2ª parte: Vamos agora estudar a distribuição das médias de acesso. Dentro deste conceito, vamos 
considerar todas as possíveis amostras (sem reposição) de tamanho 2 para a população do 
número de acessos à Internet. Calculando 210C temos um total de 45 amostras. As possíveis 
amostras de tamanho 2 são: 
 
1a 
seleção 
2a 
seleção 
 
1a 
seleção 
2a 
seleção 
 
1a 
seleção 
2a 
seleção 
1 2 2 9 5 6 
1 3 2 10 5 7 
1 4 3 4 5 8 
1 5 3 5 5 9 
1 6 3 6 5 10 
1 7 3 7 6 7 
1 8 3 8 6 8 
1 9 3 9 6 9 
1 10 3 10 6 10 
2 3 4 5 7 8 
2 4 4 6 7 9 
2 5 4 7 7 10 
2 6 4 8 8 9 
2 7 4 9 8 10 
2 8 4 10 9 10 
 
Nas colunas C2 e C3, estão digitados os pares amostrais da quantidade de acesso. 
 
a) Calcule na coluna C4 a média de acesso dos pares selecionados, ou seja, a média de cada amostra 
de tamanho 2. 
 
1. Selecione Calc → Calculator; 
2. Selecione a coluna C4 para o quadro Store result in variable; 
3. Digite a expressão (C2+C3)/2 no quadro Expression; 
4. Ok. 
 
b) Nomeie a coluna C4 como “Média”. Construa um histograma para esta variável. Qual e a forma deste 
histograma? Compare com o histograma obtido no item a da 1ª parte do exemplo. 
 
c) Calcule as estatísticas descritivas para este conjunto de dados. Complete: A variável média assumiu 
valores de _______ a ________ acessos, com média igual a ________ acessos, variância 
__________ (acessos)2 e desvio padrão ________ acessos. 
 
d) Compare com as estatísticas descritivas obtidas no item b da 1ª parte do exemplo. Que conclusões 
você pode tirar desta análise? 
 
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9.6 Interpretação de Intervalos de Confiança 
 
Para esclarecer o significado do termo confiança, vamos gerar 20 amostras de tamanho 25 de uma 
distribuição Normal com média 5 e desvio padrão 3, determinar os 20 intervalos de 95% de confiança 
para a média populacional e contar quantos intervalos contém a média populacional que é igual a 5. 
i) Geramos 500 valores de uma normal com média 5 e desvio padrão 3: 
Calc →→→→ Random data →→→→ Normal 
Generate 500 rows of data 
Store in column C1 
Mean 5 St. dev. 3 
Ok 
ii) Vamos criar uma coluna C2, com o objetivo de identificar cada amostra, ou seja, os primeiros 25 
valores em C1 correspondem à amostra nº 1; os 25 seguintes à amostra nº 2, os 25 seguintes à 
amostra nº 3, ..., os 25 últimos valores em C1 à amostra nº 20. Assim C2 deve ter 25 valores iguais a 
1, 25 valores iguais a 2, ..., 25 valores iguais a 20. Em primeiro lugar, é necessário clicar em 
Window, em seguida clicar em Editor e selecionar Enable Commands. Em seguida, digite: 
 
MTB> set c2 enter 
DATA> (1:20)25 enter 
DATA> end enter 
iii) Nomeie a coluna C2 como Amostra. 
iv) Selecione Graph →→→→ Interval Plot →→→→ One Y →→→→ With groups →→→→ Ok →→→→ selecione C1 para Graph 
Variables e C2 para Categorical Variables for Grouping →→→→ selecione Scale →→→→ Reference Lines 
→→→→ em Show reference lines at Y (value scale) positions digite o valor da média 5 →→→→ Ok (duas 
vezes). 
 
 
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LABORATÓRIO DE ESTATÍSTICA – AULA 10 
 ** Inferência sobre a média e a proporção populacional ** 
** Teste de Hipóteses ** 
 
10.1 Teste de hipóteses para a média populacional µµµµ quando o desvio 
populacional σσσσ é conhecido 
 
As etapas para fazer um teste de hipóteses são: 
1. Escreva as hipóteses nula e alternativa: 
0 0: : ?aH Hµ µ= 
2. Especifique o nível de significância: 
 ?α = 
3. Calcule o valor observado da estatística do teste: 
 
0 onde X
X
x
z
n
µ σ
σ
σ
−
= =4. Obtenha o valor p 
4.1 Se 0:aH µ µ< (teste unilateral esquerdo) 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.2 Se 0:aH µ µ> (teste unilateral direito) 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.3 Se 0:aH µ µ≠ (teste bilateral) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Utilize o seguinte critério de decisão: 
 O valor p é menor que o nível de significância do teste? 
 
