C LISTA DE EXERCÍCIOS 1 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

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Universidade Federal de Ouro Preto 
Instituto de Ciências Exatas e Biológicas – Departamento de Matemática 
MTM 151 – Estatística e Probabilidade – Turma 76 
Professor: Rodrigo Luiz Pereira Lara 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 1 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS 
 
Questão 1 – Uma variável aleatória 
X
 tem a seguinte função de probabilidade: 
 











.0
;151,0
;23,0
;6512,0
)(
valoresoutrospara
xse
xse
xouxouxse
xP 
 
Determine: 
a) A função de distribuição acumulada de 
X
. 
b) 
)2( XP
. d) 
)123(  XP
. 
c) 
)2( XP
. e) 
)14( XP
. 
 
 
Questão 2 – Uma variável aleatória 
X
 tem a seguinte função de distribuição 
acumulada: 
 














.251
;25139,0
;13125,0
;12102,0
;100
)(
xse
xse
xse
xse
xse
xF
 
 
Determine: 
a) A função de probabilidade de 
X
. 
b) 
)12( XP
. d) 
)2012(  XP
. 
c) 
)12( XP
. e) 
)18( XP
. 
 
 
Questão 3 – Uma moeda viciada tem probabilidade de cara igual a 0,4. Para dois 
lançamentos consecutivos dessa moeda faça o seguinte estudo da variável aleatória 
:X
 
número de caras obtidas no experimento. 
Obtenha: 
a) A distribuição de probabilidade. e) O gráfico da FDA. 
b) A função de probabilidade. f) 
)(XE
. 
c) O gráfico da função de probabilidade. g) Interprete o valor 
)(XE
. 
d) A função de distribuição acumulada. h) 
)(XV
. 
 
 
Questão 4 – Um caminho para chegar a uma festa pode ser dividido em três etapas. Sem 
enganos o trajeto é feito em 1 hora. Se enganos acontecem na primeira etapa, acrescente 
10 minutos ao tempo do trajeto. Para enganos na segunda etapa, o acréscimo é 20 e, 
para a terceira, 30 minutos. Admita que a probabilidade de engano é 0,1; 0,2 e 0,3 para a 
primeira, segunda e terceira etapas, respectivamente. 
a) É provável haver atraso na chegada à festa? 
b) Determine a probabilidade de haver atraso. 
c) Determine a probabilidade do atraso não passar de 40 minutos. 
 
Questão 5 – Seja 
X
 uma variável segundo o modelo Uniforme Discreto, com valores 
no conjunto {1, 2, 3, ... , 10}. Pede-se: 
a) 
).7( XP
 d) 
).85(  XouXP
 
b) 
).73(  XP
 e) 
).63(  XeXP
 
c) 
).82(  XouXP
 f) 
).6|9(  XXP
 
 
 
Questão 6 – Um agricultor cultiva laranjas e também produz mudas para vender. Após 
alguns meses a muda pode ser atacada por fungos com probabilidade 0,05 e, nesse caso, 
ela é escolhida para ser recuperada com probabilidade 0,5. Admita que o processo de 
recuperação é infalível. O custo de cada muda produzida é R$ 1,00; acrescido de R$ 
0,50 se precisar ser recuperada. Cada muda é vendida a R$ 3,00 e são descartadas as 
mudas não recuperadas de ataque de fungos. Seja 
X
 a variável aleatória ganho por 
muda produzida. 
Obtenha: 
a) A distribuição de probabilidade. e) O gráfico da FDA. 
b) A função de probabilidade. f) 
)(XE
. 
c) O gráfico da função de probabilidade. g) Interprete o valor 
)(XE
. 
d) A função de distribuição acumulada. h) 
)(XV
. 
 
 
Questão 7 – Uma agência de turismo apresenta aos clientes o orçamento de uma certa 
viagem em duas partes. A primeira é o transporte aéreo que têm três opções com preços 
3; 3,5 e 4 mil reais e preferências de escolha de 0,5; 0,3 e 0,2 para as companhias TWA, 
TWB e TWC, respectivamente. A segunda parte do orçamento é a escolha de estada. 
Existem quatro opções de hotéis que custam 2; 2,5, 3 e 3,5 mil reais e são escolhidos 
pelos clientes com a mesma preferência, independentemente da companhia aérea. Seja 
X
 a variável aleatória orçamento da viagem. Calcule a função de probabilidade e 
função de distribuição acumulada da variável 
X
. 
 
