Lista 12 Resolução de problemas pdf

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Lista 12_ Resolução de problemas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1) Um plano de previdência privada paga juros anuais de 6%. Fazemos um 
depósito inicial de $ 1000 e planejamos efetuar depósitos futuros à taxa de $ 
2400 por ano. Admita que os depósitos sejam feitos continuamente e que os 
juros sejam compostos continuamente. Seja P(t) o volume de dinheiro na 
conta t anos depois do depósito inicial. 
a) Monte um problema de valor inicial que é satisfeita por P(t) 
b) Encontre P t 
 
2) Em 1988, o Vaticano autorizou o Museu Britânico a datar a relíquia de pano 
conhecida como o Sudário de Turim, possivelmente o sudário de Jesus de 
Nazaré. Esse pano, que apareceu em 1356, contém o negativo da imagem 
de um corpo humano que se acreditava no mundo inteiro ser o de Jesus. O 
relatório do Museu Britânico mostrou que as fibras no pano continham entre 
92% e 93% do carbono-14 original. Use esta informação para estimar a 
idade do sudário. 
 
3) Em muitas partes do mundo, a água para os sistemas de combate a 
incêndios em grandes hotéis e hospitais é fornecida pela ação da gravidade 
em tanques cilíndricos colocados nos telhados desses prédios. Suponha que 
cada tanque tenha um raio de 3 m e o diâmetro da saída seja de 6 cm. Um 
engenheiro tem de garantir que a pressão da água seja no mínimo, de 
104 𝑘𝑃𝑎 por um período de 10 min. (Quando um incêndio acontece, o 
sistema elétrico pode falhar e pode levar cerca de 10 minutos para que o 
gerador de emergência e bombas anti-incêndio sejam ativados). Qual altura 
o engenheiro deve especificar para o tanque a fim de garantir essa 
Entre todas as disciplinas matemáticas, a teoria das equações diferenciais é a 
mais importante. Ela fornece a explicação de todas as manifestações 
elementares da natureza que envolvem o tempo. 
 
Marius Sophus Lie- Prêmio Lobachevskii, 1897 
 
 A possibilidade de usar equações diferenciais é, na minha opinião, a 
justificativa final para o uso de modelos quantitativos na Ciência. 
 
Renè Thom_ Medalha Fields, 1958 
 
O milagre da adequação da linguagem da matemática para a formulação das 
leis da física é um maravilhoso presente que não entendemos nem 
merecemos. 
 
Eugene Paul Wigner_ Prêmio Nobel de física, 1963 
 
 
 
 
exigência? (Use o fato de que a pressão da água a uma profundidade de ℎ 
metros é 𝑃 = 10ℎ 𝑘𝑃𝑎) 
 
4) Um engenheiro deve apresentar algumas estimativas à sua companhia 
sobre uma planta de alume, considerando a capacidade de um silo 
desenhado para conter minério de bauxita até este ser processado em 
alume. O minério parece pó de talco cor de rosa e é despejado a partir de 
uma esteira transportadora no topo do silo. O silo é um cilindro de 30 𝑚 de 
altura com um raio de 60 𝑚. O silo é um minério a uma taxa de 1500 
𝝅 𝒎𝟑/𝒉 e o minério mantém um formato cônico cujo raio é 1,5 vezes a 
sua altura. The conveyor carries 1500 𝜋 𝑚3/ℎ and the ore maintains a 
conical shape whose radius is 1.5 times its height. 
a) Se, em um instante 𝑡 determinado, a pilha tiver 20 𝑚 de altura, quanto 
tempo levará para ela alcançar o topo do silo? 
b) A administração quer saber quanto espaço restará no chão do silo 
quando a pilha tiver 20 𝑚 de altura. Quão rápido está crescendo a área 
preenchida no chão quando a pilha estiver a essa altura? 
c) Suponha que um carregador comece a remover o minério a uma taxa de 
500 𝜋 𝑚3/ℎ quando a altura da pilha alcança 27 𝑚. Suponha também 
que a pilha continue a manter seu formato. Quanto tempo levará para a 
pilha atingir o topo do silo nessas condições? 
 
5) Um marca-passo de coração consiste de uma chave, uma bateria de tensão 
constante 𝐸0, um capacitor com capacitância constante 𝐶, e o coração como 
um resistor constante 𝑅. Quando a chave está fechada, o capacitor carrega; 
quando a chave está aberta, o capacitor descarrega, enviando um estímulo 
elétrico para o coração. Durante o tempo em que o coração está sendo 
estimulado, a tensão 𝐸 através do coração satisfaz a equação diferencial 
𝑑𝐸
𝑑𝑡
= −
1
𝑅𝐶
𝐸. Resolva a ED sujeita a 𝐸 4 = 𝐸0. 
 
6) O comprador de uma casa não pode gastar mais de R$ 1500,00 por mês 
pelo seu financiamento. Suponha que a taxa de juros é de 6% ao ano, que 
os juros são capitalizados continuamente e que os pagamentos também são 
feitos continuamente. 
a) Determine o pagamento mensal necessário para que o empréstimo seja 
pago em 20 anos; em 30 anos. 
b) Determine os juros totais pagos durante o financiamento em cada um 
dos casos no item (a) 
 
7) O comprador de uma casa deseja um financiamento de $ 250 000 a uma 
taxa de 6% ao ano. Suponha que os juros são capitalizados continuamente e 
que os pagamentos também são feitos continuamente. 
a) Determine o pagamento mensal necessário para que o empréstimo seja 
pago em 20 anos; em 30 anos. 
 
 
 
b) Determine os juros totais pagos durante o financiamento em cada um 
dos casos no item (a) 
 
8) Um recém-formado pegou emprestado o valor de $ 150 000,00 a uma taxa 
de juros de 6% ao ano para comprar um apartamento. Antecipando 
constantes aumentos de salário, ele espera pagar a uma taxa mensal de 
800 + 10 t, em que t é o número de meses desde o inicio do empréstimo. 
a) Supondo que o programa de pagamento possa ser mantido, quando o 
empréstimo poderá ser quitado? 
b) Supondo que o mesmo programa de pagamento, qual deve ser a 
quantia emprestada para que seja paga em exatamente 20 anos?