Cap Vetores 2D revisao

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Mecânica Geral 
 
Capítulo 1 – Conceitos de 
Vetores: Força e Posição 
Profª. Tarcilene Heleno 
Grandezas Escalares 
 Uma grandeza escalar é qualquer quantidade 
física caracterizada por um número real que pode ser 
completamente especificada por sua intensidade. 
 Exemplos: o tempo, a massa, o volume, o 
comprimento, etc. 
 Uma grandeza vetorial é qualquer quantidade 
física que requer uma intensidade, direção e sentido. 
 Exemplos: posição, força e momento. 
 
 
 
 
Grandezas Vetoriais 
 
 O comprimento da seta representa a intensidade do 
vetor e o ângulo θ entre o vetor e um eixo fixo determina a 
direção de sua linha de ação. A ponta da seta indica o 
sentido da direção do vetor. 
 As grandezas vetoriais são representadas por 
letra em negrito, como, F ou 𝐹. 
Representação de uma Grandeza 
Vetorial 
 A figura mostra a representação gráfica de dois 
vetores força atuando ao longo dos cabos de fixação de um 
poste, o ponto O é chamado de origem do vetor e o ponto P 
representa sua extremidade ou ponta. 
Operações Vetoriais 
Multiplicação e divisão de um vetor por um escalar 
 
Um vetor 𝑨 multiplicado por um escalar s é o vetor 𝑩 =s 𝑨 
que tem o módulo 𝑠 𝐴 e é paralelo a 𝑨 se s for positivo e 
antiparalelo a 𝑨 se s for negativo. 
Adição de vetores: 
Uma maneira de somar os dois vetores é a regra do 
paralelogramo. 
 Os pontos iniciais dos dois vetores coincidem numa 
origem. 
 A diagonal do paralelogramo formado pelos lados 
paralelos a 𝑨 e 𝑩 é igual a 𝑹 . 
Operações Vetoriais 
Soma Vetorial – Regra do 
Paralelogramo 
 O cálculo da força resultante pode ser obtido 
através da soma vetorial com a aplicação da regra do 
paralelogramo ou a regra do triângulo. 
Operações Vetoriais 
Adição de vetores 
 
 No caso especial em que os dois vetores 𝑨 e 𝑩 
são colineares, a lei do paralelogramo reduz-se a uma 
adição algébrica ou escalar R = A + B: 
 
 
Operações Vetoriais 
Subtração de vetores 
 
Subtrair-se o vetor 𝑩 do vetor 𝑨 fazendo-se a adição de 
- 𝑩 a 𝑨 . 
 
Operações Vetoriais 
Adição vetorial de forças: Determinando uma força resultante 
Podemos aplicar a lei dos cossenos ou a lei dos 
senos para o triângulo a fim de obter a intensidade 
da força resultante e sua direção. 
Lei dos Senos e dos Cossenos 
 Dado um triângulo ABC e seus ângulos internos α, β e γ, a 
lei dos senos é definida da seguinte forma: “Em todo triângulo, as 
medidas dos seus lados são proporcionais aos senos dos lados 
opostos”. 
 
 
 
 
A partir do mesmo triângulo ABC e seus ângulos internos α, β e γ, 
a lei dos cossenos é definida do seguinte modo: “Num triângulo, o 
quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das 
medidas dos outros dois, menos o dobro do produto das medidas 
desses dois lados pelo cosseno do ângulo oposto ao primeiro 
lado”. 
Exercício 1 
 
1) O parafuso mostrado na figura está sujeito a duas 
forças 𝐹1 e 𝐹2. Determine o módulo e a direção da força 
resultante. 
Exercício 2 
 Duas lanchas rebocam um barco de passageiros 
que se encontra com problemas em seus motores. 
Sabendo-se que a força resultante é igual a 30kN, 
encontre suas componentes nas direções AC e BC. 
Exercício 3 
 O parafuso tipo gancho mostrado na figura está 
sujeito a duas forças F1 e F2. Determine o módulo e a 
direção da força resultante. 
Exercício 4 
 A tora de madeira é rebocada pelos dois tratores 
mostrados, sabendo-se que a força resultante é igual a 
10kN e está orientada ao longo do eixo x positivo, 
determine a intensidade das forças FA e FB. 
 Considere θ = 15º 
Adição Vetorial de forças 
 Quando os problemas envolvem a adição de mais 
de duas forças, pode-se aplicar de modo sucessivo a 
regra do paralelogramo ou o triângulo de vetores de modo 
a se obter a força resultante. Um exemplo desse tipo de 
situação é mostrado na figura representada a seguir. 
Determinando uma força resultante 
 