Questão 8 – Um equipamento consiste de duas peças A e B que têm 0,10 e 0,15 de 
probabilidade de serem de qualidade inferior. Um operário escolhe ao acaso uma peça 
do tipo A e uma do tipo B para construir o equipamento. Na passagem pelo controle de 
qualidade o equipamento vai ser classificado. Será considerado como nível I se as peças 
A e B forem de qualidade inferior. Será nível II se apenas uma delas for de qualidade 
inferior e, nível III, no outro caso. O lucro na venda é de R$ 10,00; R$ 20,00 e R$ 30,00 
para os níveis I, II e III respectivamente. Faça um estudo da variável lucro. 
Seja 
X
 a variável aleatória lucro para uma peça produzida. E seja 
W
 a variável 
aleatória lucro para duas peças produzidas. 
a) Obtenha a distribuição de probabilidade de 
X
. 
b) Obtenha a distribuição de probabilidade de 
W
. 
c) Para duas peças produzidas, qual a probabilidade de pelo menos R$ 30,00 de lucro? 
 
Questão 9 – Na verificação de máquinas, observam-se as partes elétrica, mecânica e 
estrutural. A probabilidade de aparecer uma falha em cada uma das partes é 0,01; 
independente das demais. Ocorrendo falha, o tempo de conserto é 10, 20 ou 50 minutos 
para falha elétrica, mecânica ou estrutural, respectivamente. Para uma máquina 
escolhida ao acaso, qual a probabilidade do tempo de interrupção (se não há falha, esse 
tempo é zero): 
a) Durar menos de 25 minutos? 
b) Ultrapassar 40 minutos? 
 
Questão 10 – Uma empresa paga a seus estagiários de engenharia de acordo com o ano 
de curso do estudante. Para se obter o salário mensal pago por 30 horas semanais, 
multiplica-se o salário mínimo pelo ano de curso do estagiário. Dessa forma, o 
estudante do primeiro ano ganha um salário mínimo, o do segundo recebe dois e assim 
por diante até o quinto ano. A empresa vai empregar dois novos estagiários e admitimos 
que todos os anos têm igual número de estudantes interessados no estágio (considere a 
população de candidatos muito grande de modo a não haver diferença entre escolher 
com ou sem reposição). Pergunta-se a probabilidade de: 
a) Os dois serem do primeiro ano. 
b) A empresa gastar no máximo 3 salários mínimos com os estágios. 
c) Sabendo-se que gastou pelo menos 4, gastar menos de 7 salários mínimos. 
 
 
ALGUMAS RESPOSTAS OU AUXÍLIO DE SOLUÇÃO: 
 
Questão 1 b) 0 c) 0,2 d) 0,4 e) 0,1 
 
Questão 2 b) 0,5 c) 0,2 d) 0,7 e) 0,1 
 
Questão 3 
a) x 0 1 2 f) 0,8. 
p(x) 0,36 0,48 0,16 h) 0,48. 
 
Questão 4 – Seja 
A
 a variável aleatória atraso (minutos) para chegar à festa. 
a 0 10 20 30 40 50 60 
p(a) 0,504 0,056 0,126 0,23 0,024 0,054 0,006 
 
a) 
496,0)0( AP
 b) 
436,0)400(  AP
 
 
Questão 5 
a) 0,4 b) 0,4 c) 0,4 d) 0,6 e) 0,2 f) 0,8 
 
Questão 6 
a) x –1 1,5 2,0 f) R$ 1,91. 
p(x) 0,025 0,025 0,95 h) 0,23315 reais
2
. 
 
Questão 7 
Distribuição de probabilidade: 
x 5000 5500 6000 6500 7000 7500 
p(x) 0,125 0,2 0,25 0,25 0,125 0,05 
 
 
Questão 8 
a) x 10 20 30 
p(x) 0,015 0,22 0,765 
 
b) w 20 30 40 50 60 
 p(w) 0,000225 0,0066 0,07135 0,3366 0,585225 
c) 
999775,0)30( WP
 
 
Questão 9 – Seja 
T
 a variável aleatória tempo de interrupção. 
t 0 10 20 50 60 70 80 
p(t) 0,970299 0,009801 0,009801 0,009801 0,000099 0,000198 0,000001 
 
a) 
989901,0)25( TP
 b) 
010099,0)40( TP
 
 
Questão 10 – Seja 
S
 a variável aleatória quantidade de salários mínimos que a empresa 
irá gastar. 
a) 
25
1
 b) 
25
3
)3( SP
 c) 
11
6
)4|7(  SSP
 
 
s 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
p(s) 
25
1
 
25
2
 
25
3
 
25
4
 
25
5
 
25
4
 
25
3
 
25
2
 
25
1