2016 II L2 1

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A´LGEBRA LINEAR:
Espac¸os vetoriais e bases
04 de abril de 2017 ∗ UENF ∗
Bacharelado em Engenharia: CCT ∗∗
†‡
1. Verificar, em cada um dos seguintes casos, se V com as operac¸o˜es usuais
e´ um espac¸o vetorial.
i) V = {(x, y) ∈ IR 2 / 9x2 − 24xy + 16y2 = 0}.
ii) V = {(x, y) ∈ IR 2 / xy − 4x− 3 + 12 = 0}.
iii) V = {(x, y, z) ∈ IR 3 / x2 + y2 + z2 = −2(xy + xz + yz)}.
iv) V = {f : IR → IR / f(0) = 0}.
vi) V = {f : IR → IR / f(x) = a + bx + cx2; (a, b, c) ∈ IR 3}.
vii) V = {f : [−1, 1]→ IR / f´(x) + f(x) = 0 ∀x ∈ (−1, 1)}.
viii) V e´ o conjunto de matrizes 2× 3 que teˆm posto 2.
ix) V e´ o conjunto de matrizes n× n sime´tricas.
x) V e´ o conjunto de matrizes n× n singulares.
2. Verificar, em cada um dos seguintes casos, se W ⊂ V e´ um sub espac¸o
vetorial de V (com as operac¸o˜es usuais).
i) W = {(x, y) ∈ V = IR 2 / 3x + 4y = 12 = 4x− 3y}.
ii) W = {(x, y) ∈ V = IR 2 / 3x + 4y = 0 = 4x− 3y}.
iii) W = {(x, y, z) ∈ V = IR 3 / 3x + 4y + z = 0 = 4x− 3y − z}.
iv) W = {f ∈ V = C(1)(IR ) / f´(0) = 0}.
vi) W = {f ∈ V = C(2)(IR ) / f´(0) = 0 = f´´ (0)}.
∗Universidade Estadual do Norte Fluminense/CCT. Av. Alberto Lamego, 2000. CEP:
28015-620, Campos dos Goytacazes, RJ. Brazil. e-mail: guillerm@uenf.br.
‡LCMAT-CCT-UENF.
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A´LGEBRA LINEAR /espac¸os vetoriais e bases 2
vii) W = {f ∈ V = C(2)(I) / f´´ (x) = f´(x) ∀x ∈ I = (−1, 1)}.
viii) W ⊂ V =M2×2 e´ o conjunto de matrizes idempotentes.
ix) W ⊂ V =M2×2 e´ o conjunto de matrizes anti-sime´tricas.
x) W ⊂ V =Mn×n e´ o conjunto de matrizes sime´tricas singulares.
3. Determinar, em cada caso, se os vetores dados no espac¸o vetorial V sa˜o
linearmente independentes.
i) v1 = (
√
6 + 3
√
2,
√
6 + 2
√
3), v2 = (1−
√
3, 1−√2) ∈ V = IR 2.
ii) v1 = (
1
1−cos 3 ,
1
1−sin 3), v2 = (1 + cos 3, 1 + sin 3) ∈ V = IR 2.
iii) v1 = (1, 2, 3), v2 = (3, 2, 1), v3 = (1,−2, 1) ∈ V = IR 3.
iv) v1 = (1, 2, 3), v2 = (3, 2, 1), v3 = (1 +
√
2, 1, 1−√2) ∈ V = IR 3.
vi) f, g ∈ V = C(2)(IR ); f(x) = cos x, g(x) = sin(2x).
vii) f, g, h ∈ V = C(3)(IR ); f(x) = 2ex, g(x) = 3e2x, h(x) = 4e−3x.
viii) A =
(
1 2
−2 1
)
, B =
(
1 −2
2 1
)
∈ V =M2×2.
ix) A =
 1 2 3−2 1 4
−3 −4 1
 , B =
 1 −2 −32 1 −4
3 4 1
 , C =
 1 10 15−10 1 20
−15 −20 1
 ∈
V =M3×3.
x) A1, A2, A3, · · · , An ∈ V =Mn×n; onde
Ak = (a
(k)
ij )n×n, sendo a
(k)
ij =
{
k, se i=j=k
0, c.c.
