MATEMATICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGOCIOS

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MATEMÁTICA FINANCEIRA E 
PLANOS DE NEGÓCIOS
GRADUAÇÃO
NEGÓCIOS IMOBILIÁRIOS
MARINGÁ-PR
2012
Professor Me. Pedro José Raymundo
ISBN 978-85-8084-350-7
Reitor: Wilson de Matos Silva
Vice-Reitor: Wilson de Matos Silva Filho
Pró-Reitor de Administração: Wilson de Matos Silva Filho
Presidente da Mantenedora: Cláudio Ferdinandi
NEAD - Núcleo de Educação a Distância
Diretoria do NEAD: Willian Victor Kendrick de Matos Silva
Coordenação Pedagógica: Gislene Miotto Catolino Raymundo
Coordenação de Polos: Diego Figueiredo Dias
Coordenação Comercial: Helder Machado
Coordenação de Tecnologia: Fabrício Ricardo Lazilha
Coordenação de Curso: Ariane Maria Machado de Oliveira
Supervisora do Núcleo de Produção de Materiais: Nalva Aparecida da Rosa Moura
Capa e Editoração: Daniel Fuverki Hey, Fernando Henrique Mendes, Luiz Fernando Rokubuiti e Renata Sguissardi
Supervisão de Materiais: Nádila de Almeida Toledo 
Revisão Textual e Normas: Cristiane de Oliveira Alves, Gabriela Fonseca Tofanelo, Janaína Bicudo Kikuchi, Jaquelina 
Kutsunugi e Maria Fernanda Canova Vasconcelos.
Av. Guedner, 1610 - Jd. Aclimação - (44) 3027-6360 - CEP 87050-390 - Maringá - Paraná - www.cesumar.br
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“As imagens utilizadas neste livro foram obtidas a partir dos sites PHOTOS.COM e SHUTTERSTOCK.COM”.
 
 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE MARINGÁ. Núcleo de Educação
 a distância:
C397	 	 Matemática	financeira	e	planos	de	negócios	/	Pedro	José		
	 Raymundo	-	Maringá	-	PR,	2011.
	 	 200	f.
	 	 	 “Graduação	em	Negócios	Imobiliários	-	EaD”.
 
 
	 	 1.	Matemática	financeira.	2.	Juros.	3.	Porcentagem.	4.	EaD.		
 I. Título.
	 ISBN	978-85-8084-350-7	 CDD	-	22	ed.	650.01513	
	 	 	 	 CIP	-	NBR	12899	-	AACR/2
Ficha	catalográfica	elaborada	pela	Biblioteca	Central	-	CESUMAR
MATEMÁTICA FINANCEIRA E 
PLANOS DE NEGÓCIOS
Professor Me. Pedro José Raymundo
5MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
APRESENTAÇÃO
Viver e trabalhar em uma sociedade global é um grande desafio para todos 
os cidadãos. A busca por tecnologia, informação, conhecimento de 
qualidade, novas habilidades para liderança e solução de problemas com 
eficiência tornou-se uma questão de sobrevivência no mundo do trabalho.
Cada um de nós tem uma grande responsabilidade: as escolhas que 
fizermos por nós e pelos nossos fará grande diferença no futuro.
Com essa visão, o Cesumar – Centro Universitário de Maringá – assume o compromisso 
de democratizar o conhecimento por meio de alta tecnologia e contribuir para o futuro dos 
brasileiros.
No cumprimento de sua missão – “promover a educação de qualidade nas diferentes áreas 
do conhecimento, formando profissionais cidadãos que contribuam para o desenvolvimento 
de uma sociedade justa e solidária” –, o Cesumar busca a integração do ensino-pesquisa-
extensão com as demandas institucionais e sociais; a realização de uma prática acadêmica que 
contribua para o desenvolvimento da consciência social e política e, por fim, a democratização 
do conhecimento acadêmico com a articulação e a integração com a sociedade.
Diante disso, o Cesumar almeja ser reconhecido como uma instituição universitária de referên-
cia regional e nacional pela qualidade e compromisso do corpo docente; aquisição de compe-
tências institucionais para o desenvolvimento de linhas de pesquisa; consolidação da extensão 
universitária; qualidade da oferta dos ensinos presencial e a distância; bem-estar e satisfação 
da comunidade interna; qualidade da gestão acadêmica e administrativa; compromisso social 
de inclusão; processos de cooperação e parceria com o mundo do trabalho, como também 
pelo compromisso e relacionamento permanente com os egressos, incentivando a educação 
continuada.
Professor Wilson de Matos Silva
Reitor
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Caro aluno, “ensinar não é transferir conhecimento, mas criar as possibilidades para a sua 
produção ou a sua construção” (FREIRE, 1996, p. 25). Tenho a certeza de que no Núcleo de 
Educação a Distância do Cesumar, você terá à sua disposição todas as condições para se 
fazer um competente profissional e, assim, colaborar efetivamente para o desenvolvimento da 
realidade social em que está inserido.
Todas as atividades de estudo presentes neste material foram desenvolvidas para atender o 
seu processo de formação e contemplam as diretrizes curriculares dos cursos de graduação, 
determinadas pelo Ministério da Educação (MEC). Desta forma, buscando atender essas 
necessidades, dispomos de uma equipe de profissionais multidisciplinares para que, 
independente da distância geográfica que você esteja, possamos interagir e, assim, fazer-se 
presentes no seu processo de ensino-aprendizagem-conhecimento.
Neste sentido, por meio de um modelo pedagógico interativo, possibilitamos que, efetivamente, 
você construa e amplie a sua rede de conhecimentos. Essa interatividade será vivenciada 
especialmente no ambiente virtual de aprendizagem – AVA – no qual disponibilizamos, além do 
material produzido em linguagem dialógica, aulas sobre os conteúdos abordados, atividades de 
estudo, enfim, um mundo de linguagens diferenciadas e ricas de possibilidades efetivas para 
a sua aprendizagem. Assim sendo, todas as atividades de ensino, disponibilizadas para o seu 
processo de formação, têm por intuito possibilitar o desenvolvimento de novas competências 
necessárias para que você se aproprie do conhecimento de forma colaborativa.
Portanto, recomendo que durante a realização de seu curso, você procure interagir com os 
textos, fazer anotações, responder às atividades de autoestudo, participar ativamente dos 
fóruns, ver as indicações de leitura e realizar novas pesquisas sobre os assuntos tratados, 
pois tais atividades lhe possibilitarão organizar o seu processo educativo e, assim, superar os 
desafios na construção de conhecimentos. Para finalizar essa mensagem de boas-vindas, lhe 
estendo o convite para que caminhe conosco na Comunidade do Conhecimento e vivencie 
a oportunidade de constituir-se sujeito do seu processo de aprendizagem e membro de uma 
comunidade mais universal e igualitária.
Um grande abraço e ótimos momentos de construção de aprendizagem!
Professora Gislene Miotto Catolino Raymundo
Coordenadora Pedagógica do NEAD - CESUMAR
7MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
APRESENTAÇÃO
Livro: MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS
Professor Me. Pedro José Raymundo
Caro aluno,
Este livro foi feito especialmente para você que atua ou quer atuar no ramo imobiliário. Seu 
conteúdo é muito utilizado nos negócios dessa área, pois está voltado para os cálculos de 
matemática comercial, finanças e análise de investimentos no ramo imobiliário, além de 
envolver questões sobre empreendedorismo e plano de negócios. Os exercícios modelos, 
envolvendo a área financeira, foram abordados analiticamente com a fórmula matemática e 
com o uso da calculadora financeira hp12c, um instrumento que facilita e agiliza os cálculos, 
contribuindo para a tomada de decisões de forma rápida e segura.
Um de seus pontos relevantes é a simulação da criação de uma empresa imobiliária, por meio 
de um plano de negócios. Dessa forma, seguindo sua metodologia você será capaz de montar 
o seu próprio negócio. 
Nós somos responsáveis por nossas decisões e elas nos abrem novos rumos para a vida. 
Então, aproveite para despertar ou aperfeiçoar o espírito empreendedor que existe em você! 
Essa decisão é sua, está em suas mãos. Bons estudos! 
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SUMÁRIO
UNIDADE I
ECONOMIA BRASILEIRA E CÁLCULOS BÁSICOS
CONJUNTURA ECONÔMICA BRASILEIRA 16
MATEMÁTICA COMERCIAL 20
REGRA DE TRÊS 21
PORCENTAGEM31
UNIDADE II
JUROS E DESCONTOS
JURO SIMPLES 45
FLUXO DE CAIXA 49
DESCONTO SIMPLES 62
JUROS COMPOSTOS 76
DESCONTO COMPOSTO COMERCIAL 92
DESCONTO COMPOSTO RACIONAL 97
UNIDADE III
RENDAS E EMPRÉSTIMOS
RENDAS OU ANUIDADES 113
INFLAÇÃO, DEFLAÇÃO E ÍNDICES DE PREÇO 131
TAXA DE JURO REAL, EFETIVA E NOMINAL. 138
EMPRÉSTIMOS E SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO 148
UNIDADE IV
EMPREENDEDORISMO E VIABILIDADE DE PROJETOS
NOÇÕES DE EMPREENDEDORISMO 161
VIABILIDADE DE PROJETOS 167
A IMPORTÂNCIA DA ANÁLISE ECONÔMICO-FINANCEIRA 169
INDICADORES E MÉTODOS UTILIZADOS NO ESTUDO DA VIABILIDADE ECONÔMICO-
FINANCEIRA 170
UNIDADE V
O PLANO DE NEGÓCIOS
INTRODUÇÃO AO PLANO DE NEGÓCIOS 181
ELABORAÇÃO DE UM PLANO DE NEGÓCIOS 183
PLANO DE NEGÓCIOS PARA A ABERTURA DE UMA IMOBILIÁRIA 187
DEMONSTRAÇÃO DO RESULTADO DO EXERCÍCIO – DRE 191
CÁLCULO DO PONTO DE EQUILÍBRIO (PE) 193
CONCLUSÃO 198
REFERÊNCIAS 199
UNIDADE I
ECONOMIA BRASILEIRA E CÁLCULOS
BÁSICOS
Professor Me. Pedro José Raymundo
Objetivos de Aprendizagem
•	 Entender	a	conjuntura	econômica	e	sua	influência	nos	negócios	do	setor	imobiliário.
•	 Compreender	a	importância	dos	cálculos	financeiros	para	o	mercado	imobiliário.
•	 Verificar	formas	de	utilização	dos	cálculos	básicos	nos	negócios.
•	 Relacionar	exemplos	de	utilização	de	cálculos	nas	operações	de	compra	e	venda	
de imóveis.
•	 Aprender	com	a	utilização	de	exercícios	práticos	envolvendo	regra	de	três	e	porcen-
tagem.
Plano de Estudo
A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade:
•	 Conjuntura	econômica	brasileira
•	 Matemática	comercial
•	 Regra	de	três
•	 Porcentagem
15MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
INTRODUÇÃO
Caro aluno! Certamente você já se deparou com a seguinte questão relativa a investimento no 
mercado imobiliário no Brasil: é vantajoso investir em imóveis diante das diversas oportunidades 
do mercado atual?
A resposta a essa questão não é tão simples e nem muito fácil de ser corretamente respondida, 
mas é o que propomos discutir, embora não tenhamos a intenção de esgotar todas as 
possibilidades de comparação com outros tipos de investimentos. Porém, pretendemos ampliar 
a visão de análise crítica, por meio de alguns cálculos e exemplos de situações práticas, para 
que você possa encontrar as respostas a questões como essa. 
Diante desse desafio, e para que você tenha subsídios para análise, nesta unidade comecemos 
por	 tentar	 entender	 a	 situação	 econômica	 por	 que	 passa	 a	 economia	 brasileira	 e	 depois	
passaremos a estudar alguns cálculos próprios da matemática comercial como regra de três 
e porcentagem. 
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CONJUNTURA ECONÔMICA BRASILEIRA
Entender alguns aspectos sobre a economia é de fundamental importância para analisar 
investimentos,	pois	a	situação	econômica	certamente	influenciará	o	desempenho	e	o	resultado	
dos mesmos. Dessa forma, devemos considerar, por exemplo, fatores como: a valorização 
do real frente ao dólar americano, o desempenho da Bovespa, a carga tributária e as taxas 
de juros que permeiam a economia brasileira e a influência dessas variáveis no mercado 
globalizado.
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A valorização do real frente ao dólar é um processo que, no curto e médio prazo, dificilmente 
será revertido, pois fatores como a liquidez internacional, os juros altos e os extraordinários 
saldos comerciais do Brasil fazem com que haja um impressionante volume de entrada de 
dólares no país. Assim, mesmo com a compra de dólares por parte do governo, para tentar 
frear artificialmente esse processo, o real continua valorizado, penalizando o agronegócio, 
os exportadores e as empresas que concorrem com os produtos importados. Por outro 
lado, o real forte, contribui para diminuir a inflação, para a redução dos custos dos insumos e 
tecnologias importados e para o aumento do seu poder de compra.
A Bovespa, que se popularizou com a expansão voltada para os pequenos investidores, caminha 
com volatilidade, alternando períodos de altas e baixas. Seu crescimento tem possibilitado a 
abertura	de	capital	para	várias	empresas.	Com	a	abertura	do	capital	as	sociedades	anônimas	
passam a ter ações negociadas na bolsa de valores. Esse processo viabiliza a captação de 
recursos no mercado sem custos financeiros. Funciona como se fosse um empréstimo sem 
juro e ainda com prazo indeterminado, porque quem investe passa a ser sócio da empresa e 
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não cobra juros, nem define um prazo para vender as ações compradas. Em contrapartida 
recebe os dividendos. 
Porém, o processo de abertura de capital só é possível para as grandes empresas que têm 
patrimônio	sólido	e	tradição.	Também	é	importante	considerar	que	investimentos	em	ações	é	
um negócio de risco, pois depende do mercado local e da economia global que exerce forte 
influência nas bolsas do mundo todo. 
Nesse sentido, a Bovespa vem mostrando seu potencial frente às crises que assolam a 
economia mundial, revelando sua capacidade de recuperação após as grandes quedas, como 
aconteceu	no	período	que	sucedeu	a	crise	econômica	mundial	em	2008	e	2009.
Consulte o site <www.fundamentus.com.br> e acesse as principais informações sobre qualquer em-
presa que negocia ações na Bovespa.
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Outro fator que merece destaque na economia brasileira é a elevada carga tributária que 
representa uma ameaça para as empresas que ainda não se adaptaram ao mercado 
competitivo. No Brasil, ela alcança cerca de 36% do PIB, o que faz com que seja uma das 
maiores do mundo, abaixo apenas de poucos países desenvolvidos, como França (46%), 
Itália (42%) e Alemanha (40%). E o governo pouco consegue fazer para amenizar essa crítica 
realidade, pois se ele a reduzir, terá que cortar gastos, diminuindo investimentos públicos 
em diversas áreas, inclusive nas sociais, para manter o superávit primário em suas contas e 
manter os acordados com as autoridades monetárias internacionais.
Ainda, outra questão a ser discutida são as altas taxas de juros no Brasil que prejudicam o 
crescimento	econômico	e	geram	descontentamento	no	mercado.	Com	elas	os	 investidores	
ficam desestimulados a investir na produção frente às possibilidades atraentes de ganhos 
financeiros. A Taxa Básica Financeira no Brasil é uma das maiores do mundo. Segundo Fallet 
(2011, p. 01), a taxa de juros brasileira está no “topo do ranking mundial, bem à frente de 
Rússia, Egito (ambos com 8,25%), Índia (8%), China (6,56%) e Turquia (5,75%). Em economias 
desenvolvidas, como EUA, Japão e Grã Bretanha, a taxa está próxima de zero”.
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20 MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Essa é a visão que um empreendedor deve ter do mercado na hora de elaborar um plano de 
negócios que possa servir para análises diversas como a de um investimento imobiliário ou a 
utilizada para a criação de uma empresa em qualquer ramo de atividade.
MATEMÁTICA COMERCIAL
Quantas vezes já me deparei com situações que envolvem cálculos básicos e necessários e me vi 
embaraçado?
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21MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Todo empresário, negociador ou comerciante precisa ter alguns conhecimentos básicos 
de matemáticacomercial que serão usados em seu dia a dia. Ela envolve cálculos simples 
estudados desde o ensino básico, mas que muitas vezes podem gerar certos tipos de dúvidas 
quando aplicados em situações reais. Vamos relembrar alguns deles como a regra de três, 
porcentagem e médias aritméticas. Posteriormente, estudaremos os cálculos financeiros mais 
aprofundados, aplicados ao mercado imobiliário. 
REGRA DE TRÊS
Se você “adora” cálculos matemáticos, vai se dar muito bem com este livro, daqui pra frente. Se você 
não “adora”, mas acompanhar passo a passo as explicações e resolução dos exercícios, vai passar 
a “adorar” também.
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22 MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Regra de três é a operação matemática que permite descobrir o valor de um termo desconhecido 
numa proporção. Ela pode ser simples (com 2 razões) ou composta (com 3 ou mais razões) e, 
ainda, diretamente ou inversamente proporcional (análise das grandezas ). 
•	 REGRA DE TRÊS SIMPLES
A regra de três é simples quando compara valores de apenas duas grandezas. Essas podem 
ser classificadas como direta ou inversamente proporcionais conforme segue.
a) Diretamente proporcional 
Grandezas são diretamente proporcionais quando elas têm relação direta, assim quando 
uma aumenta a outra também aumenta e vice-versa. Um exemplo pode ser “quantidade 
de máquinas” e “quantidade produzida” de determinado produto. Quando a quantidade de 
máquinas é aumentada, a quantidade produzida também aumenta, por esse motivo essas 
duas grandezas são diretamente proporcionais entre si. 
Acompanhe atentamente a resolução do seguinte exercício 
1. Na construção de um edifício, cinco betoneiras produzem 550 metros de laje por mês. 
Quantas betoneiras seriam necessárias para produzir 1.650 metros de laje por mês? 
Nesse caso a relação é direta, precisamos mais betoneiras para produzir mais lajes por mês. 
23MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
X 1.650
5 550
Betoneiras Metros de lajes
Podemos ler essa relação dessa forma: X betoneiras está para 1.650 metros de laje, assim 
como cinco betoneiras está para 550 metros de laje. 
Sua resolução é o cálculo do valor de X, considerando a igualdade entre as razões proporcionais 
e fazendo o que se chama de multiplicação cruzada, na qual o numerador é formado pela 
multiplicação entre o número que estiver na coluna do X (5) e o que estiver na linha do X 
(1.650). O divisor é o outro número, conforme segue:
X = 1.650
5 550
X = 5 × 1.650
 550
X = 15
Resposta: seriam necessárias 15 betoneiras. 
b) Inversamente proporcional 
Grandezas são inversamente proporcionais quando elas têm relação inversa, assim quando 
uma aumenta a outra diminui e vice-versa. Um exemplo pode ser “quantidade de operários” 
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e “quantidade de tempo” para se realizar alguma tarefa. Quando a quantidade de operários é 
aumentada, a quantidade de tempo é reduzida. 
Acompanhe atentamente a resolução do seguinte exercício
Verifique a resolução dos seguintes exercícios 
1. Uma construtora que emprega 24 operários consegue levantar um prédio em 48 meses. 
Quantos operários ela precisaria para levantar o mesmo prédio em 36 meses? 
Operários Meses
 X 36
 24 48
Nesse caso, a relação é inversa, pois quanto mais operários ela tiver, menos tempo vai levar 
para fazer a construção, assim não é possível resolver a regra de três simplesmente igualando 
as razões da forma como foram apresentadas anteriormente. É necessário considerar que 
essas grandezas são inversamente proporcionais e por isso uma delas deve ser invertida 
como a seguir (meses): 
Operários Meses
 X 48
 24 36
25MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Agora sim, sua resolução é feita, normalmente, calculando o valor de X, considerando a 
igualdade entre as razões:
X = 48
24 36
X = 24 x 48
 36
X 32
Resposta: precisaria de 32 operários. 
2. Com velocidade de 256 km/h um avião vai de uma cidade para outra em 6 horas. Um outro, 
pretende percorrer essa mesma distância em 4 horas. Qual deverá ser a velocidade desse 
avião? 
Velocidade (Km/h) Tempo em horas
 X 4
 256 6
Como são inversamente proporcionais é necessário inverter uma grandeza:
Velocidade (Km/h) Tempo em horas
 X 6
 256 4
26 MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
 X = 6
256 4
 X = 256 x 6
 4
 X = 384
Resposta: a velocidade será de 384 Km/h.
•	 REGRA DE TRÊS COMPOSTA
A regra de três é composta quando existirem três ou mais grandezas envolvidas na situação. 
As mesmas podem ser direta ou inversamente proporcionais.
Para aprender esse assunto observe cuidadosamente os exercícios resolvidos a seguir:
1. Uma empresa demorou 90 dias para construir uma casa de 200 m2 com 10 operários. 
Quantos dias demoraria essa construtora para fazer uma casa de 300 m2 utilizando 30 
operários? 
Perceba que nesse caso a relação se dá entre três grandezas, o tamanho da casa em metros 
quadrados, a quantidade de operários e o tempo, medido em dias. Como a questão envolve 
o cálculo do número de dias, essa será a grandeza que servirá de base para analisarmos as 
outras duas e verificarmos se elas são diretamente ou inversamente proporcionais. 
27MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
2 
 Dias M Número de Operários
 X 300 30
 90 200 10
Como explicado anteriormente, a relação das grandezas sempre será feita com base na 
incógnita, no caso “Dias”. Assim, a grandeza metros quadrados “m2” em relação a “Dias” é 
diretamente proporcional, pois para se fazer mais “m2”, mais “Dias” são necessários e vice-
versa. Por outro lado, a grandeza “Número de Operários” em relação a “Dias” é inversamente 
proporcional, pois com mais operários se leva menos dias para a construção ou a realização 
de uma tarefa qualquer.
Então, vamos inverter apenas a grandeza “Número de Operários”, pois somente ela é 
inversamente proporcional a “Dias” que é a grandeza que serve de base de comparação para 
a análise. 
2 
 Dias M Número de Operários
 X 300 10
 90 200 30
Agora, da mesma forma que é feito o cálculo com a regra de três simples, é só fazer a 
multiplicação cruzada na qual o numerador é formado pela multiplicação entre o número que 
estiver na coluna do X (no caso, 90) e os que estiverem na linha do X (300 e 10). O divisor é 
formado pela multiplicação dos outros (no caso, 200 e 30) conforme segue:
X = 90 x 300 x 10 (número da coluna vezes os números da linha de X) 
 200 x 30 (multiplicação entre os que não estão na coluna nem na linha de X) 
X = 45
Resposta: Demoraria 45 dias. 
28 MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
OBSERVE ATENTAMENTE COMO SE FAZ A MULTIPLICAÇÃO CRUZADA EXPLICADA ACIMA, ELA 
FACILITA MUITO EM CÁLCULOS ASSIM.
2. Uma empresa escalou 9 operários que,em 8 dias de 7 horas de trabalho, abriram uma vala 
de 9 metros de comprimento, 5 metros de profundidade e 4,5 metros de largura. Quantos dias 
essa empresa teria que dispor se fossem 8 operários, que são duas vezes mais ativos que os 
primeiros, para abrir outra vala de 6 metros de comprimento em terreno cuja dificuldade seja 
o triplo da do primeiro?
Dias Operários Grau de Atividade Comprimento Grau de Dificuldade
 X 8 2 6 3
 8 9 1 9 1
Observação: como na pergunta não se fala em largura nem em profundidade, vamos considerar 
que sejam as mesmas, pois se fossem diferentes deveriam ter sido informadas no enunciado 
da questão.
Primeiro passo: identificar quais grandezas são inversamente proporcionais a “Dias”.
Operários: é inversamente proporcional, pois quanto mais operários menos dias.
Grau de atividade: é inversamente proporcional, pois quanto mais ativos, menos dias se 
leva para realizar o trabalho.
Comprimento: é diretamente proporcional, pois quanto mais comprido, mais dias são 
necessários.
29MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Grau de dificuldade: é diretamente proporcional, pois quanto mais difícil mais dias são 
necessários.
Segundo passo: vamos inverter as grandezas inversamente proporcionais.
Dias Operários Grau de Atividade Comprimento Grau de Dificuldade
 X 9 1 6 3
 8 8 2 9 1
Terceiro passo: fazer a multiplicação cruzada.
X = 8 x 9 x 1 x 6 x 3 
 8 x 2 x 9 x 1 
X = 9 
Resposta: seriam necessários 9 dias.
Acesse <http://www.tse.gov.br/hotSites/biblioteca/corujita/arquivos/O_homem_que_calculava.pdf> e 
tenha gratuitamente o interessantíssimo livro “O homem que calculava” de Malba Tahan.
30 MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Acompanhe atentamente a resolução dos exercícios seguintes.
Exercícios propostos
1. Uma construtora faz 50 lajes com 250 toneladas de concreto. Quantas toneladas de con-
creto ela precisaria para fazer 200 lajes? (Resposta: 1.000)
2. O tempo chuvoso faz atrasar a construção de uma obra. Para cada uma hora de chuva, a 
obra atrasa 15 minutos. Calcule quantos dias atrasaria essa obra considerando a ocorrên-
cia de 7.200 horas de chuva durante sua execução. (Resposta: 75 dias) 
3. Para pintar uma casa, 12 pessoas levam 10 dias de 8 horas de trabalho. Quantos dias de 
5 horas de trabalho 16 pessoas gastariam para pintar a mesma casa? (Resposta: 12 dias)
4. A caçamba de um caminhão que leva concreto para as construções tem duas válvulas, 
uma para abastecê-la de concreto e outra para esvaziá-la na construção. O tempo para 
abastecê-la é de 8 minutos e para esvaziá-la é de 10 minutos. Se a caçamba estivesse 
vazia e fosse possível abastecê-la e esvaziá-la ao mesmo tempo, em quantos minutos ela 
estaria cheia? (Resposta: 40)
5. Um depósito de material de construção encomendou 24 caminhões com 5m3 de areia cada 
um. Porém, aceitou que o transporte fosse realizado com caminhões de 6m3. Nesse caso, 
quantos caminhões são necessários para realizar o transporte? (Resposta: 20)
6. Um engenheiro demora 10 dias para executar um projeto elétrico em uma construção. Com 
a	ajuda	de	outro	trabalhador,	esse	serviço	fi	ca	pronto	em	8	dias.	Caso	esse	outro	trabalha-
dor	fi	zesse	essa	atividade	sozinho,	quantos	dias	ele	demoraria?	(Resposta:	40)
7. Por um registro passam 1.350 litros de água por hora que enchem um reservatório em 13 
horas. Determine em quanto tempo outro registro, que permite passar apenas 25 litros por 
minuto, encheria o mesmo reservatório. (Resposta: 11,7 horas)
31MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
PORCENTAGEM
Dá-se o nome de percentagem ou porcentagem à parte calculada sobre uma quantidade de 
100 unidades, ou seja, é uma parte de 100, ou 0,01 (1÷100).
Toda razão a/b, na qual b = 100, é uma porcentagem e o símbolo que a representa é % .
Existem vários meios para se resolver um problema que necessite do uso de porcentagem 
como, por exemplo, regra de três simples e o cálculo direto por calculadoras. 
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32 MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Atente para os seguintes exercícios resolvidos:
•	 Sobre porcentagem de um número ( % )
1 ) Um corretor ganha 5% de comissão na negociação de um imóvel que é vendido por R$ 
200.000,00. Calcule o valor dessa comissão.
5% de 200.000,00
5 ÷ 100 x 200.000,00
0,05 x 200.000,00
R$ 10.000,00
2) Se a comissão do corretor fosse 4% e o valor da venda do imóvel fosse R$ 1.200.000,00, 
qual seria o valor da comissão?
4% de 1.200.000,00
4 ÷ 100 x 1.200.000,00
0,04 x 1.200.000,00
R$ 48.000,00
3) Considere que você tenha recebido R$ 30.000,00 de comissão pela venda de um 
apartamento. Se sua comissão é de 6% sobre o valor da venda, calcule esse valor de venda.
33MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Esse problema pode ser resolvido por meio de uma regra de três, em que se lê:
6 está para 100, assim como 30 mil está para X
 6 30.000
100 X
 X = 500.000,00
Assim, o valor da venda é R$ 500.000,00 e 6% desse valor é R$ 30.000,00. 
500.000,00 x 0,06 = 30.000,00.
Então, você poderia, simplesmente, dividir 30.000,00 por 0,06 e chegaria à resposta de R$ 
500.000,00. 
4) Se você recebeu R$ 15.000,00 de comissão pela negociação de um imóvel, e sua comissão 
era de 5% sobre o valor da venda, calcule por quanto ele foi vendido.
15.000,00 ÷ 0,05 = 300.000,00
O imóvel foi vendido por R$ 300.000,00.
5) Um terreno que estava sendo vendido por R$ 200.000,00 teve seu preço aumentado em 
8%. Qual o novo preço de venda? 
200.000,00 x 0,08 = 16.000,00
O seu novo preço de venda é R$ 216.000,00 (200.000,00 + 16.000,00)
34 MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
6) Uma área comercial está sendo alugada por R$ 6.000,00 e, para pagamento antecipado, 
o proprietário concede um desconto de 5% sobre o valor do aluguel. Qual o valor do aluguel 
antecipado? 
6.000,00 x 0,05 = 300,00 
O valor do aluguel antecipado é de R$ 5.700,00 (6.000,00 – 300,00)
7) Após ter sofrido um reajuste de 10%, um apartamento está sendo vendido por R$ 100.000,00. 
Qual era o seu preço de venda antes do reajuste? 
Resolução: R$ 100.000,00 já é o preço com os 10% de acréscimo, então esse valor de R$ 
100.000,00 está para 110%. O valor anterior (X) está para 100%
100.000,00 = X 
 110 100 
X = R$ 90.909,09
.
Acompanhe atentamente a resolução do seguinte exercício:
•	 Observe	estes	exercícios	sobre	variação	percentual	(Δ%)
1. Houve um reajuste no preço de certo imóvel que passou de R$ 580.000,00 para R$ 
720.000,00 após dois anos. Qual a taxa de aumento?
35MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Nesse caso, a base para o cálculo é o valor inicial: 580.000,00, assim, ele é considerado como 
sendo 100%. Dessa forma, a questão pode ser resolvida de várias formas.
a. Regra de três: 
580.000,00 = 720.000,00 
 100 X
X = 124,14%
.
Aumentou de 100 para 124,14, então o acréscimo foi de 24,14%.
b. De forma direta:
Dividir o segundo valor pelo primeiro, subtrair 1 e multiplicar por 100:
[(720.000,00 ÷ 580.0000,00) -1] × 100 = 24,14%
Observe que nesse caso é necessário subtrair 1 e multiplicar por 100.
c. Dividindo o valor do acréscimo pela base de cálculo:
(140.000,00 ÷ 580.0000,00) × 100 = 24,14%
Aqui,é necessário apenas multiplicar o resultado por 100.
2. Considere que você tenha comprado um imóvel por R$ 200.000,00 e vendido por R$ 
190.000,00. Qual a taxa de perda?
A perda foi de R$10.000,00 e a base de cálculo é R$ 200.000,00
(10.000,00 ÷ 200.000,00) × 100 = 5%
36 MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Resposta: a perda foi de 5% sobre o valor da compra R$ 200.000,00 que é a base para o 
cálculo.
Acompanhe atentamente a resolução do seguinte exercício:
•	 Agora sobre percentual de um número em relação a outro (%T) 
1. Uma imobiliária vendeu 20 dos 80 apartamentos de um prédio em construção. Quantos 
porcento dos apartamentos foram vendidos? 
(20 ÷ 80) × 100 = 25%
Respostas: 25% dos apartamentos do prédio foram vendidos, faltam ser vendidos 75%.
2. Um apartamento de 220m2 possui as seguintes dependências: 
- 3 suítes com 40m2 cada; 
- 1 sala com 50m2;
- 1 cozinha com 25m2;
- 1 banheiro com 10m2;
- 1 área de serviços com 15m2; 
Qual o percentual de cada dependência em relação ao tamanho do apartamento? 
37MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
- 3 suítes com 40m2 cada: 18,18% cada suíte, 54,54% as três. 
- 1 sala com 50m2 : 22,73%
- 1 cozinha com 25m2 : 11,36%
- 1 banheiro com 10m2 : 4,5%
- 1 área de serviços com 15m2 : 6,8% 
Acréscimos/Abatimentos sucessivos
Acréscimos e abatimentos são operações realizadas com muita frequência nos negócios. 
Quando eles são sucessivos, os valores dos acréscimos ou dos abatimentos são calculados 
sempre com base no valor imediatamente anterior e não no valor inicial de uma série. Isso nos 
remete à ideia de juro composto ou desconto composto, que veremos mais à frente. 
Acompanhe os exercícios resolvidos sobre acréscimos:
1. O preço de um terreno sofreu três reajustes consecutivos de 5%, 10% e 15%. Qual é o seu 
preço atual se ele custava inicialmente R$ 100.000,00?
100.000,00 + 5% = 105.000,00 
105.000,00 + 10% = 115.500,00 
115.500,00 + 15% = 132.825,00 
Ou podemos fazer um índice para cada reajuste e multiplicar um pelo outro para encontrar o 
índice de reajuste para todo o período da seguinte forma:
38 MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
5% = 5 ÷ 100 = 0,05 :.. 0,05 + 1 = 1,05
Assim, o índice para reajustar qualquer valor em 5% é 1,05.
10% = 10 ÷ 100 = 0,10 :.. 0,10 + 1 = 1,10
15% = 15 ÷ 100 = 0,15 :.. 0,15 + 1 = 1,15
Depois, multiplicamos um pelo outro:
1,05 x 1,10 x 1,15 = 1,32825.
Agora subtraímos 1 e multiplicamos por 100:
(1,32825 -1) x 100 = 32,825% 
Assim, o reajuste em todo o período foi de 32,825%.
Com aquele índice do período todo (1,32825), chegamos ao resultado multiplicando-o pelo 
valor inicial de R$ 100.000,00 resultando em R$ 132.825,00. 
Seria diferente e errado somar os percentuais de ajuste (5 + 10 + 15) 30% e aplicá-lo ao valor 
inicial que resultaria em R$ 130.000,00 quando o valor correto R$ 132.825,00, pois o reajuste 
do período todo é 32,825%, como explicado anteriormente. Isso se deve ao fato de que os 
reajustes são aplicados sobre os valores imediatamente anteriores após cada um deles ter 
sofrido seus respectivos reajustes.
2. Após ter sofrido três reajustes sucessivos de 10%, 14% e 16% o valor do CUB (Custos 
Unitários Básicos de Construção) de alto padrão por metro quadrado é de R$ 1.366,00. Calcule 
o valor anterior a esses reajustes.
39MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Observação: um erro muito comum na resolução de problemas como esse é a aplicação dos 
porcentuais sobre o valor atual (R$ 1.366,00). O erro se dá porque aqueles percentuais devem 
ser aplicados sobre os valores anteriores aos reajustes, que não sabemos quais são. Por isso 
não é correto fazer o cálculo com a utilização direta do valor atual.
A sugestão indicada seria a elaboração do índice de reajuste para o período todo e depois 
resolver com uma regra de três da seguinte forma:
1,10 x 1,14 x 1,16 = 1,45464. Esse é o índice que representa 45,464% de reajuste: 1,45464 – 1 
= 0,45464 ou 45,464%.
Assim, é correto pensarmos que o valor de R$ 1.366,00 já está com o reajuste de 45,464% 
e, dessa forma, ele é 145,464% do valor inicial. Então, calcularemos quanto era o valor inicial 
ou os 100%.
1.366,00 = 145,464 
 X 100
X = 1.366,00 = 939,06 
 1,45464
.
.
Ou seja, simplificando:
Depois de termos calculado o índice do período 1,45464, basta dividir o valor final (R$ 1.366,00) 
por ele. 
Para conferir o cálculo, basta reajustar o valor encontrado (R$ 939,06) em 10%, depois em 
mais 14% e na sequência em mais 16%, sucessivamente, o que é o mesmo que multiplicá-lo 
por 1,45464. O resultado será R$ 1.366,00.
40 MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Verifique os exercícios resolvidos sobre abatimentos.
1. Um apartamento foi anunciado para ser alugado por R$ 2.000,00. Após um tempo, não 
havendo procura, esse valor foi reduzido em 10%. Passado mais alguns meses, esse novo 
valor foi reduzido em mais 8%. Calcule o valor pelo qual ele está sendo alugado hoje. 
Vamos mostrar duas formas de se resolver para que você possa aplicar em casos mais 
trabalhosos. 
a. 2.000,00 – 200,00 (10% de 2.000,00) = 1.800,00
 1.800,00 – 144,00 (8% de 1.800,00) = 1.656,00
b. Faremos um índice: 
Como se trata de abatimento, o índice será 1 (100%) menos a taxa unitária. 
10% = 10 ÷ 100 = 0,10 (Taxa unitária que representa 10%) 
1 – 0,10 = 0,90 (esse é o índice para se reduzir em 10%)
1 – 0,08 = 0,92 (esse é o índice para se reduzir em 8%)
Multiplicamos os dois (0,90 × 0,92 = 0,828) e encontramos o índice para multiplicar pelo valor 
inicial (0,828 × 2.000,00), resultando em R$ 1.656,00.
41MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
2. Um terreno foi vendido pelo valor final de R$ 180.000,00. Para se chegar a esse valor foram 
concedidos descontos sucessivos de 8%, 10% e 5%. Qual era o preço inicial desse imóvel?
Primeiramente, faremos o índice:
1 – 0,08 = 0,92
1 – 0,10 = 0,90
1 – 0,05 = 0,95
0,92 x 0,90 x 0,95 = 0,7866
Depois resolvemos por meio de uma regra de três na qual o valor final (180.000,00) está para 
esse índice 0,7866 (78,66%), assim como o valor inicial (X) que queremos encontrar está para 
1 (100%): 
180.000,00 = 0,7866 
 X 1
X = 228.832,95
.
O valor inicial sobre o qual foram dados os descontos era de R$ 228.832,95. Assim, se 
multiplicarmos esse valor (228.832,95) por aquele índice (0,7866), teremos como resultado o 
valor final de R$ 180.000,00. 
CONSIDERAÇÕES FINAIS 
Por aqui terminamos esta unidade na qual você pode perceber a importância dos cálculos 
básicos	e	financeiros	para	o	setor,	bem	como	a	visão	macroeconômica	do	cenário	atual	em	
que você está inserido. Além disso, você estudou os cálculos envolvendo regra de três e 
porcentagem, que, embora sejam básicos, são muito utilizados nos negócios e por vezes são 
causas de embaraços para os menos preparados. 
42 MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Consulte o site: <www.somatematica.com.br> e aprenda muitas curiosidade sobre matemática.
ATIVIDADE DE AUTOESTUDO
1. Um reservatório de areia para construção estava cheio. Após alguns dias, percebemos que 
ele tinha diminuído 30%, e restaram ainda 14 mil quilos. Qual era a sua quantidade inicial? 
(Resposta: 20 mil kg)
2. Um operário recebeu este mês um aumento de 15% e passou a ganhar R$ 1.265,00. Quan-
to recebia anteriormente? (Resposta: 1.100,00)
3. Para se fazer uma determinada argamassa, são utilizadas 1 porção de cimento e 4 porções 
de areia. Sabendo-se que essas porções são iguais determine a porcentagem de cada 
produto. (Resposta: 20% e 80%)
UNIDADE II
JUROSE DESCONTOS
Professor Me. Pedro José Raymundo
Objetivos de Aprendizagem
•	 Entender	a	diferença	entre	os	sistemas	de	capitalização	simples	e	composto.
•	 Aprender	a	utilizar	os	cálculos	financeiros	voltados	ao	mercado	imobiliário.
•	 Verificar	formas	de	utilização	dos	cálculos	financeiros	nos	negócios.
•	 Analisar	negócios	por	meio	dos	cálculos	de	juros	e	descontos.
•	 Desenvolver	conhecimentos	com	a	utilização	de	exercícios	práticos	envolvendo	os	
sistemas de capitalização. 
Plano de Estudo
A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade:
•	 Juro	simples
•	 Desconto	simples
•	 Juro	composto
•	 Desconto	composto
45MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
INTRODUÇÃO
Nesta unidade, buscamos aprofundar um pouco mais os cálculos financeiros por meio do 
estudo dos juros simples e composto, assim como dos descontos simples e composto. Em 
relação aos juros, iremos estudar como calcular taxas, montante e períodos de aplicação de 
capital. Sobre os descontos, veremos os cálculos do desconto “por dentro” e “por fora”, prazos 
médios e equivalência entre taxas de juro e de desconto.
JURO SIMPLES
Juro é a remuneração do capital (dinheiro). Para quem investe é o retorno do investimento. Para 
quem toma emprestado é o custo pelo empréstimo. Assim como o aluguel é uma remuneração 
pelo imóvel alugado e o lucro, o retorno por algum empreendimento, o juro é a recompensa do 
capital deixado à disposição de outra pessoa. 
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46 MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
•	 Diferença entre juro e taxa de juro
O juro, entendido como uma remuneração do capital, é sempre expresso em valor numa 
determinada moeda [Exemplo: R$ 10,00 (dez reais); US$ 20,00 (vinte dólares) etc].
A taxa de juro (normalmente representada pela letra “i”) é um índice que, aplicado sobre o 
capital, determina sua remuneração em um determinado período de tempo (dias, meses, 
anos). O número de períodos (tempo) é representado pela letra “n”.
A taxa pode ser representa de forma:
•	 percentual:	10%	ao	mês,	25%	ao	ano,	0,5%	ao	dia;
•	 unitária:	0,10	ao	mês;	0,25	ao	ano;	0,005	ao	dia.
A forma unitária nada mais é do que a forma percentual dividida por cem. Assim, 10% é igual 
a 10 ÷ 100, ou 0,10. 
Observação: para simplificar as fórmulas matemáticas sempre será usada a forma unitária, 
assim, quando a taxa, por exemplo, for 5%, o “i” na fórmula será substituído por 0,05 (5÷100). 
Porém, quando utilizarmos a calculadora Hp12C a informação deverá ser em percentual. 
Assim, se taxa for 5%, na tecla “i” da calculadora deverá ser informado o número 5.
Acompanhe atentamente a resolução do seguinte exercício:
47MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
•	 Cálculo	do	juro	simples
No sistema de juro simples, não há cálculo de juros sobre juros, ou seja, ele não incide sobre 
os juros dos períodos anteriores. Não há capitalização dos juros, como acontece no regime 
de juro composto.
Fórmula	para	o	cálculo	do	juro simples: 
j = C i n
Na	qual:	j	=	juro;	
	 	 C	=	capital;	
	 	 i	=	taxa;	
	 	 n	=	número	de	períodos(dia,	mês,	ano	etc).
A Tabela 1 a seguir mostra o cálculo de juro simples, considerando taxa de 10% ao período 
que pode ser dia, mês, ano etc. 
Tabela	1:	Cálculo	de	juro	simples	com	taxa	de	10%	ao	período.
N C J Juros 
Acumulados
Montante (M)
0 100,00 - - 100,00
1 100,00 10,00 10,00 110,00
2 100,00 10,00 20,00 120,00
3 100,00 10,00 30,00 130,00
Fonte: o autor
48 MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Para o cálculo dos juros no final do terceiro período (R$ 30,00):
J = C i n 
J	=	100,00	.	0,10	.	3	
J	=	30,00
•	 Com a hp 12c
Vários	cálculos	a	partir	desse	ponto	serão	feitos	também	com	a	calculadora	financeira	
HP12C.	Colocamos	uma	imagem	dessa	calculadora	para	você	que	ainda	não	a	conhece.	
Vale a pena investir um pouco de seu tempo para aprender a utilizar essa ferramenta 
que	facilita	muito	os	cálculos	do	dia	a	dia	de	forma	rápida	e	segura.	Nos	cálculos	de	
juros	simples,	ela	não	é	muito	utilizada	pela	facilidade	em	realizá-lo,	porém	nos	juros	
compostos,	que	veremos	mais	adiante,	ela	é	muito	recomendada.
Se	você	quiser	utilizar	mesmo	sem	ter	a	calculadora	hp12c,	baixe	pela	internet	o	seu	emulador	
e	faça	tudo	como	se	estivesse	com	ele	em	mãos.	É	muito	fácil,	é	só	pesquisar	por	“emulador	
hp12c”. 
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49MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Para	efetuar	o	cálculo	do	exercício	anterior,	usamos	as	seguintes	teclas	após	digitar		f		
CLx para zerar todas as suas memórias:
100 chs PV 120 i 90 n f int R x<>y 
Observação: para juro simples na HP 12c, a taxa informada deve ser sempre a taxa anual e o 
período sempre o número de dias.
Portanto: 10% ao mês = 120% ao ano e 3 meses = 90 dias. 
Acompanhe atentamente a resolução do seguinte exercício:
•	 Cálculo	do	Montante	
O Montante (M) é a soma do Capital (C) e do Juro (j).
M = C + j ou M = C [ 1 + ( i . n )]
Assim, para calcularmos o Montante de R$ 130,00 ao final do terceiro período temos:
M	=	100,00	[1	+	(0,10	.3)]	
M	=	100,00[1	+	(0,30)]	
M	=	100,00(	1,30	)	M	=	130,00	(R$)
FLUXO DE CAIXA
 130 Montante 
 
