LISTA ESTRUTURAS

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Primeira Lista de Exerc´ıcios:
Questa˜o 1. Mostre que a relac¸a˜o R sobre R definida por xRy se, e somente
se, |x| = |y| e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia. A seguir descreva as classes 1 ; 0
e −4.
Questa˜o 2. Prove que A = {
[
a 0
0 b
]
: a, b ∈ Z} e´ um subanel do anel
M2(Z) das matrizes inteiras 2×2. A e´ ideal de M2(Z)? E A = {
[
2a 2b
2c 2d
]
:
a, b, c, d ∈ Z} e´ um ideal de M2(Z)?
Questa˜o 3. Considere no conjunto dos nu´meros inteiros a seguinte relac¸a˜o:
x ∼ y ⇐⇒ x− y = 3k, para algum k ∈ Z.
Essa relac¸a˜o e´ de equivaleˆncia? Justifique.
Questa˜o 4. Considere no conjunto dos nu´meros inteiros a seguinte relac¸a˜o:
x ∼ y ⇐⇒ x− y = 2k − 1, para algum k ∈ Z.
Essa relac¸a˜o e´ de equivaleˆncia? Justifique.
Questa˜o 5. Prove que o anel das matrizes 3 × 3 sobre os inteiros e´ na˜o
comutativo.
Questa˜o 6. Seja A um domı´nio de integridade. Prove que ab = ac⇒ b = c
ou a = 0.
Questa˜o 7. Sejam A um anel, L1, L2 subane´is de A. Verifique se:
a. L1 ∩ L2 e´ um subanel de A.
b. L1 ∪ L2 e´ um subanel de A.
c. L1 + L2 = {l = l1 + l2; l1 ∈ L1 e l2 ∈ L2} e´ um subanel de A.
Questa˜o 8. Considere o anel Z10. Verdadeiro ou falso (Justifique):
a. 1 = 11
1
b. −4 = 4
c. −3 = 7
d. 5 = 226
Questa˜o 9. Sejam A um anel, I1, I2 ideais de A. Verifique se:
a. I1 ∩ I2 e´ um ideal de A.
b. I1 ∪ I2 e´ um ideal de A.
c. I1 + I2 = {x = x1 + x2;x1 ∈ I1 e x2 ∈ I2} e´ um ideal de A.
d. I1 + I2 = {x = x1 + x2;x1 ∈ I1 e x2 ∈ I2} e´ um subanel de A.
Questa˜o 10. a. Demonstre que o nu´cleo de um homomorfismo e´ um ideal.
b. Deˆ exemplo de um subanel que na˜o e´ um ideal.
c. Deˆ exemplo de um homomorfismo cuja imagem na˜o e´ um ideal.
Questa˜o 11. 3Z e 5Z sa˜o isomorfos? Por que?
Questa˜o 12. Resolva as congrueˆncias:
a. 18x ≡ 12(mod42).
b. 3x ≡ 5(mod7).
c. 4x ≡ 2(mod3).
d. 6125 ≡ 77(mod189).
Questa˜o 13. Resolva o sistema de congrueˆncias: x ≡ 1(mod7);x ≡ 4(mod9);x ≡
3(mod5).
Questa˜o 14. Ache o inverso de 1951 em Z2431
Questa˜o 15. Descreva as classes de equivaleˆncia da relac¸a˜o ∼ induzida
naturalmente pela func¸a˜o f : R×R→ R tal que f(x, y) = y. Que conjunto
e´ a unia˜o dessas classes? Descreva esse conjunto.
Questa˜o 16. Seja f : A→ B um homomorfismo de ane´is. Mostre que :
a. Se J e´ um ideal primo de B, enta˜o f−1(J) e´ um ideal primo de A.
2
b. Se I e´ um ideal primo de A contendo N(f), enta˜o f(I) e´ um ideal primo
de f(A)
Questa˜o 17. Prove que os os corpos Q[
√
2] e Q[
√
5] na˜o sa˜o isomorfos.
Questa˜o 18. Mostre que as u´nicas soluc¸o˜es de x2 = x em um domı´nio de
integridade sa˜o 0 e 1.
Questa˜o 19. Verifique se cada uma das seguintes relac¸o˜es e´ de equivaleˆncia
e, em caso afirmativo, determine as classes de equivaleˆncia:
a. S e´ a relac¸a˜o em R definida por xSy ⇔ x2 = y2. [b.] Seja n um inteiro
positivo e ∼ a relac¸a˜o em Z definida por: x ∼ y ⇔ n divide (x− y).
c. ≡ e´ a relac¸a˜o em Z2 definida por (a, b)(c, d)⇔ ad = bc.
d. Em Z, a ∼ b⇔ mdc(a, b) = 1.
Questa˜o 20. Mostre que a relac¸a˜o R sobre R2 definida por (x1, y1)R(x2, y2)
se, e somente se, x1 − y1 = x2 − y2 e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia. A seguir
descreva as classes (1, 1) e (1, 3).
Questa˜o 21. Verifique se a func¸a˜o f : C → C dada por f(a+ b · i) = a− b · i
e´ um homomorfismo de ane´is
Questa˜o 22. Considere o anel R.
a. Z e´ um subanel de R? Justifique.
b. N e´ um subanel de R? Justifique.
c. 2Z e´ um ideal de R? Justifique.
Questa˜o 23. Encontre todos os automorfismos de Z[
√
3].
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