4. Escolha dois vetores u e v linearmente independentes em IR 2, com v
unita´rio. Podemos afirmar que u e v−(v·u)u sa˜o ortogonais (e portanto
linearmente independentes)?
5. Escolha treˆs vetores v1 e v2 e v3 linearmente independentes em IR
3. Se-
jam u1 o vetor normalizado determinado or v1, u2 o vetor normalizado
determinado or w2 = v2− (v2 · u1)u1 e u3 o vetor normalizado determi-
nado or w3 = v3− (v3 ·u2)u2− (v3 ·u1)u1. Podemos afirmar que u1, u2 e
u3 sa˜o ortogonais dois a dois (e portanto linearmente independentes)?
6. Seja L ⊂ IR 2 o subespac¸o vetorial unidimensional gerado pelo vetor
unita´rio u ∈ IR 2. Mostrar que a distaˆncia do ponto P0 = (x0, y0) a` reta
L e´ dada pela norma do vetor v − (v.u)u; onde v = x0~ı + y0~. Concluir
que a distaˆncia do ponto P0 = (x0, y0) a` reta ax + by + c = 0 e´
|ax0 + by0 + c|√
a2 + b2
.
A´LGEBRA LINEAR /espac¸os vetoriais e bases 3
7. Seja Π ⊂ IR 3 um subespac¸o vetorial bidimensional. Mostrar que a
distaˆncia do ponto P0 = (x0, y0, y0) ao plano Π e´ dada pela norma do
vetor v−(v.u1)u1−(v.u2)u2; onde v = x0~ı+y0~+c~k e {u1, u2} e´ uma base
ortonormal de Π. Concluir que a distaˆncia do ponto P0 = (x0, y0, z0)
ao plano ax + by + cz + d = 0 e´
|ax0 + by0 + cz0 + d|√
a2 + b2 + c2
.
8. Mostrar que a a´rea do paralelogramo determinado pelos vetores v e w
em IR 3 e´ dada pela norma do produto vetorial v × w.
9. Mostrar que o volume do paralelep´ıpedo determinado pelos vetores u,
v e w em IR 3 e´ dada por |(u× v).w|.
10. D.q. se {v, w} e´ uma base de IR 2, enta˜o {v + w, v − w} tambe´m e´.
11. Determinar W1 ∩W2 e uma base para este subespac¸o; onde
W1 = {(x1, x2, x3, x4) ∈ IR 4 / x1 + x2 = 0 = x3 − x4} e
W2 = {(x1, x2, x3, x4) ∈ IR 4 / x1 + x4 = x2 + x3}.
12. Verificar que B = {(1, 1, 1), (−1, 1, 0), (1, 0,−1)} e´ uma base de IR 3.
Quais sa˜o as coordenadas do vetor v = (1, 2, 3) ∈ IR 3 na base B.
13. Mostrar que se B = {v1, · · · , vn} e´ uma base ortogonal de IR n, enta˜o
cada vetor v ∈ IR n admite uma representac¸a˜o da forma
v =
n∑
i=1
(v.vi)vi
||vi||2 .
14. Encontrar uma base do subespac¸o de W ⊂M2×2 gerado por
i)
(−1 5
4 −2
)
,
(
1 1
−1 5
)
,
(
2 −4
−5 7
)
e
(
1 −7
−5 1
)
.
ii) {B /AB = BA}; onde A =
(
1 2
3 0
)
.
iii) {A /A + At = O}.
iv) {A /AAt = I}
v) {A /A2 − 5A = O}
15. Os polinoˆmios 1 − x3, (1 − x)2, 1 − x e 1 geram o espac¸o vetorial dos
polinoˆmios de grau ≤ 3?