Gestao das organizações 3

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Prof. Me. Eduardo Pachla
eduardo.pachla@uniritter.edu.br
Mecânica dos Sólidos
Aula 3
Escalares e Vetores
Operações vetoriais e vetor de força e de posição
1
Objetivos de Aprendizagem:
• Ilustrar como adicionar forças e decompô-
las em componentes usando a lei do
paralelogramo e o método gráfico;
• Expressar a força e sua posição na forma
de um vetor cartesiano e examinar a
intensidade e a direção do vetor;
• Introduzir os conceitos de produto escalar
e produto vetorial e suas aplicações.
Aula 2: Revisão Geral Sobre Trigonometria
2
Referências Utilizadas:
• HIBBELER, R. C. Estática:
mecânica para engenharia.
12. ed. São Paulo: Pearson
Prentice Hall, 2011. xiv, 512 p.
ISBN 978-85-7605-815-1.
Aula 2: Revisão Geral Sobre Trigonometria
3
Adição de um sistema de forças coplanares
Já vimos a decomposição de forças nos eixos pelo método
dos triângulos, analisamos o sentido pela direção que está
representada no eixo e pela consideração do ângulo no caso da
lei dos senos e dos cossenos.
A partir de agora vamos introduzir a Notação Vetorial
Cartesiana. Neste caso podemos representar as componentes x
e y de uma força em termos de vetores cartesianos unitários i
e j. Cada um desses vetores possui intensidade adimensional
igual a 1, e, portanto, pode ser usado para designar as direções
dos eixos x e y.
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Adição de um sistema de forças coplanares
Como a intensidade de cada componente de F é sempre uma
quantidade positiva, representada pelos escalares (positivos) Fx e
Fy, então, podemos expressar F como um vetor cartesiano.
𝐹 = 𝐹𝑥𝑖 + 𝐹𝑦𝑗
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Resultante de forças coplanares
Qualquer um dos dois métodos descritos pode ser usado
para determinar a resultante de várias forças coplanares. Para
tanto, cada força é decomposta em sua componentes x e y,
depois, as respectivas componentes são somadas usando-se
álgebra escalar.
A força resultante é então composta adicionando-se as
componentes por meio da lei do paralelogramo. Por exemplo,
considere as três forças concorrentes na Figura abaixo, que têm
as componentes x e y. Usando a Notação Vetorial Cartesiana,
cada força é representada como um vetor cartesiano:
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Resultante de forças coplanares
𝐹1 = 𝐹1𝑥𝑖 + 𝐹1𝑦𝑗
𝐹2 = 𝐹2𝑥𝑖 + 𝐹2𝑦𝑗
𝐹3 = 𝐹3𝑥𝑖 + 𝐹3𝑦𝑗
𝑭𝑹 = 𝑭𝟏 + 𝑭𝟐 + 𝑭𝟑
𝐹𝑅 = 𝐹²𝑅𝑥 + 𝐹²𝑅𝑦
𝜃 = 𝑡𝑔−1
𝐹𝑅𝑦
𝐹𝑅𝑥
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Pontos importantes
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Exemplo resolvido em sala de aula
O olhal da Figura abaixo está submetido a duas forças F1 e F2.
Determine a intensidade e a direção da força resultante.
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Exercícios resolvidos em sala de aula
FR = 567 N;
θ = 38,1°;
FR = 6.272 kN;
Ø = 78,68°;
θ = 259º;
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Exercícios para resolver em casa
F = 236 kN;
θ = 31,8°; FR = 31,2 kN;
θ = 39,8º;
11
Exercícios para resolver em casa
Ø = 42,40°;
F1 = 731 N;
F2 = 12,9 kN;
FR = 13,2 kN;
12
Exercícios para resolver em casa
θ = 63,70º;
F3 = 1,20.F1;
FR = 803,6 N;
θ = 38,3º;
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Exercícios para resolver em casa
F1 = 434 N;
θ = 67,0º;
14
Vetores Cartesianos
Iniciamos o estudo de álgebra vetorial 
em três dimensões.
