secções cônicas

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Introdução
As secções cônicas representam uma parte muito específica dentro do estudo da Matemática. Suas definições, equações e gráficos são empregados em vários conteúdos do Cálculo Integral, além de serem muitas as aplicações das cônicas na vida das sociedades. 
Desde que o matemático grego Apolônio escreveu o primeiro trabalho sobre as secções Cônicas, vários matemáticos de renome cooperaram de maneira expressiva no entendimento dessas curvas e suas aplicações nos mais distintos assuntos.
Este trabalho tem por objetivo abordar suas definições, equações, propriedades de reflexão e caracterizações.
Desenvolvimento
As secções cônicas começaram a ser estudadas no século III a.C, na Grécia Antiga. O seu interesse inicial residia no contributo que a sua utilização poderia dar para a resolução dos três problemas clássicos: trissectar um ângulo, quadrar um círculo e duplicar um cubo. Euclides escreveu um tratado sobre as cônica, que se perdeu. A Apolônio, matemática grega, devem-se os nomes que ainda hoje utilizamos para a elipse, a hipérbole e a parábola.
Os desenvolvimentos a volta das secções cônicas efetuadas nessa altura vieram a estar na base da formulação de várias teorias sobre curvas no séc. XVII. Por exemplo, Kepler usou a elipse para descrever as trajetórias dos planetas e Galileu a parábola para representar o movimento de projeteis na terra.
Uma secção cônica é uma curva que resulta da interseção entre um plano e uma superfície cônica assente numa base circular, que se estende indefinidamente através do seu vértice em ambas as direções.
Existem cinco tipos possíveis de secções cônicas: a elipse, a hipérbole, a parábola, a circunferência, e um par de retas concorrentes. Estes dois últimos são casos particulares da elipse e da hipérbole, respectivamente. 
Elipse
   Considerando, num plano , dois pontos distintos, F1 e F2 , e sendo 2a um número real maior que a distância entre F1 e F2, chamamos de elipse o conjunto dos pontos do plano  tais que a soma das distâncias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2a.
   Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um mesmo plano e F1F2 < 2a, temos:
 
    A figura obtida é uma elipse.
Observações:
1ª) A Terra descreve uma trajetória elíptica em torno do sol, que é um dos focos dessa trajetória.
     A lua em torno da terra e os demais satélites em relação a seus respectivos planetas também apresentam esse comportamento.
2ª) O cometa de Halley segue uma órbita elíptica, tendo o Sol como um dos focos.
3ª) As elipses são chamadas cônicas porque ficam configuradas pelo corte feito em um cone circular reto por um plano oblíquo em relação à sua base. 
 Elementos
    Observe a elipse a seguir. Nela, consideramos os seguintes elementos:
 
focos : os pontos F1 e F2 
centro: o ponto O, que é o ponto médio de 
semi-eixo maior: a
semi-eixo menor: b
semidistância focal: c
vértices: os pontos A1, A2, B1, B2
eixo maior: 
eixo menor:
distância focal: 
Relação fundamental
    Na figura acima, aplicando o Teorema de Pitágoras ao tri6angulo OF2B2 , retângulo em O, podemos escrever a seguinte relação fundamental:
a²= b²+c²
Excentricidade
    Chamamos de excentricidade o número real e tal que: 
E=
Pela definição de elipse, 2c < 2a, então c < a e, consequentemente, 0 < e < 1.
Observação: Quando os focos são muito próximos, ou seja, c é muito pequeno, a elipse se aproxima de uma circunferência.
Equações
   Vamos considerar os seguintes casos:
a) elipse com centro na origem e eixo maior horizontal
   Sendo c a semidistância focal, os focos da elipse são F1(-c, 0) e F2(c, 0):
Aplicando a definição de elipse , obtemos a equação da elipse:
b) elipse com centro na origem e eixo maior vertical
   Nessas condições, a equação da elipse é:
 