0 1 2 3 n(períodos) 
100 10 10 10 
Capital Juros Juros Juros 
50 MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Acompanhe atentamente a resolução do seguinte exercício:
•	 Cálculo	do	capital
Para o cálculo do capital (C), pode ser usada a mesma fórmula do montante: 
M = C [ 1 + ( i . n )]
Ou a fórmula transformada:
 
).(1 ni
M
C
+
=
Exemplo: 
Que capital deve ser aplicado para gerar um montante de R$ 130,00 em três meses com taxa 
de juro de 10% ao mês?
 
)3.10,0(1
00,130
+
=C
 = 100,00C 
 
30,1
00,130
=C
51MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Acompanhe atentamente a resolução do seguinte exercício:
•	 Cálculo	da	taxa
Para o cálculo da taxa (i), pode ser usada a mesma fórmula do montante: 
M = C [ 1 + ( i . n )] 
Exemplo: 
Que taxa deve ser aplicada sobre o capital de R$ 100,00 para gerar um montante de R$ 
130,00 em três meses?
Substituindo na fórmula do montante temos:
 M = C [ 1 + ( i . n )]
130 = 100 [ 1 + ( i . 3 )] 
130 = [100 + ( i . 300 )]
130 – 100 = i . 300
 
i=
300
30
i = 0,10 ou 10% ao mês (ao mês porque o período está expresso em meses)
52 MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Ou com a fórmula:
 
cn
j
i
.
=
 
00,100.3
00,30
=i
i = 0,10 ou 10% ao mês 
Acompanhe atentamente a resolução do seguinte exercício:
•	 Cálculo	do	período	
Para o cálculo do período (n), também pode ser usada a mesma fórmula do montante: 
M = C [ 1 + ( i . n )]
Exemplo: 
Durante quanto tempo deve ficar aplicado o capital de R$ 100,00	para	gerar	um	montante	
de	R$	130,00	com	taxa	de	juros	de	10%	ao	mês?
130 = 100 [ 1 + ( 0,10 . n )] 
130 = 100 [ 1 + 0,10n] 
130 = 100 + 10 . n
130 – 100 = 10n
 30 = 10n
 30 = n
 10
 n = 3 (três meses, pois a taxa é ao mês)
53MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Ou pela Fórmula:
 
ci
j
n
.
=
 
00,100.10,0
00,30
=n
n = 3 meses 
Acompanhe atentamente a resolução dos seguintes exercícios:
•	 Exercícios resolvidos
1. Calcule o juro simples gerado por um capital de R$ 2.500,00, quando aplicado durante8 
meses a uma taxa de 3,5% ao mês.
C = 2.500,00;
n = 8;
i = 0,035;
j = ? 
Cálculo com a Fórmula:
j = c i n
j = 2.500,00 x 0,053 x 8 
j = 700,00
54 MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Com a Hp12c
2500 chs PV 240 n 42i f int 700
2. Uma aplicação de R$ 40.000,00, rendeu, em 3 meses, R$4.800,00 de juros. Qual foi a taxa 
mensal de juros?
C = 40.000,00;
n = 3;
j = 4.800,00;
i = ?
 
04 ou 4%,0..:
00,000.120
00,800.4
..:
3.00,000.40
00,800.4
..: ==== iii
cn
j
i
3. Uma aplicação financeira feita durante 2 meses a uma taxa de 3% ao mês rendeu R$1.920,00 
de juro. Qual foi a quantia aplicada?
j = 1.920,00; 
i = 0,03; 
n = 2; 
c = ?
 
