Lista de exercícios com resolução de cálculo

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Lista Cálculo
Profa. Dra. Elaine Cristina Catapani Poletti
FT/UNICAMP
1. Seja f(t) a quantidade de oxigênio (em unidades apropriadas) em um lago
t dias após o esgoto nele ser derramado, e suponha que f(t) seja aproxima-
damente determinado por:
f(t) = 1−
10
t+ 10
+
100
(t+ 10)2
Para qual valor de tempo o aumento da quantidade de oxigênio no lago será
mínimo?
Resolução f ′(t) = 10
(t+10)2
−
200
(t+10)3
= 0⇔ 10(t+ 10)− 200 = 0⇔
10t− 100 = 0⇔ t = 10 dias.
Escolhendo arbitrariamente valores de t menor e maior que 10 e estudando
o sinal da derivada, temos:
f ′(0) = 10
102
−
200
103
= −0, 1 < 0 (assim f decresce à esquerda de t = 10), e
f ′(20) = 10
302
−
200
303
= 0, 004 > 0 (assim f cresce à esquerda de t = 10) e,
portanto, t = 10 é ponto de mínimo.
2. A reãção do organismo a administração de um medicamento é comumente
representada por:
R(D) = D2
(
C
2
−
D
3
)
onde D é a dose e C (uma constante) é a dose máxima que pode ser admi-
nistrada. A taxa de variação R(D) é chamada de sensibilidade. Determine
o valor D para o qual a sensibilidade é máxima.
Resolução. R′(D) = 2D
(
C
2
−
D
3
)
+D2
(
−1
3
)
= 0⇔ D(C −D) = 0⇔
D = 0 ou D = C. Escolhendo arbitrariamente valores de D entre 0 e
C e maior que C (menor que 0 não interessa porque não existe dosagem
negativa) e estudando o sinal da derivada, temos:
R′
(
C
2
)
> 0 (assim R cresce à direira de D = 0 e à esquerda de D = C)
R′ (2C) < 0 (assim R decresce à direira de D = C). Portanto D = C é o
valor para o qual a sensibilidade é máxima.
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3. Uma caixa sem tampa será feita recortando-se pequenos quadrados iguais
dos cantos de uma folha de 12cm por 12cm e dobrando-se os lados para
cima. Qual o tamanho dos lados dos quadrados a serem retirados que deixa
a caixa com volume máximo?
Resolução. V (x) = (12 − 2x)2x = 144x − 48x2 + 4x3, logo V ′(x) =
12x2 − 96x+ 144 = 0⇔ x = 2 ou x = 6.
Estudando o sinal da derivada, temos: V ′(0) = 144 > 0, V ′(4) = −432 <
0 e V ′(10) > 0. Logo x = 2 torna o volume da caixa máximo. (Observe
que x = 6 não permite a contsrução da caixa).
4. De uma longa folha retangular de metal com 30cm de largura deve-se fazer
uma calha dobrando-se as bordas para cima. Quantos centímetros devem
ser dobrados de cada lado de modo que a calha tenho capacidade máxima?
Resolução. O volume máximo da calha não deve ser considerado em termos
de seu comprimento, mas em termos da área transversal. Logo maximiza-
mos a área: A(x) = (30− 2x)x = 30x− 2x2. Daí A′(x) = 30− 4x = 0⇔
x = 7, 5cm. Estudando o sinal, temos:
A′(0) > 0 e A′(10) < 0, ou seja, x = 7, 5cm torna o volume da calha
máximo.
5. Quais os pontos críticos de:
(a) f(x) = (x− 1)(x+ 2) Resposta. x = −1
2
(b) f(x) = x−13 (x+ 2)
Resolução. f ′(x) = 2
3
x−
1
3 −
2
3
x−
4
3 = 2
3
(
1
x
1
3
−
1
x
4
3
)
⇒
f ′(x) = 2
3
(
1
3
√
x
−
1
3
√
x4
)
= 2
3
(
1
3
√
x
−
1
x 3
√
x
)
= 2
3 3
√
x
(
1− 1
x
)
= 0 ou seja
x = 1
6. Esboce o gráfico de:
(a) f(x) = (x− 2)4 − 1
Resolução. Ponto crítico x = 2. f decresce à esquerda do ponto
crítico e cresce à direita dele. Ponto de inflexão x = 2. Concavidade
para cima à direita e a esquerda do ponto de inflexão.
(b) f(x) = 1
6
x3 − 3
2
x2 + 5x+ 1
2
Resolução. f não tem ponto crítico mas sempre crescente. Ponto de
inflexão x = 3. Concavidade para cima à direita do ponto de inflexão
e concavidade para baixo à esquerda dele.
7. Avalie o(s) máximo(s) e mínimo(s) (local e global) de f(x) = x3−3x2+1,
se existerem para x ∈
[
−1
2
, 4
]
Resolução. x = 0 e x = 2 pontos críticos. f decresce entre 0 e 2 e cresce
à esquerda de 0 e à direita de 2. Em termos de máximos e mínimos locais
e globais, temos: x = 0 máximo local e x = 4 máximo global e x = 2
mínimo local.
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