Calc2_4º bim

Prévia do material em texto

��
Integral Definida
	Seja y = f(x) contínua em [a, b]
			 + + +
		 a					 b
			-		 -
				
 
	
	O intervalo ab é chamado de limite de integração onde a é limite inferior e b é limite superior.
Teorema Fundamental do Cálculo
		
Propriedades das Funções Definidas
	P1) 
	P2) 
	P3) 
	P4) 
	P5) 
Exemplos:	
Determinar a área limitada pela curva 
e pelo eixo x.
		
		
				 
		
						
		
						0		 5	
			
Determinar a área limitada pelas curvas y = 5x – x2 e y = 2x.
- Pontos de interseção				- Área
Determinar a área limitada pelo eixo y e pela curva x = 4 – y2
		ou		
Determinar a área limitada pelas curvas y2 = 4ax; x + y = 3a; y = 0; primeiro quadrante e “a” positivo.
- Pontos de interseção				- Área
Volume Gerado pela Revolução de Áreas Planas
	
Seja y = f (x) contínua em [a, b]. 	
 
			
 
		
 a		 b				
		 						
		
		
						
 ( 
	Seja x = f (y); y = c e y = d e o eixo y.
				
 
					 		 
							 
 ( 
				
			 	 
Exemplos
Determinar o volume gerado pela revolução em torno do eixo x da região limitada por y = x2, x = 2 e o eixo x.
Determinar o volume gerado pela revolução em torno do eixo x da região limitada por y2 = 2.x, eixo x e x = 2.
					
Seja y1 = f1 (x) e y2 = f2 (x) no intervalo [a, b].
			
					 
		
		
Exemplo:
Determinar o volume gerado pela revolução em torno do eixo x da área limitada pelas curvas y2 = 2x e y = x.
								
		
- Pontos de interseção			- Volume 
Comprimento de Arcos de Curvas
Seja y = f (x) contínua e derivável em [a, b].
			
 y			 P2	 
 	 Li 
 (yi					 y = f (x)
 P1 				 
		
 
 a			 b x
 (xi
	
		
					
Seja x = f (y) y = a e y = b. 
Exemplos:
Determinar o comprimento do arco da curva 
�� EMBED Equation.3 entre os pontos P1 (8, 4) e P2 (27, 9).
Calcular o comprimento de uma circunferência de raio r.
Área de Superfície de Revolução
	Seja y = f (x) contínua e derivável em [a, b].
ou
 ( Superfície gerada pela revolução do eixo x.
	Seja x = f (y).
 ( Superfície gerada pela revolução em torno do eixo y.
Exemplo:
Determinar a área da superfície obtida pela revolução da curva 
, entre x = 1 e x = 4 em torno do eixo x.
			
Centro de Gravidade de Áreas Planas
	Momento
	Momento de uma área “A” em relação ao eixo x é por definição o produto da área pela distância até o eixo x.
	Momento em relação ao eixo y é o produto da área pela distância do centro de gravidade até o eixo y.
	Seja (x, y) as coordenadas do centro de gravidade de uma região plana “A”, então:
		Mx = A . y
	My = A . x 
	Seja y = f (x) contínua e derivável em [a, b].
		
		
	
	Para My, temos:
		
		
	
	Se Mx = A .
 e My = A .
. Coordenadas do centro de gravidade de A (x, y)
		
	
	Se y = f (x); x = a; x = b; eixo x.
		
Exemplo:
Determinar as coordenadas do centro de gravidade da região limitada pelas curvas y = 6x – x2 e o eixo x.
 
	
	Cálculo da área
	
	Cálculo de Mx
	
	Cálculo de My
	
	Determinação do CG
	
	
Seja x = f (y), y = c, y = d e eixo y.
			
