Relatório 4 Cordas Vibrantes

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA
INSTITUTO DE FÍSICA
DEPARTAMENTO DE FÍSICA GERAL
FIS122 – FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II-E / LABORATÓRIO
TURMA P14				DATA: 24/04/2006
EQUIPE:	xxxx
	xxxx
	xxxx
	xxxx
CORDAS VIBRANTES�
INTRODUÇÃO
	Uma onda pode ser entendida como uma perturbação que se propaga em um meio. Existem vários tipos de ondas na natureza, como por exemplo, ondas mecânicas e eletromagnéticas. Uma das principais propriedades das ondas é transportar energia sem arrastar o material onde ele se propaga.
	Neste experimento, estudaremos as ondas estacionárias. Estas são ondas transversais que se propagam numa corda vibrante. Possuem grande amplitude de vibração e é uma manifestação de ressonância da corda em relação a uma força externa.
	O objetivo deste experimento é comprovar a equação de Lagrange para cordas vibrantes (dada por fn = (n/2L)(T/μ)1/2 ) por meio de testes experimentais. Para isto, devemos modificar as variáveis que afetam a formação de ondas estacionárias nas cordas, obtendo assim, a relação destas com a freqüência de vibração da onda. As variáveis e parâmetros são: freqüência de vibração das ondas estacionárias, o número de ventres (n), o comprimento da corda (L), a tensão na corda (T) e sua densidade linear (μ). 
TRATAMENTO DE DADOS
	Gráfico f x n
	Método dos mínimos quadrados
Como a dependência deste gráfico é do tipo 
, podemos utilizar o método de mínimos quadrados para encontrar os coeficientes 
 e 
.
Sendo,
		
Considerando y = f e x = n, podemos construir as seguintes tabelas auxiliares:
	xi
	yi
	xiyi
	x2
	1
	26
	26
	1
	2
	52
	104
	4
	3
	77
	231
	9
	4
	103
	412
	16
	5
	126
	630
	25
	
	
	
	
	Σxi
	Σyi
	Σxiyi
	Σx2
	15
	384
	1403
	55
	Substituindo os valores nas equações, temos:
	
	
	Método gráfico
	
	
	
	Gráfico f x L
	Método dos mínimos quadrados
	
	Essa pode ser dita uma equação afim, tipo 
. Possibilitando assim a determinação dos coeficientes através do método dos mínimos quadrados.
		
	Sendo y = logf e x = logL, podemos construir as seguintes tabelas auxiliares:
	yi
	xi
	xiyi
	x2
	1,7160
	2
	3,4320
	4
	1,7634
	1,9542
	3,4460
	3,8189
	1,8129
	1,9031
	3,4501
	3,6218
	1,8692
	1,8451
	3,4489
	3,4044
	1,9445
	1,7782
	3,4577
	3,1620
	
	
	
	
	Σyi
	Σxi
	Σxiyi
	Σx2
	9,1060
	9,4806
	17,2347
	18,0071
	
	
	
	Temos então que:
	
		
	Método gráfico
	Gráfico f x τ
	Método dos mínimos quadrados
	
	Essa pode ser dita uma equação afim, tipo 
. Possibilitando assim a determinação dos coeficientes através do método dos mínimos quadrados.
		
	Sendo y = logf e x = logτ, podemos construir as seguintes tabelas auxiliares:
	yi
	xi
	xiyi
	x2
	1,7160
	1,6304
	2,7978
	2,6582
	1,7559
	1,7218
	3,0233
	2,9646
	1,7924
	1,7973
	3,2215
	3,2303
	1,8195
	1,8615
	3,3870
	3,4652
	1,8451
	1,9175
	3,5380
	3,6768
	
	
	
	
	Σyi
	Σxi
	Σxiyi
	Σx2
	8,9289
	8,9285
	15,9675
	15,9951
	
	
	Temos então que:
	
		
	Método gráfico
	
	
	Gráfico f x μ
	Método dos mínimos quadrados
	
	Essa pode ser dita uma equação afim, tipo 
. Possibilitando assim a determinação dos coeficientes através do método dos mínimos quadrados.
		