Sistema de coordenadas destro:
Regra da mão direita: dizemos que o
sistema de coordenadas retangular é
destro desde que o polegar da mão direita
aponte na direção positiva do eixo z,
quando os dedos da mão direita estão
curvados em relação a esse eixo e
direcionados do eixo x positivo para o eixo
y positivo.
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Vetores Cartesianos
Em três dimensões, os vetores cartesianos unitários i, j, k, são
usados para designar as direções x, y, z respectivamente. Atenção!!!
O sentido desses vetores (ponta da seta) será descrito por um sinal
positivo ou negativo em função do sentido do eixo referenciado.
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Vetores Cartesianos
𝐴 = 𝐴𝑥𝑖 + 𝐴𝑦𝑗 + 𝐴𝑧𝑘
Intensidade dada por:
𝐴 = 𝐴²𝑥 + 𝐴²𝑦 + 𝐴²𝑧
Somatório das forças:
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Vetores Cartesianos
Direção de um vetor cartesiano:
A direção de A é definida pelos ângulos coordenados α (alfa), β
(beta) e γ (gama), medidos da origem de A e os eixos x, y, z positivos,
desde que estejam na origem de A. Independentemente da direção
de A, cada um desses ângulos estará entre 0° e 180°.
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Vetores Cartesianos
Direção de um vetor cartesiano:
𝑐𝑜𝑠α =
𝐴𝑥
𝐴
𝑐𝑜𝑠β =
𝐴𝑦
𝐴
𝑐𝑜𝑠γ =
𝐴𝑧
𝐴
Vetor Unitário: 𝒖𝒂 =
𝑨𝒙
𝑨
𝒊 +
𝑨𝒚
𝑨
𝒋 +
𝑨𝒛
𝑨
k Intensidade = 1, adimensional.
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Vetores Cartesianos
Direção de um vetor cartesiano:
Como a intensidade do vetor é igual à raiz quadrada positiva da
soma dos quadrados das intensidades de suas componentes, pode-
se estabelecer uma relação importante entre os cossenos diretores
como:
𝑐𝑜𝑠2α + 𝑐𝑜𝑠²β + 𝑐𝑜𝑠²γ = 1
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Vetores Cartesianos
Adição de vetores cartesianos:
A adição (ou subtração) de dois ou mais vetores é bastante
simplificada se os vetores forem expressos em função de suas
componentes cartesianas.
𝑅 = 𝐴 + 𝐵 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 𝑖 + 𝐴𝑦 + 𝐵𝑦 𝑗 + 𝐴𝑧 + 𝐵𝑧 𝑘
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Pontos Importantes
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Exemplo Resolvido em Sala de Aula
Expresse a força F, mostrada na Figura abaixo como um vetor
cartesiano.
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Exercícios Resolvidos em Sala de Aula
F = {-250i – 354j + 250k} N
α = 52,2°;
β = 52,2°;
γ = 120°;
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Exercícios Resolvidos em Sala de Aula
FR = F1 + F2
FR = {2,45i + 3,41j – 1,33k} kN;
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Exercícios para fazer em casa
FR = 3,768 kN;
α = 25,5°;
β = 68,0°;
γ = 77,7°;
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Vetores de posição
Utilizar as mesmas operações vetoriais apresentadas, é
expresso pelas coordenadas x, y e z. Normalmente expresso em
“metros”.
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Vetores de posição
Muitas vezes, em problemas de estática
tridimensionais, a direção de uma força é definida
por dois pontos pelos quais passa sua linha de
ação. Essa situação é mostrada na Figura abaixo.
Pode-se definir F como um vetor cartesiano
pressupondo que ele tenha a mesma direção e
sentido que o vetor posição r direcionado do
ponto A ao ponto B da corda. Essa direção em
comum é especificada pelo vetor unitário u = r/r.
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Exemplo Resolvido em Sala de Aula
O homem mostrado na Figura puxa a corda com uma força de
350 N. Represente essa força, que atua sobre o suporte A, como um
vetor cartesiano e determine sua direção.