	
			
	
			
	
				
Exemplos:
Determinar as coordenadas do centro de gravidade da área limitada pelas curvas y = x3 e y = 4x no 1o quadrante.
			CG (1,06; 3,04)
Determinar as coordenadas do CG da região limitada pelas curvas y2 = x, x + y = 2 e y = 0 no primeiro quadrante.
Pontos de inflexão
	
	
	
	
		
	
INTEGRAIS IMPRÓPRIAS
Integral Imprópria de Primeira Espécie
	A integral definida 
é imprópria de primeira espécie se pelo menos um dos limites de integração for infinito:
Se “a” for -(:
Se “ b” for (:
Integral Imprópria de Segunda Espécie
	A integral definida 
 é imprópria de 2a espécie se f(x) for descontínua para algum x pertencente a [a, b].
Se f é descontínua em x = a.
 
 
 
Se f é descontínua em x = b.
 
 
 
Se f for decrescente em x = c e c ( (a, b).
 		 
 
	Obs.: Se o limite nas integrais impróprias for finito diremos que a integral é convergente, se for infinito a integral imprópria é dita divergente.
Exemplos:
Verificar se as integrais impróprias são convergentes ou divergentes:
Curvas em Coordenadas Polares
 y
 
 y
 
 (				x = (.cos ( 
 	
							y = (.sen ( 				 0 x x
 
			 y				
x2+y2=r2
			 				((.cos()2+((.sen()2=r2
					 x		(2(cos2(+sen2()=r2
							(2 = r2
							( = r
Cardióides
							
	
							 	
								
								
								
								 
								
Rosáceas
								
São rosáceas com n folhas, onde n é igual a:
		
	Exemplos: 
Espiral
Áreas em Coordenadas Polares
Exemplos:
Determinar a área de um círculo de raio r.
Determinar a área da cardióide de equação 
.
Calcular a área da rosácea de equação 
.
( 3 folhas
						 A1
		
 A1				 A = 6.A1
					 
Determinar a área da rosácea 
	( 8 folhas	
				A1	 		A = 16 A1
Determinar a área entre as curvas 
, conforme figura					
Determinar a área entre os círculos 
 .
 