	Sendo x = logf e y = logμ, podemos construir as seguintes tabelas auxiliares:
	yi
	xi
	xiyi
	x2
	1,8451
	-2,8072
	-5,1796
	7,8804
	1,5798
	-2,2948
	-3,6253
	5,2661
	1,5563
	-2,2073
	-3,4352
	4,8722
	1,4914
	-2,1041
	-3,1381
	4,4272
	1,4314
	-1,9996
	-2,8622
	3,9984
	
	
	
	
	Σxi
	Σyi
	Σxiyi
	Σx2
	7,9040
	-11,4130
	-18,2404
	26,4443
	
	
	Temos então que:
	
		
	
Método Gráfico
	Determinação de m
A partir dos coeficientes e das relações encontrados no tratamento de dados, pode-se chegar a 4 relações que determinam o valor de m. Calculamos os valores das 4 utilizando pontos da folha de dados e consideramos m como sendo uma média desses valores, assim asseguramos uma maior precisão a m.
Valores esperados
A partir da equação de Lagrange, podemos deduzir os valores esperados para os coeficientes calculados acima:
Comparando com 
, temos:
�� EMBED Equation.3 
�
RESPOSTAS DA FOLHA DE QUESTÕES
As ondas estacionárias foram geradas no experimento a partir de uma corrente elétrica alternada de freqüência variável, que foi produzida pelo gerador de audiofreqüência. Quando a freqüência dessas oscilações se igualou com a do eletroímã do auto-falante, o sistema apresentou um modo normal de vibração, formando ondas estacionárias que foram transmitidas às cordas vibrantes por meio da haste presa ao diafragma do auto falante.
Sim, pois analisando o sistema como um todo quando as ondas estacionárias estão sendo geradas, podemos observar que a extremidade presa ao auto falante é um nó da onda e portanto, estacionário.
Responderemos essa pergunta baseado na expressão de Lagrange: 
Fixando μ,L e n constantes e variando a tensão τ, variamos conseqüentemente a frequência.
Fixando n, τ e μ constantes e variando o comprimento L iremos variar a freqüência.
Mantendo L e τ constantes, encontramos as seguintes relações:
Considerando v = volume e d = densidade volumétrica
As = área de secção, tal que 
.
Mantendo o mesmo material e o mesmo diâmetro, estaremos mantendo também a densidade linear.
. Com n = 1 teremos 
e 
Fazendo 
 e 
 temos:
5. A formula da velocidade retirada da equação de Lagrange é
. Com isso, na expressão que encontramos a velocidade será apenas 
 No segundo conjunto de medidas , para qualquer que seja L a velocidade não varia, sendo 
.
6. Quando um pulso é lançado em um fio com densidades diferentes, o esperado é que o pulso viaje pelo fio fino e, ao encontrar o fio grosso, será refletido com a mesma velocidade e, refratado para o fio mais grosso com velocidade inferior, pois pela expressão 
, a medida que se aumenta a densidade linear, a velocidade diminui. Um exemplo deste fenômeno na natureza é quando a luz solar penetra na água e avança com uma velocidade maior do que anteriormente.
CONCLUSÃO
Foi comprovado que os harmônicos são realmente múltiplos do harmônico fundamental. 
A freqüência de oscilação é inversamente proporcional ao tamanho da corda, é diretamente proporcional à tração da corda e inversamente proporcional à densidade linear da corda. Chegamos a estas conclusões através do método gráfico dos mínimos quadrados. 
Em todos os gráficos, os coeficientes encontrados foram bem próximos do esperado. Algumas fontes prováveis de erro foram: sintonia do freqüencímetro, visualização perfeita do harmônico ideal; precisão do freqüencímetro que só continha dois algarismos significativos e perdas de energia por atrito com o ar.
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