00,000.32..:
2.03,0
00,920.1
..: === cc
in
j
c
55MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
4. Certo capital foi aplicado, por 3 meses, à taxa de juros simples de 7% ao mês. Decorridos 
os 3 meses, o mesmo capital foi aplicado, por mais 2 meses, à taxa de 48% ao ano. A soma 
dos juros obtidos nas duas transações foi de R$ 362.500,00. Qual foi a aplicação?
j1 + j2 = 362.500,00
c1i1n1 + c2i2n2 = 362.500,00
c.0,07.3 + c.0,04.2 = 362 500,00
0,29 c = 362 500,00
c = 1.250.000,00
Acompanhe atentamente a resolução do seguinte exercício:
•	 Períodos e taxas de juro
Relação de siglas com os respectivos significados:
i = taxa;
n = período;
ad = ao dia;
am = ao mês; 
ab = ao bimestre;
at = ao trimestre; 
aq = ao quadrimestre;
as = ao semestre;
aa = ao ano.
A taxa i e o número de períodos n, necessariamente, devem estar expressos na mesma 
56 MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
unidade de medida de tempo. Por exemplo, quando a taxa for ao mês, o período deve ser 
medido em meses. Quando a taxa for ao ano, o período deve ser medido em anos e assim 
por diante.
O período comercial considera o mês sempre com 30 dias e o ano com 360 dias (12 meses 
de 30 dias). 
Acompanhe atentamente a resolução do seguinte exercício:
•	 Taxas Proporcionais 
Para a conversão das taxas i proporcionais a diferentes períodos:
•	 de i ad para i am: multiplica-se a taxa ao dia por 30 (um mês tem 30 dias)
 1% ad = 30 % am (1% × 30 dias).
•	 de i ad para i aa: multiplica-se a taxa ao dia por 360 (um ano tem 360 dias)
 1% ad = 360 % aa (1% × 360 dias).
•	 de i am para i ad: divide-se a taxa ao mês por 30 (um mês tem 30 dias)
 30% am = 1 % ad (30% ÷ 30 dias).
•	 de i am para i aa: multiplica-se a taxa ao mês por 12 (um ano = 12 meses)
 1% am = 12 % aa (1% × 12 meses).
•	 de i aa para i am: divide-se a taxa ao ano por 12 (um ano = 12 meses)
 12% aa = 1 % am (12% ÷ 12 meses).
57MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
•	 de i aa para i ad: divide-se a taxa ao ano por 360 (um ano tem 360 dias)
 360% aa = 1% ad (360% ÷ 360 dias).
Acompanhe atentamente a resolução do seguinte exercício:
•	 Períodos proporcionais
Para transformar:
•	 dias em meses: divide-se o número de dias por 30 (um mês tem 30 dias);
 75 dias = 2,5 meses (75 ÷ 30 = 2,5);
 15 dias = 0,5 mês (15 ÷ 30 = 0,5);
•	 dias em anos: divide-se o número de dias por 360 (um ano tem 360 dias);
 540 dias = 1,5 anos (540 ÷ 360 = 1,5);
•	 meses em dias: multiplica-se por 30 (um mês tem 30 dias);
 1,5 meses = 45 dias (1,5 × 30);
•	 meses em anos: divide-se por 12 (um ano tem 12 meses);
 6 meses = 0,5 anos (6 ÷ 12).
58 MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Acompanhe atentamente a resolução do seguinte exercício:
•	 Método	Hamburguês
Esse método é utilizado para a cobrança de juros sob o regime de juros simples de empréstimos 
(créditos rotativos) cujos saldos devedores sejam variáveis durante o período calculado. 
Exemplos desses empréstimos são as contas de cheques especiais, em que os saldos dos 
clientes ficam devedores e se alteram, muitas vezes diariamente, a cada lançamento a débito 
ou a crédito, quando são efetuados saques ou depósitos. 
Assim, durante o período (geralmente o mês) os juros são calculados pelo saldo-médio sacado 
a descoberto dentro de um determinado limite fornecido pelo banco. Esse juro calculado pelo 
sistema de juro simples só é cobrado no final do referido período.
Para calcularmos o valor dos juros, é necessário elaborar uma planilha com o saldo em cada 
dia em que houver alterações (depósitos ou saques). Multiplicamos a taxa	de	juros	diária pelo 
resultado da multiplicação entre o saldo devedor diário e a quantidade de dias que esse saldo 
tenha permanecido devedor.
Exemplo:
1) Considerando o Método Hamburguês, calcule o juro cobrado pelo banco no mês de 
novembro, com taxa de 6% ao mês por uma conta de cheque especial, sem saldo inicial, que 
teve os seguintes lançamentos: 
59MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Tabela	2:	Cálculo	do	saldo	médio	devedor	pela	Método	Hamburguês
DATA Depósitos Cheques Saldo Saldo(D) x 
nº de dias
01/11 0,00
02/11 2.000,00(D) 2.000,00(D) x 10 20.000,00
12/11 4.000,00(C) 1.800,00(D) 200,00(C) - -
15/11 1.200,00(C) 4.500,00(D) 3.100,00(D) x 11 34.100,00
26/11 200,00(C) 2.600,00(D) 5.500,00(D) x 4 22.000,00
= ∑ 76.100,00
∑/30 2.536,67
Observação: na tabela acima, D = Débito (ou saldo negativo) e C = Crédito (ou saldo positivo).
Cálculo:
J = c . i . n
Na qual: J: é o juro do período
 c: é a somatória sempre dividida por 30, porque o mês comercial tem 30 dias 
(76.100,00/30 = 2.536,67), ou seja, é a média diária do saldo devedor.
 i: 6% am
 n: como é um só período (um mês) = 1
 J = 2.536,67 × 0,06 × 1
 j = 152,20
Ou seja, o juro cobrado no mês pela utilização dos saldos devedores conforme Tabela 2 é de 
R$ 152,20 com taxa de 6% ao mês.
60 MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Acompanhe atentamente a resolução dos seguintes exercícios:
•	 Exercícios propostos sobre juros simples 
1) Qual o juro de um capital de R$ 500,00 aplicado por 10 meses a uma taxa de 7% ao mês? 
(350,00)
2) Qual o juro e o montante acumulados em um ano a uma taxa de 10% ao mês a partir de 
uma aplicação de R$ 325,00? (j = 390,00 e M = 715,00)
3) Qual o montante acumulado em 18 meses a uma taxa de 0,10% ao dia a partir de um ca-
pital de R$ 1.000,00? (1.540,00)
4) Qual o montante acumulado em 120 dias a uma taxa de 24% ao ano a partir de um capital 
de R$ 5.000,00? (5.400,00)
5) Qual o capital necessário para se obter um montante de R$ 970,00 daqui a três semestres 
a uma taxa de 5% ao mês? (510,52)
6) Qual o capital necessário para se obter um montante de R$ 1.070,00 daqui a três anos a 
uma taxa de 0,7% ao mês? (854,63)
7) Qual o capital necessário para se obter um montante de R$ 2.000,00 daqui a 18 meses a 
uma taxa de 7,5% ao ano? (1.797,75)
8) Qual o juro simples recebido em uma aplicação de R$ 5.000,00 a uma taxa de 2% ao mês 
pelo período de 15 dias? (50,00)
9)	 Foi	 efetuado	 um	único	 depósito	 de	R$	 570,00	 em	uma	aplicação	 fi	nanceira.	Após	 dois	
anos, seu saldo era de R$ 775,20. Qual a taxa de juro recebida? (1,5% am) 
61MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
10) A que taxa devemos aplicar um capital de R$ 100,00 para que ele duplique em 20 meses? 
(5% ao mês)
11) Fizemos uma dívida de R$ 30.000,00 para aquisição de um imóvel. Não foi efetuado 
nenhum pagamento e, após 5 meses, ela estava em R$45.000,00. Qual a taxa de juro 
cobrada? (10% am) 
12)	 Por	quanto	tempo	deve	ficar	aplicado	um	capital	para	que	ele	quadruplique	de	valor	a	uma	
taxa de 10% am? (30 meses) 
13) Considerando o Método Hamburguês, calcule o juro cobrado por um banco no mês de 
dezembro, com taxa de 12% ao mês em cheque especial com saldo inicial negativo de R$ 
1.000,00 que teve os seguintes lançamentos:
DATACréditos Débitos Saldo Saldo(D) x 
nº de dias
01/12
04/12 5.000,00(D)
10/12 1.000,00(C) 1.800,00(D)
17/12 1.200,00(C) 4.500,00(D)
29/12 9.200,00(C) 2.600,00(D)
∑
∑/30
	 	 Resposta:	R$	859,20	
14) Considerando o Método Hamburguês, calcule o juro cobrado pelo banco no mês de janei-
ro, com taxa de 9% ao mês por um empréstimo de capital de giro que teve os seguintes 
lançamentos: saldo inicial devedor de R$5.000,00; débitos nos dias 10, 20 e 30 de R$ 
6.000,00, R$ 7.000,00 e R$10.000,00, respectivamente.
	 	 Resposta:	R$	1.089,00
62 MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
15) Considerando o Método Hamburguês, calcule o juro cobrado por um banco no mês de 
fevereiro (28 dias), com taxa de 7,5% ao mês por um empréstimo de capital de giro que 
teve os seguintes lançamentos: saldo inicial positivo de R$3.000,00; saques nos dias 2, 
15 e 20 de R$5.000,00, R$6.000,00 e R$7.000,00, respectivamente, e pagamento de 
R$4.000,00 no dia 17.
	 	 Resposta:	R$	355,00
DESCONTO SIMPLES
Desconto é o abatimento que incide sobre um título de crédito (cheque, duplicata, nota 
promissória) ou sobre uma dívida qualquer por terem sido liquidados antes de seu vencimento.
Para o cálculo do desconto é importante saber:
Valor Nominal (VN) é o valor de face, ou seja, valor impresso no título. É o que ele valerá no 
vencimento.
Valor atual (VA) é o valor pelo qual o título pode ser pago antecipadamente. Naturalmente, 
é um valor menor do que o VN, pois se o título for liquidado antecipadamente, ele terá um 
desconto (D).
Fo
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OC
K.
CO
M
63MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Dessa forma, o Desconto (D) é igual ao Valor Nominal (VN) menos o Valor Atual (VA) pelo qual 
o título pode ser pago antecipadamente.
D = VN - VA
Existem dois tipos de descontos simples:
a) O Desconto Comercial Simples, também chamado de Bancário ou “por fora” é o desconto 
normalmente utilizado pelos bancos e pelo comércio em geral. É o tipo que resulta no maior 
valor de desconto. 
Nesse tipo de desconto, a base de cálculo é o Valor Nominal (VN). Ele é calculado sobre o 
valor nominal descontando-se a taxa multiplicada pelo número de períodos antecipados e as 
fórmulas de cálculo são as seguintes:
VA = VN [1 – (i . n )] 
cs
Na qual: VAcs = Valor Atual com desconto comercial simples
Exercício 1
Uma duplicata de R$ 100,00 foi quitada três meses antes do vencimento com taxa de desconto 
comercial simples de 10% ao mês. Por quanto ela foi quitada e qual o valor do desconto? 
VAcs = VN [1 – (i . n)]
VAcs = 100 [1 – ( 0,10 . 3 )]
VAcs = 100 (1 – 0,30)
VAcs = 100 (0,70) = 70,00
Ela foi quitada por R$ 70,00; seu desconto foi de R$ 30,00 (100,00 – 70,00)
64 MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
No fluxo de caixa: taxa de desconto de 10% am.
100,00 VN 
 
 0 1 2 3 
70,00 VA 
O valor do desconto é o valor nominal menos o valor atual.
D = VN – VA 
D = 100 – 70 = 30,00
Para o cálculo direto do desconto comercial simples, também pode ser usada a fórmula:
D = VN . i . n
cs
Na qual: Dcs: valor do desconto comercial simples 
Dcs = 100 . 0,10 . 3 = 30,00
Dcs = 30,00
É esse tipo de desconto, o comercial simples, que os bancos utilizam para cobrar de seus clientes, 
porque ele é o que resulta em um maior valor de desconto entre todos os tipos.
65MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
b) Desconto Racional simples, também chamado de desconto real ou “por dentro”:
A base de cálculo é o Valor Atual (VA):
 
).(1 ni
VN
VA
rs
+
=
Na qual: VArs é o Valor Atual com desconto racional simples.
Exemplo: 
Qual o valor atual com desconto racional simples para o mesmo exercício 1?
 
)3.10,0(1
00,100
+
=rsVA
 
3,1
00,100=rsVA
VA = 76,92rs
No fluxo de caixa: taxa de desconto de 10%am
 
 VN = 100,00 
 
 0 1 2 3 
 76,92 VA 
D = VN - VA
D = 100,00 – 76,92 = 23,08
66 MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Para o cálculo direto do valor do desconto racional simples, a fórmula é:
 
).(1
..
ni
niVN
D
rs
+
=
Cálculo do desconto racional simples com o mesmo exercício 1:
 
 
)3.10,0(1
3.10,0.100
+
=
rs
D :. 
30,1
30
=
rs
D :. Drs = 23,08 
Acompanhe atentamente a resolução do seguinte exercício:
•	 Prazo Médio para descontos
Para o cálculo do desconto de vários títulos com vencimentos diferentes e com a mesma taxa, 
não é necessário fazer o cálculo do desconto de um a um. Por meio do cálculo do PRAZO 
MÉDIO de vencimento dos títulos, é possível fazer um só cálculo de desconto.
Exemplo: calcule o valor do desconto comercial simples para os títulos, conforme tabela a 
seguir com taxa de 5% ao mês. 
67MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Valor Nominal Prazo de vencimento em dias
R$ 100,00 30
R$ 200,00 35
R$ 250,00 33
R$ 5.000,00 60
Primeiramente, calculamos o prazo médio, dividindo a somatória dos produtos entre os valores 
e os prazos (318.250,00) pela somatória dos valores dos títulos (5.550,00 ).
Valor Nominal Prazo de vencimento em dias Valor x Prazo
R$				100,00 30 3.000,00
R$				200,00 35 7.000,00
R$				250,00 33 8.250,00
R$	5.000,00 60 300.000,00
Soma:	5.550,00 Soma:	318.250,00
318.250,00 = 57,34 dias, ou 1,91 mês (57,34 ÷ 30) 
 5.550,00 
•	 Com a hp 12C
Esse é o prazo médio de vencimento (1,91 mês) desses títulos, ponderando os valores e os 
prazos dos mesmos.
Com a informação do prazo médio e com a fórmula abaixo, é possível calcular o valor do 
desconto envolvendo todos os títulos.
Dcs = VN . i . n
Dcs = 5.550 .0,05 . 1,91
Dcs = R$ 530,03
68 MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Acompanhe atentamente a resolução do seguinte exercício:
•	 Equivalência	entre	taxa	de	juros	simples	e	de	desconto	simples
a) No Desconto Racional: como o desconto racional (real) é calculado “por dentro”, ou seja, 
a base de cálculo é o valor atual do título, sua taxa (de desconto) é equivalente à taxa de 
juros. 
Com os mesmos dados do exercício 1:
No fluxo de caixa: taxa de desconto de 10% am
Desconto = VN – VA = 100 – 76,92 = 23,08
•	 No desconto racional com a taxa de desconto de 10% am, em três meses, o valor no-
minal de R$ 100,00 gera o valor atual de R$ 76,92. Aplicamos, agora, a taxa de juros 
também de 10% am, em três meses, sobre o valor atual de R$ 76,92, é gerado o mesmo 
valor de juros e chega-se ao montante de R$ 100,00.
M = C [ 1 + ( i . n )]
M = 76,92 [ 1 + (0,10 . 3 )] 
M = 76,92 [ 1 + ( 0,3)]
M = 100,00
69MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
b) No desconto	comercial, o mesmo não acontece, porque nesse tipo de desconto, o cálculo 
é efetuado “por fora”, ou seja, a base de cálculo do desconto é o valor nominal, enquanto a 
base de cálculo para os juros é o valor atual.
Com os mesmos dados do exercício 1:
No fluxo de caixa: taxa de desconto de 10% am
Dcs = VN . i . n
Dcs = 100 . 0,10 . 3
Dcs = 30,00
Com o desconto comercial de R$ 30,00, o valor nominal de R$100,00 transforma-se no valor 
atual de R$ 70,00. Porém, ao se aplicar a taxa de juros também de 10% am sobre o valor atual 
de R$ 70,00, é gerado um juro de apenas R$ 21,00, chegando ao montante de R$ 91,00 e não 
de R$ 100,00 que é o valor nominal. 
Dessa forma, para chegarmos à taxa de juros equivalente à taxa de desconto comercial 
simples, ou seja,a taxa de juros que vai transformar em três meses o valor atual de R$ 70,00 
em R$ 100,00, como no exercício 1, utilizamos a seguinte fórmula:
 
).(1 nid
id
ij
-
=
Na qual: ij = taxa de juros
 id = taxa de desconto
70 MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
 
)3.01,0(1
10,0
-
=ij
 
70,0
10,0
=ij
ij = 0,14286 ou 14,286% am
A taxa de juros de 14,286% am equivale à taxa de desconto comercial simples de 10% a.m, 
pois aplicando-se aquela taxa (14,286% a.m) sobre os R$ 70,00, chegamos ao montante de 
R$ 100,00.
M = 70[ 1 + (0,14286 × 3 )]
M = 70 ( 1,4286)
M = 100,00
De forma inversa, quando sabemos a taxa de juros simples, podemos calcular a taxa de 
desconto comercial simples equivalente a essa taxa de juros com a seguinte fórmula:
 
).(1 nij
ij
id
+
=
Exemplo: qual a taxa de desconto comercial simples equivalente à taxa de juros simples de 5% 
ao mês num período de 9 meses? 
 
 
)9.05,0(1
05,0
+
=id :. 
45,1
05,0
=id :. id = 0,03448 ou 3,448%am 
Assim, a taxa de juros simples de 5% am equivale à taxa de desconto comercial simples de 
3,448% am com antecipação de 9 meses. 
71MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Atenção: a equivalência entre essas taxas varia conforme o número de períodos. Observe 
que quanto maior o número de períodos, maior será a diferença entre essas taxas.
Acompanhe atentamente a resolução do seguinte exercício:
•	 Observe atentamente os seguintes exercícios resolvidos 
1) Calcule o desconto por dentro de um título de R$ 6.864,00 à taxa de 12% ao mês, 36 dias 
antes do vencimento. 
2) Um título com valor nominal de R$2.000,00, à taxa de 9% ao mês, vai ser descontado 8 
meses antes do vencimento. Calcule a diferença entre os descontos bancário e racional. 
72 MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
3) Calcule a taxa a ser aplicada, por dentro, no valor de uma duplicata de R$1.800,00, para que 
ele, 2,5 meses antes do vencimento, seja reduzido a R$1.000,00.
800(1 + 2,5i) = 4.500i
800 + 2000i = 4.500i
800 = 2.500i
i = 0,32 ou 32%
4) Um comerciante recebeu um desconto racional de R$30,00 ao pagar um título. Sabendo 
que a taxa usada pelo banco é de 72% ao ano, e que o valor do título é de R$ 530,00, encontre 
o prazo de antecipação do título. 
5) Qual a taxa de juro mensal equivalente à taxa de desconto comercial simples de 4,5% am 
pelo prazo de 105 dias?
ij' = id ij' = 0,045 :. ij' = 0,045 :. ij = 5,34% am 
 1 – ( id . n' ) 1 – (0,045.3,5) (0,8425)
. . .
73MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
6) Qual a taxa mensal de desconto comercial simples equivalente à taxa de juro de 5,5% ao 
mês pelo prazo de 8 meses?
id' = ij id' = 0,055 id' = 0,055 id = 0,03819 id = 3,82% am
 1 + ( ij . n' ) 1 + (0,055.8) 1,44
. . . 
Acompanhe atentamente a resolução dos seguintes exercícios:
Aprenda	sempre	mais,	resolva	estes	exercícios	propostos:
1) Calcular o valor atual e o valor do desconto comercial simples para os títulos 
conforme abaixo:
a) Um cheque pré-datado para daqui a 90 dias de R$ 200,00, à taxa de 9% am. ( Dcs= 54,00; 
VAcs= 146,00)
b) Uma duplicata de R$ 1.500,00, com vencimento em 45 dias à taxa de 30% am. (Dcs= 
675,00; VAcs= 825,00)
c) Um título de R$ 9.000,00, com vencimento em 31/05, à taxa de 0,10% ad. (data de hoje: 
01/05 do mesmo ano) (Dcs= 270,00;VAcs=8.730,00).
2) Calcular o valor atual e o valor do desconto racional simples para os títulos conforme 
abaixo:
a) Um título de R$ 625,00, com vencimento em 01/05, à taxa de 42% aa. (data de hoje: 01/04 
do mesmo ano) (Drs=21,14; VArs= 603,86)
74 MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
b) Uma Nota Promissória de R$ 90,00 à taxa de 72% aa 45 dias antes de seu vencimento. 
(Drs= 7,43; VArs= 82,57)
c) Um cheque pré-datado para daqui a 210 dias de R$ 1.110,00, à taxa de 18% aa. (Drs= 
105,48; VArs= 1.004,52).
3) Qual o valor nominal e o valor atual de um título que:
a) Foi pago com desconto comercial de R$ 10,00 à taxa de 10% am 4 meses antes de seu 
vencimento? (VN = 25,00 ;VAcs= 15,00)
b) Foi pago com um desconto racional de R$ 210,00 à taxa de 0,3% ad 60 dias antes de seu 
vencimento? (VN = 1.376,67 ;VArs= 1.166,67)
c) Foi pago com desconto comercial de R$ 25,00 à taxa de 4% am 6 meses antes de seu 
vencimento? (VN = 104,17 ;VAcs= 79,17)
4) Qual a taxa de desconto comercial simples aplicada em um título de:
a) Valor nominal de R$ 250,00, com desconto de R$50,00 para ser pago 2 meses antes do 
vencimento?(10% am)
b) Valor atual de R$ 600,00, com desconto de R$60,00 para ser pago 4 meses antes do ven-
cimento? (2,273% am)
c) Valor atual de R$ 350,00, com desconto de R$150,00 para ser pago 300 dias antes do 
vencimento? (3,0% am)
5)	Por	quanto	tempo	foi	antecipado	o	pagamento	de	uma	nota	promissória	de:
a) Valor nominal de R$ 990,00, que foi paga com desconto comercial de R$35,00 à taxa de 
1% ad? (3,535 dias)
75MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
b) Valor nominal de R$ 570,00, que obteve desconto racional de R$ 70,00 à taxa de 5% am? 
(2,8 meses)
c) Valor atual de R$ 440,00, que obteve desconto comercial de R$ 60,00 à taxa de 4% am? 
(3 meses)
6)	Calcule	o	desconto	comercial	simples,	por	meio	do	prazo	médio,	com	taxa	de	4,5	%	
ao	mês,		para	uma	operação	que	envolva	as	seguintes	duplicatas:
R$ 550,00 descontados dois meses e meio antes do vencimento, R$ 700,00 noventa dias 
antes e R$ 100,00 um ano antes. (210,33)
7)	Calcule	o	desconto	racional	simples,	por	meio	do	prazo	médio,	com	taxa	de	3	%	ao	
mês,		para	uma	operação	que	envolva	os	seguintes	cheques:
R$ 1.550,00 para 4,3 meses, R$ 300,00 para 105 dias, R$ 900,00 para um semestre. (344,19)
8)	Calcule	o	desconto	comercial	e	o	racional	simples,	através	do	prazo	médio,	com	taxa	
de	5,5%	ao	mês,		para	uma	operação	que	envolva	as	seguintes	duplicatas:
R$ 15.000,00 para dois meses, R$ 200,00 para 90 dias, R$ 1.000,00 para 15 dias e R$ 340,00 
para 1,5 mês. (Dcs = 1.738,53 ; Drs = 1.573,17)
9)	Qual	a	taxa	de	juro	ao	mês	equivalente	à	taxa	de	desconto	comercial	simples	de	3,5%	
am	pelo	prazo	de	75	dias?(3,835%	am)
10) Qual a taxa de juro mensal equivalente à taxa de desconto comercial simples de 
1,5%	am	pelo	prazo	de	1	ano?(1,83%	am)
76 MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
11)	Qual	a	taxa	mensal	de	desconto	comercial	simples	equivalente	à	taxa	de	juro	4,5%	
am	pelo	prazo	de	8	meses?(3,31%	am)
12) Qual a taxa mensal de desconto comercial simples equivalente à taxa de juro de 
0,5%	ad	pelo	prazo	de	60	dias?	(11,54%	am)
JUROS COMPOSTOS
No regime de capitalização composta, os juros são capitalizados ao final de cada período, ou 
seja, eles são somados ao capital a cada período incorrido e o cálculo do juro para o próximo 
período é feito sobre a soma do capital e dos juros do período anterior.
Fo
nte
: S
HU
TT
ER
ST
OC
K.
CO
M
77MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
•	 Comparação entre as capitalizações. 
Vamos fazer uma comparação entre as capitalizações Simples e Composta conforme a Tabela 
3.
Um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado para render juros de 10% ao mês durante 3 meses. 
Determine o montante no final dos 3 meses pelos dois sistemas.
Tabela 3: comparação entre as capitalizações Simples e Composta 
Observe bem a diferença entre a capitalização simples e composta conforme a tabela 3.
Analisando esse exemplo, podemos observar que, no fim do primeiro mês, os montantes 
são iguais nos dois sistemas de capitalização.No entanto, do segundo mês em diante, os 
montantes diferem, dando valores cada vez maiores no sistema de capitalização composta 
pelo fato dos juros compostos serem calculados sobre o valor do montante, enquanto os juros 
simples são calculados sobre o valor do capital.
78 MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Acompanhe atentamente a resolução do seguinte exercício:
•	 Cálculo	do	montante
Dessa forma, para o cálculo do montante sob o regime de juro composto, é necessário saber 
o período de capitalização.
Exemplo1: qual o montante final de uma aplicação de R$ 100,00 considerando uma taxa de 
juro de 10% ao período (dia, mês, ano, etc)?
Número de 
períodos (n)
Capital (C) Juros (J) Juros 
acumulados
Montante (M)
0 R$ 100,00 - - R$ 100,00
1 R$ 100,00 R$ 10,00 R$ 10,00 R$ 110,00
2 R$ 110,00 R$ 11,00 R$ 21,00 R$ 121,00
3 R$ 121,00 R$ 12,10 R$ 33,10 R$ 133,10
Assim, se a taxa de 10% do exemplo 1 for ao dia com capitalização diária, após 3 dias, o 
montante será de R$ 133,10; se ela for mensal com capitalização mensal, após 3 meses, o 
montante será de R$ 133,10 e assim sucessivamente.
Importante: é necessário que a taxa e o período de capitalização sejam expressos na mesma 
medida de tempo, ou seja, se o período de capitalização for mensal, a taxa deve ser ao mês 
79MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
e assim por diante. Caso a taxa esteja expressa em período diferente ao da capitalização, ela 
deverá ser convertida pela proporcionalidade, como já estudamos.
A	fórmula	para	o	cálculo	do	montante	é	a	seguinte:	
n
M = C (1+ i) 
•	 Cálculo	do	montante	do	exemplo	1	utilizando	a	fórmula
M = 100 (1+ 0,10)3
M = 100 [1,10]3
M = 100 [1,331]
M = 133,10
•	 Cálculo	do	montante	com	a	hp12c
Para fazer esse cálculo com a calculadora hp12c, basta digitar as seguintes teclas:
f	REG															(para	limpar	a	memória	financeira)	
f 2 (para aparecer no visor duas casas decimais) 
100 CHS PV (PV é o capital de R$ 100,00)
3 n (“n” é o número de períodos = 3)
10 i (“i” é a taxa = 10% a cada período)
FV (FV é o valor futuro ou montante = 133,10)
80 MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Acompanhe atentamente a resolução do seguinte exercício:
•	 Cálculo	do	juro
Para cálculo dos juros, basta diminuir o capital do montante.
•	 Cálculo	do	juro	utilizando	a	fórmula
J = M - C
J = 133,10 – 100,00 
J = 33,10
Ou ainda, com a seguinte fórmula:
n
J = C[(1+i) –1]
No caso do exercício 1 temos:
J = 100[(1+0,10)3 –1]
J = 33,10
•	 Cálculo	do	juro	com	a	hp	12	c:
f	REG															(para	limpar	a	memória	fi	nanceira)	
f 2 (para aparecer no visor duas casas decimais) 
100 CHS PV (PV é o capital de R$ 100,00)
3 n ( “n” é o número de períodos = 3)
10 i ( “i” é a taxa = 10% a cada período)
FV RCL PV + (Resultado 33,10)
81MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Acompanhe atentamente a resolução do seguinte exercício:
•	 Cálculo	do	capital
Para calcular o capital, quando sabemos o valor do montante final, o tempo em que foi aplicado 
e a taxa, utilizamos a fórmula:
C = M 
n
 (1+i)
.
•	 Cálculo	do	capital	utilizando	a	fórmula:
Exemplo 2: qual o capital que gera o montante de R$ 133,10 por ter ficado aplicado durante 3 
meses à taxa de 10% ao mês capitalizada mensalmente? 
C = 133,10/[1+ (0,10)]3
C = 133,10/(1,10)3
C = 133,10/1,331
C = 100,00
•	 Cálculo	do	capital	com	a	hp12c
f	REG																		(para	limpar	a	memória	fi	nanceira)	
f 2 (para aparecer no visor duas casas decimais) 
33,10 CHS FV (FV é o valor futuro ou montante = 133,10)
3 n (“n” é o número de períodos = 3)
10 i (“i” é a taxa = 10% a cada período)
PV (PV é o resultado, ou seja, o capital de R$ 100,00)
82 MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Acompanhe atentamente a resolução do seguinte exercício:
•	 Cálculo	da	taxa
Para o cálculo da taxa “i”, quando temos o valor do capital do montante e o número de períodos 
correspondente, aplicamos a seguinte fórmula:
 
1
1
-÷
ø
ö
ç
è
æ
=
n
C
M
i
 
1-n
C
M
=iou
•	 Cálculo	da	taxa	utilizando	a	fórmula	
Exemplo 3: 
A que taxa deve ser aplicado R$100,00 para ele se transformar no valor de R$ 133,10, em 3 
meses?
 