 Sim Não 
 
 Rejeitar 0H Não rejeitar 0H 
6. Interprete a decisão de acordo com o contexto. 
-3 
-2 -1 0 1 2 3 
z z 
O valor p é a área 
à esquerda de z 
-3 
-2 -1 0 1 2 3 z z 
O valor p é a área 
à direita de z 
-3 
 
-2 -1 0 1 2 3 -z z 
O valor p é o dobro da 
área à esquerda do valor 
negativo de z. 
O valor p é o dobro da 
área à direita do valor 
positivo de z. 
Se o valor de z < 0 Se o valor de z > 0 
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10.1.1 Testando hipóteses a partir dos dados amostrais 
 
EXERCÍCIO 10.1 (Adaptado do Provão-ECO-2002) Uma rede de postos de gasolina afirma que, em seus 
estabelecimentos, não se vende gasolina adulterada. Sabe-se que, de acordo com os padrões de 
qualidade, a gasolina não pode conter mais que 240 ml de álcool por litro. Um órgão de fiscalização 
colheu 25 medições da quantidade de álcool na gasolina em ml/l nos postos dessa rede. A amostra se 
encontra abaixo. Admita que a quantidade de álcool presente na gasolina tem uma distribuição normal 
com desvio padrão de 2,5 ml/litro. Os dados estão digitados no arquivo aula10ex1.mtw. 
 
243 239 242 237 239 239 245 241 243 
240 244 239 239 240 245 240 242 245 
240 242 244 241 244 240 238 
 
a) Qual o desvio padrão da população? ________ ml/litro. 
 
b) Qual o tamanho da amostra? _______ medições. 
 
c) Construa e interprete um intervalo de 95% de confiança para a quantidade média de álcool 
presente na gasolina nos postos dessa rede. 
______________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________ 
 
d) Qual é a estimativa pontual da quantidade média de álcool presente na gasolina dos postos da 
rede? ________________ ml/litro 
 
e) Com base no intervalo de confiança calculado, qual é o erro máximo cometido na estimação da 
verdadeira quantidade média de álcool presente na gasolina dos postos da rede? ____________ 
ml/litro 
 
f) Analise, com um nível de significância de 5%, se a gasolina é ou não adulterada. 
 
f1) Qual é o parâmetro que está sendo testado? 
______________________________________________________________ 
 
f2) Enuncie as hipóteses (escreva as formulações verbal e matemática). 
 
Formulação verbal de H0: ___________________________________________ 
Formulação matemática de H0: _______ _________ 
 
Formulação verbal de Ha: __________________________________________ 
Formulação matemática de Ha: _______ _________ 
 
f3) Faça o teste estatístico seguindo os passos: 
 
1. Selecione Stat > Basic Statistics > 1-Sample Z 
2. Selecione C1 (Quant_álcool) para o quadro: Samples in columns: C1 
3. Preencha o quadro com o valor de sigma Standard deviation: 2,5 
4. Preencha o quadro com o valor da hipótese nula Test mean: 240 
5. Selecione Options → (selecione a opção de acordo com sua hipótese alternativa) 
Alternative(1): greater than 
6. Ok. 
 
(1)
 Alternative: greater than, quando Ha: µ > µ0 (teste unilateral direito); 
 Alternative: less than, quando Ha: µ < µ0 (teste unilateral esquerdo); 
 Alternative: not equal, quando Ha: µ ≠ µ0 (teste bilateral). 
 
 
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Obtemos o resultado: 
One-sample Z: Quant_álcool 
Test of mu = 240 vs > 240 
The assumed Standard deviation = 2,5 
 
Variable N Mean StDev SE Mean Z P 
 C1 25 241,24 2,368 0,500 2,48 0,007 
 
f4) Qual é o erro padrão da média? _______________ ml álcool/l gasolina. 
 
f5) Qual o valor observado da estatística do teste? ___________ 
 
f6) Qual o valor p? ________________ 
 
f7) Qual é o nível de significância especificado no exemplo? ____________ 
 
f8) Compare o valor p com o nível de significância e marque a opção verdadeira: 
__H0 é rejeitada; 
__H0 não é rejeitada. 
 
f9) Conclua de acordo com o contexto. 
 