Vamos determinar as equações das seguintes elipses:
a)
a² = b² + c²
a² = 6² + 8²
a² = 36 + 64
a² = 100
a = 10
Equação:
 
b) 
a² = b² + c²
a² = 5² + 12²
a² = 25 + 144
a² = 169
a = 13
Hipérbole
   Considerando, num plano , dois pontos distintos, F1 e F2 , e sendo 2a um número real menor que a distância entre F1 e F2 , chamamos de hipérbole o conjunto dos pontos do plano tais que o módulo da diferença das distâncias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2a.
   Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um mesmo plano e F1F2 = 2c, temos:
A figura obtida é uma hipérbole. 
Observação: os dois ramos da hipérbole são determinados por um plano paralelo ao eixo de simetria de dois cones circulares retos e opostos pelo vértice:
Excentricidade
        Chamamos de excentricidade o número real e tal que:
    Como c > a, temos e> 1
. Equações
   Vamos considerar os seguintes casos:
hipérbole com centro na origem e focos no eixo Ox
F1 (-c, 0) F2 ( c, 0)
  Aplicando a definição de hipérbole:
Obtemos a equação da hipérbole:
b) hipérbole com centro na origem e focos no eixo Oy
    Nessas condições, a equação da hipérbole é:
Determinar a equação da hipérbole de focos F1(-3,0) e F2(3,0), cujo o eixo real mede 4.
Parábola
    Dados uma reta d e um ponto F , de um plano , chamamos de parábola o conjunto de pontos do plano eqüidistantes de F e d
Assim, sendo, por exemplo, F, P, Q e R pontos de um plano e d uma reta desse mesmo plano, de modo que nenhum ponto pertença a d, temos:
Observações:
1ª) A parábola é obtida seccionando-se obliquamente um cone circular reto:
2ª) Os telescópios refletores mais simples têm espelhos com secções planas parabólicas.
3ª) As trajetórias de alguns cometas são parábolas, sendo que o Sol ocupa o foco.
4ª) A superfície de um líquido contido em um cilindro que gira em torno de seu eixo com velocidade constante é parabólica.
Equações
   Vamos considerar os seguintes casos:
parábola com vértice na origem, concavidade para a direita e eixo de simetria horizontal
   Como a reta d tem equação   e na parábola temos:
;
	y2 = 2px
P(x, y);
dPF = dPd ( definição);
        obtemos, então, a equação da parábola:
b) parábola com vértice na origem, concavidade para a esquerda e eixo de simetria horizontal
Nessas condições, a equação da parábola é:
	
y2 = -2px
1 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(2,0) e vértice na origem?
Solução: Temos p/2 = 2 \ p = 4
Daí, por substituição direta, vem:
y2 = 2.4.x \ y2 = 8x ou y2 - 8x = 0.
2 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(4,0) e vértice no ponto V(2,0)?
Solução: Como já sabemos que VF = p/2, vem, 2 = p/2 \ p = 4.
Logo, (y - 0)2 = 2.4(x - 2)2\ y2 = 8(x-2) \ y2 - 8x + 16 = 0, que é a equação da parábola.
Conclusão
Neste trabalho pode-se alargar nossos conhecimentos a respeito das seções cônicas, conhecer melhor as cônicas, como por exemplo Elipse (São figuras geométricas fechadas, formadas por segmentos de reta); Hipérbola, Local geométrico de todos os pontos para as quais a diferença das distâncias a dois pontos fixos, chamados focos é constante. Uma parábola é uma linha que pode ser ajustado, em um espaço bidimensional e em relação a sistema de coordenadas ortonormales, com o relacionamento e=a.x²+b, ou a aplicação de uma transformação que represente um giro, a dita relacionamento.
Referências
http://www.somatematica.com.br/emedio/conicas/conicas5.php
http://www.profcardy.com/exercicios/home.php?id=808
http://classroom.orange.com/pt/secoes-conicas_1.html
http://www.dmm.im.ufrj.br/projeto/rived/modulo_hiperbole/q2.htm