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FUNDAMENTOS DA ALGEBRA AULA 08 – Subanéis e Anel de Integridade Subanéis Vamos começar esta aula conhecendo a definição de subanéis. Veja Seja (A, +, ·) um anel e S ≠ Ø um subconjunto não vazio de A. Dizemos que (S, +, ·) é um subanel de A se ele for um anel com as operações do anel A, isto é, se: 1) S for fechado para as operações de adição e multiplicação, ou seja, x + y ∈ S e xy ∈ S, ∀x, y, ∈ S. 2) (S, +, .) também for um anel. Atente-se para algumas observações sobre os subanéis: I – Todo anel possui pelo menos dois subanéis que são chamados de subanéis triviais. São eles o {0} e o próprio anel A. Note que o subanel {0} não possui unidade, pois 1 ∉ {0}. O subanel A possui unidade, visto que 1 ∈ A. II-Como desejamos encontrar novos exemplos de anéis, vamos trabalhar com os chamados subanéis não triviais. Verificação dos subanéis De acordo com a definição que vimos de subanéis , para (S, + , .) ser um anel , teremos que observar se os seis axiomas de anel são verificados no conjuntos. No entanto , essa verificação é trabalhosa! Para minimizarmos esse trabalho, vamos apresentar uma proposição que será muito útil para determinarmos se um subconjunto é um subanel de um anel dado. Veja: Proposição 1 : Seja (A, +, .) um anel e S um sub conjunto não vazio de A . Dizemos que (S, + ,. ) é um subanel de um anel A se , e somente se ,x,y ϵ S, 1) x-y ϵ S 2)xy ϵ S Propriedade Associativa para a multiplicação Agora, vamos verificar os axiomas de anel para a multiplicação. Observe: ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑆 ⇒ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈𝐴, tem-se (𝑥⋅𝑦)⋅𝑧=𝑥⋅(𝑦⋅𝑧). A associatividade da multiplicação em S é herdada da associatividade de A. Nesse contexto, valem as propriedades distributivas da multiplicação em relação à adição em A. 𝑥 ⋅ (𝑦 + 𝑧) = (𝑥 ⋅ 𝑦) + (𝑥 ⋅ 𝑧), ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑆 ⇒ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐴 𝑒 (𝑥 + 𝑦) ⋅ 𝑧 = (𝑥 ⋅ 𝑧) + (𝑦 ⋅ 𝑧), ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑆 ⇒ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐴 Verificamos também que: ∀𝑥 ∈ 𝑆 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐴. Assim, é válido em A, a.1 = a. Se A for um anel comutativo, então, S também será comutativo. Isso significa que a comutatividade de S é herdada de A. Se o anel A não for comutativo, então, S também não será comutativo. Portanto, fica provada a proposição. Exemplos clássicos de subanéis Veja alguns exemplos clássicos de subanéis: Conjuntos numéricos a) (𝛧,+,⋅) é um subanel de (𝑄,+,⋅), (ℜ,+,⋅) e (𝐶,+,⋅) b) (ℜ,+,⋅) é um subanel de (𝐶,+,⋅) c) (𝑄,+,⋅) é um subanel de (ℜ,+,⋅) e (𝐶,+,⋅) d) (𝛧,+,⋅) é um subanel com unidade de (𝑄,+,⋅) e) (𝑄,+,⋅) é um subanel com unidade de (ℜ,+,⋅) Conjuntos das matrizes a) (Mn(Z),+, . ) é subanel de (Mn(Q), +, .), (Mn(R),+,.) e ( Mn(C), +, .) b) (Mn(R),+,.) é subanel de ( Mn(C), +, .) c) (Mn(Q), +, .)é subanel de (Mn(R),+,.) e ( Mn(C), +, .) Subanel Unitário Um subanel também pode ser unitário. Veja: Seja A um anel unitário e S um subanel de A. O subanel S pode ter ou não unidade, mas, caso tenha, a unidade pode ser ou não igual à do anel A. Quando possuem a mesma unidade, dizemos que o subanel é um subanel unitário do anel. Podemos definir um subanel unitário da seguinte maneira: Seja (A, +, .) um anel unitário. Dizemos que o subanel (S,+, .) é subanel unitário do anel A se sua unidade for igual à unidade de A, isto é, 1S = 1A. Para entender melhor a definição de subanel unitário, observe os exemplos a seguir: 1 – Z é um subanel unitário de Q. 2 - Q é um subanel unitário de R. 3 -Z é um subanel unitário de Z[√p]. 