Conclusão: A hipótese nula é rejeitada ao nível de 5% de significância, ou seja, o órgão de 
fiscalização pode concluir que os postos de gasolina desta rede vendem gasolina adulterada. 
A chance de errar ao afirmar que a gasolina é adulterada, com base na amostra observada, é 
de 0,7% . 
 
10.1.2 Testando hipóteses a partir da síntese numérica dos dados amostrais 
 
EXERCÍCIO 10.2 Um fabricante de lâmpadas garante que a vida média de um determinado tipo de 
lâmpada é de pelo menos 750 horas. Se uma amostra ao acaso com 26 lâmpadas tiver uma vida média 
de 745 horas, você tem evidência suficiente para rejeitar a alegação do fabricante? Use α = 0,02. 
Suponha que o desvio padrão da população seja conhecido (por experiências passadas) e igual a 60 
horas. 
 
a) Qual é o parâmetro que está sendo testado? 
_________________________________________________________________ 
 
b) Enuncie as hipóteses (escreva as formulações verbal e matemática). 
 
Formulação verbal de H0:_________________________________________ 
Formulação matemática de H0: _______ _________ 
 
Formulação verbal de Ha: ________________________________________ 
Formulação matemática de Ha: _______ _________ 
 
c) Qual o desvio padrão da população? ________ horas. 
 
d) Faça o teste estatístico seguindo os passos: 
 
1. Selecione Stat > Basic Statistics > 1-Sample Z 
2. Selecione Summarized data 
3. Preencha o quadro com o valor do tamanho da amostra Sample size: 26 
4. Preencha o quadro com o valor da média da amostra Mean: 745 
5. Preencha o quadro com o valor de sigma Standard deviation: 60 
6. Preencha o quadro com o valor da hipótese nula Test mean: 750 
7. Selecione Options > Alternative: selecione: less than 
8. Ok. 
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Obtemos o resultado: 
One-sample Z 
Test of mu = 750 vs < 750 
The assumed Standard deviation = 60 
 
 N Mean SE Mean Z P 
 26 745 11,767 -0,42 0,335 
 
e) Qual é o erro padrão da média? _______________ horas. 
 
f) Qual o valor observado da estatística do teste? ___________ 
 
g) Qual o valor p? ________________. 
 
h) Qual o nível de significância fornecido no exercício? _________ 
 
i) Compare o valor p com o nível de significância e marque a opção verdadeira: 
__ H0 é rejeitada; 
__ H0 não é rejeitada. 
 
j) Conclua de acordo com o contexto. 
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________ 
 
10.2 Teste de Hipóteses para a média populacional µµµµ, quando o desvio padrão 
populacional σσσσ não é conhecido. 
 
Considere a hipótese nula: 0 0:H µ µ= . A estatística do teste passa a ser: 
 
0
ˆonde 
ˆ
X
X
x s
t
n
µ
σ
σ
−
= = 
 
10.2.1 Testando hipóteses a partir dos dados amostrais 
 
EXERCÍCIO 10.3 Um produto alimentar é preparado para o consumo em latas, que comportam um peso 
médio líquido de 1 Kg. O enchimento das latas é automático e o produtor deseja saber se as máquinas 
estão trabalhando regularmente (controle de qualidade). Para isso, examina uma amostra de 6 latas e 
encontra os seguintes pesos líquidos; 0,999, 0,999, 1,000; 1,011; 1,009; e 0,995 Kg. Qual a conclusãoem relação ao trabalho das máquinas ao nível α = 0,01? Considere que o peso líquido tem distribuição 
normal. 
 
a) Qual é o tamanho da amostra? ________ latas 
 
b) Com 99% de confiança, o peso médio líquido das latas está entre _______ e ______ kg. 
 
c) Enuncie as hipóteses (escreva as formulações verbal e matemática). 
 
Formulação verbal de H0:_________________________________________ 
Formulação matemática de H0: _______ _________ 
 
Formulação verbal de Ha: ________________________________________ 
Formulação matemática de Ha: _______ _________ 
 
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Faça o teste estatístico seguindo os passos: 
 
1. Digite os dados da amostra em uma coluna vazia; 
2. Escreva o nome da coluna no local apropriado: ´Peso líquido`; 
3. Selecione Stat > Basic Statistics > 1-Sample t 
4. Selecione a coluna ´Peso líquido` para o quadro: Samples in columns 
5. Preencha o quadro com o valor da hipótese nula Test mean: 1 
6. Selecione Options > Alternative: not equal 
7. Ok 
 
 Temos o resultado: 
One-sample T: Tempo 
Test of mu = 1 vs mu not = 1 
 
Variable N Mean StDev SE Mean 99% CI T P 
 C2 6 1,00217 0,00634 0,00259 (0,99173; 1,01260) 0,84 0,441 
 
e) Qual é o erro padrão da média? _______________ kg. 
 
