MATEMATICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGOCIOS

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MATEMÁTICA FINANCEIRA E 
PLANOS DE NEGÓCIOS
GRADUAÇÃO
NEGÓCIOS IMOBILIÁRIOS
MARINGÁ-PR
2012
Professor Me. Pedro José Raymundo
ISBN 978-85-8084-350-7
Reitor: Wilson de Matos Silva
Vice-Reitor: Wilson de Matos Silva Filho
Pró-Reitor de Administração: Wilson de Matos Silva Filho
Presidente da Mantenedora: Cláudio Ferdinandi
NEAD - Núcleo de Educação a Distância
Diretoria do NEAD: Willian Victor Kendrick de Matos Silva
Coordenação Pedagógica: Gislene Miotto Catolino Raymundo
Coordenação de Polos: Diego Figueiredo Dias
Coordenação Comercial: Helder Machado
Coordenação de Tecnologia: Fabrício Ricardo Lazilha
Coordenação de Curso: Ariane Maria Machado de Oliveira
Supervisora do Núcleo de Produção de Materiais: Nalva Aparecida da Rosa Moura
Capa e Editoração: Daniel Fuverki Hey, Fernando Henrique Mendes, Luiz Fernando Rokubuiti e Renata Sguissardi
Supervisão de Materiais: Nádila de Almeida Toledo 
Revisão Textual e Normas: Cristiane de Oliveira Alves, Gabriela Fonseca Tofanelo, Janaína Bicudo Kikuchi, Jaquelina 
Kutsunugi e Maria Fernanda Canova Vasconcelos.
Av. Guedner, 1610 - Jd. Aclimação - (44) 3027-6360 - CEP 87050-390 - Maringá - Paraná - www.cesumar.br
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“As imagens utilizadas neste livro foram obtidas a partir dos sites PHOTOS.COM e SHUTTERSTOCK.COM”.
 
 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE MARINGÁ. Núcleo de Educação
 a distância:
C397	 	 Matemática	financeira	e	planos	de	negócios	/	Pedro	José		
	 Raymundo	-	Maringá	-	PR,	2011.
	 	 200	f.
	 	 	 “Graduação	em	Negócios	Imobiliários	-	EaD”.
 
 
	 	 1.	Matemática	financeira.	2.	Juros.	3.	Porcentagem.	4.	EaD.		
 I. Título.
	 ISBN	978-85-8084-350-7	 CDD	-	22	ed.	650.01513	
	 	 	 	 CIP	-	NBR	12899	-	AACR/2
Ficha	catalográfica	elaborada	pela	Biblioteca	Central	-	CESUMAR
MATEMÁTICA FINANCEIRA E 
PLANOS DE NEGÓCIOS
Professor Me. Pedro José Raymundo
5MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
APRESENTAÇÃO
Viver e trabalhar em uma sociedade global é um grande desafio para todos 
os cidadãos. A busca por tecnologia, informação, conhecimento de 
qualidade, novas habilidades para liderança e solução de problemas com 
eficiência tornou-se uma questão de sobrevivência no mundo do trabalho.
Cada um de nós tem uma grande responsabilidade: as escolhas que 
fizermos por nós e pelos nossos fará grande diferença no futuro.
Com essa visão, o Cesumar – Centro Universitário de Maringá – assume o compromisso 
de democratizar o conhecimento por meio de alta tecnologia e contribuir para o futuro dos 
brasileiros.
No cumprimento de sua missão – “promover a educação de qualidade nas diferentes áreas 
do conhecimento, formando profissionais cidadãos que contribuam para o desenvolvimento 
de uma sociedade justa e solidária” –, o Cesumar busca a integração do ensino-pesquisa-
extensão com as demandas institucionais e sociais; a realização de uma prática acadêmica que 
contribua para o desenvolvimento da consciência social e política e, por fim, a democratização 
do conhecimento acadêmico com a articulação e a integração com a sociedade.
Diante disso, o Cesumar almeja ser reconhecido como uma instituição universitária de referên-
cia regional e nacional pela qualidade e compromisso do corpo docente; aquisição de compe-
tências institucionais para o desenvolvimento de linhas de pesquisa; consolidação da extensão 
universitária; qualidade da oferta dos ensinos presencial e a distância; bem-estar e satisfação 
da comunidade interna; qualidade da gestão acadêmica e administrativa; compromisso social 
de inclusão; processos de cooperação e parceria com o mundo do trabalho, como também 
pelo compromisso e relacionamento permanente com os egressos, incentivando a educação 
continuada.