Adição de um sistema de forças coplanares 
 Nota-se que quanto maior o número de forças envolvidas no 
sistema, maior é o tempo dispensado para encontrar a força 
resultante, pois se necessita da aplicação da regra do paralelogramo 
sucessivas vezes gerando um cansativo trabalho de geometria e 
trigonometria para se determinar o valor numérico da resultante do 
sistema e sua respectiva direção. 
 Porém, este exaustivo processo é suprido de forma rápida 
através da aplicação de uma metodologia que utiliza uma soma 
algébrica das componentes de cada um dos vetores força que formam 
o sistema. 
 Este método é denominado “método das componentes 
retangulares” e consiste em trabalhar apenas com as componentes 
dos vetores, formando desse modo um sistema de forças colineares 
projetados nos eixos de coordenadas (x,y,z) do sistema de referência. 
 Podemos representar essas componentes de duas maneiras, 
usando a notação escalar ou a notação de vetor cartesiano. 
Notação escalar 
 As componentes retangulares da Força F são 
determinadas usando a Lei do paralelogramo, de 
modo que: 
𝑭 = 𝑭𝒙 + 𝑭𝒚 
 A intensidade (módulo) dessas componentes 
são dados por: 
𝐹𝑥 = 𝐹𝑐𝑜𝑠𝜃 
𝐹𝑦 = 𝐹𝑠𝑒𝑛𝜃 
 
 
A direção de F pode ser definida também por um 
“triângulo da inclinação”. 
Vetores unitários cartesianos 
 
 Podemos representar as componentes de uma força em 
termos de vetores unitários cartesianos. Estas componentes são 
chamadas de componentes cartesianas. Os vetores unitários 
cartesianos 𝑖 e 𝑗 são vetores de módulo unitário que possuem as 
direções e sentidos dos eixos x e y, respectivamente. 
 Os vetores unitários definirão a direção e o sentido da 
componente da força. 
 
 
 
 
Notação vetorial cartesiana 
Notação vetorial cartesiana 
 Os vetores unitários cartesianos são perpendiculares 
entre si, pois, possuem a direção dos eixos cartesianos. Se 
o sentido do vetor unitário cartesiano for contrário ao do 
eixo cartesiano ele deverá ser precedido do sinal negativo. 
Convenção de Sinais. 
 x – Positivo para a direita, negativo para a esquerda. 
 y – Positivo para cima, negativo para baixo. 
 No plano, utilizam-se os vetores 𝑖 e 𝑗 . 
 
 
 
Decomposição das forças F1, F2 e F3 nos eixos x e y. 
 
 
 
 
 
Vetores Cartesianos: 
 
Força resultante: 
 soma vetorial 
Notação vetorial cartesiana 
 
 
Módulo da Força Resultante: Direção da Força Resultante: 
Resultante de forças coplanares 
Exercício 5 
 O elo da figura está submetido as forças F1 e F2 , 
determine a intensidade e a orientação da força 
resultante. 
Exercício 6 
 
A extremidade da barra está submetida a três forças 
concorrentes e coplanares. Determine a intensidade e a 
orientação da força resultante. 
Componentes retangulares de um vetor 
 Um vetor A pode ter um, dois ou três componentes ao longo 
dos eixos de coordenadas x, y e z. 
 A quantidade de componentes depende de como o vetor 
está orientado em relação a esses eixos. 
 Sistema de coordenadas utilizando a regra da mão direita. 
Componentes retangulares de um vetor 
 Componentes retangulares de um vetor 3D Com duas 
aplicações sucessivas da lei do paralelogramo pode-se 
decompô-lo em componentes, como: 
 Combinando essas equações, para eliminar A', A é 
representado pela soma vetorial de suas três componentes 
retangulares 
Representação de um Vetor Cartesiano 
 Um vetor cartesiano é escrito 
sob a forma de suas 
componentes retangulares. 
 
 As componentes representam 
a projeção do vetor emrelação aos eixos de 
referência. 
 