f) Qual o valor observado da estatística do teste? ___________ 
 
g) Qual o valor p? ________________. 
 
h) Interprete o valor p. 
 __________________________________________________________________ 
 __________________________________________________________________ 
 
i) Qual o nível de significância fornecido no exercício? _________ 
 
j) Compare o valor p com o nível de significância e marque a opção verdadeira: 
__ H0 é rejeitada; 
__ H0 não é rejeitada. 
 
k) Conclua de acordo com o contexto. 
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________ 
 
 
10.2.2 Testando hipóteses a partir da síntese numérica dos dados amostrais 
 
EXERCÍCIO 10.4 (Larson & Farber, cap. 7, pág. 273) Um agente de seguros afirma que o custo médio 
para segurar um Ford F-150 Super Cab 1999 é de pelo menos 875 dólares. Uma amostra aleatória de 9 
seguros similares tem custo médio de 825 dólares e desvio padrão de 62 dólares. Há evidência suficiente 
para rejeitar a alegação do vendedor ao nível α = 0,01. Suponha que a população esteja normalmente 
distribuída. 
 
a) Escreva o parâmetro que está sendo estimado. 
 ____________________________________________________________________ 
 
b) Estabeleça as hipóteses nula e alternativa. 
Formulação verbal de H0:_________________________________________ 
Formulação matemática de H0: _______ _________ 
 
Formulação verbal de Ha: ________________________________________ 
Formulação matemática de Ha: _______ _________ 
 
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Faça o teste estatístico seguindo os passos: 
 
1. Selecione Stat > Basic Statistics > 1-Sample t 
2. Selecione Summarized data 
3. Preencha o quadro com o valor do tamanho da amostra Sample size: 9 
4. Preencha o quadro com o valor da média da amostra Mean: 825 
5. Preencha o quadro com o valor do desvio padrão da amostra Standard deviation: 62 
6. Preencha o quadro com o valor da hipótese nula Test mean: 875 
7. Selecione Options > Alternative: selecione: less than 
8. Ok. 
 
Obtemos o resultado: 
 One-sample T 
 Test of mu = 875 vs < 875 
 
 N Mean StDev SE Mean Z P 
 9 825,000 62,000 20,667 -2,42 0,021 
 
d) Qual é o valor observado da estatística do teste? _________ 
 
e) Interprete o valor p. 
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________ 
 
f) Conclua de acordo com o contexto. 
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________ 
 
g) Qual é a estimativa do custo médio do seguro? _________ dólares 
 
h) Construa e interprete um intervalo de 98% de confiança para o custo médio do seguro. 
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________ 
 
 
10.3 Teste de Hipóteses para a para a proporção populacional p, baseado na 
distribuição normal (dados sumarizados) 
 
 
Considere a hipótese nula: 0 0:H p p= . A estatística do teste passa a ser: 
 
0
ˆ
ˆ
ˆ (1 )
ˆonde o op
p
p p p p
z
n
σ
σ
− −
= = 
 
 
10.3.1 Testando hipóteses a partir dos dados amostrais 
 
EXERCÍCIO 10.5 (Bhattacharyya & Johnson, cap. 8, pág. 280) Uma indústria deseja avaliar se o 
detergente líquido neutro e o limão são igualmente preferidos pelos consumidores. A preferência de 250 
consumidores foi levantada e se encontra digitada no arquivo aula10ex5.mtw. 
 
a) Ao nível de 5% de significância, os dados amostrais indicam que existe diferença entre a 
preferência dos dois tipos de detergente líquido? 
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a1) Estabeleça as hipóteses nula e alternativa. 
Formulação verbal de H0:_________________________________________ 
Formulação matemática de H0: _______ _________ 
 
Formulação verbal de Ha: ________________________________________ 
Formulação matemática de Ha: _______ _________ 
 
 a2) Faça o teste seguindo os seguintes passos: 
 
1. Selecione Stat > Basic Statistics > 1-Proportion 
2. Selecione C1 (Preferência) para o quadro: Samples in columns 
3. Selecione Options > escreva a hipótese nula em Test proportion: 0,5 e escolha: Alternative: not 
equal 
4. Assinale: Use test and interval based on normal distribution 
5. Ok. 
 
