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O USO DA MODELAGEM MATEMÁTICA NO CURSO DE ELEMENTOS DE 
CÁLCULO PARA ENGENHARIA FLORESTAL 
 
 
 
 
 
Resumo: Neste apresento o relato de uma experiência desenvolvida com o uso da 
modelagem matemática em disciplinas matemáticas para não matemáticos. A mesma foi 
desenvolvida na Disciplina Elementos de Cálculo II, ocorrida no período de março a junho 
de 2006, no Curso de Engenharia Florestal, na Universidade Estadual o Sudoeste da Bahia 
– Campus de Vitória da Conquista. Inicio fazendo uma discussão acerca do papel das 
disciplinas em serviço1, o uso da modelagem matemática e como estas disciplinas têm sido 
tratadas com interesse por diversos pesquisadores em Educação Matemática. Em seguida, 
descrevo como a experiência foi conduzida em sala de aula e, finalizo, discutindo as 
dificuldades encontradas para realizá-la e fazendo um comentário de como experiências 
com o uso da modelagem matemática podem desempenhar papel relevante na redefinição 
de valores atribuídos a essas disciplinas. 
 
PALAVRAS-CHAVE: Modelagem Matemática; Ensino-aprendizagem da Matemática; 
Ensino Superior. 
 
1- INTRODUÇÃO: CONSIDERAÇÕES SOBRE O ESTUDO 
 
 As disciplinas de matemática para não matemáticos, as denominadas disciplinas em 
serviço, em cursos superiores têm sido tema de interesse de vários educadores matemáticos, 
uma vez que na maioria das vezes “elas não dizem a que vieram”. Segundo BARBOSA 
(2004, p. 64), essas disciplinas se tornam “ilhas no currículo”, não mantendo qualquer 
relação com o restante das disciplinas do curso, gerando insatisfação nos alunos, sendo, 
muitas vezes, o “tendão de Aquiles” deles. Muitos questionam se de fato são necessárias ou 
em que podem contribuir para sua formação. Nesse momento surge a pergunta costumeira: 
onde vou utilizar isso? Essa pergunta muitas vezes fica sem uma resposta convincente, uma 
vez que boa parte dos próprios professores que ministram tais disciplinas não estão 
 
1
 É o nome que normalmente se dá as Disciplinas Matemáticas em cursos superiores para não matemáticos. 
preocupados em dar um caráter aplicativo a elas, apenas preocupam-se em cumprir a 
ementa proposta. 
É justamente por provocar discussões dessa natureza que tais disciplinas têm 
despertado o interesse de educadores matemáticos, os quais vêm abrindo caminhos para um 
trabalho mais proveitoso e crítico e, sobretudo, envolvendo os alunos em situações nas 
quais possam eles próprios refletir sobre a importância dessas disciplinas. 
ARAÚJO (2004) relata sua experiência desenvolvida na disciplina Matemática I, 
para o curso de Geografia na UFMG. Para o desenvolvimento das atividades da disciplina 
inicialmente a pesquisadora propôs aos alunos que juntos elaborassem “o programa a ser 
cumprido na disciplina” (p. 87) o qual ela denominou de “programa prático”. Para tanto, os 
alunos realizaram uma pesquisa em diversas fontes de informação, coletando artigos nos 
quais estivesse aparente o uso conjunto da Geografia e da Matemática. Assim, com base 
nos dados obtidos, eles elaboraram o “programa prático” da disciplina. Segundo a autora, 
essa forma de conduzir a disciplina levou os alunos a não mais questioná-la sobre a 
necessidade da Matemática, mas a si mesmos. 
Sem dúvida a experiência mostra algo bastante inovador, uma vez que não partiu de 
uma ementa previa a ser cumprida, mas nasceu do trabalho compartilhado da professora e 
dos alunos na construção de uma proposta conjunta. Ainda segundo a autora alguns alunos 
continuaram questionando a necessidade da disciplina no curso, entretanto tais 
questionamentos foram mais no âmbito da crítica em relação ao “poder da matemática” 
para explicar fenômenos sociais. 
Encontramos ainda na literatura outras experiências (AZAMBUJA ET ALI, 2004; 
FORTES E PORTANOVA, 2004). Nesses estudos, o foco a metodologia adotada em sala 
de aula, como forma de envolver os alunos no trabalho sem que eles questionassem os 
conteúdos propostos, ou seja, apresentavam propostas metodológicas alternativas, como por 
exemplo, a leitura de textos matemáticos. 
BARBOSA (2001, 2004), por exemplo, aponta para que também se discuta as 
“condições oferecidas aos alunos para desenvolverem atividades específicas dentro do 
contexto geral da disciplina”, o que ele denominou de “ambientes de aprendizagem” (p.65). 
Nestes ambientes de aprendizagem “os alunos são convidados a indagar e/ou investigar, por 
meio da modelagem, situações oriundas de outras áreas da realidade” (p. 6). Acredito que 
nestes ambientes de aprendizagem esteja incluído também o uso das novas tecnologias, 
com laboratórios de informática para que os alunos possam utilizar quando necessário. 
Além disso, que disponham de tempo necessário para desenvolverem atividades fora da 
sala de aula. Assim, para ampliar o debate sobre esses temas, proponho que também 
discutirmos também a carga horária de cada disciplina, pois para que os alunos envolvam-
se em atividades extraclasse eles precisam dispor de tempo. 
 