4 -Z[√p] é um subanel unitário de Q[√p]. Anel de Integridade e Divisores de um Anel A partir de agora vamos conhecer o anel de integridade e os divisores de um anel. Vamos começar definindo “divisor de um anel” e, por último, falaremos no “anel de integridade”, também conhecido como “domínio de integridade”. Para determinar o que é o divisor de um anel, trouxemos duas definições, veja: 01-Um elemento x do anel (A, +, .) é chamado divisor de zero quando x ≠ 0 e existe um elemento y em A, y ≠ 0, tal que xy = 0 ou yx = 0. 02-Seja A um anel com as operações usuais de adição e multiplicação, e sejam x e y dois elementos de A, com x ≠ 0 e y ≠ 0. Se xy = 0A, podemos dizer que x e y são divisores próprios de zero. Atenção ! 0A é o zero do anel. Exemplos de divisores de um Anel Para entender melhor a definição de divisores de um anel, observe os exemplos a seguir: I – Seja o anel Z6. Considerando dois elementos desse anel, por exemplo, 2 e 3.Note que 2 ≠ 0 , e 3 ≠ 0 . Portanto , 2,e 3 são divisores próprios de zero. II – Seja o anel Z6. Considerando os elementos 3 e 4 em Z6 ,3 ≠ 0 e 4 ≠ 0 , também observamos que o produto 3.4 = 12 = 0 . Portanto , o anel Z6 admite 3 divisores de zero : 2,3 e 4. III – Seja o anel Z7. Considerando dois elementos desse anel, por exemplo, 2 e 3.Note que 2 ≠ 0 , e 3 ≠ 0 .O produto 2.3 = 6≠ 0 . Portanto, o anel Z7 não possui divisores próprios de zero. Divisores de zero no anel Zm Seja a um elemento de Zm. Podemos dizer que a é um divisor de zero, se o mdc(a,m) ≠ 1 . Para entender melhor essa definição , vamos analisar o exemplo a seguir : EXEMPLO: Seja o anel Z54. Para analisar esse exemplo, precisamos responder às seguintes perguntas: 35 é divisor de zero no anel Z54? Neste caso, basta verificarmos o mdc entre 35 e 54. Se ele for igual a 1, então, 35 não é divisor de zero no anel Z54, se for diferente de zero, então, ele é divisor de zero nesse anel. Vejamos: mdc(35,54) = 1, portanto, 35 não é divisor de zero no anel Z54. 36 é divisor de zero no anel Z54? Mdc(36,54)=18 ≠1, portanto , 36 é divisor de zero no anel Z54. Então , dizemos que existem um elemento no anel dado que, multiplicado por 36, vai dar zero. vejamos : 36.3 = 108 = 0 ( lembramos que 108 divivido por 54 deixa resto 0 no anel Z54 ) SAIBA MAIS Caso um determinado elemento não seja divisor de zero, como vimos anteriormente, significa que o elemento z é um elemento simetrizável. Proposição 2 Seja B um subanel do anel A. Se o anel A não possui divisores de zero, então, B é, também, um anel sem divisores de zero. Número primo em um anel Um número primo em um anel pode ser definido da seguinte maneira: Um número a de um anel é chamado de primo se possui quatro divisores. Veja um exemplo: EXEMPLONo anel dos inteiros, o número 2 é primo, pois seus divisores são: 1, -1, 2 e -2. O número 1 não é primo, pois seus divisores são 1 e -1. O número 6 não é primo, pois seus divisores são 1,-1,2,-2,3,-3,6,-6. Anel de Integridade ou Domínio Um anel A é dito anel de integridade ou domínio se ele é comutativo com unidade, não possui divisores de zero e ∀x, y ∈ A, xy = 0 ⇒ x = 0 ou y = 0. Podemos também usar a contrapositiva: ∀x, y ∈ A, x ≠ 0 e y ≠ 0 ⇒ xy ≠ 0 Da definição dada, segue que todo domínio é um anel. Veja alguns exemplos: Exemplo 1 O anel Z7 é um anel de integridade, pois , como já foi visto , ele não possui divisores próprios de zeros. Considerando dois elementos desse anel, por exemplo,2 e 3 . 2 ≠0 e 3 ≠ 0 e 2.3= 6 ≠0 Exemplo 2 O anel Z8 não é um anel de integridade, pois possui divisores de zero. Veja: Considerando dois elementos desse anel , por exemplo, 2 e 4. 