Temos o resultado: 
Event: neutro 
 
Variable X N Sample p 95% CI Z-Value P-Value 
Preferência 145 250 0,58 (0,5188190; 0,641181) 2,53 0,011 
 
b) Qual é o valor observado da estatística do teste? _________ 
 
c) Interprete o valor p. 
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________ 
 
d) Conclua de acordo com o contexto. 
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________ 
 
e) Qual é a estimativa da proporção de consumidores que preferem o detergente líquido neutro? 
_____ % 
 
f) Com 95% de confiança, pode-se afirmar que a porcentagem de consumidores que preferem o 
detergente líquido neutro está entre _____ e _____. Em outras palavras, 58% dos consumidores 
preferem o detergente líquido neutro com um erro para mais ou para menos de ______ %. 
 
10.3.2 Testando hipóteses a partir da síntese numérica dos dados amostrais 
 
EXERCÍCIO 10.6 (Adaptado de Bhattacharyya & Johnson, cap. 8, pág. 263) Um censo de há dois anos 
passados revelou que 20% das famílias de uma grande comunidade viviam abaixo do nível de pobreza. 
Para determinar se essa porcentagem diminuiu, estudou-se uma amostra aleatória de 500 famílias, 
encontrando-se 91 abaixo do nível de pobreza. 
 
a) Ao nível de 5% de significância, o resultado amostral indica que a porcentagem atual é menor 
que a porcentagemverificada há dois anos? (faça o teste baseado na distribuição normal) 
 
a1) Estabeleça as hipóteses nula e alternativa. 
Formulação verbal de H0:_________________________________________ 
Formulação matemática de H0: _______ _________ 
 
Formulação verbal de Ha: ________________________________________ 
Formulação matemática de Ha: _______ _________ 
 
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a2) Faça o teste de hipóteses seguindo os seguintes passos: 
 
1. Selecione Stat > Basic Statistics >1-Proportion 
2. Selecione: Summarized data 
 Number of trials: 500 
 Number of events: 91 
3. Dentro de Options escolha: 
 Test proportion: 0,2 
 Alternative: selecione: less than 
 Assinale: Use test and interval basead on normal distribution 
4. Ok. 
 
Temos o resultado: 
Test and CI for One Proportion 
Test of p = 0,2 vs p < 0,2 
 
Sample X N Sample p 95,0 % CI Z-Value P-Value 
 1 91 500 0,182000 (0,148180; 0,215820) -1,01 0,157 
 
b) Qual é o valor observado da estatística do teste? _________ 
 
c) Interprete o valor p. 
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________ 
 
d) Qual é o menor valor de α para o qual a hipótese nula pode ser rejeitada? _______ 
 
e) Conclua de acordo com o contexto. 
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________ 
 
 
10.4 Verificando o que você aprendeu 
 
EXERCÍCIO 10.7 Os produtores de um programa de televisão pretendem modificá-lo se for assistido 
regularmente por menos de um quarto dos possuidores de televisão. Uma pesquisa encomendada a uma 
empresa especializada mostrou que, de 400 famílias entrevistadas, 80 assistem ao programa 
regularmente. 
 
a) Com base nos dados, qual deve ser a decisão dos produtores, considerando um nível de 
significância de 5%? Não esqueça de escrever as hipóteses (escreva as formulações verbal e 
matemática), calcular a estatística do teste, calcular e interpretar o valor p e tirar a conclusão. 
b) Construa e interprete um intervalo de 95% de confiança para a proporção de famílias que 
assistem regularmente ao programa. 
c) Qual é a estimativa da proporção de famílias que assiste regularmente ao programa atualmente? 
d) Com base no intervalo de confiança calculado, qual é a margem de erro? 
 
Resp.: a) Valor observado da estatística do teste z = -2,31 valor p = 0,01 
Rejeita-se a hipótese nula ao nível de significância de 5%, ou seja, os produtores 
devem modificar o programa. 
 b) (0,160801; 0,239199) c) 20% d) 3,9199% 
 
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EXERCÍCIO 10.8 Um investidor, que planeja abrir uma agência de viagens, quer avaliar se faturará em 
média mais que US$3400 por mês. Suponha que os faturamentos mensais de uma agência de viagens, 
do porte que o investidor pretende abrir, se distribuam normalmente com um desvio padrão 
σ = US$130. Durante 9 meses, o investidor anotou o faturamento líquido mensal de uma agência de 
viagem do mesmo porte: 
 
 3810 3690 3350 3400 3320 3250 3430 3600 3670 
 
Faça o teste estatístico adequado usando um nível de significância de 5%. Não esqueça de escrever as 
hipóteses, calcular a estatística do teste, calcular e interpretar o valor p e tirar a conclusão. Os dados 
estão digitados no arquivo aula10ex8.mtw. 
 