1
00,100
10,133 3
1
-÷
ø
ö
ç
è
æ
=i
i = 0,10 ou 10% ao mês, porque o período está expresso em meses.
•	 Cálculo	da	taxa	com	a	hp12c
133,10 CHS FV 3 n 100,00 PV 
i (10, ou seja, 10% a cada período – mês)
83MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Acompanhe atentamente a resolução do seguinte exercício:
•	 Equivalência	entre	taxas	de	juros
As taxas de juros expressas em medidas de tempo (períodos) diferentes são equivalentes 
quando aplicadas sobre um mesmo capital em determinado tempo, geram o mesmo montante.
Acompanhe atentamente a resolução do seguinte exercício:
•	 CAPITALIZAÇÃO
A equivalência entre as taxas se dá no regime de capitalização composta e depende do 
período da capitalização. 
Assim, para se saber qual taxa capitalizada em um período maior (exemplo 1 ano) que 
equivale a outra capitalizada em um período menor (exemplo 1 mês), pode ser empregada 
a seguinte fórmula (esse processo se chama capitalização): 
n
 i = (1+i ) – 1
p> p<
Na qual: ip> , é a taxa do período maior
 ip<, é a taxa do período menor
84 MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Exemplo 4: qual taxa anual, capitalizada anualmente, equivalente à taxa de 1% ao mês, 
capitalizada mensalmente? 
ip> = (1+ip<)n – 1
ip> = (1+0,01)12 – 1 = 12,68% ao ano. 
•	 Com a hp 12c 
x 
 i E 100 1 + n y 1 – 100 x
Acompanhe atentamente a resolução do seguinte exercício:
•	 DESCAPITALIZAÇÃO
Porém, para se saber qual taxa capitalizada em um período menor (exemplo 1 mês) que 
equivale a outra capitalizada em um período maior (exemplo 1 ano), pode ser empregada a 
seguinte fórmula (esse processo se chama descapitalização): 
1/n
i = (1+i ) – 1
p< p>
Exemplo 5: qual a taxa mensal equivalente à taxa de 90% ao semestre?
1/n
 i = (1+i ) – 1
p< p>
1/6
 i = (1+0,90) – 1 
p<
0,1667
 i = (1,90) – 1 = 11,29 % ao mês
p<
85MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
•	 Com a hp 12c
Acompanhe atentamente a resolução do seguinte exercício:
•	 Cálculo	do	período
Para o cálculo do número de períodos “n” em que ficou aplicado um capital, quando temos 
o valor desse capital, do montante gerado e da taxa aplicada, utilizamos a seguinte fórmula:
 
)1ln(
)ln(ln
i
CM
+
-
 
)1log(
log
i
C
M
+
n= n=ou
•	 Cálculo	do	período	utilizando	a	fórmula:
Exemplo 6: 
Por quanto tempo deve ficar aplicado o capital de R$ 100,00 para gerar o montante de R$ 
133,10 com taxa de juros de 10% am?
n = 
)10,01ln(
)00,100ln10,133(ln
+
- 
:. n =
0953,0
)6051,48911,4( - 
 
n = 
0953,0
286,0
 
:. n = 3 
 
Ou seja, 3 meses, pois a taxa está expressa em meses.
86 MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
•	 Cálculo	do	período	com	a	hp12c
100	CHS	PV	133,10	FV	10	i	n		(Resposta,	3)
Observação: para o cálculo do período, a calculadora HP 12C tem uma limitação. No caso 
acima, ela calculou exatamente dando o resultado de 3 meses. Porém, para um problema 
em que o resultado seja um número de períodos fracionadoela arredonda-o para o inteiro 
imediatamente superior. 
Exemplo 7: 
Por quanto tempo deve ficar aplicado o capital de R$ 500,00 para que se transforme em R$ 
512,08 com taxa de 1% ao mês, capitalizada mensalmente? 
n = 
)1ln(
)ln(ln
i
CM
+
-
 :. n =
)01,01ln(
)00,50008,512(ln
+
-
n = 
00995,0
)2148,62385,6( -
 
:. n = 
00995,0
02394,0
 
:. n= 2,4
O capital deve ficar aplicado por 2,4 meses, ou 72 dias (2,4 x 30 dias), porém a hp12c arredonda 
o resultado fracionado para o inteiro superior. Nesse caso, pela hp12c a resposta é 3 meses. 
Veja: 
 500 CHS PV 512,08 FV 1 i n
(“n” = 3, mas deveria ser 2,4 meses)
87MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Para	consolidar	o	conhecimento	desse	tópico,	seguem	alguns	exercícios	resolvidos.
1) Qual o saldo de uma caderneta de poupança a juros compostos, com depósito inicial de R$ 
1.000,00 a taxa de 10% am, durante 3 meses?
n
M = C (1+i) 
3
M = 1.000 (1+0,10) 
3
M = 1.000 (1,10) 
M = 1.000 X1,331 
M = 1.331,00
(Resolução pela hp12c) 
10000 CHS PV 3 n 10 i FV 
2) Qual a quantia que, colocada num banco, a juros compostos de 2% am, durante 5 meses, 
atingiu um montante de R$40.000,00?
n 
M = C ( 1 + i ) 
5
40.000,00 = C ( 1 + 0,02) 
40.000,00 = 1,104080803 C
C = 36.229,23
(Resolução pela hp12c)
40000 CHS FV 5 n 2 i PV 
88 MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
3) Durante quanto tempo deve ficar aplicado R$ 5.000,00 à taxa de 7%am para produzir o 
montante de R$ 12.000,00?
(Resolução pela hp12c)
5000 CHS PV 12000 FV 7 i n 
4) Qual o montante que um capital inicial de R$ 8.000,00 pode produzir aplicado do dia 3 de 
março a 16 de julho, à taxa de 3% de juros compostos?
Observação: de 3 de março a 16 de junho são 135 dias, divididos por 30 resulta em 4,5 meses. 
M = C (1+i)n
 
Com a
 
hp12c 
 
M = 8.000,00 (1+0,03)
 
4,5 8.000 CHS PV 
M 8.000,00 (1,03) 4,5 3 i 
M 8.000,00 X 1,442267 4,5 n
 
M = 9.138,13 FV
 
89MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
5) Uma taxa de 2% ao mês, equivale a que taxa anual?
ip > = (1+ ip<)n
 
–
 
1 
 
Com a 
 
hp12c
 
ip > = (1+ 0,02)12 – 1 2E 100 ¸ 1+ 12 yx 1- 100x = 26,82% 
ip > = 26,82%
 
6) Uma taxa de 30% ao mês equivale a que taxa diária?
(Resolução pela fórmula) (Resolução com a hp12c)
 
Além desses exercícios resolvidos, propomos que resolva mais alguns para você ter a certeza de que 
aprendeu o assunto.
1) Apliquei hoje R$ 5.000,00 em caderneta de poupança. Qual será o saldo dessa poupança 
daqui a dois anos e meio, considerando um rendimento de 0,7 % ao mês, sabendo que ela é 
corrigida mensalmente? (R$ 6.163,88)
2) Qual é o saldo final de uma aplicação financeira de R$ 1.300,00 que rende juros de 1% ao 
mês, capitalizado mensalmente, por 105 dias? (R$1.346,07)
3) Quanto rende de juros um capital de R$ 350,00 durante 300 meses com taxa de 1,2% 
ao mês capitalizado anualmente? (R$ 9.759,24) E se fosse capitalizado mensalmente? (R$ 
12.187,81) 
90 MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
4) Determinar o juro produzido por um capital de R$ 750,00 aplicado por dois anos com taxa 
de 9% ao semestre, capitalizado bimestralmente (R$319,32). E se fosse com capitalização 
anual? (R$294,30)
5) Qual o montante gerado por um capital de R$ 800,00 aplicado por um ano e meio a juro de 
2% ao mês com capitalização bimestral? (R$ 1.138,65)
6) Qual o capital necessário para gerar um montante de R$ 3.000,00 em um ano e meio com 
juro de 15,60% ao ano capitalizado mensalmente? (R$2.377,67)
7) Qual o capital necessário para gerar o juro de R$ 265.985,23 em 450 dias com taxa de 1% 
ao dia capitalizado mensalmente? (R$ 5.300,00)
8) Qual o capital que resulta num montante de R$ 90.000,00 se aplicado à taxa de 5% ao mês 
por 270 dias capitalizado semestralmente? (R$60.719,40)
9) Qual a taxa capitalizada mensalmente que faz um capital de R$ 1.500,00 se transformar em 
R$1.615,33 em 90 dias?(2,5% ao mês)
10) Que taxa de juro capitalizado diariamente faz um capital de R$4.000,00 render R$ 509,71 
em 4 meses? (0,1% ao dia) 
11) Uma aplicação financeira efetuada em 01.01 no valor de R$500,00 apresentou um saldo 
de R$ 630,87 em 01.07 do ano seguinte. Qual a taxa de juros capitalizada mensalmente dessa 
aplicação? (1,3% ao mês)
12) Qual a taxa de juros capitalizada mensalmente que faz duplicar um capital em um ano? 
(5,95% ao mês)
13) Quanto tempo leva para um certo capital se transformar em seu dobro com taxa de juros 
de 30% ao ano capitalizada mensalmente? (28,1 meses)
91MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
14) Durante quantos meses precisa ficar aplicado em caderneta de poupança um saldo de R$ 
1.000,00 para que renda R$ 500,00 sabendo-se que é remunerada à taxa de 0,7% ao mês 
capitalizada mensalmente? (58,1 meses) 
15) Um valor de R$ 12.000,00 rendeu R$ 12.136,28 à taxa de 0,5% ao dia capitalizado 
mensalmente. Quanto tempo ele ficou aplicado? (5 meses)
16) Com capitalização mensal, a taxa de juro de 2,6% am equivale a que taxa de juro 
anual?(36,07% aa)
17) Com capitalização mensal, a taxa de juro de 200% aa equivale a que taxa de juro 
mensal?(9,58% am)
18) Com capitalização diária, a taxa de juro de 0,2% ad equivale a que taxa de juro 
mensal?(6,18% am)
19) Com capitalização diária, a taxa efetiva de juros de 30% am equivale a que taxa de juro 
diária?(0,88% ad)
20) O banco que cobra 8% am de taxa de juro sobre o cheque especial, cobra quantos porcento 
ao ano? (151,82% aa)
21) Uma administradora de cartão de créditos cobra em média 12% ao mês em seus 
empréstimos. Qual a taxa equivalente ao ano?(289,60% aa)
Desconto Composto
O desconto composto é o abatimento pelo pagamento antecipado de um título, considerando o 
sistema composto de capitalização. Se for apenas um o período da antecipação do pagamento, 
o desconto composto não tem diferença em relação ao desconto simples. Porém, se esse 
tempo compreender dois ou mais períodos, o desconto do segundo período em diante passa 
a ser calculado sobre o valor anterior já com o seu respectivo desconto. Ou seja, é feita uma 
92 MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
sucessão de cálculos de descontos simples, período por período.
Assim como no desconto simples também existem dois tipos de desconto composto: 
a) o comercial, também chamado de bancário ou “por fora”; 
b) o racional, também chamado de real ou “por dentro”. 
DESCONTO COMPOSTO COMERCIAL
O desconto composto comercial (bancário ou “por fora”) é calculado sobre valor nominal.
Acompanhe atentamente a resolução do seguinte exercício:
•	 Cálculo	do	valor	atual
Exemplo 1: um título de R$ 100,00 foi pago três meses antes do vencimento com taxa de 
desconto composto comercial de 10% am. Qual o valor a ser pago?
O valor a ser pago é o valor atual que pode ser calculado com a fórmula:
Na qual:
VAcc = valor atual com o desconto comercial composto, é o valor do pagamento com abatimen-
to devido à antecipação.
VN = valor nominal, valor escrito no título. É o valor no seu vencimento.
93MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS| Educação a Distância
VAcc = 100,00(1- 0,10)3
VAcc = 100,00 (0,90)3
VAcc = 100,00 . 0,729 = 72,90
Com a hp 12c 
Observação importante:
A calculadora HP 12 C está preparada para fazer cálculos de juros compostos e de desconto 
racional composto. Assim, para cálculo de desconto comercial composto, é necessário que a 
taxa seja informada com sinal negativo, porque vai ser retirada essa taxa como desconto. 
Ainda, diferentemente dos cálculos de juros, aqui a tecla FV corresponde ao valor atual 
(VA) e a tecla PV ao valor nominal (VN).
f REG f 2
100,00 CHS PV (VN negativo = - 100,00)
10 CHS i ( taxa negativa = - 10%) 
3 n FV (VA ou valor atual = 72,90)
Acompanhe atentamente a resolução do seguinte exercício:
•	 Cálculo	do	desconto
O valor do desconto é a diferença entre o valor nominal e o valor atual.
D = VN – VA
D = 100,00 – 72,90 = 27,10
Pode ser calculado com a fórmula:
 [ ]niVNDcc )1(1 --=
94 MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Usando o mesmo exemplo:
3
D = 100,00[1-(1-0,10) ]
cc
3
D = 100,00[1-(0,90) ]
cc
D = 100,00 (1-0,729)
cc
D = 100,00 . 0,271 D = 27,10
cc cc
Com a hp 12c
100,00 CHS PV 
10 CHS i (taxa negativa = - 10%) 
3 n FV RCL PV + 
Acompanhe atentamente a resolução do seguinte exercício:
•	 Cálculo	do	valor	nominal
O valor nominal (VN) é o valor expresso no título. Se forem informadas as outras variáveis, é 
possível calculá-lo com a seguinte fórmula:
Exemplo: qual o valor nominal do título que foi pago com 3 meses de antecedência por R$ 
72,90, considerando a taxa de desconto comercial composto de 10% ao mês?
95MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Com a hp 12c
72,90 CHS FV 
10 CHS i ( taxa negativa = - 10%) 
3 n PV
Acompanhe atentamente a resolução do seguinte exercício:
•	 Cálculo	da	taxa	
Para cálculo da taxa do desconto comercial composto, pode ser utilizada a seguinte fórmula:
 
n
VN
VA
i
1
1 ÷
ø
ö
ç
è
æ
-=
Exemplo 2: qual a taxa de desconto comercial composto empregada numa operação que 
resultou no pagamento de um título de R$ 100,00 por R$ 72,90 em razão de sua antecipação 
por 3 meses?
96 MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
1/3
i = 1- (72,90/100,00)
0,3333
i = 1- (0,7290)
i = 1 – 0,90 = 0,10 ou 10% ao mês.
Com a hp 12c 
f REG f 2 100,00 CHS PV 72,90 FV 3 n i
A resposta é –10. Ou 10% ao mês negativo, porque esse é o percentual retirado do valor 
nominal.
Acompanhe atentamente a resolução do seguinte exercício:
•	 Cálculo	do	período	
O cálculo do período do desconto comercial composto pode ser feito pela fórmula:
 
)1ln(
lnln
i
VNVAcc
n
-
-
=
Exemplo:
Por quanto tempo foi antecipado o pagamento de um título de valor nominal R$ 100,00, 
liquidado por R$ 72,90 com taxa de desconto comercial composto de 10% ao mês?
97MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
 
)10,01ln(
00,100ln90,72ln
-
-
=n
 
1054,0
6052,42891,4 -
=n
 3=n
Três meses, pois a taxa está expressa em mês.
Com a hp 12c
f REG f 2 100,00 CHS PV 72,90 FV 10 CHS i n
DESCONTO COMPOSTO RACIONAL
O desconto composto racional, também chamado de real ou “por dentro”, é calculado sobre o 
valor atual. Atenção,	somente	neste	tipo	de	desconto	os	cálculos	são	equivalentes	aos	
cálculos	do	capital	na	capitalização	composta.	As	fórmulas	são	as	mesmas,	mudando	
apenas as nomenclaturas.
Acompanhe atentamente a resolução do seguinte exercício:
•	 Cálculo	do	valor	atual	
Exemplo 1: um título de R$ 100,00 foi pago três meses antes do vencimento com taxa de 
98 MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
desconto racional composto de 10% am. Qual o valor do pagamento?
O valor do pagamento é o valor atual. No caso do desconto racional composto, a fórmula é a 
mesma utilizada para cálculo do capital na capitalização composta, na qual o VA rc é o Capital 
e o VN é o Montante:
Na qual:
VArc = valor atual com desconto racional composto é o valor do pagamento com desconto 
pela antecipação. Pode ser considerado como o Capital.
VN = valor nominal, valor que está escrito no título. É o valor no seu vencimento. Nesse 
caso, também pode ser entendido como o montante.
Com a hp 12 c 
f REG f 2 100,00 CHS FV 10 i 3 n PV 
99MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Acompanhe atentamente a resolução do seguinte exercício:
•	 Cálculo	do	desconto
O valor do desconto é a diferença entre o valor nominal e o valor atual.
D = VN – VA
D = 100,00 – 75,13 = 24,87
Pode ser calculado com a fórmula:
Usando o mesmo exemplo 1:
 
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
-=
3
)10,01(
1
1100Drc
D = 100,00 ( 1 - 0,7513 )
rc
D = 100,00 . 0,2487 
rc
D = 24,87
rc
Com a hp 12 c 
100,00 FV 3 n 10 i PV RCL FV + (Resposta = 24,87)
100MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Acompanhe atentamente a resolução do seguinte exercício:
•	 Cálculo	do	valor	nominal
O valor nominal VN é o valor expresso no título. No caso do desconto racional composto para 
calcular o VNrc, utilizamos a mesma fórmula do montante na capitalização composta, na qual 
o VNrc é o Montante e o VA é o capital:
n
VN = VA (1+i)
rc
Exemplo 2: qual o valor nominal de um título liquidado 3 meses antes do vencimento por R$ 
75,13, com taxa de desconto racional composto de 10% ao mês?
3
 VN = 75,13 (1,1) VN = 100,00
rc rc
Com a hp 12 c
f REG f 2 75,13 CHS PV 10 i 3 n FV (Resposta 100,00)
101MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Acompanhe atentamente a resolução do seguinte exercício:
•	 Cálculo	da	taxa
Para cálculo da taxa do desconto racional composto, a fórmula também é a mesma utilizada 
para a taxa de juros compostos:
 
1
1
-÷
ø
ö
ç
è
æ
=
n
VA
VN
i
Exemplo: qual a taxa de desconto racional composto empregada numa operação que resultou 
no pagamento de um título de R$100,00 por R$75,13 em razão do pagamento antecipado por 
3 meses?
 
1
13,75
100 3
1
-÷
ø
ö
ç
è
æ
=
=
i
i 0,10 ou 10% ao mês
Com a hp 12 c
f REG f 2 75,13 CHS PV 100,00 FV 3 n i (resposta 10% ao mês) 
102MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Acompanhe atentamente a resolução do seguinte exercício:
•	 Cálculo	do	período
O cálculo do período do desconto racional composto também é feito com a mesma fórmula do 
período dos juros compostos:
 
)1ln(
lnln
i
VAVN
n
+
-
=
Exemplo 4: por quanto tempo foi antecipado o pagamento de um título de valor nominal R$ 
100,00, liquidado por R$ 75,13, com taxa de desconto racional composto de 10% ao mês?
 
10,01ln
13,75ln00,100ln
+
-
=n
 
 
0953,0
3192,46052,4 -
=
=
n
n 3 (três meses, pois a taxa está expressa em meses)
Com a hp 12c
f REG f 2 75,13 CHS PV 100,00 FV 10 i n (resposta 3)
103MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Acompanhe atentamente a resolução dos seguintes exercícios:
Observe os exercícios resolvidos sobre desconto composto comercial
1) Um título de R$ 2.100,00 foi pago 3 meses antes do vencimento com taxa de desconto 
comercial de 7% a.m. Qual o valor pago?
n
D = VN [ 1 – (1- i) ]
cc
3
D = 2.100,00 [ 1- (1- 0,07) ]
cc
3
D = 2.100,00. [ 1- (0,93) ]
cc
D = 2.100,00.[ 1- 0,804357]
cc
D = 2.100,00 . 0,195643
cc
D = 410,85
cc
Com a hp12c
2) Qual o valor nominal do título que foi pagocom 2 meses de antecedência, por R$ 272,90 
considerando a taxa de desconto comercial composto de 10% ao mês?
Com a hp12c
104MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
3) Qual a taxa de desconto comercial composto empregada numa operação que resultou 
no pagamento de R$ 272,90 por um título de valor nominal de R$300,00 em razão de seu 
pagamento ter sido antecipado em 1 mês?
 
n
VN
VA
i
1
1 ÷
ø
ö
ç
è
æ
-=
 
1
1
00,300
90,272
1 ÷
ø
ö
ç
è
æ
-=i
i = 1- 0,909666
i = 0,09 ou 9%
Com a hp 12c
272,90 CHS FV 300 PV 1n i 
4) Por quanto tempo foi antecipado o pagamento de um título de valor nominal R$ 100,00, 
liquidado por R$ 72,90 com taxa de desconto comercial composto de 10% ao mês?
 
)1ln(
lnln
i
VNVA
n
-
-
=
 
)10,01ln(
100ln90,72ln
-
-
=n
 
105361,0
605170,4289089,4
-
-
=n
105361,0
316081,0
-
- 
=n
 3 meses
 
=n
Com a hp 12c 
72,90 CHS FV 100 PV 10 CHS i n 
105MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
5)Um título de R$ 720,00 foi pago 5 meses antes do vencimento com taxa de desconto 
composto comercial de 8% ao mês. Qual o valor pago?
n
VA = VN . (1 - i )
5
VA = 720.(1-0,08)
5
VA = 720.(0,92)
VA = 720.0,659081
VA = 474,54
Com a hp12c
720CHS PV 8 CHS i 5 n FV
Acompanhe atentamente a resolução dos seguintes exercícios:
Agora são exercícios resolvidos de desconto composto racional
Observação: com o desconto composto racional, os cálculos são equivalentes ao do capital 
na capitalização composta.
1) Um título de R$ 647,00 foi pago 2 meses antes do vencimento com taxa de desconto racional 
composto de 6% ao mês. Qual o valor do pagamento?
 
n
i
VN
VArc
)1( +
=
 
2
)06,01(
647
+
=VArc
 
1236,1
647
=VArc
 83,575=VArc
Com a hp12c
647CHS FV 6 i 2 n PV 
106MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
2) Em relação ao exercício anterior, qual é o valor do desconto?
Com a fórmula Com a hp12c
Drc =VN 1 1(1+ i)n 647CHS FV 6 i 2 n PV RCL FV +
+
= 2)06,01(
11647Drc 
=
1236,1
11647Drc 
Drc = 647. (1- 0,8899964) 
Drc = 647 . 0,1100036 
Drc = 71,17 
3) Qual o valor nominal de um título líquido 4 meses antes do vencimento por R$ 175,13 com 
taxa de desconto racional composto de 4% ao mês?
Com a fórmula Com a hp12c
n 
VN = VA (1+ i) 175,13 CHS PV 4 i 4 n FV
rc
4
VN = 175,13 (1+0,04)
rc
4
VN = 175,13(1,04)
rc
VN = 204,88 
rc
4) Qual taxa de desconto racional composto empregada numa operação que resultou no 
pagamento de um título de valor nominal de R$210,00 por R$ 163,20 em razão do pagamento 
antecipado por 2 meses?
Com a fórmula Com a hp12c
 210 CHS FV 163,20 PV 2 n i 
i = 0,1343 ou 13,43%
 
1
1
-÷
ø
ö
ç
è
æ
=
n
VA
VN
i
 
1
20,163
210 2
1
-÷
ø
ö
ç
è
æ
=i
107MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
5) Por quanto tempo foi antecipado o pagamento de um título de valor nominal de R$ 100,00, 
liquidado por R$ 75,13, com taxa de desconto racional composto de 10% ao mês?
Com a fórmula Com a hp12c
 
