calculo 1 aula 02

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Func¸o˜es
Func¸o˜es e Gra´ficos
Te´cnicas Alge´bricas
Func¸o˜es e Gra´ficos
Bras´ılia, 1o semestre de 2010
Universidade de Bras´ılia - Faculdade do Gama
Func¸o˜es e Gra´ficos
Func¸o˜es
Func¸o˜es e Gra´ficos
Te´cnicas Alge´bricas
Conteu´do
Func¸o˜es
Func¸o˜es e Gra´ficos
Te´cnicas Alge´bricas
Func¸o˜es e Gra´ficos
Func¸o˜es
Func¸o˜es e Gra´ficos
Te´cnicas Alge´bricas
Func¸o˜es
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Te´cnicas Alge´bricas
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Func¸o˜es
Func¸o˜es e Gra´ficos
Te´cnicas Alge´bricas
Definic¸o˜es
Uma func¸a˜o de um conjunto A para um conjunto B e´ uma
regra que associa um u´nico elemento f (x) ∈ B a cada
elemento x ∈ A. Thomas, pa´g. 2;
Uma func¸a˜o e´ uma lei a qual para cada elemento x em um
conjunto A faz corresponder EXATAMENTE um elemento
chamado f (x), em um conjunto B. James Stewart, Ca´lculo,
volume I, 5a edic¸a˜o, Cengage Learning, 2008;
Palavras-chave:
I Conjuntos;
I Correspondeˆncia;
I Associac¸a˜o EXATA (inequ´ıvoca);
Func¸o˜es e Gra´ficos
Func¸o˜es
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Representac¸o˜es e nomenclatura
Conjuntos
BA
f
x
a
f(x)
f(a)
fx f(x)
(entrada) (saída)
I Existem diversas representac¸o˜es para func¸o˜es: diagramas de flechas,
de “ma´quina”, tabelas, gra´ficos, equac¸o˜es;
I Em geral, consideraremos A, B ⊂ R;
I A (entrada) e´ chamado dom´ınio de f : sa˜o todos os valores que
podem ser “usados” na func¸a˜o;
I B (sa´ıda) e´ chamado contra-dom´ınio de f . Os elemento do
contra-dom´ınio que teˆm correspondente no dom´ınio formam a
imagem de f ;
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Func¸o˜es
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Representac¸o˜es e nomenclatura
I Nas calculadoras usamos diagramas de “ma´quinas” para representar
algumas func¸o˜es:
√
, ln( ), 1/x ;
I Se a cada vez que voceˆ tecla 4, √ a calculadora der uma resposta
diferente, enta˜o voceˆ deve comprar uma nova!
I Func¸o˜es sa˜o relac¸o˜es un´ıvocas entre o dom´ınio e a imagem: se
y = f (x) e z = f (x), enta˜o y = z
I Func¸o˜es sa˜o relac¸o˜es totais: ∀ x ∈ A, ∃ y ∈ B tal que y = f (x)
I Relac¸a˜o un´ıvoca + total = relac¸a˜o bina´ria. ;
não-função
função
x
y
x
y
não-função
funçãofunção
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Notac¸a˜o
I A notac¸a˜o para uma func¸a˜o na forma f : A→ B consta de 3
partes: o conjunto A e´ o dom´ınio, o conjunto B e´ o
contradom´ınio (que conte´m a imagem) e a regra f que
permite associar cada elemento x ∈ A um u´nico elemento
f (x) ∈ B, que e´ o valor que a func¸a˜o assume em x ;
I x 7−→ f indica que f faz corresponder a x o valor f (x);
I G = {(x , y) ∈ R2; y = f (x)} significa “G e´ o conjunto dos
pontos (x , y), com y = f (x)”. Ou seja, G e´ o gra´fico de f (x)!