				 A1			A = 2.A1
x
y
-2
0
y
x
y = 2x
2
a
A1
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
y = 5x – x2
5
3
� EMBED Equation.3 ���
-2
y
� EMBED Equation.3 ���
3a
y = 0
x
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
f (xi)
Volume geradopela revolução 
da região limitada por y = f (x),
 x = a, x = b, e o eixo x, 
em torno do eixo x.
� EMBED Equation.3 ���
c
d
f(y)
x
y
x = f (y)
x
y
Volume gerado pela rotação em torno do eixo x.
y
a
2
x = 2
y = x2
x
y
� EMBED Equation.3 ���
x = 2
x
� EMBED Equation.3 ���
b
x
y
y1 = f1 (x)
y2 = f2 (x)
x
y
2
y = x
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
0
� EMBED Equation.3 ���
b
a
L
x
y
y
x
r
r
-r
-r
y
x
r
� EMBED Equation.3 ���
0
� EMBED Equation.3 ���
xi
a
b
yi = f (xi)
Li
y
x
y = f (x)
y
Li
x
b
yi
a
xi = f (yi)
x = f (y)
y
y
x
x
y
x
b
a
xi
(xi
f (xi)
f (xi / 2)
y
x
3
6
0
CG
c
d
yi
f (yi)
(yi
Ponto de interseção
� EMBED Equation.3 ���
x
y
x3
4x
2
y2 = x
x + y = 2
2
2
1
-� EMBED Equation.3 ��� b
a � EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ��� 0 c � EMBED Equation.3 ���
a a+( b
a b-( b
a c-( c c+( b
(
P(x, y)
2a
a
2a
a
a
2a
2a
a
a
2a
A1
a
a
a
a
A1
a
1
A1
a
e(
((
(
( = f(()
(
(/2
0
A1
a
2a
A1
a
1
2
2
4
4º Bimestre Versão: 1.0 Data: 04/10/99 página: � PAGE �23�
_1003836620.unknown
_1003845893.unknown
_1003849372.unknown
_1003850288.unknown
_1003850305.unknown
_1003850431.unknown
_1003850624.unknown
_1003850853.unknown
_1003850955.unknown
_1003850720.unknown
_1003850435.unknown
_1003850330.unknown
_1003850337.unknown
_1003850323.unknown
_1003850293.unknown
_1003850022.unknown
_1003850029.unknown
_1003850119.unknown
_1003850025.unknown
_1003849500.unknown
_1003850015.unknown
_1003850019.unknown
_1003847358.unknown
_1003848773.unknown
_1003848987.unknown
_1003849011.unknown
_1003849178.unknown
_1003849355.unknown
_1003849015.unknown
_1003848999.unknown
_1003848875.unknown
_1003848975.unknown
_1003848777.unknown
_1003848706.unknown
_1003848743.unknown
_1003848769.unknown
_1003848716.unknown
_1003848576.unknown
_1003848596.unknown
_1003848211.unknown
_1003847003.unknown
_1003847025.unknown
_1003846507.unknown
_1003839769.unknown
_1003841374.unknown
_1003842850.unknown
_1003843197.unknown
_1003843263.unknown
_1003843811.unknown
_1003845686.unknown
_1003843719.unknown
_1003843231.unknown
_1003843039.unknown
_1003843056.unknown
_1003842861.unknown
_1003842901.unknown
_1003842854.unknown
_1003841391.unknown
_1003841031.unknown
_1003841049.unknown
_1003841080.unknown
_1003841123.unknown
_1003841249.unknown
_1003841077.unknown
_1003841045.unknown
_1003840995.unknown
_1003837041.unknown
_1003837660.unknown
_1003839150.unknown
_1003839181.unknown
_1003839055.unknown
_1003837461.unknown
_1003836647.unknown
_1003785962.unknown
_1003790700.unknown
_1003834344.unknown
_1003834483.unknown
_1003835615.unknown
_1003836234.unknown
_1003836582.unknown
_1003835973.unknown
_1003834567.unknown
_1003834427.unknown
_1003834085.unknown
_1003834173.unknown
_1003792361.unknown
_1003792478.unknown
_1003792514.unknown
_1003793495.unknown
_1003792423.unknown
_1003791160.unknown
_1003791171.unknown
_1003790913.unknown
_1003789132.unknown
_1003789268.unknown
_1003790464.unknown
_1003790582.unknown
_1003790286.unknown
_1003789148.unknown
_1003788677.unknown
_1003788748.unknown
_1003788941.unknown
_1003789075.unknown
_1003789110.unknown
_1003788838.unknown
_1003788696.unknown
_1003786010.unknown
_1003782977.unknown
_1003785186.unknown
_1003785679.unknown
_1003784470.unknown
_1003757248.unknown
_1003759426.unknown
_1003760171.unknown
_1003760220.unknown
_1003781911.unknown
_1003781944.unknown
_1003782171.unknown
_1003760270.unknown
_1003760178.unknown
_1003759783.unknown
_1003759911.unknown
_1003759716.unknown
_1003758944.unknown
_1003759322.unknown
_1003759382.unknown
_1003757402.unknown
_1003663175.unknown
_1003748567.unknown
_1003755141.unknown
_1003755221.unknown
_1003755337.unknown
_1003755861.unknown
_1003757244.unknown
_1003755433.unknown
_1003755300.unknown
_1003755145.unknown
_1003750866.unknown
_1003751161.unknown
_1003750858.unknown
_1003671323.unknown
_1003672432.unknown
_1003672597.unknown
_1003671478.unknown
_1003666858.unknown
_1003588385.unknown
_1003591936.unknown
_1003662046.unknown
_1003662267.unknown
_1003662534.unknown
_1003593239.unknown
_1003591895.unknown
_1003589747.unknown
_1003590546.unknown
_1003590880.unknown
_1003590252.unknown
_1003588550.unknown
_1003583774.unknown
_1003585970.unknown
_1003586773.unknown
_1003588310.unknown
_1003586330.unknown
_1003585884.unknown
_1003583677.unknown
_994515645.unknown
_994516413.unknown
_994516423.unknown
_1002541833.doc
 
_994515834.unknown
_994509102.unknown