 75,13 CHS PV 100 FV 10 i n
 
 
 n = 3 meses
 
)1ln(
lnln
i
VAVN
n
+
-
=
 
)10,01ln(
13,75ln100ln
+
-
=n
 
095310,0
319220,4605170,4 -
=n
 
095310,0
285950,0
=n
CONSIDERAÇÕES FINAIS 
Por aqui terminamos mais uma unidade na qual você aprendeu muita coisa, como: a diferença 
enorme que existe entre a capitalização simples e composta; o cálculo dos juros, montante, 
número de períodos e taxas dos sistemas simples e composto; a diferença entre desconto 
simples e composto; a diferença entre desconto comercial e racional; o cálculo do desconto 
do valor atual e do valor nominal em todos os tipos de desconto; a equivalência entre taxas de 
juros e de desconto além do método hamburguês. 
108MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
ATIVIDADE DE AUTOESTUDO
Acompanhe atentamente a resolução dos seguintes exercícios:
Os	exercícios	propostos	são	para	você	ver	se	aprendeu	mesmo!
1) Calcule o valor atual e o valor do desconto comercial composto para os títulos conforme 
abaixo:
a) Um cheque pré-datado para daqui a 3 meses de R$ 350,00, à taxa de 9% aa. ( Dcc= 7,82; 
VAcc= 342,18) 
b) Uma duplicata de R$ 2.500,00, com vencimento em 75 dias à taxa de 15% am. ( Dcc= 
834,72 ;VAcc= 1.665,28)
c) Um título de R$ 6.500,00, com vencimento em 31/05, à taxa de 4,5% am. (data de hoje: 
01/05 do mesmo ano) ( Dcc= 292,50 ;VAcc= 6.207,50)
2) Calcule o valor atual e o valor do desconto racional composto para os títulos conforme 
abaixo:
a) Um cheque de R$ 550,00 pré-datado para daqui a 4 meses, à taxa de 12% aa. (Drc= 21,46; 
VArc= 528,54) 
b) Uma duplicata de R$ 500,00, com vencimento em 105 dias, à taxa de 15% am. (Drc= 21,27; 
VArc= 478,73)
c) Um título de R$ 8.500,00, com vencimento em 31/05, à taxa de 3,5% am. (data de hoje: 
01/05 do mesmo ano) (Drc=287,44; VArc= 8212,56)
109MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
3) Qual o valor nominal e o valor atual de um título que:
a) Foi liquidado com desconto comercial composto de R$ 20,00 à taxa de 7% am, 3 meses 
antes de seu vencimento. (VN = 102,23 ;VAcc= 82,23)
b) Foi liquidado com um desconto racional composto de R$ 430,00 à taxa de 6% am, 90 dias 
antes de seu vencimento. (VN=2.681,12; VArc=2.251,12)
c) Foi pago com desconto comercial composto de R$ 55,00, à taxa de 5% am, 4 meses antes 
de seu vencimento. (VN = 296,50 ;VAcc= 241,50)
4) Qual a taxa de desconto composto empregada em um título de:
a) Valor nominal de R$ 300,00, com desconto comercial de R$30,00 para ser pago 2 meses 
antes do vencimento. (5,13% am)
b) Valor nominal de R$ 900,00, com desconto comercial de R$43,00 para ser pago 75 dias 
antes do vencimento. (1,94% am)
c) Valor nominal de R$ 2.000,00, com desconto comercial de R$200,00 a ser pago 90 dias 
antes do vencimento. (3,45% am)
d) Valor nominal de R$ 10.000,00, com desconto racional de R$1.200,00 a ser pago 105 dias 
antes do vencimento. (3,72% am)
5) Por quanto tempo foi antecipada uma letra de câmbio de:
a) Valor nominal de R$ 590,00, liquidada com desconto comercial composto de R$200,00, à 
taxa de 19% am. (1,96 meses ou 59 dias )
b) Valor nominal de R$ 650,00, que obteve desconto racional composto de R$ 104,25, à taxa 
de 6% am. (3 meses)
c) Valor nominal de R$ 344,00, que obteve desconto comercial composto de R$ 65,00, à taxa 
de 3% am. (6,87 meses ou 6 meses e 26 dias)
6) Quanto devo pagar hoje pelo título de R$ 3.000,00 com vencimento em 7 meses e com taxa 
de desconto comercial composto de 2% am? (2.604,38)
UNIDADE III
RENDAS E EMPRÉSTIMOS
Professor Me. Pedro José Raymundo
Objetivos de Aprendizagem
•	 Entender	o	processo	de	cálculo	que	envolve	o	assunto	de	renda	ou	anuidade.
•	 Verificar	 a	 importância	 de	 considerarmos	 a	 inflação	 nos	 cálculos	 que	 envolvem	
negócios do setor imobiliário.
•	 Verificar	a	influência	que	os	empréstimos	exercem	sobre	o	mercado	imobiliário.•	 Estudar	os	empréstimos	e	seus	sistemas	de	amortização.
Plano de Estudo
A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade:
•	 Rendas	ou	anuidades
•	 Inflação,	deflação	e	índices	de	preço
•	 Taxa	de	juro	real,	efetiva	e	nominal
•	 Empréstimos	e	sistemas	de	amortização
113MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
INTRODUÇÃO	
Estudar esta unidade é fundamental para quem vai trabalhar no setor imobiliário, porque ela 
envolve cálculos que são muito utilizados nos negócios do dia a dia.
Calcular o valor das prestações de um empréstimo, as taxas de juros envolvidas nos negócios, 
bem como a forma usada para amortizar esses empréstimos e a influência da inflação nos 
valores do setor são alguns assuntos que você aprenderá com esta unidade. Por isso vamos 
a diante com a curiosidade de quem gosta de aprender sempre mais para aplicar na sua 
atividade.
RENDAS OU ANUIDADES
Rendas ou anuidades são séries de pagamentos que têm, basicamente, duas finalidades: 
a) o pagamento de uma dívida parcelada, ou a compra de um bem em prestações; 
b) a constituição de um montante em dinheiro no futuro como, por exemplo, uma série de 
depósitos em caderneta de poupança que é capitalizada.
Fo
nte
: S
HU
TT
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ST
OC
K.
CO
M
114 MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Classificação das rendas
Postecipadas
Imediatas 
Constantes 
 
Antecipadas
Periódicas 
 
Temporárias Variáveis
 
Rendas 
 Não periódicasPerpétuas
Adaptado de FRANCISCO 1999
Diferidas
Conforme Francisco (1999), as rendas podem ser certas ou aleatórias. Rendas certas são 
as que têm previamente definidas as quantidades de prestações (PMT) ou depósitos, o 
vencimento das prestações e seus respectivos valores. Se algum desses fatores não estiver 
previamente combinado, a renda é aleatória.
Também se classificam quanto ao prazo, periodicidade, variabilidade e forma de pagamento.
Quanto ao prazo, as rendas podem ser temporárias ou perpétuas. Temporárias quando têm 
duração limitada, como uma compra em quatro parcelas, por exemplo. Perpétua quando o 
número de parcelas é infinito, como o pagamento da manutenção de um condomínio.
Quanto à periodicidade: periódicas quando os intervalos entre as prestações ou depósitos 
são iguais (as prestações são mensais, anuais etc); não periódicas quando esses intervalos 
não são iguais. 
Quanto à variabilidade: as rendas são constantes quando as prestações ou depósitos são 
de mesmo valor (um empréstimo com prestações fixas) e variáveis quando são de valores 
diferentes (um consórcio que altera o valor da parcela com a alteração de preço do bem).
115MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Quanto à forma de pagamento as rendas podem ser: 
a) Imediatas quando o vencimento da primeira prestação ou depósito ocorre no primeiro 
período. As rendas imediatas podem ser antecipadas (com entrada) quando o vencimento 
ocorre no início do primeiro período ou postecipadas (sem entrada) quando o vencimento 
ocorre	no	fi	nal	do	primeiro	período.
b) Diferidas quando esses vencimentos não ocorrem no primeiro período, ou seja, quando 
há	 prazo	 de	 carência,	 como	 em	alguns	 fi	nanciamentos	 bancários	 em	 que	 as	 primeiras	
prestações começam a vencer em seis meses ou em um ano, por exemplo. 
Nosso estudo a esse respeito vai se concentrar nas rendas mais utilizadas no mercado, que 
são as rendas certas, temporárias, periódicas, constantes, imediatas. 
Uma renda com todas as características acima, por exemplo, é a compra a prazo com 
pagamentos mensais e número determinado de parcelas de valor fixo, que ainda pode ser 
com ou sem entrada. Esse tipo de anuidade, geralmente, é utilizado para pagamento de uma 
dívida contraída na aquisição de um bem.
Outro exemplo pode ser uma sequência de um certo número de depósitos em caderneta 
de poupança de valores iguais e em datas determinadas que vai sendo capitalizada com a 
intenção de acumular uma quantia em dinheiro para consumo no futuro.
Acompanhe atentamente a resolução do seguinte exercício:
116 MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Cálculo	do	Valor	Atual	da	renda 
Para achar o valor atual de uma série de pagamentos, a sistemática é calcular os valores 
atuais, com desconto racional composto, de cada uma dessas prestações e somar todos 
esses valores atuais.
Isso é possível com um só cálculo por meio das seguintes fórmulas:
a) Se os pagamentos forem postecipados (sem entrada)
Na qual:
 Ap é o valor atual de todas as parcelas postecipadas ou, simplesmente, o valor da dívida 
que será paga em prestações. Pode ainda ser considerado como o Capital (C).
 PMT é o valor de cada parcela ou prestação.
Exemplo:
Qual o valor atual de uma dívida contraída para ser paga em 7 parcelas mensais postecipadas 
de R$ 500,00, com uma taxa de 4,5% am?
117MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Com a hp 12c
G 8 (Para cálculo dos pagamentos sem entrada ou postecipados)
f CLX f 2 500 CHS PMT 4,5 i 7 n PV (Resposta 2.946,35) 
O fluxo de caixa fica assim representado:
(OBS.: na hp12C 500 CHS PMT 4,5 i 7 n FV ) 
Acompanhe atentamente a resolução do seguinte exercício:
b) Se os pagamentos forem antecipados (com entrada)
 
PMT
ii
i
A
n
n
a
.
)1(
1)1(
)1( ú
û
ù
ê
ë
é
+
-+
=
-
 na hp 12c ( com begin) 
Na qual:
 Aa é o valor atual de todas as parcelas antecipadas ou, simplesmente, o valor da dívida que 
será paga em prestações. Pode ainda ser considerado como o Capital (C).
118 MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Exemplo:
Qual o valor atual de uma dívida contraída para ser paga em 7 parcelas mensais antecipadas 
de R$ 500,00, com uma taxa de 4,5% am?
 
PMT
ii
i
A
n
n
a
.
)1(
1)1(
)1( ú
û
ù
ê
ë
é
+
-+
=
-
 
500.
)045,01(045,0
1)045,01(
)17(
7
ú
û
ù
ê
ë
é
+
-+
=
-a
A
 
500.
)30228,1(045,0
136086,1
ú
û
ù
ê
ë
é -
=
a
A
A = 6,15784 . 500 = 3.078,92
a
Com a hp 12c
G 7 (Para cálculo dos pagamentos antecipados ou com entrada, aparece “begin” no visor)
f CLX f 2 500 CHS PMT 4,5 i 7n PV (Resposta 3.078,94)
O fluxo de caixa fica assim representado:
Taxa 4,5% am 
 
Ma= 4.190,00 
500 500 500 500 500 500 500 
0 1 2 3 
 
4 
 
5
 
6 
 
7
3.078,94 VA 
119MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Acompanhe atentamente a resolução do seguinte exercício:
Cálculo	do	Valor	da	Prestação	
a) Se os pagamentos forem postecipados (sem entrada):
Seguindo o exemplo do exercício anterior:
Qual o valor da prestação de uma dívida no valor de R$ 2.946,35 contraída para ser paga em 
7 parcelas mensais postecipadas, com taxa de 4,5% am?
Com a fórmula
 
PMT
ii
i
A
n
n
p
.
)1(
1)1(
ú
û
ù
ê
ë
é
+
-+
=
 
PMT.
)045,01(045,0
1)045,01(
35,946.2
7
7
ú
û
ù
ê
ë
é
+
-+
=
 
PMT.
061239,0
36086,0
35,946.2 ú
û
ù
ê
ë
é
=
 PMT.89267,535,946.2 =
 
89267,5
35,946.2
=PMT
 00,500=PMT
120MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Com a hp 12c
G 8 (Para cálculo dos pagamentos sem entrada ou postecipados)
f CLX f 2 2.946,35 CHS PV 4,5 i 7 n PMT (Resposta 500,00)
Acompanhe atentamentea resolução do seguinte exercício:
b) Se os pagamentos forem antecipados (com entrada):
Ainda com o mesmo exemplo do exercício anterior:
Qual o valor da prestação de uma dívida no valor de R$ 3.078,94 contraída para ser paga em 
7 parcelas mensais antecipadas, com taxa de 4,5% am?
Com a fórmula:
 
PMT
ii
i
A
n
n
a
.
)1(
1)1(
)1( ú
û
ù
ê
ë
é
+
-+
=
-
 
PMT.
)045,01(045,0
1)045,01(
94,078.3
)17(
7
ú
û
ù
ê
ë
é
+
-+
=
-
 
PMT.
058602,0
36086,0
94,078.3 ú
û
ù
ê
ë
é
=
3.078,94 = 6,15784 . PMT
PMT = 3.078,94 PMT = 500,00
 6,15784
 
121MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Com a hp 12c
G 7 (Para cálculo dos pagamentos com entrada ou antecipados, aparece o termo “begin” no 
visor)
f CLX f 2 3.078,94 CHS PV 4,5 i 7n PMT (Resposta 500,00)
Acompanhe atentamente a resolução do seguinte exercício:
Cálculo	da	taxa	
a) Para a Renda postecipada (sem entrada)
Qual a taxa de juros empregada para atualização de uma dívida no valor de R$ 2.946,35 
contraída para ser paga em 7 parcelas mensais postecipadas de R$ 500,00 cada?
Com a hp 12c
G 8 (Para cálculo dos pagamentos sem entrada ou postecipados)
f CLX f 2
2.946,35 CHS PV 7n 500,00 PMT i (4,5% am, o período está em meses)
122MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Acompanhe atentamente a resolução do seguinte exercício:
b) Para a Renda antecipada (com entrada)
Qual a taxa de juros empregada para atualização de uma dívida no valor de R$ 3.078,94 
contraída para ser paga em 7 parcelas mensais antecipadas de R$ 500,00 cada?
Com a hp 12c
G 7 (Para cálculo dos pagamentos com uma entrada)
f CLX f 2
3.078,94 CHS PV 7n 500,00 PMT i ( 4,50% am, o período está em meses)
Acompanhe atentamente a resolução do seguinte exercício:
Cálculo	do	número	de	períodos	
a) Para a Renda postecipada (sem entrada)
Em quantas parcelas mensais postecipadas de R$ 500,00 deverá ser paga uma dívida no valor 
de R$ 2.946,35 com taxa de juros de 4,5% ao mês?
123MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Com a hp 12c
G 8 (Para cálculo dos pagamentos sem entrada ou postecipados)
f CLX f 2
2.946,35 CHS PV 500,00 PMT 4,50 i n (reposta 7) 
b) Para a Renda antecipada (com entrada)
Em quantas parcelas mensais antecipadas de R$ 500,00 deverá ser paga uma dívida no valor 
de R$ 3.078,94 com taxa de juros de 4,5% ao mês?
Com a hp12c
G 7 (Para cálculo dos pagamentos com entrada ou antecipados)
f CLX f 2
3.078,94 CHS PV 500,00 PMT 4,50 i n (reposta 7) 
Acompanhe atentamente a resolução do seguinte exercício:
Cálculo	do	Montante	da	renda	
a) Se os depósitos forem postecipados (sem entrada)
 
PMT
i
i
M
n
p
.
1)1(
ú
û
ù
ê
ë
é -+
=
Na qual: 
 Mp é o montante de todas as parcelas postecipadas ou a somatória dos depósitos capitali-
zados ou corrigidos. 
 PMT é o valor de cada depósito.
124MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Qual o montante acumulado em uma aplicação financeira que recebeu 7 depósitos mensais 
postecipados de R$ 500,00, capitalizada com uma taxa de 4,5% am?
 
500.
045,0
1)045,01(
7
ú
û
ù
ê
ë
é -+
=
p
M
 
500.
045,0
136086,1
ú
û
ù
ê
ë
é -
=
p
M
M = 8,019111 . 500 
p
M = 4.009,55
p
Com a hp 12c
G 8 (Para cálculo dos pagamentos sem entrada ou postecipados)
f CLX f 2 500 CHS PMT 4,5 i 7n FV (Resposta 4.009,58)
O fluxo de caixa fica assim representado:
125MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
b) Se os pagamentos forem antecipados (com entrada)
 
PMTi
i
i
M
n
a
).1.(
1)1(
+ú
û
ù
ê
ë
é -+
=
Na qual:
 Ma é o montante de todas as parcelas antecipadas ou a somatória dos depósitos capitali-
zados ou corrigidos. 
Qual o montante acumulado em uma aplicação financeira que recebeu 7 depósitos mensais 
antecipados de R$ 500,00, capitalizada com uma taxa de 4,5% a.m?
 
500).045,01.(
045,0
1)045,01(
7
+ú
û
ù
ê
ë
é -+
=
a
M
 500).45,01.(
045,0
1)136086,1(
7
+ú
û
ù
ê
ë
é --
=
a
M
M = 8,019111 . 1,045 . 500 
a
M = 4.189,99
a
Com a hp 12c
G 7 (cálculo dos pagamentos com entrada (antecipados), aparece o termo “begin” no visor)
f CLX f 2 500 CHS PMT 4,5 i 7n FV (Resposta 4.190,01)
126MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Acompanhe atentamente a resolução do seguinte exercício:
Cálculo	do	valor	do	depósito	
Assim como é possível calcular o valor das prestações para se pagar uma dívida, também 
pode ser calculado o valor dos depósitos necessários para se constituir um montante no futuro.
a) Se os depósitos forem postecipados (sem entrada):
Qual o valor de cada depósito mensal postecipado necessário para se acumular um montante 
de R$ 4.009,55, em 7 meses, com uma taxa de 4,5% am?
Com a fórmula:
 
PMT
i
i
M
n
p
.
1)1(
ú
û
ù
ê
ë
é -+
=
 
PMT.
045,0
1)045,01(
55,009.4
7
ú
û
ù
ê
ë
é -+
=
 
PMT.
045,0
36086,0
55,009.4 ú
û
ù
ê
ë
é
=
 
01911,8
55,009.4
=PMT
 00,500=PMT
127MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Com a hp 12c
G 8 (Para cálculo dos pagamentos sem entrada ou postecipados)
f CLX f 2 4.009,55 CHS FV 4,5 i 7 n PMT (Resposta 500,00)
b) Se os pagamentos forem antecipados (com entrada):
Qual o valor de cada depósito mensal antecipado necessário para se acumular um montante 
de R$ 4.190,00, em 7 meses e taxa de 4,5% am?
Com a fórmula:
 
PMTi
i
i
M
n
a
).1.(
1)1(
+ú
û
ù
ê
ë
é -+
=
 
PMT).045,01.(
045,0
1)045,01(
00,190.4
7
+ú
û
ù
ê
ë
é -+
=
 PMT.045,1.0191,800,190.4 =
 PMT38,800,190.4 =
 
38,8
00,190.4
=PMT
 00,500=PMT 
Com a hp 12c
G 7 (Para cálculo dos pagamentos com entrada ou antecipados, aparece “begin” no visor)
f CLX f 2 4.190,00 CHS FV 4,5 i 7n PMT (Resposta 500,00)
128MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Renda Perpétua
Renda perpétua é a anuidade que não tem previsão de término. O número de termos é infinito 
como, por exemplo, o pagamento de aluguel ou das despesas de um condomínio residencial. 
O valor do termo ou prestação (PMT - Periodic Payment Amount) é exatamente o valor dos 
juros ou remuneração sobre um determinado capital.
Valor atual da renda perpétua
Para se calcular o valor atual da renda perpétua:
 
i
PMT
VA
rp
=
Na qual:
 VARP = valor atual de uma renda perpétua
 PMT = Valor das parcelas
Exemplo: qual o valor atual da renda perpétua mensal de R$100,00 considerando que a taxa 
de juros aplicada sobre o capital seja de 1,2% am?
É o mesmo que perguntar qual o capital que rende R$ 100,00 por mês à taxa de 1,2% am. 
Dessa forma, pode ser sacado esse valor todo mês e o capital permanece sempre o mesmo.
 
i
PMT
VA
rp
=
 
012,0
100
=
rp
VA
Va = 8.333,33
rp
129MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Cálculo	da	taxa	de	uma	renda	perpétua
Para calcular a taxa de uma renda perpétua, usamos a seguinte fórmula:
 i = PMTVArp
Observe a resolução dos seguintes exercícios:
1) Um apartamento que vale R$ 60.000,00 está alugado por R$ 900,00. Qual a taxa 
correspondente?
 
rp
VA
PMT
i =
 
00,000.60
00,900
=i %5,1=i
i = 0,015 ou 1,5% (taxa ao mês considerando que o aluguel seja mensal)
2) Uma pessoa pretende daqui a 25 anos receberuma renda perpétua de R$1.500,00 mensais. 
Quanto ela precisa depositar mensalmente a partir de hoje (postecipado), sabendo-se que a 
taxa de juro para atualização desses depósitos e também do capital constituído é de 1,5% am 
com capitalização mensal?
a) Primeiro passo: quanto ela precisa ter daqui a 25 anos para poder retirar essa renda per-
pétua de R$ 1.500,00? 
130MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
 
i
PMT
VA
rp
=
 
015,0
1500
=
rp
VA
 00,000.100=
rp
VA
Ela precisará de R$ 100.000,00
b) Segundo passo: quanto ela precisa depositar mensalmente nos 25 anos (n = 300 meses) 
para juntar os R$ 100.000,00?
Com os depósitos postecipados (sem entrada)
 
PMT
i
i
M
n
p
.
1)1(
ú
û
ù
ê
ë
é -+
=
 
PMT.
015,0
1)015,01(
00,000.100
300
ú
û
ù
ê
ë
é -+
=
100.000,00 = 5.737,25 . PMT
PMT = 100.000 PMT = 17,43
 5.737,25
Com a hp 12c
G 8 (Para cálculo dos pagamentos sem entrada ou postecipados)
f CLX f 2 100.000 CHS FV 1,5 i 300 n PMT (Resposta 17,43)
131MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
INFLAÇÃO,	DEFLAÇÃO	E	ÍNDICES	DE	PREÇO
Inflação e deflação 
Inflação, segundo o conceito de Gremaud (2003), é um aumento contínuo e generalizado dos 
preços na média de todos os preços da economia e medido durante um determinado período 
de tempo. Um simples aumento de preços de um produto não pode ser caracterizado como 
inflação.
A deflação é a redução dos preços, também de forma contínua e generalizada.
Fo
nte
: S
HU
TT
ER
ST
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K.
CO
M
132MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Os principais tipos clássicos de inflação são: 
•	 	 a	inflação	de	demanda,	devido	ao	excesso	de	procura	em	relação	à	produção;	
•	 	 a	 inflação	de	custos,	 resultante	do	aumento	dos	custos	de	produção,	 como	salários	e	
matéria-prima, que podem ter sido elevados por pressões de sindicatos ou de grupos 
econômicos,	ou	ainda	pela	inflação	de	demanda	preexistente;
•	 	 a	inflação	inercial,	causada	pela	indexação	ou	correção	monetária,	regida	pela	ideia	de	
que,	simplesmente	porque	houve	inflação	no	período	atual,	no	período	seguinte	também	
haverá;
•	 	 a	inflação	estruturalista,	sobretudo	nos	países	em	desenvolvimento,	nos	quais	as	condi-
ções	econômicas	são	deficientes	e	há	conflitos	distributivos	de	renda;
•	 	 a	inflação	causada	pela	desvalorização	cambial,	que	eleva	o	custo	das	importações	que	
deve	ser	repassado	ao	produto	final.
Índices	de	preço
Como a inflação deve ser medida de forma contínua e generalizada, necessária se faz a 
elaboração de índices desses aumentos. No Brasil, são vários esses medidores dos quais 
serão citados o INPC e o IGP-M.
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ST
OC
K.
CO
M
133MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
O INPC – Índice nacional de preços ao consumidor – é elaborado pelo Instituto Brasileiro de 
Geografia e Estatística (IBGE) e considera a variação do custo de vida dos assalariados que 
recebem de 1 a 8 salários mínimos por mês, nas seguintes regiões metropolitanas: Rio de 
Janeiro, Porto Alegre, Belo Horizonte, Curitiba, Salvador, Fortaleza, Belém, São Paulo, Recife, 
Brasília e Goiânia. O período é o mês calendário.
O IGP-M – Índice Geral de Preços de Mercado – é medido pela Fundação Getúlio Vargas 
e considera a média ponderada de outros três índices: o Índice de Preços por Atacado – 
Disponibilidade Interna, o Índice de Preços ao Consumidor e o Índice Nacional do Custo 
da Construção. O período da pesquisa compreende do dia 21 do mês anterior ao dia 20 do 
referido mês. 
O INCC – Índice Nacional do Custo da Construção – também é elaborado pela Fundação 
Getúlio Vargas e mede a evolução dos custos de construções habitacionais. Ele é mensal 
e envolve 18 capitais: Aracaju, Belém, Belo Horizonte, Brasília, Campo Grande, Curitiba, 
Florianópolis, Fortaleza, Goiânia, João Pessoa, Maceió, Manaus, Porto Alegre, Recife, Rio de 
Janeiro, Salvador, São Paulo e Vitória.
Consulte	<www.ibge.gov.br>	e	encontre	os	indicadores	históricos	de	infl	ação.
•	 Utilização	prática	do	Infl	ator	e	defl	ator
Em várias situações práticas, quando se analisa uma série de números em um determinado 
período, principalmente numa economia inflacionária como a brasileira, necessário se faz 
134MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
utilizar algumas técnicas para transformar essa série em valores reais, ou seja, descontar a 
inflação nela embutida.
Assim, entende-se valor real como os valores alterados por meio do inflator ou deflator para 
que a análise dos dados seja feita tendo em vista a inflação ocorrida no período de análise. 
Enquanto valores	nominais	são	os	registrados	como	ocorreram	na	época,	sem	qualquer	
alteração. 
Dessa forma, para atualizarmos os valores a serem analisados, vamos tratar aqui da técnica 
do inflator e do deflator.
Inflator
Para inflacionar uma série, consideramos como base de cálculo o último entre os períodos 
analisados e a fórmula é:
 iaInflator += 1
Na qual: ia é a taxa, na forma unitária, de inflação acumulada no período.
Deflator
Para se deflacionar uma série, a base de cálculo é o primeiro entre os períodos analisados e 
a fórmula é:
 
ia
Deflator
+
=
1
1
Observe o seguinte exercício resolvido.
135MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Analise os valores dos faturamentos anuais de uma empresa registrados na tabela abaixo:
Tabela 4: Faturamento anual da Empresa Alfa
Ano 2009 2010 2011
Faturamento 7.072 7.701 7.956
Em valores nominais, o faturamento foi crescente, ano a ano, como mostra a Tabela 1.
Considere uma inflação de 10% ao ano e verifique as alterações no faturamento acima em 
termos reais.
Resolução:
Acompanhe atentamente a resolução do seguinte exercício:
a) Com o Inflator
Para o inflator, a base para o cálculo é o último dado da série, no caso o valor do faturamento 
de 2011, ele não se altera.
Para o ano de 2010:
Infl	ação	acumulada	de	10%	ou	0,10
infl	ator	=	1	+	ia
infl	ator	=	1	+	0,10	=	1,10
Multiplicamos 1,10 por 7.701 = 8.471,10 
136MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Para o ano de 2009:
Infl	ação	acumulada	de	21%	(infl	ação	sobre	infl	ação,	dois	anos	com	10%)
infl	ator	=	1	+	ia
infl	ator	=	1	+	0,21	=	1,21
Multiplicamos 1,21 por 7.072 = 8.557,12
Tabela	5:	Faturamento	da	Empresa	Alfa	em	valores	reais	inflacionados	
Ano 2009 20010 2011
Faturamento 8.557,12 8.471,10 7.956
Ou seja, em termos reais, houve decréscimo de 1% no faturamento de 2010 em relação ao de 
2009 e 6,08% no de 2011 em relação ao de 2010, conforme cálculos seguintes:
2010: 8.471,10 –1 = - 0,01 2011: 7.956,00 – 1 = - 0,0608
 8.557,12 8.471,10
Assim, fica demonstrado que, nesses dois períodos, com inflação de 10% ao ano, houve 
crescimento em termos nominais (Tabela 4), porém esse crescimento foi menor que a inflação, 
por isso em termos reais houve decréscimo no faturamento da empresa (Tabela 5).
Acompanhe atentamente a resolução do seguinte exercício:
b) Com o deflator
Para o deflator, a base é 2009, que não se altera.
137MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Para o ano de 2010
Inflação acumulada de 10% ou 0,10
Deflator = 1 
 1 + ia
Deflator = 1 
 1 + 0,10
Deflator = 1 = 0,9091 
 1,10
.
.
Multiplicamos 0,9091 por 7.701 = 7.000,97 
Para o ano de 2011:
Inflação acumulada de 0,21
Deflator = 1 
 1 + ia
Deflator = 1 = 0,82641 + 0,21
.
.
Multiplicamos 0,8264 por 7.956 = 6.574,83 
Tabela 6: Faturamento da Empresa Alfa em valores reais deflacionados
Ano 2009 2010 2011
Faturamento 7.072 7.000,97 6.574,83
A análise com o deflator é a mesma, inclusive resulta nas mesmas variações percentuais que 
a realizada com o inflator.
138MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Mas,	qual	o	indicador	de	infl	ação	a	ser	utilizado?
No exercício anterior, a taxa de inflação utilizada foi 10% ao ano. Na prática, qual o índice mais 
apropriado? Depende do tipo de análise, do ramo de atividade etc. Por exemplo, ao analisar 
o faturamento de uma empresa que exporta toda sua produção, pode ser utilizada a variação 
cambial, pois é o índice que mais se aproxima da realidade para converter seu faturamento 
de valores nominais para valores reais. Em uma empresa imobiliária ou da construção civil, 
poderíamos usar o INCC ou o valor do CUB. Outra empresa poderia usar a variação nos 
custos de produção, como salários e matéria-prima, ou mesmo o IGP-M ou INPC.
TAXA	DE	JURO	REAL,	EFETIVA	E	NOMINAL.
Quando o cálculo de juros envolve um período muito longo, vários anos, por exemplo, muita 
coisa pode mudar e a inflação pode corroer os valores mesmo capitalizados com certa taxa de 
juros. Ou mesmo no curto prazo, se a inflação for muito elevada, é importante considerarmos a 
taxa de juros real, pois é essa taxa que vai corrigir o capital descontando a inflação.
Exemplo: se um capital for corrigido a 26% ao ano e a inflação neste período for 12%, a taxa 
real, ou seja, a taxa descontada a inflação é:
 