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Func¸o˜es
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Paridade
I Uma func¸a˜o f : A→ B e´ par se
f (x) = f (−x); x ∈ A;−x ∈ A;
I Uma func¸a˜o f : A→ B e´ ı´mpar se
f (x) = −f (−x); x ∈ A;−x ∈ A;
I Se nenhuma das duas condic¸o˜es acima e´ satisfeita, dizemos
que f na˜o tem paridade definida (a func¸a˜o na˜o e´ nem par,
nem ı´mpar);
I Toda func¸a˜o f (x) pode ser escrita na forma
f (x) = g(x) + h(x), em que g(x) e´ par e h(x) e´ ı´mpar;
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Func¸a˜o composta e inversa
I Dadas duas func¸o˜es g : A→ B e f : B → C tais que o
dom´ınio de f e´ igual ao contradom´ınio de g , definimos a
func¸a˜o composta h = f ◦ g como sendo a func¸a˜o
h : A→ C ; h(x) = (f ◦ g)(x) = f (g(x));
I Observe que em geral f ◦ g 6= g ◦ f ;
I Se (f ◦ g)(x) = x dizemos que f e´ a func¸a˜o inversa de g ;
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Func¸o˜es, equac¸o˜es e gra´ficos
I As func¸o˜es podem ser representadas por equac¸o˜es na forma
y = f (x). Por exemplo: f (x) =
√
x2 − 9;
I Equac¸o˜es definem conjuntos de pares ordenados;
I O dom´ınio da func¸a˜o acima e´ o conjunto A = (−∞,−3] ∪ [3,∞) e
sua imagem e´ B = [0,∞]
I Uma func¸a˜o e´ um conjunto de pares ordenados de nu´meros
(x,y), sendo que dados dois pares distintos, nenhum deles tera´
o mesmo primeiro nu´mero. Leithold, definic¸a˜o 1.4.1, pag 32;
x
y
-10 -5 0 5 10
2
4
6
8
10
A
B
f(x)=√x2-9
______
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Classificac¸a˜o de func¸o˜es
I Func¸a˜o identidade: f (x) = x ;
I Func¸a˜o polinomial: f (x) =
n∑
i=0
aix
i , em que an 6= 0; Diz-se que f (x) e´
uma func¸a˜o polinomial de grau n. Exemplo:
f (x) = x3 − 7x2 + 13
I Func¸a˜o racional: func¸a˜o expressa como o quociente de duas func¸o˜es
polinomiais. Exemplo:
f (x) =
x2 − 9
x + 3
I Func¸o˜es alge´bricas: func¸o˜es formadas por um nu´mero finito de
operac¸o˜es alge´bricas (adic¸a˜o, subtrac¸a˜o, multiplicac¸a˜o, divisa˜o,
potenciac¸a˜o e radiciac¸a˜o). Exemplo:
f (x) =
(x2 − 3x + 1)3√
x4 + 1
I Ale´m das func¸o˜es alge´bricas existem as func¸o˜es transcendentais
(trigonome´tricas, exponenciais e logar´ıtmicas);
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Algumas func¸o˜es e seus gra´ficos
x
y
-1 0 1
-1
0
1
2
f(x)=2x+1
x
y
-2 -1 0 1 2
-4
-2
0
2
4
f(x)=x3
x
y
-2 -1 0 1 20
1
2
3
4
f(x)=x2
x
y
-3 -2 -1 0 1 2 3
1
2
3
f(x)=|x|
x
y
0 1 2 30
1
2
3
f(x)=√x
___
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Translac¸a˜o de eixos
x
y
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
2
4
6
8
10
ox
oy
y-y
o
=f(x-x
o
)
y=f(x)
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Completando quadrados
I Produtos nota´veis:
(x + a)2 = x2 + 2xa + a2
(x − a)2 = x2 − 2xa + a2
(x + a)(x − a) = x2 − a2
I “O quadrado do primeiro, mais duas vezes o primeiro vezes
segundo (quem e´ o segundo?), mais o quadrado do segundo”;
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Mastigando...
I Suponha f (x) = x2 + 4x − 12. Essa func¸a˜o na˜o esta´ na forma
y − yo = f (x − xo). Gostar´ıamos que estivesse...
I Comece falando: f (x) = “o quadrado do primeiro” (x2), “mais duas
vezes o primeiro” (2x). Opa! na func¸a˜o temos 4x e na˜o 2x ;
I Pergunta chave: Quem deve ser “o segundo” para que nossa func¸a˜o
continue a mesma? Resposta: o segundo deve ser 2 , ja´ que
2 · x · 2 = 4 · x ;
I Continue falando: “mais o quadrado do segundo” (22). Opa de novo!!!
Na˜o tem nenhum 22 na func¸a˜o.
I Tire o 22 e coloque o −12: f (x) = x2 + 2x2 + 22 − 22 − 12. Agora esta´
tudo certo de novo;
I Identifique o quadrado perfeito (x2 + 2x2 + 22 = (x + 2)2) e some os dois
termos restantes (−22 − 12 = −16);
I Finalmente f (x) = (x + 2)2 − 16!
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Refereˆncias
I Livro texto: sec¸o˜es 1.1, 1.2 e 1.3;
I Pro´xima aula: Hamilton Luiz Guidorizzi, Um Curso de
Ca´lculo, Vol. 1, 5a edic¸a˜o, LTC, sec¸a˜o 2.2;
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	Funções e Gráficos
	Técnicas Algébricas