Professor Wilson de Matos Silva
Reitor
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Caro aluno, “ensinar não é transferir conhecimento, mas criar as possibilidades para a sua 
produção ou a sua construção” (FREIRE, 1996, p. 25). Tenho a certeza de que no Núcleo de 
Educação a Distância do Cesumar, você terá à sua disposição todas as condições para se 
fazer um competente profissional e, assim, colaborar efetivamente para o desenvolvimento da 
realidade social em que está inserido.
Todas as atividades de estudo presentes neste material foram desenvolvidas para atender o 
seu processo de formação e contemplam as diretrizes curriculares dos cursos de graduação, 
determinadas pelo Ministério da Educação (MEC). Desta forma, buscando atender essas 
necessidades, dispomos de uma equipe de profissionais multidisciplinares para que, 
independente da distância geográfica que você esteja, possamos interagir e, assim, fazer-se 
presentes no seu processo de ensino-aprendizagem-conhecimento.
Neste sentido, por meio de um modelo pedagógico interativo, possibilitamos que, efetivamente, 
você construa e amplie a sua rede de conhecimentos. Essa interatividade será vivenciada 
especialmente no ambiente virtual de aprendizagem – AVA – no qual disponibilizamos, além do 
material produzido em linguagem dialógica, aulas sobre os conteúdos abordados, atividades de 
estudo, enfim, um mundo de linguagens diferenciadas e ricas de possibilidades efetivas para 
a sua aprendizagem. Assim sendo, todas as atividades de ensino, disponibilizadas para o seu 
processo de formação, têm por intuito possibilitar o desenvolvimento de novas competências 
necessárias para que você se aproprie do conhecimento de forma colaborativa.
Portanto, recomendo que durante a realização de seu curso, você procure interagir com os 
textos, fazer anotações, responder às atividades de autoestudo, participar ativamente dos 
fóruns, ver as indicações de leitura e realizar novas pesquisas sobre os assuntos tratados, 
pois tais atividades lhe possibilitarão organizar o seu processo educativo e, assim, superar os 
desafios na construção de conhecimentos. Para finalizar essa mensagem de boas-vindas, lhe 
estendo o convite para que caminhe conosco na Comunidade do Conhecimento e vivencie 
a oportunidade de constituir-se sujeito do seu processo de aprendizagem e membro de uma 
comunidade mais universal e igualitária.
Um grande abraço e ótimos momentos de construção de aprendizagem!
Professora Gislene Miotto Catolino Raymundo
Coordenadora Pedagógica do NEAD - CESUMAR
7MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
APRESENTAÇÃO
Livro: MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS
Professor Me. Pedro José Raymundo
Caro aluno,
Este livro foi feito especialmente para você que atua ou quer atuar no ramo imobiliário. Seu 
conteúdo é muito utilizado nos negócios dessa área, pois está voltado para os cálculos de 
matemática comercial, finanças e análise de investimentos no ramo imobiliário, além de 
envolver questões sobre empreendedorismo e plano de negócios. Os exercícios modelos, 
envolvendo a área financeira, foram abordados analiticamente com a fórmula matemática e 
com o uso da calculadora financeira hp12c, um instrumento que facilita e agiliza os cálculos, 
contribuindo para a tomada de decisões de forma rápida e segura.
Um de seus pontos relevantes é a simulação da criação de uma empresa imobiliária, por meio 
de um plano de negócios. Dessa forma, seguindo sua metodologia você será capaz de montar 
o seu próprio negócio. 
Nós somos responsáveis por nossas decisões e elas nos abrem novos rumos para a vida. 
Então, aproveite para despertar ou aperfeiçoar o espírito empreendedor que existe em você! 
Essa decisão é sua, está em suas mãos. Bons estudos! 