2- A MODELAGEM MATEMÁTICA E AS DISCIPLINAS EM SERVIÇO 
Com vistas a promover em sala de aula situações de ensino-aprendizagem 
matemática e, de certo modo, situações de aplicação da matemática, o uso da modelagem 
matemática tem sido proposto BARBOSA (2004, 2005), com base nas discussões que 
alunos fazem quando envolvidos em projetos de modelagem, comenta como este ambiente 
torna-se propício à discussão sobre as aplicações da matemática, além de incitar os alunos a 
discussões em grupo. Ainda, ao permitir que os próprios alunos escolham temas que lhes 
interessem propicia uma maior participação deles no processo de ensino-aprendizagem da 
matemática e promove uma maior interação entre eles e o professor. Na experiência que 
relato mais adiante, fiz uso da modelagem matemática como uma forma de levar os alunos 
a perceberem e/ou questionarem a importância da Disciplina Elementos de Cálculo II para 
o futuro Engenheiro Florestal. 
BASSANEZI (2002, p.16) define a Modelagem Matemática – “como uma arte de 
transformar problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los interpretando 
suas soluções na linguagem do mundo real”. Com isso, espera-se que ao se traduzir a 
linguagem natural em linguagem matemática, esta se revele deixando de ser algo pronto e 
estático para tornar-se uma re-descoberta ou mesmo uma construção. O pesquisador foi o 
pioneiro a utilizar a modelagem matemática nas disciplinas em serviço. As experiências 
desenvolvidas nas Disciplinas de Cálculo para os cursos de Engenharias da UNICAMP, 
ainda na década de oitenta, estão entre as experiências pioneiras BASSANEZI (2002); 
BIEMBENGUT (2000). 
Desde as propostas iniciadas com Bassanezi, a discussão sobre o papel da 
modelagem no ensino-aprendizagem da matemática tem sido intensa e fecunda, tomando 
diferentes concepções e vertentes no cenário educacional nacional. BARBOSA (2001) 
discutiu como futuros professores de matemática ao tomarem contato com a modelagem 
concebem-na com base nas suas experiências e concepções sobre o ensino da matemática. 
O pesquisador destaca a importância de incorporar a modelagem matemática nos currículos 
de licenciatura em matemática, mas considera mais importante que ela esteja presente nas 
diferentes disciplinas de matemática e faça parte da atividade matemática de alunos e 
professores. 
BORBA, MENEGHETTI e HERMINI (1997a, 1997b); ARAÚJO e BORBA (2004) 
apresentam a modelagem matemática como um enfoque didático-pedagógico para a sala de 
aula de Matemática. A experiência foi conduzida na disciplina Matemática Aplicada ä 
Biologia, tendo o primeiro dos autores como docente. Nesse enfoque, os alunos escolhem 
os temas a serem matematizados, podendo contar com a ajuda do professor nessa escolha. 
Além disso, no processo de modelagem fazem uso de ferramentas tecnológicas, taiscomo 
calculadoras gráficas. Uma sugestão na escolha dos temas é que estejam relacionados com 
os conteúdos propostos na disciplina. 
 SCHEFFER (1998, 1999) utilizou a Modelagem Matemática como ferramenta de 
ensino-aprendizagem da matemática, tomando como base alunos do ensino fundamental 
que viviam no meio rural, na tentativa de aproximar a sala de aula do ambiente em a 
maioria dos alunos estavam envolvidos. Centrou sua pesquisa nas formas geométricas dos 
silos (depósitos) para armazenagem de grãos. Desse modo os alunos davam-se conta de 
como a matemática estava presente em muitas situações que os cercavam. 
Em outros estudos ARAÚJO (2002) e BARBOSA (2004 e 2006 ) trabalharam sobre 
as discussões que alunos fazem quando envolvidos em projetos de modelagem. Também 
abordaram o papel do professor nessas discussões, considerando que as interações alunos-
alunos e alunos-professor são muito importantes para o refinamento das soluções 
inicialmente apresentadas pelos grupos tornando os projetos desenvolvidos fonte de 
informação e contribuição para o ensino da matemática e para a educação matemática. 
As discussões e experiências acima apresentadas mostram a importância que a 
Modelagem Matemática para o Ensino-Aprendizagem da matemática, em particular nas 
disciplinas em serviço e a proporção e o nível de discussão que tem tomado na pesquisa em 
Educação Matemática. Assim, a Modelagem Matemática, como uma das tendências em 
Educação Matemática, é apresentada como uma proposta metodológica de forte caráter 
interdisciplinar, um instrumento valioso para resgatar nos alunos, de todos os níveis, o 
gosto e o prazer em aprender Matemática e, sobretudo, vista como uma ferramenta para 
acessar e compreender o mundo. 
Portanto, foi, com base no aqui exposto, que a modelagem matemática2 inseriu-se 
como uma das propostas por mim desenvolvida na disciplina citada. Esperava também que 
nessa disciplina meus alunos tivessem a oportunidade de discutir o papel da matemática na 
formação de futuros engenheiros florestais. 
 