1
.1
1
-ú
û
ù
ê
ë
é
+
+
=
flaçãotaxain
ataxaefetiv
i
r
139MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
1
12,1
26,1
-
ú
û
ù
ê
ë
é
=
r
i = 0,125 ou 12,50% no período 
Na qual:
 ir é a taxa real;
Taxa efetiva é a taxa expressa em unidade de tempo que coincide com o período de 
capitalização dos juros. Ela corresponde, de fato, ao ganho ou custo do capital, embora não 
seja em termos reais. Exemplo: a taxa de 2% ao mês, capitalizada mensalmente, é uma taxa 
efetiva. Porém, se a taxa não for capitalizada na mesma medida do período, ela é uma taxa 
nominal. Exemplo: a taxa de 12% ao ano, capitalizada mensalmente. 
Diante dessa preocupação, para proteger o capital da desvalorização pela inflação, como 
naquele exercício anterior sobre a renda perpétua em que uma pessoa pretende, daqui a 
25 anos, receber uma renda de R$1.500,00 mensais e para isso ela precisaria depositar 
mensalmente R$17,43, considerando a taxa de 1,5% ao mês, a metodologia para se manter os 
valores atualizados poderia ser a correção do valor dos depósitos (que começa com R$ 17,43), 
pelos índices mensais ou anuais da inflação. Assim, o valor do montante no final e as parcelas 
a receber também seriam atualizados até a data futura preestabelecida. 
Fator	para	cálculo	de	prestações
As tabelas usadas pelos vendedores das lojas ou funcionários das financeiras são 
confeccionadas para facilitar os cálculos. O fator, na verdade, é a prestação de um produto 
vendido à vista por R$ 1,00 (um real). 
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140MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
OLHE	ESSES	EXERCÍCIOS	
1) Uma loja cobra 7,6% am sobre as vendas realizadas a prazo. Monte uma tabela de 
coeficientes para que os vendedores possam realizar os cálculos com mais rapidez para as 
vendas seguintes:
a) em um pagamento após 30 dias (sem entrada);
b) em duas parcelas iguais para 30 e 60 dias (sem entrada);
c) em duas parcelas iguais, sendo uma à vista e a outra após 30 dias;
d) em três parcelas iguais, sendo uma à vista e as outras após 30 e 60 dias;
e) em quatro parcelas iguais, sendo uma à vista e as outras a cada 30 dias.
(Resolução	da	letra	“a”)
PMT = 1,07600
141MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Com	a	hp12c
a) sem begin, ( g end ) 7,6 i 1 n 1 CHS PV PMT
b) 2n PMT
c) com begin, ( g beg ) 7,6 i 2 n 1 CHS PV PMT
d) 3 n PMT
e) 4 n PMT
Resp. a) 1,07600 b) 0,55770 c) 0,51830 d) 0,35803 e) 0,27810
2) A tabela de coeficiente de uma financiadora é a seguinte (sem entrada):
a) 6 meses = 0,1907619
b) 10 meses = 0,1232909
c) 18 meses = 0,0931138
Calcule, em cada prazo, qual é a taxa mensal de juros.
Com a hp12c
a) (sem begin) 6n 0,1907619 CHS PMT 1 PV i (4%am)
b) 10 n 0,1232909 CHS PMT 1 PV i ( 4%am)
c) 18 n 0,0931138 CHS PMT 1 PV i ( 6,11%am) 
142MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
3) Se um investidor aplicar hoje R$ 25.000,00 e a partir do próximo mês, efetuar mais 7 
depósitos mensais consecutivos de R$ 12.000,00, considerando a taxa mensal de juros de 3%: 
a) Qual será o saldo dessa aplicação daqui 8 meses?
b) E se o depósito de hoje fosse R$ 5.000,00?
Resolução	da	letra	“a”:	
I) Correção do depósito inicial de R$ 25.000,00
n
 M = C ( 1 + i ) 
8
 M = 25.000 (1,03)
 M = 31.669,25
II) Correção dos 7 depósitos de R$ 12.000,00
 
PMT
i
i
M
n
p
.
1)1(
ú
û
ù
ê
ë
é -+
=
 
000.12.
03,0
1)03,01(
7
ú
û
ù
ê
ë
é -+
=
p
M
M = 91.949,54 
p
III) Correção dos juros do 8º mês 
91.949,54 + 3% = 94.708,03
4) Somatória
94.708,03 + 31.669,25 = 126.377,28
143MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Com a hp12c
Com begin: 13.000 CHS PV 12.000 CHS PMT 3 i 8 n FV 
Observação: PV é 13.000 (25.000 – 12.000)
Resolução	da	letra	“b”	
n
 M = C ( 1 + i ) 
8
 M = 5.000 ( 1 + 0,03 ) 
 M = 6.333,85
 
PMT
i
i
M
n
p
.
1)1(
ú
û
ù
ê
ë
é -+
=
 
000.12.
03,0
1)03,01(
7
ú
û
ù
ê
ë
é -+
=
p
M
Mp = 91.949,54 
 
91.949,54 + 3% = 94.708,03
94.708,03 + 6.333,85 = 101.041,88
Com a hp12c
Com begin: 7.000 PV 12.000 CHS PMT 3 i 8 n FV 
144MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
4) Qual o saldo no final de um ano, se hoje aplicarmos R$ 14.000,00 e a partir do próximo 
mês, efetuarmos mais 11 depósitos mensais de R$10.000,00, considerando a taxa de juros 
de 9% am.
n
M = C ( 1 + i ) 
12
M = 14.000 ( 1,09)
M = 39.377,30
 
PMT
i
i
M
n
p
.
)1(
ú
û
ù
ê
ë
é +
=
 
000.10.
09,0
1)09,01(
11
ú
û
ù
ê
ë
é -+
=
p
M
M = 175.602,93 + 9% = 191.407,19
p
 191.407,19 + 39.377,70 = 230.784,50
Com a hp12c
4.000 CHS PV 10.000 CHS PMT 9 i 12 n FV 230.784,50
145MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Para	você	exercitar	mais	um	pouco:
1) Ao financiar um veículo no valor de R$ 35.500,00, com taxa de 1,5% am, em doze parcelas 
mensais postecipadas, de quanto será o valor de cada parcela? (R$ 3.254,64)
2) Quanto terei de saldo em uma caderneta de poupança após depositar no final de cada mês 
(postecipado) R$ 3.000,00 por 15 meses consecutivos, se ela rende 0,9% am? (R$ 47.948,61)
3) Ao financiar um veículo que custa à vista R$ 25.000,00 em 20 prestações mensais com taxa 
de 1,99% am, qual o valor de cada parcela: a) se a primeira for paga no ato (com entrada)? b) 
Se for sem entrada? a)R$1.497,64 b) R$ 1.527,44
4) Para se constituir um montante de R$ 50.000,00 após 60 depósitos mensais remunerados a 
2,5% am, qual o valor de cada depósito: a) no sistema de rendas antecipadas? b) postecipadas? 
a) R$358,70 b) R$ 367,67
5) Com os dados do exercício anterior, porém considerando outra situação, ao invés de juntar 
um saldo de R$50.000,00 vou financiar uma dívida desse valor, também em 60 meses e taxa 
de 2,5% am: a) Qual o valor de cada prestação se elas forem antecipadas? b) Qual o valor de 
cada prestação se forem postecipadas? (Compare com as respostas do exercício anterior) a) 
R$ 1.578,21 b) R$ 1.617,66
6) Ao financiar um veículo no valor de R$ 20.000,00, com taxa de 2% am, em doze parcelas 
mensais postecipadas, de quanto será o valor de cada parcela? (R$ 1.891,19)
7) Qual a taxa de juros mensal utilizada por uma loja que vende uma mercadoria à vista por R$ 
2.000,00 ou em 10 parcelas mensais postecipadas de R$ 259,00? (5% am)
146MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
8) Qual o valor atual de uma dívida de 11 parcelas mensais postecipadas de R$650,00, com 
uma taxa de 3,5% am? (R$ 5.851,01)
9) Qual será o saldo (montante) em uma caderneta de poupança após 15 depósitos mensais 
consecutivos ao final de cada mês (postecipado) no valor de R$ 1.000,00 cada um, se ela 
rende 0,7% am? (R$15.757,77)
10) Para comprar uma casa no valor de R$ 35.000,00, com taxa de 1,5% am, em 60 parcelas 
mensais antecipadas, quanto será o valor de cada parcela? (R$ 875,63)
11) Que taxa de juro mensal será cobrada na compra de uma mercadoria em 6 parcelas 
mensais antecipadas de R$ 642,00, sendo que à vista se pagaria R$3.500,00. Faça o fluxo de 
caixa. (4% am)
12) Qual o valor atual de uma dívida de 12 parcelas mensais antecipadas de R$50,00, com 
uma taxa de 3% am? Faça o fluxo de caixa. (R$ 512,63)
13) Qual o saldo (montante) de uma aplicação financeira após receber no início de cada mês 
(antecipado) R$ 100,00 por 18 meses consecutivos, se ela está rendendo 1% am? Faça o fluxo 
de caixa. (R$ 1.981,09)
14) Qual o valor atual de uma renda perpétua de R$ 3.000,00 mensais postecipada, 
considerando taxa de juros de 1,5% am?(R$ 200.000,00)
15) Uma pessoa pretende aposentar-se daqui a 35 anos recebendo uma renda perpétua de R$ 
2.000,00 mensais. Quanto ela precisa depositar mensalmente sabendo-se que a taxa de juros 
para atualização dessas parcelas e também do capital constituído é de 0,9% am, capitalizada 
mensalmente? (R$ 47,53) E se taxa fosse 1,3% am? (R.R$ 8,85)
16) Você pretende chegar aos 60 anos de idade e receber uma renda perpétua de R$ 2.500,00 
mensais. Para isso, deverá depositar quanto por mês (postecipado) considerando uma taxa de 
juro de 1,1% am capitalizada mensalmente? (A resposta depende da sua idade)
147MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
17) Uma loja cobra 5,62% am sobre as vendas realizadas a prazo. Monte uma tabela de 
coeficientes para que os vendedores possam realizar os cálculos com mais rapidez para as 
vendas com as seguintes condições de pagamento:
a) em 30 dias, sem entrada; (1,0562)
b) em duas parcelas iguais para 30 e 60 dias, sem entrada; (0,5425)
c) em duas parcelas iguais, sendo uma à vista e a outra após 30 dias; (0,5137)
d) com uma entrada + 2 parcelas mensais (iguais); (0,3517)
e) com uma entrada + 3 parcelas mensais (iguais). (0,2709) 
18) Uma loja cobra 3,725% am sobre as compras realizadas a prazo. Monte uma tabela de 
coeficientes para que os vendedores possam realizar os cálculos com mais rapidez para as 
vendas com as seguintes condições de pagamento em parcelas iguais:
a) após 30 dias; (1,03725)
b) 30 e 60 dias; (0,52811)
c) entrada + 1 parcela após 30 dias; (0,50914)
d) entrada + 2 parcelas mensais;(0,34560)
e) entrada + 3 parcelas mensais.(0,26388)
19) Se um investidor aplicar hoje R$ 5.000,00 e, a partir do próximo mês, efetuar mais 3 
depósitos mensais consecutivos de R$ 1.200,00, considerando a taxa mensal de juros de 3% 
am: 
a) Qual será o seu saldo daqui 4 meses? ( 9.447,89)
b) E se o depósito de hoje fosse R$ 800,00? (4.720,76)
148MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
EMPRÉSTIMOS E SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
A indisponibilidade de recursos para fazer um investimento como a compra de um imóvel 
leva o indivíduo a contrair um empréstimo. E, para sanar esse compromisso, pode recorrer a 
diversas formas de pagamento que recebem o nome de Sistema de Amortização.
Amortização é um processo financeiro pelo qual uma obrigação (ou o principal) é sanada 
progressivamente por meio de pagamentos periódicos, de tal forma que, ao término do prazo 
estipulado, o débito seja liquidado. 
Nesta unidade, daremos enfoque ao Sistema de Amortização Francês (conhecido como 
Tabela Price); ao Sistema de Amortização Constante (SAC); ao Sistema de Amortização Misto 
e ao Sistema de Amortização Americano. Para qualquer desses sistemas pode haver ou não 
prazo de carência.
Fo
nte
: S
HU
TT
ER
ST
OC
K.
CO
M
149MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
SAC (Sistema de Amortização Constante)
O Sistema de Amortização Constante - SAC - pode ser definido como um sistema de 
amortização de uma dívida em prestações periódicas, sucessivas e decrescentes em 
progressões aritméticas, em que o valor da prestação é composto de uma parcela de juros 
uniformemente decrescente e a outra é de amortização que permanece constante.
O sistema bancário utiliza esse sistema, geralmente, para empréstimos de longo prazo.
SAC	sem	carência
Exercício resolvido:
Um empréstimo de R$ 24.000,00 para pagamento de parte do valor de um imóvel foi realizado 
através do Sistema de Amortização Constante (SAC). O pagamento será realizado em 4 anos 
(n), sendo um pagamento por ano, a uma taxa de 8% ao ano. Construa a planilha.
1º passo: antes da elaboração da planilha é necessário calcular as amortizações:
 24.000,00 ÷ 4 = 6.000,00 por ano.
Tabela	7:	Cálculo	pelo	Sistema	de	Amortização	Constante	(SAC)
Ano (final) Juros do 
Período
Saldo 
corrigido
Amortização 
constante
Prestação 
(Amort.+Juro)
Saldo 
devedor 
0 - - - - 24.000,00
1 1.920,00 25.920,00 6.000,00 7.920,00 18.000,00
2 1.440,00 19.440,00 6.000,00 7.440,00 12.000.00
3 960,00 12.960,00 6.000,00 6.960,00 6.000,00
4 480,00 6.480,00 6.000,00 6.480,00 0
 
150MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
2º Passo: no período “zero” representamos o empréstimo adquirido. 
3º Passo: no período “um” (segunda linha) discriminamos: 
- os juros do período, R$ 1.920,00 (R$ 24.000,00 vezes 8%);
- o saldo corrigido, R$ 25.920,00 (saldo devedor R$ 24.000,00 mais os juros do perí-
odo R$ 1.920,00);
- a prestação, R$ 7.920,00 (soma da amortização, R$ 6.000,00 com os juros do 
período, R$1.920,00);
- o saldo devedor, R$ 18.000,00 que é o saldo corrigido (R$ 25.920,00) menos a 
prestação (R$ 7.920,00) ou o saldo devedor (R$24.000,00) menos a amortização 
(R$ 6.000,00).
4º Passo: refazemos as mesmas operações do período “um” para os demais períodos até o 
término.
SAC	com	prazo	de	carência
Exercício resolvido: 
Você fez um empréstimo de R$ 3.500,00 com as seguintes condições de pagamento: 2 meses 
de carência (sem pagamento algum); depois mais 3 meses de carência pagando apenas os 
juros; e nos 7 últimos meses, pagamentos por meio do SAC. Construa a planilha considerando 
a taxa de juros de 2.9% ao mês. 
151MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Tabela	8:	Cálculo	pelo	Sistema	de	Amortização	Constante	com	carência
Sistema	Price	ou	Sistema	Francês	de	Amortização
O Sistema Francês, também conhecido como “Sistema de Prestações Constantes” ou 
“Tabela Price“, recebeu esse nome em homenagem ao economista inglês Richard Price, que 
incorporou a teoria de juros compostos às amortizações de empréstimo. O nome de Sistema 
de Amortização Francês dá-se pelo fato de que foi utilizado pela primeira vez na França, no 
século XIX. 
Esse sistema caracteriza-se pelo pagamento do empréstimo com prestações iguais, 
periódicas e sucessivas. É utilizado pelas instituiçõesfinanceiras e pelo comércio em geral. As 
152MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
prestações pagas são compostas por uma parcela de juros e outra de amortização. Como as 
prestações são constantes, na medida em que a dívida diminui os juros também diminuem e, 
consequentemente, as quotas de amortização aumentam.
Tabela	9:	Notações	da	hp	12c	para	cálculos	pelo	Sistema	Price
Elementos Notação Na hp 12c
Capital / Valor presente / Valor atual C PV
Valor da prestação PMT PMT
Taxa i I
Períodos / Número de termos n N
Juros ( das parcelas ) J 1 f AMORT
Amortização ( das parcela ) A xﮑy
Saldo Devedor s d RCL PV
Verifi	que	o	seguinte	exercício	resolvido	com	a	fórmula	e	com	a	HP12C.
Um empréstimo de R$ 75.000,00 deve ser pago em 10 meses com prestações iguais e 
consecutivas, sem entrada, à taxa de 5% ao mês. Construa a planilha. 
Antes de montarmos a planilha deveremos calcular as prestações constantes. Como o 
pagamento será sem entrada, a fórmula é:
153MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Com a fórmula
 
Com a HP12C
 
PMT
ii
i
A
n
n
p
.
)1(
1)1(
ú
û
ù
ê
ë
é
+
-+
=
 
(g END) 
 
75000 CHS PV 5 i 10 n PMT
 
 
PMT.
)05,01(05,0
1)05,01(
00,000.75
10
10
ú
û
ù
ê
ë
é
+
-+
= 
PMT.
081446,0
6289,0
00,000.75
ú
û
ù
ê
ë
é
= 
75.000,00 = 7,7217 PMT
 
7217,7
00,000.75
=PMT
 
PMT = 9.712,88 (Aproximado)
 
