calculo 1 aula 09

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Limites de func¸o˜es trigonome´tricas
Limites e Continuidade de Func¸o˜es
Trigonome´tricas
Bras´ılia, 2o semestre de 2009
Universidade de Bras´ılia - Faculdade do Gama
Limites e Continuidade de Func¸o˜es Trigonome´tricas
Limites de func¸o˜es trigonome´tricas
Conteu´do
Limites de func¸o˜es trigonome´tricas
Limites e Continuidade de Func¸o˜es Trigonome´tricas
Limites de func¸o˜es trigonome´tricas
O Teorema do Confronto (ou do “sandu´ıche”)
Suponha que as func¸o˜es f , g e h estejam definidas em algum
intervalo aberto I contendo o ponto a, exceto possivelmente
o pro´prio a, se este for um dos limites do intervalo. Suponha
ainda que f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo x ∈ I , tal que x 6= a e
tambe´m que lim
x→a f (x) = limx→a h(x) = L. Nesse caso, podemos
afirmar que lim
x→a g(x) = L.
Limites e Continuidade de Func¸o˜es Trigonome´tricas
Limites de func¸o˜es trigonome´tricas
Prova do Teorema do Confronto
I Queremos mostrar que, sendo lim
x→a
f (x) = L, lim
x→a
h(x) = L e
f (x) ≤ g(x) ≤ h(x), enta˜o, para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que se
0 < |x − a| < δ, enta˜o |g(x)− L| < ε;
I Da definic¸a˜o de limite sabemos que, para δ1, δ2 ∈ R∗+, segue que
0 < |x − a| < δ1 ⇒ L− ε < f (x) < L + ε
0 < |x − a| < δ2 ⇒ L− ε < h(x) < L + ε
I Tomando δ = min{δ1, δ2} sabemos que se 0 < |x − a| < δ ⇒
L− ε < f (x) e h(x) < L + ε;
I Logo, desde que f (x) ≤ g(x) ≤ h(x), segue que L− ε < g(x) < L + ε;
I Finalmente conclui-se que, se 0 < |x − a| < δ enta˜o |g(x)− L| < ε;
Limites e Continuidade de Func¸o˜es Trigonome´tricas
Limites de func¸o˜es trigonome´tricas
Prova do Teorema do Confronto
I Queremos mostrar que, sendo lim
x→a
f (x) = L, lim
x→a
h(x) = L e
f (x) ≤ g(x) ≤ h(x), enta˜o, para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que se
0 < |x − a| < δ, enta˜o |g(x)− L| < ε;
I Da definic¸a˜o de limite sabemos que, para δ1, δ2 ∈ R∗+, segue que
0 < |x − a| < δ1 ⇒ L− ε < f (x) < L + ε
0 < |x − a| < δ2 ⇒ L− ε < h(x) < L + ε
I Tomando δ = min{δ1, δ2} sabemos que se 0 < |x − a| < δ ⇒
L− ε < f (x) e h(x) < L + ε;
I Logo, desde que f (x) ≤ g(x) ≤ h(x), segue que L− ε < g(x) < L + ε;
I Finalmente conclui-se que, se 0 < |x − a| < δ enta˜o |g(x)− L| < ε;
Limites e Continuidade de Func¸o˜es Trigonome´tricas
Limites de func¸o˜es trigonome´tricas
Prova do Teorema do Confronto
I Queremos mostrar que, sendo lim
x→a
f (x) = L, lim
x→a
h(x) = L e
f (x) ≤ g(x) ≤ h(x), enta˜o, para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que se
0 < |x − a| < δ, enta˜o |g(x)− L| < ε;
I Da definic¸a˜o de limite sabemos que, para δ1, δ2 ∈ R∗+, segue que
0 < |x − a| < δ1 ⇒ L− ε < f (x) < L + ε
0 < |x − a| < δ2 ⇒ L− ε < h(x) < L + ε
I Tomando δ = min{δ1, δ2} sabemos que se 0 < |x − a| < δ ⇒
L− ε < f (x) e h(x) < L + ε;
I Logo, desde que f (x) ≤ g(x) ≤ h(x), segue que L− ε < g(x) < L + ε;
I Finalmente conclui-se que, se 0 < |x − a| < δ enta˜o |g(x)− L| < ε;
Limites e Continuidade de Func¸o˜es Trigonome´tricas
Limites de func¸o˜es trigonome´tricas
Prova do Teorema do Confronto
I Queremos mostrar que, sendo lim
x→a
f (x) = L, lim
x→a
h(x) = L e
f (x) ≤ g(x) ≤ h(x), enta˜o, para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que se
0 < |x − a| < δ, enta˜o |g(x)− L| < ε;
I Da definic¸a˜o de limite sabemos que, para δ1, δ2 ∈ R∗+, segue que
0 < |x − a| < δ1 ⇒ L− ε < f (x) < L + ε
0 < |x − a| < δ2 ⇒ L− ε < h(x) < L + ε
I Tomando δ = min{δ1, δ2} sabemos que se 0 < |x − a| < δ ⇒
L− ε < f (x) e h(x) < L + ε;
I Logo, desde que f (x) ≤ g(x) ≤ h(x), segue que L− ε < g(x) < L + ε;
I Finalmente conclui-se que, se 0 < |x − a| < δ enta˜o |g(x)− L| < ε;
Limites e Continuidade de Func¸o˜es Trigonome´tricas
Limites de func¸o˜es trigonome´tricas
Prova do Teorema do Confronto
I Queremos mostrar que, sendo lim
x→a
f (x) = L, lim
x→a
h(x) = L e