Resp: Valor observado da estatística do teste z = 2,36 valor p = 0,009 Conclusão: Rejeita-se 
a hipótese nula ao nível de 5% de significância, ou seja, o investidor pode concluir que 
uma agência de viagens desse tipo faturará em média mais de US$3400 por mês. A 
chance de errar ao rejeitar a hipótese nula, com base na amostra observada, é de 0,9% 
. 
 
EXERCÍCIO 10.9 O tempo médio necessário para os operários completarem determinada montagem tem 
sido igual a 55 minutos. Suponha que a distribuição do tempo de execução da montagem tenha 
distribuição normal. Para avaliar se atualmente o tempo médio de execução da montagem continua 
sendo igual a 55 minutos, o supervisor decide registrar, em um determinado dia, os tempos de execução 
para uma amostra de 16 operários, obtendo os seguintes dados: 
 
63,9 77,3 61,2 62,2 58,5 58,5 53,8 61,6 
57,9 53,2 56,4 62,2 57,3 63,1 70,3 67,6 
 
Faça o teste estatístico adequado usando um nível de significância de 5%. Não esqueça de escrever 
as hipóteses, calcular a estatística do teste, calcular e interpretar o valor p e tirar a conclusão. Os 
dados estão digitados no arquivo aula10ex9.mtw. 
 
Resp: Valor observado da estatística do teste t = 4,23 valor p = 0,001 Conclusão: Rejeita-se a 
hipótese nula ao nível de 5% de significância, ou seja, o tempo médio de execução da 
montagem é diferente de 55 minutos. Com base na amostra, a chance de errar ao 
fazer esta afirmação é de 0,1%. 
 
 
 
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LABORATÓRIO DE ESTATÍSTICA 
** Exercícios de revisão para 1ª avaliação ** 
 
EXERCÍCIO 1.1 (adaptado de Morettin & Bussab, cap. 2, pág. 11): A tabela a seguir apresenta 
informações sobre estado civil, grau de instrução, número de filhos, salário (em salários mínimos), idade 
(medida em anos) e região de procedência (capital, interior do estado de Minas Gerais ou outro estado 
do Brasil) de 36 funcionários da seção de orçamentos da Companhia Milsa e está digitada no arquivo 
rev1ex1.mtw. 
 
a) Abra o arquivo rev1ex1.mtw e classifique cada variável como quantitativa (discreta ou contínua) ou 
qualitativa (nominal ou ordinal): 
Estado Civil: _______________________ _________________________________ 
Grau de instrução:_____________________ _______________________________ 
Nº de filhos:___________________________ _______________________________ 
Salário: ______________________________ _______________________________ 
Idade: __________________________________ ____________________________ 
Procedência: ____________________________ ____________________________ 
 
b) Complete: 
Dos 36 funcionários ________são casados, o que corresponde a ______%. Com relação ao grau 
de instrução, ________ funcionários tem 1º ou 2º grau o que corresponde a _____% do total de 
funcionários. Um total de ________funcionários não informaram o número de filhos. Um total de 
________ (______%) tem menos de 3 filhos. Somente ______ (______%) tem 4 ou 5 filhos. Um 
total de ______ (______%) funcionários são do estado. 
 
c) Construa a distribuição de freqüência conjunta para as variáveis grau de instrução e região de 
procedência e responda: 
� Qual é a porcentagem de funcionários que têm o ensino médio? ________ 
� Qual é a porcentagem de funcionários que têm ensino médio e são do interior?_________ 
� Dentre os funcionários do interior, quantos por cento têm o ensino médio?____ 
� Qual é a porcentagem de funcionários que têm nível superior?_______ 
� Dentre os funcionários do interior, quantos por cento têm nível superior?_____ 
� Dentre os funcionários da capital, quantos por cento têm nível superior?_____ 
 
d) Faça a síntese numérica da idade dos funcionários e complete: 
A idade dos funcionários varia de _________ a __________ anos, com média igual a 
__________, mediana igual a __________e desvio padrão igual a ________ anos. Vinte e cinco 
por cento dos funcionários tem no mínimo _______ anos. 
 
e) Construa um Ramo-e-Folhas para a variável idade e responda: 
� Qual é a forma da distribuição dos valores da idade? _____________________ 
� Quantos funcionários têm menos de 30 anos?________ 
� Quantos funcionários têm no mínimo 40 anos? ________ 
 
f) Faça a síntese numérica e construa um gráfico de pontos para a variável salário. Faça um parágrafo 
comentando as medidas e o gráfico. 
 