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SUMÁRIO
UNIDADE I
ECONOMIA BRASILEIRA E CÁLCULOS BÁSICOS
CONJUNTURA ECONÔMICA BRASILEIRA 16
MATEMÁTICA COMERCIAL 20
REGRA DE TRÊS 21
PORCENTAGEM31
UNIDADE II
JUROS E DESCONTOS
JURO SIMPLES 45
FLUXO DE CAIXA 49
DESCONTO SIMPLES 62
JUROS COMPOSTOS 76
DESCONTO COMPOSTO COMERCIAL 92
DESCONTO COMPOSTO RACIONAL 97
UNIDADE III
RENDAS E EMPRÉSTIMOS
RENDAS OU ANUIDADES 113
INFLAÇÃO, DEFLAÇÃO E ÍNDICES DE PREÇO 131
TAXA DE JURO REAL, EFETIVA E NOMINAL. 138
EMPRÉSTIMOS E SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO 148
UNIDADE IV
EMPREENDEDORISMO E VIABILIDADE DE PROJETOS
NOÇÕES DE EMPREENDEDORISMO 161
VIABILIDADE DE PROJETOS 167
A IMPORTÂNCIA DA ANÁLISE ECONÔMICO-FINANCEIRA 169
INDICADORES E MÉTODOS UTILIZADOS NO ESTUDO DA VIABILIDADE ECONÔMICO-
FINANCEIRA 170
UNIDADE V
O PLANO DE NEGÓCIOS
INTRODUÇÃO AO PLANO DE NEGÓCIOS 181
ELABORAÇÃO DE UM PLANO DE NEGÓCIOS 183
PLANO DE NEGÓCIOS PARA A ABERTURA DE UMA IMOBILIÁRIA 187
DEMONSTRAÇÃO DO RESULTADO DO EXERCÍCIO – DRE 191
CÁLCULO DO PONTO DE EQUILÍBRIO (PE) 193
CONCLUSÃO 198
REFERÊNCIAS 199
UNIDADE I
ECONOMIA BRASILEIRA E CÁLCULOS
BÁSICOS
Professor Me. Pedro José Raymundo
Objetivos de Aprendizagem
•	 Entender	a	conjuntura	econômica	e	sua	influência	nos	negócios	do	setor	imobiliário.
•	 Compreender	a	importância	dos	cálculos	financeiros	para	o	mercado	imobiliário.
•	 Verificar	formas	de	utilização	dos	cálculos	básicos	nos	negócios.
•	 Relacionar	exemplos	de	utilização	de	cálculos	nas	operações	de	compra	e	venda	
de imóveis.
•	 Aprender	com	a	utilização	de	exercícios	práticos	envolvendo	regra	de	três	e	porcen-
tagem.
Plano de Estudo
A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade:
•	 Conjuntura	econômica	brasileira
•	 Matemática	comercial
•	 Regra	de	três
•	 Porcentagem
15MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
INTRODUÇÃO
Caro aluno! Certamente você já se deparou com a seguinte questão relativa a investimento no 
mercado imobiliário no Brasil: é vantajoso investir em imóveis diante das diversas oportunidades 
do mercado atual?
A resposta a essa questão não é tão simples e nem muito fácil de ser corretamente respondida, 
mas é o que propomos discutir, embora não tenhamos a intenção de esgotar todas as 
possibilidades de comparação com outros tipos de investimentos. Porém, pretendemos ampliar 
a visão de análise crítica, por meio de alguns cálculos e exemplos de situações práticas, para 
que você possa encontrar as respostas a questões como essa. 
Diante desse desafio, e para que você tenha subsídios para análise, nesta unidade comecemos 
por	 tentar	 entender	 a	 situação	 econômica	 por	 que	 passa	 a	 economia	 brasileira	 e	 depois	
passaremos a estudar alguns cálculos próprios da matemática comercial como regra de três 
e porcentagem. 
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CONJUNTURA ECONÔMICA BRASILEIRA
Entender alguns aspectos sobre a economia é de fundamental importância para analisar 
investimentos,	pois	a	situação	econômica	certamente	influenciará	o	desempenho	e	o	resultado	
dos mesmos. Dessa forma, devemos considerar, por exemplo, fatores como: a valorização 
do real frente ao dólar americano, o desempenho da Bovespa, a carga tributária e as taxas 
de juros que permeiam a economia brasileira e a influência dessas variáveis no mercado 
globalizado.
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A valorização do real frente ao dólar é um processo que, no curto e médio prazo, dificilmente 
será revertido, pois fatores como a liquidez internacional, os juros altos e os extraordinários 
saldos comerciais do Brasil fazem com que haja um impressionante volume de entrada de 
dólares no país. Assim, mesmo com a compra de dólares por parte do governo, para tentar 
frear artificialmente esse processo, o real continua valorizado, penalizando o agronegócio, 
os exportadores e as empresas que concorrem com os produtos importados. Por outro 
lado, o real forte, contribui para diminuir a inflação, para a redução dos custos dos insumos e 
tecnologias importados e para o aumento do seu poder de compra.
