Lista de Exercícios Derivada e L’HÔPITAL

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PAMPA - UNIPAMPA – Campus Bagé 
DISCIPLINA: Cálculo 1 Prof.ª Karlla Morales 
 
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DERIVADA DAS FUNÇÕES EXPONENCIAIS, LOGARÍTMICAS E 
TRIGONOMÉTRICAS 
 
A derivada das funções exponenciais, logarítmicas e trigonométricas é dada através das 
fórmulas abaixo, onde u é uma função derivável de x e a é uma constante. 
 
1) 
aauyaaay uu ln'')1,0( 
 
2) 
uu euyey  ''
 
3) 
e
u
u
yuy aa log
'
'log 
 
4) 
u
u
yuy
'
'ln 
 
5) 
uuyuy cos''sen 
 
6) 
uuyuy sen''cos 
 
7) 
uuyuy 2sec'' tg 
 
8) 
uuyuy 2cosec'' gcot 
 
9) 
uuuyuy tgsec''sec 
 
10) 
uuuyuy cotg cosec'' cosec 
 
 
Exemplos: Derive as seguintes funções: 
 
1) 
xxxf 63
2
2)( 
 
 
 
 
 
 
 
2) )42sen()(  xxf 
 
 
 
 
 
 
3) 2 cotg2cos)( xxxf  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS 
 
1. 
xexf 5)( 
 R: 
xe55
 
2. 
122)(  xxexf
 R: 
122)22(  xxex
 
3. 
xexf 05,01030)( 
 R: 
xe 05,05,0 
 
4. 
xxf 2sen4)( 
 R: 
xx 2cos4)4ln2( 2sen
 
5. 
xexxxf 62 )53()( 
 R: 
xexx 62 )33206( 
 
6. 
xe
x
xf )(
 R: 
xe
x1
 
7. 
xxxg 2
2
10)( 
 R: 
xxx 2
2
10)10)(ln22( 
 
8. 
xexf 3)( 
 R: 
xe
x
3
32
3
 
9. 
x
x
xh 10
log
)( 
 R: 
x
e
x
102
log
1
 
10. 
3ln)( xxf 
 R: 
x
3
 
11. 
)25ln()( 2  xxxf
 R: 
25
52
2 

xx
x
 
12. 
xxxf ln)( 2
 R: 
xxx ln2
 
13. 
x
x
xf
ln
)( 
 R: 
)ln1(
1
2
x
x

 
14. 
xexf 2ln)( 
 R: 2 
15. 
)2sen()( 2  xxK
 R: 
)2cos(2 2 xx
 
16. 
 3cos)( 5f
 R:  3sen3cos15 4 
17. 
xxxf 3cos)3cos()( 22 
 R: 
xxxx 3sen3cos6)3sen(6 2 
 
18. 
zzzK 5cot)( 2
 R: 
zzzz 5eccos55cot2 22
 
19. 
xxxh 32 sectg)( 
 R: 
xxxx 335 sectg3sec tg2 
 
20. 
12cos
2sen3
)(
2 

y
y
yf
 R: 
22
2
)12(cos
)22(sen2cos6
)(



y
yy
yf
 
 
 
REGRAS DE L’HÔPITAL 
 
Trata-se de um método geral para resolver indeterminações do tipo 0 0 ou 
∞
∞ . 
 
Sejam 𝑓 e 𝑔 funções deriváveis num intervalo aberto 𝐼, exceto, possivelmente, em um ponto 
𝑎 ∈ 𝐼. Suponhamos que 𝑔′(𝑥) ≠ 0 para todo 𝑥 ≠ 𝑎 em 𝐼. 
(i) Se lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 0 e lim𝑥→𝑎
𝑓 ′ (𝑥)
𝑔 ′ (𝑥)
= 𝐿, então 
 lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= lim𝑥→𝑎
𝑓 ′ (𝑥)
𝑔 ′ (𝑥)
= 𝐿; 
 
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(ii) Se lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = ∞ e lim𝑥→𝑎
𝑓 ′ (𝑥)
𝑔 ′ (𝑥)
= 𝐿, então 
 lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= lim𝑥→𝑎
𝑓 ′ (𝑥)
𝑔 ′ (𝑥)
= 𝐿; 
 
 
Exemplos: 
1. lim𝑥→0
2𝑥
𝑒𝑥−1
 
 
 
 
 
 
 
2. lim𝑥→2
𝑥2+𝑥−6
𝑥2−3𝑥+2
 
 
 
 
 
 
3. lim𝑥→0
𝑠𝑒𝑛 𝑥−𝑥
𝑒𝑥+𝑒−𝑥−2