f (x) ≤ g(x) ≤ h(x), enta˜o, para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que se
0 < |x − a| < δ, enta˜o |g(x)− L| < ε;
I Da definic¸a˜o de limite sabemos que, para δ1, δ2 ∈ R∗+, segue que
0 < |x − a| < δ1 ⇒ L− ε < f (x) < L + ε
0 < |x − a| < δ2 ⇒ L− ε < h(x) < L + ε
I Tomando δ = min{δ1, δ2} sabemos que se 0 < |x − a| < δ ⇒
L− ε < f (x) e h(x) < L + ε;
I Logo, desde que f (x) ≤ g(x) ≤ h(x), segue que L− ε < g(x) < L + ε;
I Finalmente conclui-se que, se 0 < |x − a| < δ enta˜o |g(x)− L| < ε;
Limites e Continuidade de Func¸o˜es Trigonome´tricas
Limites de func¸o˜es trigonome´tricas
Exemplos de aplicac¸a˜o
1. Dado que |g(x)− 2| ≤ 3(x − 1)2, determine lim
x→1
g(x);
2. Determine lim
x→0
∣∣∣∣x sen(1x
)∣∣∣∣;
Limites e Continuidade de Func¸o˜es Trigonome´tricas
Limites de func¸o˜es trigonome´tricas
Exemplos de aplicac¸a˜o
1. Dado que |g(x)− 2| ≤ 3(x − 1)2, determine lim
x→1
g(x);
2. Determine lim
x→0
∣∣∣∣x sen(1x
)∣∣∣∣;
Limites e Continuidade de Func¸o˜es Trigonome´tricas
Limites de func¸o˜es trigonome´tricas
Limites de seno e co-seno no zero
I lim
x→0
sen(x);
I lim
x→0
cos(x);
O A B
C D
r=1
Limites e Continuidade de Func¸o˜es Trigonome´tricas
Limites de func¸o˜es trigonome´tricas
Um limite importante
I lim
x→0
sen(x)
x
;
I Prova: geometria e o
teorema do confronto;
O A B
C D
r=1
Limites e Continuidade de Func¸o˜es Trigonome´tricas
Limites de func¸o˜es trigonome´tricas
Outro limite importante
lim
x→0
1− cos(x)
x
Exerc´ıcios:
1. lim
x→0
sen(3x)
x
2. lim
x→0
sen(2x)
sen(7x)
3. lim
x→0
1− cos(x)
sen(x)
4. lim
x→0
2tg2(x)
x2
5. lim
x→pi
sen(x)
x − pi
6. A´gua...
Limites e Continuidade de Func¸o˜es Trigonome´tricas
Limites de func¸o˜es trigonome´tricas
Outro limite importante
lim
x→0
1− cos(x)
x
Exerc´ıcios:
1. lim
x→0
sen(3x)
x
2. lim
x→0
sen(2x)
sen(7x)
3. lim
x→0
1− cos(x)
sen(x)
4. lim
x→0
2tg2(x)
x2
5. lim
x→pi
sen(x)
x − pi
6. A´gua...
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Limites de func¸o˜es trigonome´tricas
Outro limite importante
lim
x→0
1− cos(x)
x
Exerc´ıcios:
1. lim
x→0
sen(3x)
x
2. lim
x→0
sen(2x)
sen(7x)
3. lim
x→0
1− cos(x)
sen(x)
4. lim
x→0
2tg2(x)
x2
5. lim
x→pi
sen(x)
x − pi
6. A´gua...
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Outro limite importante
lim
x→0
1− cos(x)
x
Exerc´ıcios:
1. lim
x→0
sen(3x)
x
2. lim
x→0
sen(2x)
sen(7x)
3. lim
x→0
1− cos(x)
sen(x)
4. lim
x→0
2tg2(x)
x2
5. lim
x→pi
sen(x)
x − pi
6. A´gua...
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Outro limite importante
lim
x→0
1− cos(x)
x
Exerc´ıcios:
1. lim
x→0
sen(3x)
x
2. lim
x→0
sen(2x)
sen(7x)
3. lim
x→0
1− cos(x)
sen(x)
4. lim
x→0
2tg2(x)
x2
5. lim
x→pi
sen(x)
x − pi
6. A´gua...
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Outro limite importante
lim
x→0
1− cos(x)
x
Exerc´ıcios:
1. lim
x→0
sen(3x)
x
2. lim
x→0
sen(2x)
sen(7x)
3. lim
x→0
1− cos(x)
sen(x)
4. lim
x→0
2tg2(x)
x2
5. lim
x→pi
sen(x)
x − pi
6. A´gua...
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Outro limite importante
lim
x→0
1− cos(x)
x
Exerc´ıcios:
1. lim
x→0
sen(3x)
x
2. lim
x→0
sen(2x)
sen(7x)
3. lim
x→0
1− cos(x)
sen(x)
4. lim
x→0
2tg2(x)
x2
5. lim
x→pi
sen(x)
x − pi
6. A´gua...
Limites e Continuidade de Func¸o˜es Trigonome´tricas
Limites de func¸o˜es trigonome´tricas
Continuidade do seno e do co-seno
Teorema: As func¸o˜es seno e co-seno sa˜o cont´ınuas em todos os
nu´merosreais.
Para provar o teorema precisamos mostrar que, se a ∈ R, enta˜o
lim
x→a sen(x) = sen(a) e limx→a cos(x) = cos(a)
I Note que lim
x→a sen(x) = limt→0
sen(t + a). Para ver isso, fac¸a
x = t + a no segundo limite. O mesmo vale para o co-seno;
I Use as identidade trigonome´tricas e propriedades do limite e
divirta-se...
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Limites de func¸o˜es trigonome´tricas
Refereˆncias
I Livro texto: sec¸a˜o 2.6;
I Pro´xima aula: In´ıcio do estudo da derivada.
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	Limites de funções trigonométricas