3. RELATO DA EXPERIÊNCIA E DESTAQUE PARA UM DOS PROJETOS 
Ao tomar conhecimento que ficaria responsável pela disciplina Elementos de 
Cálculo II, oferecida no período de março a junho de 2006, no Curso de Engenharia 
Florestal, incluí como uma das propostas de trabalho da disciplina a modelagem. A idéia, 
baseada nos estudos acima apresentados, era envolver os alunos em um trabalho 
experimental no qual pudessem perceber a importância da matemática para o futuro 
Engenheiro Florestal. A disciplina com uma carga horária de 45 horas teve as aulas 
concentradas em um único dia, com 3h/a semanais. 
Embora já estivesse previsto no plano de curso da disciplina desenvolver projetos de 
modelagem, não visei impor aos alunos tais projetos, pois gostaria que nascessem a partir 
do interesse deles e como parte de uma negociação. Assim, no primeiro dia de aula fiz uma 
breve explanação sobre os objetivos da disciplina, argumentei como esta poderia estar 
relaciona a uma situação próxima da realidade, que poderiam interessar ao futuro 
Engenheiro Florestal, questionei-os sobre as disciplinas que vinham cursando, sobre como 
 
2
 A partir de agora usaremos apenas modelagem para indicar modelagem matemática. 
viam a Matemática e qual a relação que tinham com a disciplina e, fiz uma breve 
explanação sobre a natureza da modelagem e como esta tem estado presente em disciplinas 
matemáticas para não matemáticos. 
 Foi a partir desse diálogo inicial, que visou conhecer a turma, compreender seus 
interesses e expectativas em relação á disciplina e avaliar o interesse deles pela 
Modelagem, que os convidei a desenvolverem um projeto experimental envolvendo 
situações referentes à Engenharia Florestal e a matemática, em especial os conteúdos 
previstos na ementa da disciplina. Combinei com eles que os projetos constituiriam uma 
das avaliações e que a escolha dos temas seria livre. Apesar de se sentirem atraídos pela 
idéia dos projetos ficaram apreensivos, uma vez que se viram envoltos por muitas dúvidas e 
se em tão pouco tempo conseguiriam realizá-la. Visando atenuar as dúvidas destinei um dos 
nossos encontros semanais, logo no início do semestre, para explicar-lhes detalhadamente a 
proposta dos projetos bem como o que era a modelagem. Também disponibilizei artigos, 
dentre os acima citados, para que consultassem e tirassem suas dúvidas sobre modelagem. 
Ainda, solicitei aos grupos que até o final da primeira unidade deveriam me 
apresentar um pré-projeto, explicitando o tema que abordariam e como realizariam o 
experimento. Combinamos também que poderíamos marcar encontros fora do horário da 
disciplina para tirar dúvidas e delinear os encaminhamentos que deveriam empreender na 
realização dos experimentos. Para os que não podiam me encontrar fora do horário da 