Tabela	10:	Cálculo	pelo	Sistema	Price	ou	Francês
HP12C 1 f amort x><y RCL PV CHS
Bimestre 
(final)
Juros do 
Período
Saldo 
corrigido
Prestação 
constante
Amortização Saldo 
devedor 
0 - - - - 75.000,00
1 3.750,00 78.750,00 9.712.88 5.962,88 69.037,12
2 3.451,86 72.488,98 9.712,88 6.261,02 62.776,10
3 3.138,81 65.914,91 9.712,88 6.574,07 56.202,03
4 2.810,10 59.012,13 9.712,88 6.902,78 49.299,25
5 2.464,96 51.764,21 9.712,88 7.247,92 42.051,33
6 2.102,57 44.153,90 9.712,88 7.610,31 34.441,02
7 1.722,05 36.163,07 9.712,88 7.990,83 26.450,20
8 1.322,51 27.772,71 9.712,88 8.390,37 18.059,83
9 903,00 18.962,83 9.712,88 8.809,88 9.249,95
10 462,50 9.712,44 9.712,88 9.250,38 0,43 *
* Arredondamento de centavos.
154MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Tabela	11:	Cálculo	pelo	Sistema	Price	com	hp12c	(Sem	Begin,	Teclar	g		END)
Passos Dígitos Visor 
1º F REG f 2 0 Limpa a HP 12 –C
2º 75.000,00 CHS PV -75.000,00 Valor do bem
3º 10 n 10 Períodos
4º 5 i 5 Taxa
5º PMT 9.712,84 Valor da prestação
6º 1 f ( AMORT) 3.750,00 Juros
7º X < > Y 5.962,84 Amortização
8º RCL PV -69.037,16 Saldo devedor
9º CHS 69.037,16 
10º 1 f ( AMORT) 3.451,86 Juros
11º X < > Y 6.260,98 Amortização
12º RCL PV -62.776,18 Saldo devedor
13º CHS 62.776,18 
14º 1 f ( AMORT) 3.138,81 Juros
15º X < > Y 6.574,03 Amortização
16º RCL PV -56.202,15 Saldo devedor
17º CHS 56.202,15 
18º 1 f ( AMORT) 2.810,11 Juros
19º X < > Y 6.902,73 Amortização
20º RCL PV -49299,42 Saldo devedor
21º CHS 49.299,42 
22º 1 f ( AMORT) 2.464,97 Juros
23º X < > Y 7.247,87 Amortização
24º RCL PV -42.051,55 Saldo devedor
25º CHS 42.051,55 
26º 1 f ( AMORT) 2.102,58 Juros
27º X < > Y 7.610,26 Amortização
28º RCL PV -34.441,29 Saldo devedor
29º CHS 34.441,29 
30º 1 f ( AMORT) 1.722,06 Juros
31º X < > Y 7.990,78 Amortização
32º RCL PV -26.450,51 Saldo devedor
33º CHS 26.450,51 
34º 1 f ( AMORT) 1.322,53 Juros
35º X < > Y 8.390,31 Amortização
36º RCL PV -18.060,20 Saldo devedor
37º CHS 18.060,20 
38º 1 f ( AMORT) 903,01 Juros
39º X < > Y 8.809,83 Amortização
40º RCL PV -9.250,37 Saldo devedor
41º CHS 9.250,37 
42º 1 f ( AMORT) 462,52 Juros
43º X < > Y 9.250,32 Amortização
44º RCL PV -0,05 Saldo devedor
45º CHS 0,05 
155MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Passos Dígitos Visor 
1º F REG f 2 0 Limpa a HP 12 –C
2º 75.000,00 CHS PV -75.000,00 Valor do bem
3º 10 n 10 Períodos
4º 5 i 5 Taxa
5º PMT 9.712,84 Valor da prestação
6º 1 f ( AMORT) 3.750,00 Juros
7º X < > Y 5.962,84 Amortização
8º RCL PV -69.037,16 Saldo devedor
9º CHS 69.037,16 
10º 1 f ( AMORT) 3.451,86 Juros
11º X < > Y 6.260,98 Amortização
12º RCL PV -62.776,18 Saldo devedor
13º CHS 62.776,18 
14º 1 f ( AMORT) 3.138,81 Juros
15º X < > Y 6.574,03 Amortização
16º RCL PV -56.202,15 Saldo devedor
17º CHS 56.202,15 
18º 1 f ( AMORT) 2.810,11 Juros
19º X < > Y 6.902,73 Amortização
20º RCL PV -49299,42 Saldo devedor
21º CHS 49.299,42 
22º 1 f ( AMORT) 2.464,97 Juros
23º X < > Y 7.247,87 Amortização
24º RCL PV -42.051,55 Saldo devedor
25º CHS 42.051,55 
26º 1 f ( AMORT) 2.102,58 Juros
27º X < > Y 7.610,26 Amortização
28º RCL PV -34.441,29 Saldo devedor
29º CHS 34.441,29 
30º 1 f ( AMORT) 1.722,06 Juros
31º X < > Y 7.990,78 Amortização
32º RCL PV -26.450,51 Saldo devedor
33º CHS 26.450,51 
34º 1 f ( AMORT) 1.322,53 Juros
35º X < > Y 8.390,31 Amortização
36º RCL PV -18.060,20 Saldo devedor
37º CHS 18.060,20 
38º 1 f ( AMORT) 903,01 Juros
39º X < > Y 8.809,83 Amortização
40º RCL PV -9.250,37 Saldo devedor
41º CHS 9.250,37 
42º 1 f ( AMORT) 462,52 Juros
43º X < > Y 9.250,32 Amortização
44º RCL PV -0,05 Saldo devedor
45º CHS 0,05 
156MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Sistema Misto de Amortização
O Sistema Misto recebe esse nome porque suas parcelas são calculadas pela média aritmética 
das parcelas do sistema Price e SAC.
Vamos considerar o exercício anterior no qual um empréstimo de R$ 75.000,00 deve ser 
pago em 10 bimestres com prestações iguais e consecutivas, sem entrada, à taxa de 5% ao 
bimestre. O valor de cada parcela pelo método Price, como já calculado, é de R$ 9.712,88. 
Pelo método SAC, as parcelas são diferentes e a primeira é igual a R$ 11.250,00 (7.500,00 de 
amortização mais 3.750,00 de juros, que é de 5% sobre o capital de R$ 75.000,00).
Dessa forma, a primeira parcela pelo sistema misto é R$ 10.481,44 que é a média aritmética 
entre esses dois valores:
11.250,00 + 9.712,88
 2
Assim, sucessivamente, podemos calcular todas as outras prestações, bem como os juros, 
os saldos corrigidos, as amortizações e os saldos devedores, todos serão a média aritmética 
entre os calculados pelos sistemas Price e SAC. As parcelas pelo sistema misto também serão 
decrescentes, assim como no sistema SAC.
Sistema de Amortização Americano
No Sistema Americano de amortização o devedor paga o juro em cada período e o principal é 
restituído em uma única vez no final do prazo, acrescido dos juros do último período. 
Exercício resolvido:
Elabore uma planilha de amortização, com base no sistema de juros constantes, ou sistema 
americano, para pagamento da compra de um computador no valor de R$ 3.580,00 a juros 
compostos de 4,7% ao mês, com prazo de pagamento de 8 meses.
157MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Tabela	12:	Cálculo	pelo	Sistema	Americano	de	Amortização
Meses Juros constantes Amortização Prestação Saldo 
corrigido
Saldo devedor 
1 168,26 - 168,26 3.748,26 3.580,00
2 168,26 - 168,26 3.748,26 3.580,00
3 168,26 - 168,26 3.748,26 3.580,00
4 168,26 - 168,26 3.748,26 3.580,00
5 168,26 - 168,26 3.748,26 3.580,00
6 168,26 - 168,26 3.748,26 3.580,00
7 168,26 - 168,26 3.748,26 3.580,00
8 168,26 3.580,00 3.748,26 * 3.748,26 0
* A prestação do 8º mês= 168,26 (juros) + 3.580 (valor do microcomputador)
CONSIDERAÇÕES FINAIS 
Por aqui terminamos esta unidade na qual você aprendeu cálculos mais aplicados à sua 
realidadecomo: rendas ou anuidades utilizadas tanto para você fazer um empréstimo ou 
financiamento, como também para juntar um dinheiro para gastar no futuro. Aprendeu sobre 
empréstimos e sistemas de amortização, inflação, índices de preços e taxas de juros. 
158MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
ATIVIDADE DE AUTOESTUDO
Pratique um pouco mais com os seguintes exercícios propostos:
1. 	 Uma	residência	no	valor	de	R$	130.000,00	foi	fi	nanciada,	com	base	no	Sistema	de	Amor-
tização Constante, em 10 parcelas mensais e taxa de juros compostos de 3,7% ao mês. 
Com base nos dados apresentados construa a planilha de amortização.
2. Construa uma planilha pelo sistema SAC para pagamento de um terreno que custou R$ 
14.000,00, com juros de 4,8% ao mês para ser liquidado em cinco parcelas mensais.
3. Um empréstimo foi realizado pelo sistema SAC para aquisição de um veículo no valor de 
R$ 30.000,00 nas seguintes condições: pagamento em 12 bimestres, com 2 bimestres de 
carência nos quais serão pagos apenas os juros. Construa a planilha com taxa de juros 
compostos de 4,2% ao bimestre.
4. Para aquisição de uma máquina industrial, foi realizado um empréstimo de R$95.000,00 
por meio do SAC, com 4 meses de carência sem pagamento de juros; mais 6 meses de 
carência com pagamento somente dos juros e mais 10 parcelas mensais com juros e 
amortizações	do	capital.	O	prazo	total	do	fi	nanciamento	é	de	20	meses,	a	taxa	de	juros	
compostos de 5,6% am. Construa a planilha. 
5. Uma construtora adquiriu 20 aparelhos de ar condicionado no valor de R$ 14.000,00 e 
concordou pagar em 7 trimestres a uma taxa de juros de 3,0% ao trimestre, com presta-
ções iguais consecutivas. Construa a planilha.
6. Uma máquina, para preparar argamassa de concreto, no valor de R$111.000,00 será 
fi	nanciada	pelo	sistema	americano,	em	8	anos,	a	juros	de	7,2%	ao	ano.	Construa	a	plani-
lha.
7. Uma metalúrgica comprou 5 novas máquinas de solda no valor de R$ 4.560,00. Terá que 
pagar num prazo de 1 ano, a uma taxa de juros compostos de 5,3% ao mês. Construa a 
planilha utilizando o sistema de juros constantes ou americano.
8. Para reformar sua loja, uma empresa realizou um empréstimo de R$ 18.000,00 para pa-
gar em 3 parcelas mensais sem entrada, a uma taxa de juros compostos de 3,3% ao mês. 
Construa a planilha utilizando o sistema de amortização misto.
UNIDADE IV
EMPREENDEDORISMO E VIABILIDADE DE 
PROJETOS
Professor Me. Pedro José Raymundo
Objetivos de Aprendizagem
•	 Estudar	as	noções	básicas	sobre	empreendedorismo	e	espírito	empreendedor.
•	 Entender	sobre	viabilidade	de	projetos.
•	 Compreender	a	importância	da	realização	de	análise	econômico-financeira.
•	 Conhecer	os	indicadores	e	métodos	utilizados	no	estudo	de	viabilidade.
Plano de Estudo
A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade:
•	 Noções	sobre	empreendedorismo
•	 Viabilidade	de	projeto
•	 Importância	da	análise	econômico-financeira
•	 Indicadores	e	métodos	utilizados	no	estudo	de	viabilidade	
161MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
INTRODUÇÃO
Esta unidade é muito importante para um negociador do setor imobiliário. Nela você aprenderá 
noções sobre empreendedorismo e sobre como é o espírito empreendedor. Os outros temas, 
assim como este primeiro, também estão relacionados ao seu dia a dia, pois se voltam para 
a	 análise	 de	 negócios	 e	 envolvem	 viabilidade	 de	 projetos,	 análise	 econômico-financeira	 e	
métodos utilizados para as análises. Aproveite bem esse conteúdo, ele vai ajudar você crescer 
ainda mais na área profissional e pessoal!
NOÇÕES DE EMPREENDEDORISMO 
O que significa o termo “empreendedorismo”?
De acordo com Dolabela (2006), o termo empreendedorismo é uma livre tradução que se faz da 
palavra entrepreneurship, que contém as ideias de iniciativa e inovação. É um termo que implica 
uma forma de ser, uma concepção de mundo, uma forma de se relacionar. O empreendedor é 
um insatisfeito que transforma seu inconformismo em descobertas e propostas positivas para 
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si mesmo e para os outros. É alguém que prefere seguir caminhos não percorridos, que define 
a partir do indefinido, acredita que seus atos podem gerar consequências. Em suma, alguém 
que acredita que pode alterar o mundo. É protagonista e autor de si mesmo e, principalmente, 
da comunidade em que vive.
Para Chiavenato (2009), o espírito empreendedor envolve emoção, paixão, impulso, inovação, 
risco e intuição. Mas deve também reservar um espaço para a racionalidade para alcançar 
seus objetivos por meio de estratégias. Para isso o empreendedor deve saber trabalhar em 
equipe, entender de marketing, finanças, inovação e identificar as ameaças e oportunidade do 
mercado. 
Segundo Dolabela (2006), a natureza do empreendedorismo revela que: 
•	 Todos nascemos empreendedores. A espécie humana é empreendedora.
•	 Empreendedorismo não é um tema novo ou modismo: existe desde sempre, desde a 
primeira ação humana inovadora, com o objetivo de melhorar as relações do homem com 
os outros e com a natureza.
•	 	 Não	é	um	fenômeno	apenas	econômico,	mas	sim	social.
•	 O empreendedor está em qualquer área. Não é somente a pessoa que abre uma empre-
sa.
•	 Empreendedorismo é uma das manifestações da liberdade humana.
•	 	 Não	é	um	fenômeno	individual,	não	é	um	dom	que	poucos	têm.	É	coletivo,	comunitário.	
A comunidade tem o empreendedor que merece, porque cabe a ela criar o ambiente 
propício. A tese de que o empreendedor é fruto de herança genética não encontra mais 
seguidores.
•	 O ambiente favorável ao desenvolvimento empreendedor (em comunidades ou empre-
sas) não pode prescindir de elevadas doses de democracia (e não de autocracia), coo-
peração (e não somente de competição) e relações sociais estruturadas em rede (e não 
hierarquizadas).
163MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
•	 Não é possível transferir conhecimentos empreendedores — ao contrário do que acon-
tece,	por	exemplo,	em	uma	aula	de	geografia	–	porque	o	empreendedorismo	não	é	um	
conteúdo cognitivo convencional. Nesse sentido, não é possível ensinar, mas é possível 
aprender a ser empreendedor, desde que por meio de um sistema bastante diferente do 
ensino tradicional.
•	 	 É	um	tema	universal,	e	não	específico	ou	acessório.	Em	outras	palavras:	deve	estar	na	
educação básica, ser oferecido para todos os alunos.
•	 O fundamento do empreendedorismo é a cidadania. Visa à construção do bem-estar co-
letivo, do espírito comunitário, da cooperação. Antes de ser aluno, o estudante deve ser 
considerado um cidadão.
•	 Não é possível determinar com certeza se uma pessoa vai ou não vai ser bem-sucedida 
como empreendedora.
Só pode ser chamado de empreendedor aquele que gera valor positivo para a coletividade, 
incluída aqui, evidentemente, toda a natureza. Assim, não seriam empreendedores aqueles que 
subtraem valor, como os que fabricam produtos que poluem, que causam doenças ou feitos 
para exterminar vidas, como os armamentos etc. O empreendedor deve ter um compromisso 
com a localidade em que atua. Não basta ter um bom faturamento, um bom lucro. É preciso 
contribuir para o bem-estar social do local. Empreendedorismo não pode ser uma proposta 
limitada ao enriquecimento pessoal. Pensando e agindo dessa forma o empreendedor mostra 
uma postura ética e comprometida com o bem comum (DOLABELA, 2006).
Segundo Chiavenato (2009), há dois estilos de se fazer negócios e que caracterizam os 
empreendedores em dois extremos: o empreendedor artesão e o empreendedor oportunista.
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164MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a DistânciaO empreendedor artesão é o que possui habilidades técnicas, conhece muito bem o produto, 
mas tem dificuldades em gerenciar o negócio e avaliar o mercado. Tem visão de curto prazo e 
pouco planejamento para o futuro; é paternalista e administra seu negócio como dirigiria sua 
família. Um exemplo desse tipo é o mecânico que começa sua oficina própria. 
No outro extremo, temos o empreendedor oportunista que tem educação técnica suplementada 
com formação superior em administração e áreas afins, delega autoridade, emprega estratégias 
de marketing e planeja para o futuro. Assim, ele gerencia o negócio com abordagem científica 
e utiliza-se de registros, controles e orçamentos.
Esperamos que você, que está tendo acesso a esse material, diante desses extremos, pense 
sobre qual é o seu estilo como empreendedor. Faça uma análise para saber em qual ponto 
está e assim direcione seus esforços no sentido de se conhecer melhor e identificar seu 
grau de autoconfiança, autoconhecimento, disposição em assumir riscos, necessidades de 
realização etc. Assim, você poderá gerenciar suas atividades ou mesmo direcionar a sua vida 
com equilíbrio possibilitando o sucesso idealizado, a realização de seus sonhos. 
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165MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Para Dolabela (2006), nas pesquisas relativas ao perfil do empreendedor, se verificou que os 
empresários de sucesso são influenciados por empreendedores do seu círculo de relações 
(família, amigos), por líderes ou figuras importantes, que são tomados como modelos. Tal 
admiração nos remete ainda a algumas perguntas, as mesmas que os estudiosos desta área 
se fazem:
•	 Como alguém se torna empreendedor?
•	 O empreendedor nasce pronto? Ou seja, é fruto de herança genética?
•	 É possível ensinar alguém a se tornar empreendedor, a ser empreendedor?
Para responder essas questões, o mesmo autor diz que o empreendedorismo não é ainda 
uma ciência, embora esteja entre as áreas em que mais se pesquisa e se publica. Isso quer 
dizer que, por enquanto, não existem paradigmas, padrões que possam, por exemplo, nos 
garantir que, a partir de certas circunstâncias, haverá um empreendedor de sucesso. Mas, 
segundo ele, muita coisa pode ser dita sobre o empreendedor tais como: 
•	 Todos os pesquisadores acreditam que é possível alguém se tornar um empreendedor. 
Mas a metodologia de ensino para isso deve ser diferente da tradicional e também deve 
ser aplicada desde o curso fundamental até a universidade.
•	 	 Sabe-se	que	o	empreendedorismo	é	um	fenômeno	cultural,	ou	seja,	é	fruto	de	hábitos,	
práticas e valores das pessoas. Existem famílias (assim como cidades, regiões, países) 
mais empreendedoras do que outras. Na verdade, a pessoa aprende a ser empreendedo-
ra no convívio com outros empreendedores, num clima em que ser dono do próprio nariz, 
ter um negócio é considerado algo muito positivo. Pesquisas indicam que as famílias de 
empreendedores têm maior chance de gerar novos empreendedores e que os empreen-
dedores de sucesso quase sempre têm um modelo, alguém que admiram e imitam.
•	 Podemos dizer que o nível primário é a principal fonte de formação de empreendedores. 
Mas os níveis secundário e terciário também podem ser importantes na geração de em-
preendedores. Um dos pontos básicos do ensino de empreendedorismo é fazer com que 
o aluno busque estabelecer relações que deem suporte ao seu negócio.
Assim, podemos entender que a convivência e a influência recebida desde a infância são 
166MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
muito importantes para suscitar o espírito empreendedor que vê nas pessoas uma das suas 
mais importantes fontes de aprendizado e inspiração, ao contrário de profissionais de áreas 
especializadas que são mais propensos a fontes científicas, como literatura técnica, relatórios 
de pesquisas, cursos etc.
Além de tudo isso, de acordo com Chiavenato (2009), para ter sucesso o empreendedor deverá 
desenvolver as seguintes características:
•	 ter vontade de trabalhar duro;
•	 ter habilidade de comunicação;
•	 conhecer maneiras de organizar o trabalho;
•	 ter orgulho do que faz;
•	 manter boas relações interpessoais;
•	 assumir responsabilidades;
•	 tomar decisões;
•	 fazer o que gosta;
•	 aplicar todo o seu tempo e suas energias.
E ainda, você como empreendedor deverá saber que terá que esquecer o período de 8 horas de 
trabalho diário e fins de semana além de não poder contar com um ganho regular e certamente 
nenhum ganho no início do negócio. Acima de tudo, deverá ponderar que poderá perder tudo 
que investiu, pois todo negócio tem um certo risco. Porém, esses motivos todos não são 
suficientes para fazer um empreendedor desistir de seus sonhos, sem antes tentar, tentar e 
tentar. Porém, a forma mais indicada para realizar essas tentativas todas é o planejamento que 
estudaremos na próxima unidade com o Plano de Negócios. 
167MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Consulte <http://www.baixaki.gratisbaixar.net/livro-o-segredo-de-luisa-download-baixaki/> e leia o 
livro O segredo de Luisa de Fernando Dolabela, uma história muito bem contada sobre empreende-
dorismo. Vale a pena conferir!
VIABILIDADE DE PROJETOS 
O termo viabilidade de um projeto pode ser entendido como a possibilidade desse projeto ter 
bons resultados, ou seja, não só é analisado se o que se propõe é possível de ser realizado, 
mas também se é passível de bom êxito. Dessa forma, ele deve trazer mais vantagens do que 
transtornos, mais pontos positivos do que negativos. Para isso, devem ser analisadas não só 
as	condições	financeiras	e	econômicas,	mas	também	as	físicas,	sociais	e	psicológicas	que	o	
envolvem. 
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168MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Segundo Xavier (2009), os métodos de seleção de projetos constituem as ferramentas de 
embasamento técnico (qualitativas) e financeira (quantitativas) para a escolha de determinadas 
opções. Dessa forma, a viabilidade pode ainda ser analisada do ponto de vista técnico e do 
econômico-financeiro.	Para	Hirschfeld	(2000),	o	foco	dado	em	relação	aos	aspectos	técnicos	
é o exame da localização, espaço físico, tecnologia existente; mão de obra qualificada; taxas e 
tributos, custos operacionais, possíveis subsídios governamentais; legislação ambiental. Para 
esse	mesmo	autor,	a	viabilidade	econômica	foca	as	demonstrações	contábeis	como	o	balanço	
patrimonial e a Demonstração de Resultado do Exercício (DRE). Ela analisa questões como 
lucratividade,	rentabilidade,	o	patrimônio	da	empresa.	Já	a	viabilidade	financeira	é	baseada	nos	
fluxos de caixa, ou seja, nas entradas e saídas de recursos do projeto. Assim, analisamos os 
valores investidos (desembolsos) e os valores dos retornos ao longo do tempo, considerando 
uma determinada taxa de juros sobre os valores, para decidir sobre a viabilidade financeira 
do projeto.
Dessa	forma,	a	Viabilidade	Econômico-financeira	enfoca	os	resultados	do	projeto	no	que	diz	
respeito à lucratividade, retorno sobre o valor do investimento e sua rentabilidade. Conforme 
Chiavenato (2009), ela pode ser analisada previamente por meio de pesquisas de mercado 
ou estudos específicos para saber o que produzir, para quem, por que, com quem, quem vai 
produzir, como, onde, quando, qual a quantidade, quanto vai custar, quanto vamos lucrar. 
Percebemos,	com	esses	comentários,	que	a	viabilidade	 técnica	e	a	viabilidade	econômico-
financeira têm focos específicos. Por exemplo, em uma região onde uma usina hidroelétrica 
pode	dar	elevados	resultados	econômicos,	devido	à	existência	de	rios	em	abundância,	uma	
usina	eólica	pode	ter	viabilidade	técnica,	mas	não	econômico-financeiro.
A viabilidade financeira,aquela que se baseia no diagrama de fluxo de caixa de um projeto, 
pode ser analisada por alguns métodos de estudo e também com indicadores. Vamos abordar 
a seguir a importância dessa análise. 
169MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Quantas empresas falidas e falindo, quantos prejuízos a todos os envolvidos. Por quê? Não seria por 
falta de análise?
A IMPORTÂNCIA DA ANÁLISE ECONÔMICO-FINANCEIRA
A	 análise	 econômico-financeira	 é	 um	 tema	 de	 grande	 relevância	 para	 o	 bom	 êxito	 dos	
empreendimentos que forem implementados. A abertura de uma empresa, por exemplo, 
quando é feita sem essa preocupação tem grande probabilidade de ser um projeto fadado 
ao fracasso. É o que mostra a pesquisa realizada pelo SEBRAE, Serviço Brasileiro de apoio 
às micro e pequenas empresas, concluída em 2007, que aponta que das micro e pequenas 
empresas constituídas no ano de 2002, no Brasil, 49,4% fecharam nos 2 primeiros anos de 
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170MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
vida. Das que abriram em 2005, 22% fecharam as portas nos 2 primeiros anos de vida. Ela 
conclui também que a preocupação com a análise financeira dos empresários das empresas 
pesquisadas passou de 7% em 2002, para 36% em 2005 relacionando, assim, o aumento 
dessa preocupação com a queda do número de fechamento dessas empresas.
Para destacar e entendermos como podemos fazer essa análise tão importante para a gestão 
de negócios, estudaremos no próximo tópico os principais indicadores e métodos utilizados na 
análise	de	viabilidade	econômico-financeira.
INDICADORES E MÉTODOS UTILIZADOS NO ESTUDO DA VIABILIDADE 
ECONÔMICO-FINANCEIRA
Para estudo desses indicadores, precisamos primeiramente entender o conceito de Taxa 
Mínima de Atratividade.
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171MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
TMA – Taxa Mínima de Atratividade
A TMA é uma taxa que expressa a sua expectativa de ganho. É a taxa que vai atrair você 
como empreendedor a aplicar seus recursos em determinado projeto. Ou seja, se você tiver a 
expectativa de ganhar uma taxa que o atraia para investir no negócio, você vai investir. Caso 
contrário, aplicará os recursos em outro projeto ou vai deixá-lo em um banco rendendo à taxa 
de juros que ele lhe for oferecida.
Conforme Casarotto (1998), para pessoas físicas, no Brasil, é comum a TMA ser igual à 
rentabilidade da caderneta de poupança. 
Para isso você irá analisar o custo de oportunidade, que, segundo Raymundo e Franzin (2009), 
é o custo da opção de desistir de selecionar um projeto em detrimento de outro projeto. Dessa 
forma, você irá determinar qual a sua TMA. Por exemplo, se você tiver investimentos em 
ações de uma empresa que nos últimos anos lhe proporcionaram ganhos médios de 24% 
ao ano, a sua TMA poderá ser baseada nessa taxa. Muito provavelmente você não aceitará 
investimentos que tenham a expectativa de ganho abaixo dessa taxa. 
Assim,	 a	 TMA	 é	 utilizada	 como	 um	 parâmetro	 para	 a	 análise	 de	 viabilidade	 econômico-
financeira de projetos. Nesse sentido, a TMA pode variar de investidor para investidor, pois 
depende da expectativa de ganho de cada um e do custo de oportunidade que cada um tem e 
que geralmente é diferente de um investidor para outro.
Passando agora para os métodos de análise, propriamente ditos, vamos começar pelo da Taxa 
Interna de Retorno. 
TIR – Taxa Interna de Retorno
Segundo Puccini (2009), a TIR de um fluxo de caixa é a taxa de desconto que faz seu (VPL) 
valor presente líquido ser igual a zero. O VPL é igual a zero quando os valores futuros (retornos 
do capital investido), ao serem descontados a uma determinada taxa (TIR), produzem um valor 
172MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
presente que é igual ao valor do investimento inicial (o desembolso inicial). 
Simplificando, é a taxa que representa o percentual que você ganha em um negócio, caso 
tenha desembolsado um valor hoje (VP) e vai receber em parcelas futuras. 
Exemplo 1: 
Se você fez um investimento de R$ 10.000,00 e recebeu como retorno R$ 5.500,00 no final 
do primeiro ano e R$ 6.050,00 no final do segundo ano, você conseguiu uma TIR de 10% ao 
ano, pois essa taxa descontada dessas duas parcelas torna a soma das duas parcelas no 
período zero (que é o momento do investimento) iguais ao valor do investimento inicial, que é 
R$ 10.000,00, assim o VPL é igual a zero, conforme Quadro 1.
Quadro	1:	cálculo	da	TIR
Fonte: o autor
Podemos fazer esse cálculo com a HP 12C digitando os valores e teclas da seguinte forma:
10.000 CHS g CFo 5.500 g CFj 6.050 g CFj f IRR
Teremos como resultado 10%. 
173MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Exemplo 2:
Um automóvel utilizado por um taxista custa à vista R$ 30.000,00. Ele gera R$ 1.000,00 por 
mês de renda líquida. Depois de 3 anos de uso, o veículo pode ser vendido por R$11.250,00. 
Calcule a TIR. 
Com a HP12C
30.000 CHS g CFo 1.000 g CFj 36 Nj 11.250 g CFj f IRR
Resposta: 2,15% ao mês.
Observação: 36 Nj é porque o valor de R$ 1.000,00 retornará durante 36 meses (3 anos).
Exemplo 3:
Uma empresa adquiriu uma máquina pelo valor à vista de R$12.935,64, o que fez elevar seu 
lucro anual em R$3.500,00 durante 5 anos. A máquina foi totalmente desgastada durante esse 
período, não restando valor residual. Verifique se a TIR é de 12 % ao ano.
Com a calculadora HP 12C:
f CLX f 2
12.935,64 CHS g CFo (para incluir a despesa com valor negativo)
3.500,00 g CFj (para incluir o valor da parcela às receitas)
5 g Nj (número de vezes que a parcela se repete)
0 g CFj (valor residual, só para exemplificar, pois nesse caso ele é zero)
12 i (12% é a taxa da tentativa, pode ser qualquer uma)
174MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
f NPV (mostra a diferença - 318,92 - entre as receitas e as despesas atualizadas com a taxa 
informada acima. Quando informada a própria TIR, o resultado é zero)
f IRR ( nostra a TIR de 11%)
Podemos simplificar e calcular a TIR diretamente:
f CLX 12.935,64 CHS g CFo 3.500,00 g CFj 5 g Nj f IRR ( mostra a TIR de 11%)
VPL – Valor Presente Líquido
Quando a TMA for diferente da TIR, o VPL não será igual a zero. Nesse caso, você utiliza a 
TMA como taxa de desconto e verifica a diferença entre a somatória dos valores dos retornos 
