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Unidade III 
 
 
PESQUISA OPERACIONAL 
 
 
 
Prof. Mauricio Fanno 
Problemas de minimização 
 Nas unidades I e II vimos problemas de maximização. 
 Veremos, nesta unidade, um problema de minimização. 
Para tanto, usaremos, como sempre, um exemplo: 
 Um fornecedor deve preparar, no mínimo, cinco tipos de 
bebidas a base de frutas disponíveis em seu estoque, 500 
litros de isotônico contendo pelo menos 20% de suco de 
laranja, 10% de suco de uva e 5% de suco de tangerina. A 
partir dos dados da tabela seguinte, determinar a quantidade 
de cada uma das bebidas básicas que o fornecedor deve 
utilizar, de forma a obter a composição requerida a um custo 
mínimo. 
 
 
Problemas de minimização: enunciado 
Problemas de minimização: modelagem 
Problemas de minimização: modelagem 
Problemas de minimização: planilha base 
Dados de entrada 
 
 
 
 
 Células B3 a F3 – custos das bebidas por litro. 
 Células B4 a F4 – variáveis de decisão – Qtd. de cada bebida. 
 Células B5 a F5 – custo total por bebida = Linha 3 x Linha 4. 
 Célula G4 – soma A4 a F4. 
 Célula G5 – soma A5 a F5. 
 Célula H4 – quantidade de litros a ser produzida. 
Problemas de minimização: planilha base 
Restrições 
 
 
 
 
 
 
 
 Células B8 a F8 – qtd. % de suco de laranja por bebida. 
 Células B9 a F9 – qtd. % de suco de uva por bebida. 
 Células B10 a F10 – qtd. % de suco de tangerina por bebida. 
 Células B12 a F12 – estoque em litros de cada bebida. 
Problemas de minimização: planilha base 
Restrições 
 
 
 
 
 
 
 
 Células G8; G9 e G10 – quantidade ponderada de cada um dos 
sucos. Soma da porcentagem de cada bebida pela quantidade 
de cada bebida a ser usada (incógnitas). 
 Células H8 a H10 – % de cada tipo de suco obrigatório 
no produto final. 
Problemas de minimização: parâmetros do Solver 
Variáveis 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Observe que optamos pela minimização clicando em: 
Problemas de minimização: parâmetros do Solver 
Restrições 
 
 
 
 
 
 
Não esquecer de selecionar variáveis não nulas e LG Simplex. 
 
 
 
 
Problemas de minimização: parâmetros do Solver 
Problemas de minimização: Solver executado 
Problemas de minimização: Solução final 
Interatividade 
Entende-se por problemas de minimização: 
a) Problema em que as restrições são do tipo menor ou igual. 
b) Problema em que as restrições têm importância mínima. 
c) Problema em que a função objetivo deve assumir valor 
mínimo. 
d) Problema em que as variáveis de decisão devem assumir 
valor mínimo. 
e) Problema em que os recursos são mínimos. 
 
Problema de transporte 
 Aparece quando há a necessidade de distribuição 
de bens e serviços. 
 de várias fontes de suprimento (como fábricas, 
por exemplo). 
 para várias localizações de demanda (como armazéns 
ou centros distribuidores). 
 Em geral, a quantidade disponível de bens em cada fonte 
de suprimento é fixa ou limitada. 
 Cada destino, por sua vez, tem também uma demanda 
especificada. 
 
Problema de transporte 
 Existem rotas e custos de transporte diferentes entre cada 
fonte e cada destino. 
 É preciso determinar quanto deve ser enviado de cada fonte 
para cada destino, de maneira a satisfazer as demandas e 
minimizar o custo total de transporte. 
 
 
 
 
Exemplo de aplicação 
Existem três fontes de suprimento de um dado produto, as 
quais serão indicadas por F1; F2 e F3, com as seguintes 
capacidades mensais de produção: 
 F1: 10.000 unidades; 
 F2: 15.000 unidades; 
 F3: 5.000 unidades. 
Exemplo de aplicação 
Essas três fontes devem suprir as necessidades de quatro 
armazéns (destinos) indicados por D1, D2, D3 e D4, com as 
seguintes demandas do produto por mês: 
 D1: 8.000 unidades; 
 D2: 4.000 unidades; 
 D3: 7.000 unidades; 
 D4: 11.000 unidades. 
Exemplo de aplicação 
Exemplo de aplicação 
Admitamos que os custos de transporte nas várias 
rotas variem segundo a matriz: 
 
Exemplo de aplicação: matriz de transporte 
Com as informações sobre demanda dos destinos e capacidade 
de suprimento das fontes, construímos a chamada 
matriz de transporte: 
 
Exemplo de aplicação: função objetivo 
Função objetivo: 
Minimizar custo: 13x11 + 8x12 + 9x13 + 12x14 + 12x21 + 9x22 + 
10x23 + 14x24 + 8x31 + 8x32 + 9x33 + 6x34 
Exemplo de aplicação: restrições 
Restrições relativas à produção das fontes: 
Fonte F1 
x11 + x12 + x13 + x14 = 10.000 
Fonte F2 
x21 + x22 + x23 + x24 = 15.000 
Fonte F3 
x31 + x32 + x33 + x34 = 5.000 
 
Exemplo de aplicação: restrições 
Restrições relativas às demandas dos destinos: 
 Destino D1: 
 x11 + x21 + x31 = 8.000 
 Destino D2: 
 x12 + x22 + x32 = 4.000 
 Destino D3: 
 x13 + x23 + x33 = 7.000 
 Destino D4: 
 x14 + x24 + x34 = 11.000 
 