2 ≠ 0 e 4 ≠ 0 e 2.4=8≠ 0 . Assim , 2 e 4 são divisores de zero em Z8 Exemplo 3 Em geral, Zm é anel de integridade se, e somente se, m for primo. Podemos, ainda, definir o anel de integridade da seguinte maneira: Seja A um anel de integridade. Um subanel B em A é um subdomínio de A quando B é subanel unitário e anel de integridade. Veja alguns exemplos: EXEMPLO - • Z é um subdomínio de Q. • Q é um subdomínio de R. Resultado sobre os anéis de integridade Para finalizar, veja agora alguns resultados sobre os anéis de integridade: PROPOSIÇÃO 01 PROPOSIÇÃO 02 PROPOSIÇÃO 03 As condições abaixo são equivalentes : 1-Zm é o domínio de integridade. 2 – n é um numero primo . Isso significa que 1 implica 2. Sejam A um domínio e B um sub anel de A . São equivalentes: 1- B é subdomínio de A; 2- B tem unidade. Isso significa que 1 implica 2. Corresponde à Lei do cancelamento. Veja: Seja A um domínio. Se ab = ac com a ≠ 0, então, b = c. Atividade 1 - Marque a única alternativa correta sobre os subanéis. O conjunto dos números pares é um subanel Z, pois dado o conjunto S = {2n/ n ∈Z}. ( certa ) (Z,+,.) não é um subanel de (Q,+,.) (R,+,.) (C,+,.). O conjunto 3Z6 não é um subanel de Z6. (Q,+,.) não é um subanel de (R,+,.) e (C,+,.). O conjunto dos números ímpares é um subanel de Z. 2 - A definição de divisores de um anel diz que: seja A um anel com as operações usuais de adição e multiplicação, e sejam x e y dois elementos de A, com x ≠ 0 e y ≠ 0. Se xy = 0A, podemos dizer que x e y são divisores próprios de zero. A partir da definição, marque a alternativa correta. O anel Z7 possui divisores próprios de zero. O anel das matrizes (Mn(A), +, .) não tem divisores de zero para todo n ≥ 2. 2 e 4 não são divisores de zero em Z8. 2, 3 e 4 são divisores próprios de zero no anel Z6. ( certa) 3, 5, e 12 são os únicos divisores de Z15. 3 - O anel Z6 admite quantos divisores de zero? r- 3 4 - Determine todos os divisores de zero do anel Z15. R - 3, 5, 9, 10 e 12 5 - Considere as seguintes afirmações: (I) 2 e 3 são divisores próprios de zero do anel Z6. (II) O anel Z7 possui divisores próprios de zero. (III) Seja x um elemento de Zm. Podemos dizer que x é um divisor de zero, se o mdc(x,m) = 1. (IV) O anel das matrizes (Mn(A), +, . ) tem divisores de zero para todo n ≥ 2. Podemos afirmar que: R - somente as afirmativas I e IV são verdadeira 6 - Se B e C são subanéis de A, indique a opção que melhor representa a prova de que a intersecção de B e C é subanel de A: R - Por hipótese, temos que B e C são subanéis de A. Suponhamos x e y dois elementos que pertencem à interseção B ∩ C. Como x,y ∈ B, temos que x+y ∈ B e x.y ∈ B. O mesmo ocorre com C. Temos que x,y ∈ C, assim, x+y ∈ C e x.y ∈ C. Portanto, x+y ∈ B ∩ C e x.y ∈ B ∩ C. Podemos concluir que B ∩ C é Subanel. Caderno de exercícios 01 - Sejam R e S subanéis de um anel (A,+,.). Prove que 𝑅∩𝑆 também é um subanel de A. 02 - Verifique se C= {a/2n / a,n ϵ Z , n≠0} é um subanel dos conjuntos dos racionais. 03 -Verifique se os seguintes subconjuntos são subanéis do anel (Q,+, .): a) S = {𝑥 ∈ 𝑄 / 𝑥 ∉ 𝑍} b) S = 3Z c) S = Q – Z d) S = {-1, 0, 1} 04 -Verifique se S é subanel de M2(R). S= {[]} / x,y ϵ R}. 05 - O centro do anel A é o conjunto Z(A) = {𝑥∈𝐴∕𝑥 𝑎=𝑎𝑥, ∀𝑎∈𝐴 }. Verifique que Z(A) é subanel de A. 06 - Mostre que, se A é um anel de integridade e x é um elemento de A tal que x2 =1, então, x = 1 ou x = -1. 07 - Considere o anel comutativo com unidade (Q, □, ∆), onde x □ y = x + y - 1 x ∆ y = x + y - xy Verifique se (Q, □, ∆) é um anel de integridade. Explore + Para saber mais sobre os assuntos estudados nesta aula, leia os seguintes artigos: Conflitos de Aprendizagem na Disciplina de Álgebra Abstrata. Disponível aqui. Introdução à Teoria de Anéis. Disponível aqui. Divisibilidade em domínios de integridade. Disponível aqui.
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