no período zero e o valor do investimento inicial. Essa diferença é o VPL. 
No caso do exemplo 1, se a TMA fosse 20% ao ano, o VPL seria negativo de R$ 1.216,00 
conforme segue:
Quadro	2:	Cálculo	do	VPL
Fonte: o autor
175MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
O cálculo com a HP 12C (observação: nesse caso devemos informar a taxa 20 na tecla i): 
10.000 CHS g CFo 5.500 g CFj 6.050 g CFj 20 i f NPV
A	sua	expectativa	de	ganho	 (TMA)	 infl	uencia	drasticamente	o	cálculo	do	VPL.	Refaça	os	cálculos	
alternando a TMA e compare os resultados. 
Payback Time
O payback time é o tempo de retorno de um investimento. Existem duas formas de fazermos 
o cálculo: o payback simples e o descontado. O payback simples não leva em consideração o 
valor do dinheiro no tempo. É uma medida muito simplista. 
Por exemplo, um investimento inicial de R$ 90.000,00, que gera um retorno de R$ 30.000,00 
por ano, tem um payback simples de 3 anos (90.000/30.000). Porém, o payback descontado é 
uma medida mais adequada de análise de viabilidade financeira de projeto, pois ele considera 
o valor do dinheiro no tempo tendo em vista uma determinada TMA ou custo de oportunidade. 
Segundo Puccini (2009), ele é o tempo necessário para a recuperação do investimento inicial, 
levando-se em consideração o custo de oportunidadedo capital investido. Dessa forma, 
primeiramente você desconta esse custo dos fluxos futuros dos retornos do capital para depois 
verificar quanto tempo leva para o capital investido retornar.
176MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Análise	de	custo-benefício.
Segundo Xavier (2009), a análise custo-benefício consiste em calcular, para um mesmo 
período de tempo, os benefícios e os custos de um investimento e obter o quociente da divisão 
dos benefícios pelos custos. Caso o resultado seja superior a um, tem a aceitação do projeto, 
indicando que os benefícios são superiores aos custos.
Um dos problemas dessa análise é a possibilidade de se transformar todos os custos e 
benefícios em números. Em alguns casos, é difícil essa quantificação, e a análise torna-se 
superficial quando se chega à conclusão de que há mais benefícios do que custos, porém sem 
quantificá-los.
Ponto de equilíbrio
O ponto de equilíbrio ou ponto de nivelamento pode ser entendido como o volume de negócios 
necessário para cobrir todos os custos e despesas de uma empresa.
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177MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Figura 1: Ponto de Equilíbrio
Fonte: <http://www.igf.com.br/aprende/novonegocio/Neg_Resp.aspx?id=57>
Essa quantificação deve ser realizada em um determinado período de tempo, geralmente 
um mês. O volume de negócios realizados deve ser representado pelo valor das vendas ou 
faturamento. Também pode ser calculado o volume de unidades vendidas de cada produto 
ou serviço que multiplicado pelos respectivos preços de venda resulta no valor total do 
faturamento. 
Os custos devem ser selecionados entre custos variáveis (basicamente a matéria-prima) e 
custos fixos ou despesas (salários, aluguel, impostos, despesas administrativas gerais, juros 
etc). No caso de uma imobiliária, por exemplo, não vamos nos preocupar com os custos 
variáveis (matéria-prima) porque não tem sentido. 
Com os valores das vendas e dos custos fixos/despesas quantificados, é possível calcularmos 
o resultado (lucro ou prejuízo) de um período e também o ponto de equilíbrio por meio da 
Demonstração do Resultado do Exercício (DRE) que é o instrumento contábil utilizado para 
revelar a dinâmica de uma empresa, ou seja, como ela está atuando e como ela está gerando 
lucro ou prejuízo ao longo do tempo.
Vamos elaborar uma DRE com os valores projetados de uma imobiliária na próxima unidade e 
também calcularemos o ponto de equilíbrio.
178MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
CONSIDERAÇÕES FINAIS 
Depois de termos essa visão sobre empreendedorismo e dos estudos para analisar a 
viabilidade	técnica	e	econômico-financeira	dos	possíveis	empreendimentos	que	você	poderá	
realizar, além de ter estudado os indicadores e métodos para a análise de investimentos, 
passaremos, na próxima unidade, para o plano de negócios propriamente dito, no qual serão 
aplicados alguns desses métodos que aqui estudamos. 
Isso vai ser muito interessante! Vamos montar uma imobiliária. Até lá! 
ATIVIDADE DE AUTOESTUDO
1. Segundo os autores citados, o que nos revela a natureza do empreendedorismo?
2. Quais as características que o empreendedor deverá desenvolver para ter sucesso?
3. Diferencie TMA de TIR.
4. Calcule o VPL, considerando que você tenha investido R$ 25.000,00 e tenha recebido de 
volta 6 parcelas anuais de R$ 6.200,00, sem valor residual e sua TMA seja de 12% ao 
ano. (Resposta: R$ 490,72)
UNIDADE V
O PLANO DE NEGÓCIOS
Professor Me. Pedro José Raymundo
Objetivos de Aprendizagem
•	 Destacar	a	importância	do	planejamento.
•	 Estudar	 as	 noções	 básicas	 e	 conceitos	 que	 envolvem	planejamento	 e	 plano	 de	
negócios. 
•	 Entender	os	passos	para	a	realização	de	um	plano	de	negócios.	
•	 Compreender	o	funcionamento	financeiro	dos	negócios	por	meio	da	Demonstração	
do Resultado do Exercício (DRE).
Plano de Estudo
A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade:
•	 Introdução	ao	plano	de	negócios
•	 Elaboração	de	um	plano	de	negócios
•	 Plano	de	negócios	para	a	abertura	de	uma	imobiliária
•	 Demonstração	do	resultado	do	exercício
181MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
INTRODUÇÃO
Esta unidade de estudo é fundamental para consolidar todo o estudo que realizamos até 
aqui. O plano de negócios envolve conhecimentos diversos, muitos estudamos nas unidades 
anteriores, outros vamos estudar a seguir como, por exemplo, os passos a serem seguidos 
para a realização de um plano de negócios que vai contribuir de forma significativa para o 
sucesso de seu empreendimento e realização de seu sonho. 
Além de estudarmos como controlar os resultados dos negócios, por meio da DRE, faremos 
também uma simulação de um plano de negócios para a abertura de uma empresa do ramo 
imobiliário.
INTRODUÇÃO AO PLANO DE NEGÓCIOS
Colocar a intuição de lado e partir para a racionalização também faz parte das atividades de um 
empreendedor de sucesso. Deixar o impulso de decisão, o qual parte da intuição, e buscar a 
visão racional para esse impulso é o caminho mais sensato para o empreendedor que privilegia 
passos conscientes e a minimização de inseguranças no mundo dos negócios. Enquanto a 
intuição significa a faculdade de perceber, discernir ou pressentir coisas, independentemente 
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182MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
de raciocínio ou de análise, racionalizar significa tornar algo mais inteligível por meio da busca 
da compreensão ou explicação de algo de maneira racional, lógica e coerente (CECCONELLO, 
2009).
Essa racionalização definida pelo autor citado é que você deverá buscar por meio do plano 
de negócios. 
Para Cecconello (2009), o plano de negócios, basicamente, busca verificar a viabilidade 
econômico-financeira	para	alternativas	de	negócio,	seja	um	novo	empreendimento,	seja	uma	
mudança do status de um empreendimento existente. 
Nesse sentido, o estudo da viabilidade de negócios é de fundamental importância no 
mercado competitivo atual. A evolução no mundo corporativo, o crescimento da economia e 
a competitividade do mercado, que tendem a acelerar cada vez mais as mudanças, tornam 
ainda mais relevante o estudo da viabilidade incorporado pelo plano de negócios. 
Essas mudanças podem fazer com que investimentos que antes não eram viáveis passem a 
ser e vice-versa. Para a economia brasileira, que se classifica entre as seis maiores do mundo, 
há previsão de crescimento acima da média dos países desenvolvidos. 
Além disso, no Brasil, a Copa do Mundo de Futebol, em 2014, e as Olimpíadas, em 2016, são 
motivos que fazem aumentar ainda mais o ímpeto empreendedor e o interesse pelos estudos 
de viabilidade dos negócios que deverão ser implementados para atender às demandas 
causadas não só por esses eventos, mas pelo cenário positivo descrito por vários especialistas. 
A importância do plano de negócios se dá pela sua contribuição de forma decisiva para o sucesso 
do investimento, pois, na busca de eficiência, eficácia e efetividade do empreendimento, que 
significa fazer certo a coisa certa e mudar a realidade para melhor, o estudo de sua viabilidade 
é fundamental, seja para implementar um projeto específico ou para decidir entre a melhor 
opção, em caso de escolha entre investimentos distintos.
183MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Como o plano de negócios, em síntese, é utilizado para verificar a viabilidade de um 
investimento, é de fundamental importância o seu entendimento. Dessa forma, veremos a 
seguir como podemos fazer para elaborar um plano de negócios. 
ELABORAÇÃO DE UM PLANO DE NEGÓCIOS
Para a elaboração de um plano de negóciosna prática, proponho que idealizemos a abertura 
de uma empresa. Então, vamos abrir uma Imobiliária?
Para servir de apoio para elaboração do plano de negócios, você poderá consultar o site 
da IGF - Intelect Gerenciamento Financeiro : <http://www.igf.com.br/aprende/novonegocio/
Neg_Resp.aspx?id=57>. Você encontrará várias dicas, algumas eu também vou utilizar nesse 
nosso plano de negócios. 
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184MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Mas	o	que	é	o	plano	de	negócios?
Para você colocar em prática aquilo que idealizou e para que tenha sucesso em seu 
empreendimento, ou seja, para você realizar os seus sonhos, é necessário muito planejamento. 
O plano de negócios é esse planejamento colocado em prática, quantificado, analisado e 
escrito para ficar tudo registrado. Dessa forma, você poderá acompanhar todas as etapas 
necessárias do planejamento do empreendimento. Segundo Cecconello (2009), são quatro as 
principais etapas para a adequada elaboração de um plano de negócios, conforme a figura 2: 
Figura 2: A construção do plano de negócios
Fonte: adaptado de Cecconello(2009). 
185MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
I. A compreensão do contexto
A compreensão do contexto é a etapa em que você deverá buscar conhecimento dos 
ambientes de atuação do negócio. Envolve o micro e o macroambiente. Na visão micro, você 
deverá entender de questões como demanda, que é a procura pelos produtos ou serviços 
de seu futuro negócio, e oferta que envolve a produção estimada para atender ao mercado, 
assim como a questão dos concorrentes. O macroambiente está relacionado com aspectos 
mais gerais, como situação da economia, política governamental e questões sociais que vão 
influenciar seus negócios e que, certamente, não são influenciadas pela sua empresa. 
II. A concepção do negócio
A concepção do negócio tem a ver com as oportunidades de seu negócio. Você realmente 
acredita que é importante o que pretende fazer? Para responder a essa questão você deve 
saber definir adequadamente o seu negócio.
Se você for montar uma imobiliária, por exemplo, qual deverá ser o seu negócio? Vender 
imóveis? Alugar casas? Não. 
Se estiver pensando que esse é o seu negócio, a sua visão não é de um empreendedor. Qual 
deve ser o seu negócio então? Para você ter sucesso nessa área o seu negócio deverá ser: 
atender às necessidades de segurança, conforto, realização e tranquilidade das pessoas que 
precisam de um imóvel. Essa sim seria uma visão estratégica própria do empreendedor que 
faz de sua ideia uma realização de muito sucesso.
 Se você tiver essa visão, a sua empresa não precisará entrar na guerra de preços como 
faz a maioria das empresas que quebram. Assim, você poderá inclusive praticar preços 
186MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
superiores, pois o cliente estará disposto a pagar um diferencial de preço para receber os 
benefícios que você está oferecendo, que são superiores aos dos seus concorrentes, e ainda 
pagará com gosto e feliz.
Questões de localização de seu empreendimento também devem ser consideradas nessa 
etapa. Qual o melhor local para a produção, para atender ao cliente, para atrair esse cliente e 
estar sempre mais próximo a ele? Envolve logística e pontos de distribuição.
III. Dimensionamento das operações
O dimensionamento das operações refere-se à etapa em que você deverá quantificar o seu 
negócio, ou seja, transformar em números questões como o valor do investimento inicial, 
quantidade de clientes que serão atendidos, o volume de vendas e o valor dessas vendas 
em um período, geralmente dentro de um mês, os custos e despesas de manutenção de 
seu empreendimentos etc. Esses dados todos serão utilizados para você fazer a análise 
econômico-financeira	do	seu	negócio	e	elaborar	a	DRE	que	também	servirá	para	o	cálculo	do	
ponto de equilíbrio, como já estudamos. 
IV.	Análise	da	viabilidade	econômico-financeira		
Depois de ter realizado o dimensionamento das operações, é possível você fazer a análise 
econômico-financeira	 utilizando	 o	 que	 já	 estudamos	 no	 item	 “Indicadores e métodos 
utilizados	no	estudo	da	viabilidade	econômico-financeira”
187MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
PLANO DE NEGÓCIOS PARA A ABERTURA DE UMA IMOBILIÁRIA
Primeiramente, você deverá consultar questões legais para saber, por exemplo, quem pode 
atuar nesse ramo, as responsabilidades técnicas das atividades desenvolvidas etc. Para isso, 
é conveniente você consultar os normativos citados pela IGF como:
•	 Lei nº 4.116/62, que dispõe sobre a regulamentação do exercício de corretor de imóveis.
•	 	 Lei	nº	6.530/78,	que	dá	nova	regulamentação	à	profissão	de	corretor	de	imóveis	e	disci-
plina	sobre	o	funcionamento	de	seus	órgãos	de	fiscalização.
•	 	 Decreto	Nº	81.871/78,	que	dá	nova	regulamentação	à	profissão	de	Corretor	de	Imóveis,	
disciplina o funcionamento de seus órgãos.
•	 	 RESOLUÇÃO	-	COFECI	Nº	800/2002,	cria	o	Exame	de	Proficiência	e	o	torna	obrigatório	
para	quem	pretenda	obter	registro	profissional	em	Conselho	Regional	de	Corretores	de	
Imóveis.
•	 RESOLUÇÃO - COFECI Nº 838/2003, institui o Cadastro Nacional de pessoas físicas e 
jurídicas inscritas nos Conselhos Regionais, bem como o Cartão e o Diploma Anuais de 
Regularidade.
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Segundo metodologia do SEBRAE, também encontrada no site da IGF, são levantadas várias 
questões que devem ser respondidas com o plano de negócios. Vamos nos basear nelas para 
abrir a nossa imobiliária.
01.	Quais	produtos	a	imobiliária	vai	oferecer?
 Essa é uma questão fundamental, que vai servir de base para todas as outras. O funda-
mento aqui é que os produtos devem atender necessidades de pessoas ou empresas. No 
caso dos produtos que você pensa em oferecer, como descobrir se existe interesse de pes-
soas ou de empresas? O estudo do mercado, ou seja, da concorrência, dos fornecedores 
e dos clientes em potencial será a parte principal do seu projeto de empresa, do seu Plano 
de Negócios.
02.	Como	serão	obtidos	os	produtos	para	comercialização?
 É necessário garantir o domínio tecnológico, contar com especialistas nos serviços que 
oferecer,	especialistas	com	habilitação	profissional,	licenciados	para	tal,	conforme	a	legis-
lação	exigir.	Já	dispõe	destes	profissionais?	São	os	próprios	sócios?	São	empregados?	
São prestadores de serviços? Qual formato é mais adequado à imobiliária? Como agem 
seus	futuros	concorrentes?	Como	identificar	os	melhores	fornecedores?	Quais	condições	
de aquisição serão mais adequadas? Como negociar e obter facilidades de pagamentos 
condizentes com a estratégia de venda? Quais volumes devem ser adquiridos em função 
de previsão de venda e prazos de fornecimento? Quais níveis de estoque, ou seja, de imó-
veis sua imobiliária deverá ter à disposição dos clientes para que eles possam comprar ou 
alugar? Como será feito o contato com os proprietários para conseguir esses imóveis?
03.	O	que	de	melhor	será	oferecido?
	 Os	trunfos	da	concorrência	devem	ser	identificados.	O	que	deve	ser	oferecido	aos	clientes,	
que seja um diferencial, que seja mais atrativo do que a concorrência já oferece? Que 
vantagem será oferecida aos clientes a qual supere a concorrência? E quanto aos novos 
concorrentes, existe a possibilidade de surgir novos de maior capacidade? Observe que 
sempre é possível ser melhor ou se igualar aos melhores concorrentes. Se o nível tecnoló-
gico igualar as empresas, supere em serviços agregados, isto é, no atendimento ao cliente. 
Quais as estratégias de marketing?
189MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
04.	Quem	é	e	onde	está	o	cliente?O mercado comprador deve ser estimado. Deve ser conhecido. Quem frequentará sua imo-
biliária? Por que frequentará? Quantos serão esses clientes? Onde estão esses clientes? 
Como	chegar	até	eles?	Como	influenciar	na	decisão	de	frequentar	sua	empresa?	Como	
será sustentada a quantidade de clientes necessária para viabilizar a empresa?
05.	Onde	será	instalada	a	empresa?
 Quais aspectos de localização devem ser considerados para facilitar a atração de clientes? 
Estacionamento para clientes é relevante? Existem restrições legais para instalação deste 
tipo de empresa na localidade escolhida?
06.	Qual	deve	ser	a	competência	dos	dirigentes	da	empresa?
 Que nível de conhecimento técnico é necessário para comandar uma imobiliária? Quais 
são as habilidades que devem ser desenvolvidas? Como adquirir experiência neste ramo 
de	negócio	(se	já	não	possuir)?	Qual	deve	ser	o	perfil	de	empresário	neste	ramo	de	negó-
cio?	Como	desenvolver	este	perfil?
07.	Como	será	a	empresa?
 Para este tipo de negócio, que estrutura de operação adotar? Quais responsabilidades de 
cada um? O que será exigido de cada funcionário? Como estes serão treinados para cada 
função? Para a administração geral do negócio? Para a função comercial? Para prestação 
dos	serviços?	Para	a	gestão	financeira?	Como	sistematizar	essas	funções	para	se	integra-
rem	num	processo	de	gestão	ágil	e	econômico	para	a	empresa?
08.	Que	preço	será	cobrado?
 Qual a necessidade de faturamento que a empresa projetada terá? Quais serão seus cus-
tos? Quais serão suas possibilidades de preço? Quais preços a concorrência pratica? É 
importante superar os preços da concorrência? Qual lucro pode ser gerado? Qual será a 
taxa de comissão cobrada nos negócios? Que taxa de comissão será paga aos seus cor-
retores?
190MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
09.	Que	resultado	será	obtido?
 O formato de empresa projetado gerará lucro? Compensará o investimento? Essa questão 
deverá ser respondida com a elaboração do DRE e do cálculo do ponto de equilíbrio que 
faremos mais à frente.
10.	Qual	investimento	será	necessário?	Quando	virão	os	resultados?
 Por quanto tempo suportará movimento fraco? Qual previsão de gasto inicial? E nos pri-
meiros meses de funcionamento, como pagará os custos e despesas de funcionamento? 
Já	tem	disponibilidade	financeira?	Necessitará	de	crédito	adicional?	Sócio	é	a	opção	esco-
lhida	para	aumentar	o	capital?	Qual	o	perfil	do	sócio	ideal?	Qual	o	papel	de	cada	sócio?
 A resposta para essa questão 10 será implementada na sequência. Para isso, vamos consi-
derar que você tenha R$ 20.000,00 para iniciar sua imobiliária. Esse será seu investimento 
inicial que será empregado conforme o Quadro 3. Depois de muita pesquisa você escolheu 
um imóvel comercial para alugar no centro da cidade e nele irá instalar sua empresa. 
Quadro	3:	Investimento	inicial	para	abertura	de	uma	imobiliária
Detalhamento Desembolso R$
Investimento em instalações (Reforma, pintura etc) 4.000,00
Investimento equipamentos (Móveis, computadores etc) 10.000,00
Investimento em veículos -
Serviços de terceiros 1.000,00
Mat. de consumo e utensílios 1.000,00
Gastos com a abertura da empresa e inauguração 2.000,00
Reserva para gastos não previstos 2.000,00
Estoques -
Subtotal 20.000,00
Reserva para capital giro 5.000,00
Total 25.000,00
Fonte: IGF/Sebrae (ataptado) 
Perceba que no Quadro 3 constam apenas os recursos referentes ao investimento inicial, não 
tem nada a ver com o funcionamento da empresa, por isso não constam os custos e despesas 
191MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
operacionais como aluguel, funcionários, despesas com marketing, administrativas etc. Esse 
investimento foi realizado uma vez só, já foi todo empregado para começar o negócio. 
O retorno sobre esse investimento será analisado posteriormente, para você verificar se vale 
a pena realizá-lo ou não. Observe, ainda, que deixamos uma reserva para capital de giro. Isso 
é muito importante, pois no início de qualquer negócio, provavelmente, você não terá lucro 
logo no primeiro mês. Então, é importante ter uma reserva para os gastos correntes (capital de 
giro) custos e despesas dos primeiros meses de funcionamento. Caso contrário sua empresa 
começará fazendo dívidas ou tendo muita dificuldade financeira, o que poderá inviabilizar o 
negócio. 
DEMONSTRAÇÃO	DO	RESULTADO	DO	EXERCÍCIO	–	DRE
Daqui para a frente, pense no funcionamento da empresa, imagine que a imobiliária esteja 
montada e você tenha clientes, funcionários, receitas de vendas por um lado e custos/
despesas por outro. 
Esqueça um pouco aquele investimento inicial que foi feito (Quadro 3) e pense agora na 
questão dinâmica da imobiliária. Em suas operações nos negócios que estão sendo realizados 
em um período mensal, por exemplo. Como verificar se ela está dando lucro ou prejuízo, se 
ela é viável ou não?
 Para isso vamos então elaborar uma DRE (Quadro 4) com as previsões que você fez em 
relação às vendas e locações de imóveis e com os custos/despesas de funcionamento, 
considerando para todos esses valores o período de um mês. 
As previsões para o mês de julho de 2012 são: vendas de imóveis, R$ 1.000.000,00 com taxa 
de comissão de 5% e a imobiliária estará administrando uns cinquenta imóveis de clientes, 
alugados no valor de R$ 1.000,00 cada aluguel, com taxa de 10%. Depois iremos também 
calcular o ponto de equilíbrio desse negócio.
192MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
DRE
Quadro	4:	Imobiliária	dos	Sonhos	Ltda,	DRE	do	mês	de	Julho/2012
Fonte: o autor
Observe que na DRE do Quadro 4 não foram consideradas as despesas com comissões 
dos vendedores, caso existam vendedores que não sejam os sócios, é necessário considerar 
essas despesas na apuração do lucro. 
193MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
CÁLCULO	DO	PONTO	DE	EQUILÍBRIO	(PE)
No ponto de equilíbrio, o lucro é igual a zero, ou seja, o ponto de equilíbrio de uma empresa 
é caracterizado pelo volume de vendas (faturamento) necessário para que ela consiga pagar 
todos os seus custos e despesas. 
O seu cálculo é feito com os custos fixos e despesas (tudo que a empresa gastou no mês 
exceto os custos variáveis ou matéria-prima), no caso do Quadro 4, R$ 31.000,00, dividido pela 
margem de contribuição (Mc). 
A margem de contribuição é calculada pela divisão do lucro bruto pelo faturamento. No caso 
do Quadro 4 será de 0,05238(55.000,00 ÷ 1.050.000,00).
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194MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Assim, 
PE = (CF + D) ÷ Mc
Na qual:
 PE: ponto de equilíbrio, lucro zero;
 CF + D:	custos	fixos	e	despesas,	 tudo	que	a	empresa	gasta	no	mês,	exceto	a	matéria-
-prima: R$ 31.000,00
 Mc: margem de contribuição (Lucro bruto ÷ pelo faturamento) 55.000,00 ÷ 1.050.000,00 = 
0,05238 
PE = 31.000,00 ÷ 0,05238 
PE = 591.828,94
Dessa forma, com essa estrutura de custos e despesas totalizando R$ 31.000,00 por mês e 
com essa margem de lucro bruto de 5,238% sobre as vendas e contratos de aluguel, teremos 
que faturar R$ 591.828,94 por mês para pagar esses custos e despesas de funcionamento. 
A partir desse faturamento (R$ 591.828,94) teremos lucro de 5,238% sobre o valor que superar 
esse ponto. Da mesma forma, teremos prejuízo de 5,238% sobre o valor que faltar para atingir 
esse ponto de faturamento mensal.
No mês de julho de 2012, por exemplo, (Quadro 4) faturamos R$ 1.050.000,00 e tivemos R$ 
458.171,06 acima do ponto de equilíbrio (R$ 591.828,94). Por isso o lucro antes dos impostos 
foi R$ 24.000,00 (458.171,06 × 0,05238 = 24.000,00, aproximadamente). 
195MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Acompanhe agora cuidadosamente o seguinteexercício Resolvido:
Imagine que sua imobiliária só trabalhe com vendas de imóveis com comissão de 6% sobre 
os negócios realizados. Os custos fixos e despesas totais giram em torno de R$ 15.500,00 
mensais e no último mês ela faturou R$ 360.000,00. 
a. Calcule o lucro antes dos impostos.
b. Calcule o ponto de equilíbrio, faturamento para lucro zero.
c. Calcule o volume de faturamento para ela ter lucro de R$ 10.000,00 mensais (Ponto de 
Equilíbrio	Econômico).
Respostas:
a. DRE
Receitas de vendas de imóveis: R$ 360.000,00 × 0,06 21.600,00 +
Lucro Bruto (LB) 21.600,00 =
Total dos custos fixos e despesas (CF + D) 15.500,00 -
Lucro antes dos impostos (LAI) 6.100,00 =
b. PE = (CF + D) ÷ Mc
Mc: margem de contribuição (Lucro bruto ÷ pelo faturamento) 21.600,00 ÷ 360.000,00 = 0,06 
(Nesse caso é a própria taxa de comissão, 6%)
196MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
PE = 15.500,00 ÷ 0,06 
PE = 258.333,33
c. Vamos calcular o nível de faturamento com o lucro desejado. Chamaremos esse nível de 
Ponto	de	Equilíbrio	Econômico	(PEE)
 PEE = (CF + D + L) ÷ Mc
Basta somar no numerador o lucro desejado (L): 
PEE = (15.500,00 + 10.000,00) ÷ 0,06
PEE = 425.000,00
Assim, sua imobiliária teria que faturar R$ 425.000,00 por mês, mantendo os mesmos custos e 
despesas mensais para ter o lucro de R$ 10.000,00 antes dos impostos, como mostra o DRE 
a seguir:
CONSIDERAÇÕES FINAIS 
Encerramos por aqui esta unidade na qual estudamos o plano de negócios na teoria e na 
prática, por meio da simulação da abertura de uma empresa imobiliária. Mas não só nos 
preocupamos com a sua abertura, mas também com a sua continuidade.
Por isso, vimos também a Demonstração do Resultado do Exercício que possibilitou a 
análise de sua viabilidade e o cálculo do ponto de equilíbrio, para sabermos, mesmo antes 
de sua fundação, como ela deveria atuar para permanecer no mercado dando os resultados 
planejados. 
197MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
ATIVIDADE DE AUTOESTUDO
1. Calcule qual o valor que uma imobiliária precisa faturar/vender por mês para conseguir um 
lucro antes dos impostos de R$ 15.000,00 mensais se recebe comissão de 5,5% sobre as 
vendas	e	seus	custos	fixos	e	despesas	somam	R$	45.000,00	mensais.		
2. Elabore uma DRE para o exercício 1.
3. Calcule o ponto de equilíbrio para uma empresa do ramo imobiliário que recebe comissão 
de	5%	sobre	as	vendas	e	seus	custos	fixos	e	despesas	somam	R$	36.000,00	mensais.	
4. Relacione e explique os passos para a elaboração de um plano de negócios.
198MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
CONCLUSÃO 
O estudo foi intenso: cálculos básicos, juros, descontos, rendas, empréstimos, análise 
de investimento, empreendedorismo e plano de negócios. Espero que você utilize esses 
conhecimentos em sua vida profissional e pessoal e seja, assim, um empreendedor sonhador 
que consiga realizar seus sonhos, planejando o seu futuro e tendo muito sucesso. Se chegou 
até aqui, é sinal que você terá ainda muitas outras oportunidades, seja corajoso e aproveite 
todas elas, pense que você está preparado e aceite os desafios que a vida lhe apresentar.
199MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
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