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Exercícios para fazer em casa
FR = 1,38 kN;
α = 82,4°;
β = 125°;
γ = 144°;
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Produto Escalar
O produto escalar dos vetores A e B, escrito ‘A . B’ é lido como 
‘A escalar B’, é definido como o produto das intensidades de A e B 
e do cosseno do ângulo θ entre suas origens.
𝐴. 𝐵 = 𝐴𝐵𝑐𝑜𝑠𝜃
Onde: 0° ≤ θ ≤ 180°. O produto escalar é assim chamado, visto 
que o resultado é um escalar e não um vetor.
Lei das operações
1. Lei comutativa: A . B = B . A;
2. Multiplicação por escalar: a(A . B) = (aA) . B = A . (aB);
3. Lei distributiva: A . (B + D) = (A . B) + (A .D);
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Formulação do Vetor Cartesiano
A equação 𝑨.𝑩 = 𝑨𝑩𝒄𝒐𝒔𝜽 deve ser usada para determinar o
produto escalar de quaisquer dois vetores unitários cartesianos.
Por exemplo: 𝒊. 𝒊 = 𝟏 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟎° = 𝟏 e 𝒊. 𝒋 = 𝟏 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟗𝟎° = 𝟎. Se
quisermos determinar o produto escalar de dois vetores A e B
expressos na forma de vetor cartesiano, teremos:
𝐴. 𝐵 = (𝐴𝑥𝑖 + 𝐴𝑦𝑗 + 𝐴𝑧𝑘). 𝐵𝑥𝑖 + 𝐵𝑦𝑗 + 𝐵𝑧𝑘 =
= 𝐴𝑥𝐵𝑥 𝑖. 𝑖 + 𝐴𝑥𝐵𝑦 𝑖. 𝑗 + 𝐴𝑥𝐵𝑧 𝑖. 𝑘 +
𝐴𝑦𝐵𝑥 𝑗. 𝑖 + 𝐴𝑦𝐵𝑦 𝑗. 𝑗 + 𝐴𝑦𝐵𝑧 𝑗. 𝑘 + 𝐴𝑧𝐵𝑥 𝑘. 𝑖 + 𝐴𝑧𝐵𝑦 𝑘. 𝑗 + 𝐴𝑧𝐵𝑧 𝑘. 𝑘 =
A. 𝐵 = 𝐴𝑥𝐵𝑥 + 𝐴𝑦𝐵𝑦 + 𝐴𝑧𝐵𝑧
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Aplicação do Produto Escalar
O produto escalar tem duas aplicações importantes na
mecânica.
1. O ângulo formado entre dois vetores ou linhas que se
interceptam. O ângulo θ entre as origens dos vetores A e B
pode ser determinado pela equação:
𝜽 = 𝐜𝐨𝐬−𝟏
𝑨.𝑩
𝑨𝑩
𝟎° ≤ 𝜽 ≤ 𝟏𝟖𝟎°
Nota-se que se A.B = 0, então θ=90°., assim A será perpendicular a B
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Aplicação do Produto Escalar
2. As componentes de um vetor paralelo e perpendicular a
uma linha. A componente do vetor A paralela ou colinear com a
linha aa’ é definida por 𝑨𝒂 onde 𝑨𝒂 = 𝑨 𝒄𝒐𝒔𝜽. Essa componente é
algumas vezes referidacomo a projeção de A sobre a linha, visto
que se forma um ângulo reto na construção. Se a direção da linha
é especificada pelo vetor unitário 𝒖𝒂, então, como 𝒖𝒂 = 𝟏, podemos
determinar a intensidade de 𝐴𝑎 diretamente do produto escalar
𝐴𝑎 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠θ = A . 𝑢𝑎
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Exemplo Resolvido em Sala de Aula
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Exercício para resolver em casa
uac = 0,1581i + 0,2739j – 0,9487k
(𝐹𝐴𝐶)𝑧= −2,8461 𝑘𝑁
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Exercício para resolver em casa
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F1 = 333 N;
F2 = 373 N;
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