g) Construa um histograma para os salários dos funcionários, com limite inferior da primeira classe igual 
a 4 salários mínimos e amplitude de cada classe igual a 4 salários mínimos. Responda: 
� Quais são os limites da classe de maior freqüência? __________ e _________ 
� Quantos funcionários estão nesta faixa salarial? ___________ 
� Qual é a forma da distribuição dos dados?_____________________________ 
 
h) Calcule as medidas descritivas da variável salário para cada categoria do grau de instrução. Não 
esqueça de incluir o coeficiente de variação entre as estatísticas selecionadas. Complete o quadro a 
seguir: 
 
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Grau de 
instrução 
n min média Desvio 
padrão 
CV% 
1Q mediana 3Q max 
Fundamental 
Médio 
Superior 
Todos 
 
Apresente duas conclusões a respeito dos salários dos funcionários uma em relação às medidas de 
posição central e outra em relação às medidas de variabilidade. 
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________ 
 
i) Construa e análise um Boxplot para a variável salário de acordo com a grau de instrução. 
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________ 
 
j) Estude a associação entre salário e idade construindo o gráfico adequado e calculando a medida de 
associação correspondente. 
__________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________ 
 
k) Estude a associação entre salário e idade, levando em consideração o grau de instrução, construa o 
gráfico adequado e calcule as medidas de associação correspondentes. 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
EXERCÍCIO 1.2 Numa fábrica de refrigeradores foram apontados alguns problemas com a linha de 
produção. Para melhor avaliação foi realizado um levantamento dos principais tipos de problemas, 
obtendo-se os resultados na tabela abaixo e que estão digitados no arquivo rev1ex2.mtw. 
Tipo de defeito Quantidade Custo Unitário (R$) 
Vedação das portas 400 5,23 
Motor 63 38,2 
Prateleiras da Porta 27 5,2 
Sistema de controle de 
temperatura 90 7,2 
Sistema temporizado do alarme 40 7,2 
 
 
a) Abra o arquivo rev1ex2.mtw e construa um Gráfico de Pareto onde o eixo vertical é a 
quantidade de cada tipo de defeito. 
b) Complete: Qual é o defeito mais freqüente?______________________________ 
__________Quantas vezes este defeito ocorreu? _____Ele corresponde a ______% do total de 
defeitos. Os dois defeitos mais freqüentes correspondem a _______% do total de defeitos e 
totalizam ____________ ocorrências. 
c) Construa um Gráfico de Pareto onde o eixo vertical é o custo total para cada tipo de defeito. 
d) Quais são os dois tipos de defeito com maior custo total?___________________ 
_________________________________________________Qual é este custo e quanto ele 
representa percentualmente do custo total?_____________________ 
_________________________________________________________________ 
e) Considerando os gráficos construídos, quais são, na sua opinião, os dois tipos de defeitos que 
devem ser priorizados? _______________________________ e 
___________________________________. Caso estes dois defeitos fossem completamente 
eliminados, qual economia seria proporcionada à empresa (em % e em R$)? 
_____________________ e _________________. 
 
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** Exercícios de revisão para 2ª avaliação ** 
EXERCÍCIO 2.1 O tempo necessário para a troca do óleo de um carro em um posto de serviço é uma 
variável aleatória que tem distribuição normal com µ = 9,2 minutos e σ = 90 segundos. 
a) Determine a probabilidade de que uma troca de óleo leve: 
i) no máximo 10,6 minutos; 
__0,175324 __0,506206 __0,824676 __0,493794 __ 0,172052 
 
ii) de 9,0 a 11,0 minutos; 
 __0,263608 __0,446965 __0,437965 __0,129457 __0,884930. 
 
iii) mais de 12 minutos; 
__0,969026 __0,005649 __0,030974 __0,516839 __0,994351. 
 
b) Determine o tempo k abaixo do qual se realizam 90% das trocas de óleo do posto de serviço. 
 k = 11,1223 
c) Determine um intervalo de tempo, simétrico em torno da média, que compreenda 65% das trocas 
de óleo do posto. a = 7,7981 b = 10,6019 
EXERCÍCIO 2.2 Um estudo mostra que 35% das famílias residentes em uma grande área metropolitana 
têm mais de um carro. Considerando uma amostra de 7 famílias, reponda: 
a) Determine a distribuição de probabilidade do número de famílias com mais de um carro 
 
x 0 1 2 3 4 5 6 7 
p(x) 
 