 Quando se escreve um vetor 
na forma cartesiana suas 
componentes ficam separadas 
em cada um dos eixos e 
facilita a solução da álgebra 
vetorial. 
Vetor cartesiano: 
Modulo do vetor cartesiano 
Vetores cartesianos unitários 
 Direção de um vetor cartesiano 
 A direção de 𝐴 é definida pelos ângulos de direção 
coordenados α, β e γ. 
cos 𝛼 =
𝐴𝑥
𝐴
 
cos 𝛽 =
𝐴𝑦
𝐴
 
cos 𝛾 =
𝐴𝑧
𝐴
 
 
Esses números são conhecidos como os cossenos 
diretores de A. 
Vetores cartesianos unitários 
 Para determinarmos α, β e γ, vamos considerar 
as projeções de 𝐴 sobre os eixos x, y, z. Os ângulos estão nos 
planos de projeção. 
 
cos 𝛼 =
𝐴𝑥
𝐴
 cos 𝛽 =
𝐴𝑦
𝐴
 cos 𝛾 =
𝐴𝑧
𝐴
 
 
Vetores cartesianos unitários 
 Direção de um vetor cartesiano 
 Uma forma de obter os cossenos diretores é criar um 
vetor unitário 𝒖𝑨 na direção de 𝐴 . 
 
𝐴 = 𝐴𝑥𝑖 + 𝐴𝑦𝑗 + 𝐴𝑧𝑘 
Intensidade de 𝐴 é: 
 
𝐴 = 𝐴𝑥
2 + 𝐴𝑦
2 + 𝐴𝑧
2 
 Então, 𝑢𝐴 terá intensidade de um e será adimensional, 
desde que A seja dividido pela sua intensidade 
Vetores cartesianos unitários 
 
 
 
 Observa-se que as componentes i, j, k de 𝑢𝐴 representam 
os cossenos diretores de A, ou seja, 
 
𝑢𝐴 = cosα𝑖 + 𝑐𝑜𝑠𝛽𝑗 + 𝑐𝑜𝑠𝛾𝑘 
 
 O módulo do vetor é dado por: 
𝑢𝐴 = 𝑐𝑜𝑠𝛼2𝑖 +𝑐𝑜𝑠𝛽2𝑗 + 𝑐𝑜𝑠𝛾2𝑘 
 
 Logo, podemos estabelecer a relação: 
𝑐𝑜𝑠𝛼2+𝑐𝑜𝑠𝛽2 + 𝑐𝑜𝑠𝛾2 = 1 
𝑢𝐴 =
𝐴 
𝐴
=
𝐴𝑥
𝐴
𝑖 +
𝐴𝑦
𝐴
𝑗 +
𝐴𝑧
𝐴
𝑘 
Vetores cartesianos unitários 
 
 
 
 𝐴 = cosα𝑖 + 𝑐𝑜𝑠𝛽𝑗 + 𝑐𝑜𝑠𝛾𝑘 
 𝐴 = A 𝑢𝐴 
𝐴 = 𝐴𝑥𝑖 + 𝐴𝑦𝑗 + 𝐴𝑧𝑘 
 Resumindo, o vetor 𝐴 pode ser expresso sob a forma 
 de vetor cartesiano como: 
Sistemas de Forças Concorrentes 
 Se o conceito de soma vetorial for aplicado em um 
sistema de várias forças concorrentes, a força resultante 
será a soma de todas as forças do sistema e pode ser 
escrita da seguinte forma: 
Exercício 7 
 Determine a intensidade e os ângulos diretores 
coordenados da força resultante que atua sobre o anel, 
conforme mostrado na figura. 
Exercício 8 
Duas forças atuam sobre o gancho mostrado na figura. 
Especifique os ângulos diretores coordenados de F2, de 
modo que a força resultante FR atue ao longo do eixo y 
positivo e tenha intensidade de 800N. 
Vetor Posição 
  O vetor posição é definido como um vetor fixo que 
localiza um ponto do espaço em relação a outro; 
 Se 𝑟 estende-se da origem de coordenadas O até o 
ponto P, o vetor posição pode ser escrito na forma de 
um vetor cartesiano. 
 
 
Vetor Posição entre Dois Pontos A e B 
 
 
 O vetor posição é calculado a partir da subtração 
das coordenadas x, y, z das extremidades dos vetores em 
análise. Na maioria dos casos, o vetor posição pode ser 
direcionado de um ponto A para um ponto B no espaço.. 
 
Vetor Força Orientado ao longo de uma reta 
 
 Pode-se definir uma força como um vetor cartesiano 
pressupondo que ele tenha a mesma direção e sentido que 
o vetor posição orientado do ponto A para o ponto B na 
corda. 
Exercício 9 
 A corda mostrada na figura está presa aos pontos A e B, 
determine seu comprimento e sua direção, medidos de A 
para B.