disciplina, destinava alguns minutos no início e no final de cada encontro semanal. Foi 
bastante significativo perceber o empenho de alguns grupos em definir seu tema e iniciar o 
experimento. 
Combinamos também que no final do semestre deveriam apresentar um relatório 
final, explicitando o experimento com resultados, discussão e conclusões prévias sobre o 
trabalho desenvolvido. Também ficou prevista uma apresentação oral para toda a classe de 
cada um dos projetos desenvolvidos. Infelizmente, em função do tempo não foi possível a 
apresentação oral. Assim, de acordo com o empenho de cada grupo os projetos foram 
desenvolvidos dentro do prazo previsto, com todas as ressalvas para esse tipo de trabalho. 
Os cinco projetos desenvolvidos foram: 
1. Taxa de Germinação de Sementes de Leucema em Relação ao Substrato emque 
foram semeados; 
 2. Modelagem Matemática com Eucaliptos Citriodora; 
3. Aplicação da Modelagem Matemática em Crescimento de Fungo P. 
Scletigenum; 
4. Modelagem matemática: germinação e desenvolvimento do pepino Aodai; 
5. Aplicação da Modelagem matemática ao crescimento do milho. 
 
É possível perceber pelos títulos dos projetos que todos, de certa forma, têm relação 
com o curso que fazem e com algumas das disciplinas. Assim, segundo ficou explicitado 
em alguns pré-projetos eles iriam aproveitar experimentos que vinham realizando em outras 
disciplinas, especialmente de Biologia, para coletar os dados para o projeto. Talvez por isso 
explique os projetos seguirem basicamente a mesma tendência, com exceção do trabalho 
sobre fungos. Todos envolveram o plantio, medições sobre crescimento, taxa de 
germinação de acordo com o ambientes onde foram plantadas, etc. Neste relato destacamos 
o projeto: Taxa de Germinação de Sementes de Leucema em relação ao substrato onde 
foram semeados. 
Este projeto foi desenvolvido pelos alunos Cátia, Evandro e Karine. A escolha 
recaiu sobre as sementes de Leucema por tratar-se de uma espécie, segundo os proponentes, 
de grande importância econômica e ambiental, algo que interessa muito ao futuro 
engenheiro florestal e vai de encontro às preocupações atuais com aquecimento global e a 
necessidade de diminuir a emissão de gás carbônico na atmosfera com o plantio de árvores. 
Conforme está na justificativa da escolha pela Leucema, Eles dizem: 
A Leucema é uma leguminosa arbórea, originária da América Central, de emprego bastante 
diversificado que na fase adulta produz uma grande quantidade de sementes, o que facilita a 
propagação em larga escala da espécie. O grande destaque da espécie recai sobre sua 
multiplicidade de usos: como madeireira, forrageira e como planta melhoradora de solos, 
especialmente quando consorciada com outras culturas”. (extraído do relatório final) 
 