 
b) A probabilidade de que: 
 a1) exatamente 3 famílias tenham mais de um carro; Resp: P(X = 3) = ? 
 a2) no máximo 5 famílias tenham mais de um carro; Resp: P(X ≤ 5) = ? 
 a3) de 3 a 5 famílias tenham ao mais de um carro. Resp: P(3 ≤ X ≤ 5) = ?. 
c) O número de famílias com mais de um carro, tal que a probabilidade de observar no máximo 
esse número de famílias com mais de um carro, em uma amostra aleatória de 7 famílias, seja no 
máximo 95%. 
 Resp: k = ?, tal que P(X ≤ k) ≤ 0,95 
EXERCÍCIO 2.3 (Larson & Farber, cap. 6, pág.214). O diretor do comitê de admissão de uma 
universidade deseja estimar a idade média de todos os estudantes aprovados no momento. Em uma 
amostra aleatória de 20 estudantes, a idade média encontrada foi de 22,9 anos. A partir de estudos 
passados, sabe-se que o desvio padrão é de 1,5 ano e que a população está normalmente distribuída. 
d) O parâmetro que o diretor do comitê de admissão de uma universidade deseja estimar é 
___________________________________________________ 
e) Construa um intervalo de 90% de confiança para o parâmetro descrito em ‘a’. Para você o que 
significa este intervalo construído? Resp: (22,32; 23,48) anos 
g) Com base no intervalo de confiança construído, a estimativa pontual da idade média dos 
estudantes aprovados é de ________anos com uma margem de erro de ________anos. 
h) No último vestibular a idade média dos estudantes aprovados foi de 24 anos. Ao nível 3% de 
significância, teste se a idade média dos estudantes aprovados no momento diminuiu em relação 
ao do último vestibular. Ou seja, teste se a idade média atual é menor que 24 anos. Qual a sua 
conclusão? Obs: Mostre as hipóteses, a estatística do teste e o valor-p. Resp: z = -3,28 valor-
p = 0,002 (0,2%) 
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onde p = proporção de consumidores que preferem o 
detergente líquido neutro. 
EXERCÍCIO 2.4 Um escritório de investimentos acredita que o rendimento médio das diversas ações que 
movimenta é de 20 u.m com um desvio padrão de 5 u.m. Uma nova estratégia foi definida com o objetivo 
de aumentar o rendimento médio das diversas ações que movimenta mantendo a uniformidade nos 
rendimentos, ou seja, mantendo o desvio padrão em torno de 5 u.m. Para verificar esta hipótese, 
tomaram-se 8 empresas ao acaso, obtendo-se os seguintes rendimentos: 23,6; 22,8; 25,7; 24,8; 26,4; 
24,3; 23,9 e 25. obs: u.m = unidade de medida 
a) Com base na amostra, qual é a estimativa pontual do rendimento médio das diversas ações após 
a nova estratégia?Resp: 24,56 u.m 
b) Construa um intervalo de 99% de confiança para o rendimento médio das diversas ações após a 
nova estratégia. Calcule também a margem de erro. Resp: (20,01; 29,12) E = 4,56 u.m 
c) Ao nível 1% de significância, teste se a nova estratégia foi eficiente em aumentar o rendimento 
médio das diversas ações que movimenta. Qual sua conclusão. Obs: Mostre as hipóteses, a 
estatística do teste e o valor-p. Resp: z = 2,58 valor-p = 0,005 (0,5%) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 2.5 Uma indústria deseja avaliar se o detergente líquido neutro e o limão são igualmente 
preferidos pelos consumidores. Em uma amostra de 250 consumidores, 145 expressaram sua 
preferência pelo detergente líquido neutro, enquanto os 105 restantes preferem o detergente líquido 
limão. 
a) Com base na amostra, qual é a estimativa pontual da proporção de consumidores que preferem o 
detergente líquido neutro? Resp: 0,58 (ou 58%) 
b) Construa um intervalo de 95% de confiança para a proporção de consumidores que prefere o 
detergente líquido neutro. Resp: ( 0,5188; 0,6412) 
c) Com base no intervalo calculado, qual é o erro máximo cometido na estimação da verdadeira 
proporção de consumidores que preferem o detergente líquido neutro? Resp: E = 0,0612 (ou 
6,12%). 
d) Os dados indicam que existe diferença significativa entre a popularidade dos dois tipos de 
detergente líquido? Para responder a esta pergunta, vamos testar ao nível de significância de 5% 
as hipóteses abaixo: 



≠
=
50,0p:H
50,0p:H
0
0
 
Resp: z = 2,53 p = 0,011 (1,1%).