AE 05 2018 Transformada de Laplace

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UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
Rio de Janeiro, 14 de abril de 2018. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TRANSFORMADA DE LAPLACE 
 
 
 
 
 
 
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UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
 
 
 
 
TRANSFORMADA DE LAPLACE 
 
 
 
 
Aluno 
Nome Matrícula 
 
Guilherme do Carmo Oliveira 201201161452 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rio de Janeiro, 14 de abril de 2018. 
Trabalho entregue ao professor, 
Haroudo Guisti, como requisito 
parcial para obtenção do Grau 
na Disciplina de Circuitos 
Elétricos II 
 
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INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 3 
DESENVOLVIMENTO ................................................................................................ 3 
A função degrau ...................................................................................................... 5 
A função degrau deslocada: ................................................................................. 6 
Outras funções: .................................................................................................... 7 
A função impulso (ou Delta de Dirac) ...................................................................... 9 
“Características” da função impulso • ................................................................... 9 
Derivada do impulso .......................................................................................... 10 
TL da derivada do impulso ................................................................................. 11 
Transformadas Funcionais .................................................................................... 12 
Transformada de Laplace da função exponencial decrescente ......................... 12 
Transformada de Laplace do seno ..................................................................... 13 
Propriedades da Transformada de Laplace ........................................................... 15 
Multiplicação por uma constante ........................................................................ 15 
Adição (subtração) no domínio do tempo........................................................... 16 
Diferenciação ..................................................................................................... 16 
Transformada da Derivada de segunda ordem ..................................................... 17 
Transformada de Laplace da Derivada de ordem n ............................................... 18 
Integração ................................................................................................................. 18 
Deslocamento no tempo ........................................................................................ 19 
Propriedades da TL ............................................................................................... 21 
 
 
 
 
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INTRODUÇÃO 
 
Transformada de Laplace ou (TL)é uma técnica para análise de circuitos de 
parâmetros concentrados que facilita a análise de circuitos com elevado número de 
nós e/ou de malhas 
DESENVOLVIMENTO 
 
A TL é utilizada para: 
Determinar a resposta transitória de circuitos; 
Encontrar a função de transferência: descrição da resposta em regime permanente; 
Relacionar os comportamentos de um circuito nos domínios do tempo e da 
freqüência; 
Transformar um conjunto de equações integro-diferenciais (tempo) em equações 
algébricas (freqüência). 
A Transformada de Laplace Bilateral da função f(t) é dada por: 
 
Ou seja, a TL é uma função da variável s. 
 
 
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A Transformada de Laplace Unilateral da função f(t) é dada por: 
 
A TLU envolve uma integral imprópria • Condição de existência da TL: a integral tem 
de convergir • Funções sem TL: 
 
 
A Transformada de Laplace Unilateral da função f(t) é dada por: 
 
A TLU “ignora” informações para t<0 
O que ocorre antes de t=0 é “traduzido” nas condições iniciais. 
 
Se houver uma descontinuidade na origem? • limite inferior 0 +: exclui a 
descontinuidade • limite inferior 0 -: inclui a descontinuidade 
 
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A função degrau 
 
 
• Descontinuidade na origem (t=0)=> e.g.: chaveamento • Se K=1: função degrau 
unitário 
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Assume-se transição linear de 0- para 0 + . 
 
A função degrau deslocada: 
 
Degrau ocorrendo em t=a (a>0): 
 
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Função igual a K para t0): 
 
 
 
Outras funções: 
 
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A função impulso (ou Delta de Dirac) 
A função impulso é matematicamente definida por: 
 
 
 Impulso que ocorre em t=a é denotado por K δ(t-a) 
 
 
Quando há descontinuidade finita em f(t), a derivada não é definida no ponto de 
descontinuidade. 
A função impulso permite definir a derivada em uma descontinuidade permite definir 
a TL dessa derivada. 
 
“Características” da função impulso • 
 
 Possui amplitude infinita e duração zero • Não existe na natureza • Modelo 
matemático se aproxima de alguns casos práticos e.g.: operações de chaveamento 
e excitação com fontes impulsivas 
 
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Derivada de uma função em uma descontinuidade. 
 
 
Pode ser obtida a partir de uma função de parâmetro ε que apresenta as seguintes 
características, quando ε→ 0: 
A amplitude tende a infinito; 
A duração tende para zero; 
A área sob a função permanece constante. 
Há muitas funções que apresentam esta característica. 
 
Derivada do impulso 
 
A função f(t) gera um impulso quando ϵ→0: 
Derivada da função geradora do impulso (doublet): δ’(t), quando ϵ→0 
 
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TL da derivada do impulso 
 
 
Pode ser obtida de forma semelhante ao procedimento realizado para a primeira 
derivada: 
 
 
Relação entre degrau e impulso unitário • A função impulso pode ser considerada a 
derivada da função degrau: 
Aproxima-se de uma função degrau unitário quando ϵ→ 0 Aproxima-se de uma 
função impulso unitário quando ϵ→ 0 
 
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Transformadas Funcionais 
 
 
 
Transformada de Laplace da função exponencial decrescente 
 
 
 
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Transformada de Laplace do seno 
 
 
 
 
 
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Propriedades da Transformada de Laplace 
 
Multiplicação por uma constante 
 
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Adição (subtração) no domínio do tempo 
 
 
 
 
 
Diferenciação 
Diferenciar no tempo corresponde a multiplicar F(s) por s e subtrair o valor inicial: 
 
Ou seja, a diferenciação no tempo reduz-se a uma subtração na freqüência. 
 
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Transformada da Derivada de segunda ordem 
 
 
 
 
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Transformada de Laplace da Derivada de ordem n 
 
Integração 
 
 
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Deslocamento no tempo 
 
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O deslocamento na freqüência corresponde a uma multiplicação por uma 
exponencial no tempo: 
 
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Propriedades da TL