Exemplo de aplicação: modelagem matemática 
Minimizar custo: 
13x11 + 8x12 + 9x13 + 12x14 + 12x21 + 9x22 + 10x23 
+ 14x24 + 8x31 + 8x32 + 9x33 + 6x34 
Sujeito a: 
 x11 + x12 + x13 + x14 = 10.000 
 x21 + x22 + x23 + x24 = 15.000 
 x31 + x32 + x33 + x34 = 5.000 
 x11 + x21 + x31 = 8.000 
 x12 + x22 + x32 = 4.000 
 x13 + x23 + x33 = 7.000 
 x14 + x24 + x34 = 11.000 
 
Interatividade 
No problema de transporte, podemos dizer que a restrição para 
custo mínimo é: 
a) Maior ou igual à demanda e ao suprimento, porque devemos 
estar preparados para transportar um volume superior ao 
estabelecido. 
b) Menor ou igual à demanda e ao suprimento, porque iremos 
transportar um volume inferior ao estabelecido. 
c) Igual à demanda ou suprimento, porque, se trabalharmos com 
menor ou igual, a solução óbvia será transporte igual a zero. 
d) Sempre que for minimização, será menor ou igual. 
e) Sempre que for minimização, será maior ou igual. 
Problema de transporte: resolução pelo método 
computacional 
Minimizar custo: 
13x11 + 8x12 + 9x13 + 12x14 + 12x21 + 9x22 
+ 10x23 + 14x24 + 8x31 + 8x32 + 9x33 + 6x34 
Sujeito a: 
 x11 + x12 + x13 + x14 = 10.000 
 x21 + x22 + x23 + x24 = 15.000 
 x31 + x32 + x33 + x34 = 5.000 
 x11 + x21 + x31 = 8.000 
 x12 + x22 + x32 = 4.000 
 x13 + x23 + x33 = 7.000 
 x14 + x24 + x34 = 11.000 
 
Montagem da planilha do Solver 
 Função objetivo: 
Montagem da planilha do Solver 
 Restrições: 
 
Montagem da planilha do Solver 
Montagem da planilha do Solver 
Montagem da planilha do Solver 
Montagem da planilha do Solver 
Interatividade 
Uma das seguintes afirmativas é falsa. Qual? 
a) O primeiro passo para a utilização do Solver é montar uma 
planilha com todas as informações do modelo matemático. 
b) A função objetivo e as restrições devem ser colocadas no Excel 
como fórmulas matemáticas, usando as diversas células. 
c) Na tela de parâmetros do Solver, deve ser colocada a função 
objetivo no campo Alterando Células Variáveis. 
d) As restrições devem ser colocadas uma a uma na caixa 
Adicionar Restrição. 
e) As restrições lógicas são atendidas por meio da seleção do 
campo Tornar Variáveis Irrestritas Não Negativas. 
Relatórios do Solver 
Ferramenta Solver do Excel®: relatório de respostas 
Ferramenta Solver do Excel®: relatório de 
sensibilidade 
Ferramenta Solver do Excel®: relatório de limites 
Problemas de minimização: Solver executado 
Ferramenta Solver do Excel®: relatório de respostas 
Ferramenta Solver do Excel®: relatório de 
sensibilidade 
Ferramenta Solver do Excel®: relatório de limites 
Interatividade 
Vamos considerar que, no exemplo que utilizamos, 
desejássemos alterar valores das variáveis e restrições. Qual o 
relatório que nos mostraria os reflexos dessasalterações na 
solução ótima? 
a) Relatório de respostas. 
b) Relatório de limites. 
c) Relatório de sensibilidade. 
d) Relatório de limites junto com o de respostas. 
e) Relatório de impactos. 
 
 
 
 
 
ATÉ A PRÓXIMA! 
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	Problemas de minimização
	Problemas de minimização: enunciado
	Problemas de minimização: modelagem
	Problemas de minimização: modelagem
	Problemas de minimização: planilha base �Dados de entrada
	Problemas de minimização: planilha base �Restrições
	Problemas de minimização: planilha base �Restrições
	Problemas de minimização: parâmetros do Solver Variáveis
	Problemas de minimização: parâmetros do Solver Restrições
	Problemas de minimização: parâmetros do Solver
	Problemas de minimização: Solver executado
	Problemas de minimização: Solução final
	Interatividade
	Resposta
	Problema de transporte
	Problema de transporte
	Exemplo de aplicação
	Exemplo de aplicação
	Exemplo de aplicação
	Exemplo de aplicação
	Exemplo de aplicação: matriz de transporte
	Exemplo de aplicação: função objetivo
	Exemplo de aplicação: restrições
	Exemplo de aplicação: restrições
	Exemplo de aplicação: modelagem matemática
	Interatividade
	Resposta
	Problema de transporte: resolução pelo método computacional
	Montagem da planilha do Solver
	Montagem da planilha do Solver
	Montagem da planilha do Solver
	Montagem da planilha do Solver
	Montagem da planilha do Solver
	Montagem da planilha do Solver
	Interatividade
	Resposta
	Relatórios do Solver
	Ferramenta Solver do Excel®: relatório de respostas
	Ferramenta Solver do Excel®: relatório de sensibilidade
	Ferramenta Solver do Excel®: relatório de limites
	Problemas de minimização: Solver executado
	Ferramenta Solver do Excel®: relatório de respostas
	Ferramenta Solver do Excel®: relatório de sensibilidade
	Ferramenta Solver do Excel®: relatório de limites
	Interatividade
	Resposta
	Slide Number 48