No projeto eles queriam observar a taxa de germinação em três substratos 
diferentes: substrato agrícola – adubo extraído de vegetais; terra vegetal – solo com alto 
teor de matéria orgânicae terra arenosa – material rico sílica (SiO2). As sementes foram 
plantadas em pequenos sacos pretos, pois segundo informações constantes do projeto, o 
local onde as sementes são plantadas influencia na germinação. Depois de feita a 
semeadura em cada substrato as sementes foram ao mesmo tratamento: irrigação, exposição 
solar e ar. As observações foram feitas entre os dias 16 de junho a 27 de julho de 2006. 
Conforme apresentado abaixo: 
 
 
 Quadro 1. Tabela de germinação das sementes. 
Após a semeadura e as medições eles montaram uma tabela com os valores 
encontrados. 
 
Montaram também tabelas com as medidas do comprimento das folhas em cada 
substrato e montaram gráficos, apresentaram as equações e calcularam taxas de 
crescimento. Utilizaram o Excel como ferramenta computacional, conforme vemos abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Quadro 2 – Medidas obtidas em cada substrato. 
 
 
 Quadro 3 – Gráfico do crescimento no substrato vegetal 
 
 
 Quadro 4 – Crescimento das mudas na terra preta e cálculos de previsões de crescimento. 
 
 
 Quadro 5 - Gráfico de crescimento no Substrato Arenoso 
 
 
 Quadro 6 – Cálculo com previsão de crescimento 
 Eles também montaram gráfico comparativo do número de folhas em cada 
substrato: 
 
 Quadro 7 – gráfico do número de folhas no tempo 
 
4- COMENTÁRIOS SOBRE A EXPERIÊNCIA E CONSIDERACÕES FINAIS 
 
Conforme podemos observar do anteriormente exposto, as atividades foram 
desenvolvidas usando procedimentos semelhantes aos usados em muitos dos trabalhos 
descritos na literatura, ou seja: a construção de tabelas, gráficos e expressões algébricas 
para explicar os dados. Enfim, sempre uma busca de explicar por meio de um modelo 
“ideal” que retrate fielmente os dados. Infelizmente, não foi possível retomar alguns 
questionamentos que poderiam enriquecer as conclusões iniciais e ampliar a compreensão 
do processo tanto em relação à matemática quanto em relação à de modelagem, não deu 
“tempo”. 
Por exemplo, no tocante à matemática (ou aos conteúdos matemáticos) é perceptível 
que os alunos só “construíram” situações que envolveram funções de 1º grau, ou seja, não 
conseguiram ampliar as discussões para os conteúdos desenvolvidos na disciplina, a qual 
envolveu funções, taxas de variação, derivadas e noções de integral. Conforme exposto 
anteriormente era nosso objetivo levar os alunos a utilizarem esses conteúdos em seus 
experimentos, no entanto isso não se concretizou. Poderiam ter utilizado funções diferentes 
das de 1º grau para expressar os dados das tabelas ou mesmo observado como se deram as 
taxas de crescimento das sementes em cada substrato. Tal constatação nos leva a pensar se 
tais conteúdos foram compreendidos e se, de fato, são necessários para o curso em questão. 
É importante também ressaltar que o tempo destinado à disciplina e às condições de 
funcionamento do curso3 não permitiu que ampliássemos a discussão, que chamo de 
feedback. Com o feedback, poderíamos “melhorar” os resultados apresentados nos 
relatórios, levantar novos questionamentos, refletir sobre o conhecimento matemático 
produzido, ou seja, uma série de questões que são levantadas quando nos embrenhamos no 
trabalho com modelagem. Ainda estamos muito presos ao modelo tradicional de ensino no 
qual, uma vez concluída a carga horária da disciplina e feitas as avaliações, perdemos o 
contato com os alunos e, para eles, foi apenas mais uma disciplina cumprida. Assim, o 
projeto dura enquanto a disciplina está em curso, lançada a nota acaba o interesse dos 
 
3
 - O Curso de Engenharia Florestal, acima citado, funciona no turno da manhã e, conforme relatado pelos 
alunos, eles cursam de 7 a 9 disciplinas por semestre, o que não deixa espaços livres. Alguns dos alunos 
trabalham no turno oposto, outros viajam diariamente de cidades vizinhas até a sede do campus. Assim, o 
tempo que dispõem para estudos fora da sala é muito pouco para darem conta de tantas disciplinas. 
alunos pelo mesmo. Neste caso, por exemplo, tentei obter deles um relato escrito sobre o 
que significou para eles desenvolver aquele projeto, mas infelizmente não obtive resposta. 
 Segundo Barbosa (2001, p. 4), “as atividades de modelagem são consideradas como 
oportunidades para explorar os papeis que a matemática desenvolve na sociedade 
contemporânea”. Assim, modelagem e matemática não são fins, mas meios para 
questionarmos a realidade vivida. Nesse sentido, percebo a importância do feedback entre a 
produção dos alunos, as discussões acerca do que produziram, sua percepção da realidade 
frente aos dados obtidos, sua percepção dos conteúdos matemáticos abordados e até onde 
eles poderiam avançar para compreender a realidade, abstraindo-a dos dados matemáticos. 
Ainda segundo Barbosa, é nesse momento que poderiam surgir questionamentos tais 
como: “Este resultado é válido?”, “Por quê?”, “Como podemos garantir?”, “Ao traduzirmos 
a situação em termos matemáticos, o que perdemos?” “O que ganhamos?”, etc. Tais 
questionamentos, para o pesquisador, se situam no campo do conhecimento reflexivo e 
podem levar a uma reflexão sobre o próprio conhecimento matemático, sobre a modelagem 
e seu significado social. Nessa experiência faltou este momento, pois fomos submetidos aos 
prazos, ao tempo de duração da disciplina, à conclusão da avaliação, ao currículo. Enfim, 
ao modelo tradicional de ensino. 
Entretanto, acredito que a experiência foi significativa, uma vez que, como já 
antecipei, para o desenvolvimento dos projetos alguns grupos se valeram de experimentos 
que vinham desenvolvendo em outras disciplinas e, desde a primeira aula, na qual a 
proposta foi lançada, empenharam-se no desenvolvimento dos projetos. Assim, nesses 
pontos, penso que conseguiram (ou conseguimos) implementar a interdisciplinaridade e a 
capacidade de tornar os alunos participantes ativos no processo de construção do 
conhecimento, propósitos requeridos com o trabalho de modelagem. 
Finalizo apontando que as dificuldades acima descritas, no desenvolvimento da 
experiência, na ampliação e discussão dos resultados obtidos, servem para percebermos que 
ainda temos muitos desafios a vencer quando queremos romper com um modelo 
tradicional, ainda tão enraizado nos cursos de graduação. Acredito que encarar essas 
dificuldades e apontar novos rumos, como é o caso da proposta de trabalho com 
modelagem, é tarefa requerida ao educador matemático que visa dar um novo sentido à 
matemática na sala de aula, em qualquer curso em que ela esteja presente. 
 
5 – REFERÊNCIAS 
 
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H. N. (org.) Disciplinas Matemáticas em Cursos Superiores. Reflexões, Relatos, 
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H. N. (Org.). Disciplinas matemáticas em cursos superiores: reflexões, relatos e 
propostas. Porto Alegre: EDIPUCRS, p. 63-84, 2004. 
 
4. BARBOSA, J. C. Modelagem Matemática: concepções e experiências de futuros 
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Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro. 
 
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6. BARBOSA, J. C. A dinâmica das discussões dos alunos no ambiente de Modelagem 
Matemática.In: SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO 
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9. BORBA, M. C.; MENEGHETTI, R. C. G. & HERMINI, H. A., Estabelecendo Critérios 
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10. BORBA, M. C.; BOVO, A. A. Modelagem em sala de aula de matemática: 
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11. FORTES, M. H. M. & PORTANOVA, R. O Cálculo no Curso de Arquitetura. In: Cury, 
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12. SCHEFFER, N. F. Modelagem Matemática: Uma abordagem para o Ensino-
Aprendizagem da Matemática. Educação Matemática em Revista - RS, Nº 1, p. 11-16 1999. 
 
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