A Bovespa, que se popularizou com a expansão voltada para os pequenos investidores, caminha 
com volatilidade, alternando períodos de altas e baixas. Seu crescimento tem possibilitado a 
abertura	de	capital	para	várias	empresas.	Com	a	abertura	do	capital	as	sociedades	anônimas	
passam a ter ações negociadas na bolsa de valores. Esse processo viabiliza a captação de 
recursos no mercado sem custos financeiros. Funciona como se fosse um empréstimo sem 
juro e ainda com prazo indeterminado, porque quem investe passa a ser sócio da empresa e 
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não cobra juros, nem define um prazo para vender as ações compradas. Em contrapartida 
recebe os dividendos. 
Porém, o processo de abertura de capital só é possível para as grandes empresas que têm 
patrimônio	sólido	e	tradição.	Também	é	importante	considerar	que	investimentos	em	ações	é	
um negócio de risco, pois depende do mercado local e da economia global que exerce forte 
influência nas bolsas do mundo todo. 
Nesse sentido, a Bovespa vem mostrando seu potencial frente às crises que assolam a 
economia mundial, revelando sua capacidade de recuperação após as grandes quedas, como 
aconteceu	no	período	que	sucedeu	a	crise	econômica	mundial	em	2008	e	2009.
Consulte o site <www.fundamentus.com.br> e acesse as principais informações sobre qualquer em-
presa que negocia ações na Bovespa.
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Outro fator que merece destaque na economia brasileira é a elevada carga tributária que 
representa uma ameaça para as empresas que ainda não se adaptaram ao mercado 
competitivo. No Brasil, ela alcança cerca de 36% do PIB, o que faz com que seja uma das 
maiores do mundo, abaixo apenas de poucos países desenvolvidos, como França (46%), 
Itália (42%) e Alemanha (40%). E o governo pouco consegue fazer para amenizar essa crítica 
realidade, pois se ele a reduzir, terá que cortar gastos, diminuindo investimentos públicos 
em diversas áreas, inclusive nas sociais, para manter o superávit primário em suas contas e 
manter os acordados com as autoridades monetárias internacionais.
Ainda, outra questão a ser discutida são as altas taxas de juros no Brasil que prejudicam o 
crescimento	econômico	e	geram	descontentamento	no	mercado.	Com	elas	os	 investidores	
ficam desestimulados a investir na produção frente às possibilidades atraentes de ganhos 
financeiros. A Taxa Básica Financeira no Brasil é uma das maiores do mundo. Segundo Fallet 
(2011, p. 01), a taxa de juros brasileira está no “topo do ranking mundial, bem à frente de 
Rússia, Egito (ambos com 8,25%), Índia (8%), China (6,56%) e Turquia (5,75%). Em economias 
desenvolvidas, como EUA, Japão e Grã Bretanha, a taxa está próxima de zero”.
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20 MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Essa é a visão que um empreendedor deve ter do mercado na hora de elaborar um plano de 
negócios que possa servir para análises diversas como a de um investimento imobiliário ou a 
utilizada para a criação de uma empresa em qualquer ramo de atividade.
MATEMÁTICA COMERCIAL
Quantas vezes já me deparei com situações que envolvem cálculos básicos e necessários e me vi 
embaraçado?
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21MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Todo empresário, negociador ou comerciante precisa ter alguns conhecimentos básicos 
de matemáticacomercial que serão usados em seu dia a dia. Ela envolve cálculos simples 
estudados desde o ensino básico, mas que muitas vezes podem gerar certos tipos de dúvidas 
quando aplicados em situações reais. Vamos relembrar alguns deles como a regra de três, 
porcentagem e médias aritméticas. Posteriormente, estudaremos os cálculos financeiros mais 
aprofundados, aplicados ao mercado imobiliário. 
REGRA DE TRÊS
Se você “adora” cálculos matemáticos, vai se dar muito bem com este livro, daqui pra frente. Se você 
não “adora”, mas acompanhar passo a passo as explicações e resolução dos exercícios, vai passar 
a “adorar” também.
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22 MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Regra de três é a operação matemática que permite descobrir o valor de um termo desconhecido 
numa proporção. Ela pode ser simples (com 2 razões) ou composta (com 3 ou mais razões) e, 
ainda, diretamente ou inversamente proporcional (análise das grandezas ). 
•	 REGRA DE TRÊS SIMPLES
A regra de três é simples quando compara valores de apenas duas grandezas. Essas podem 
ser classificadas como direta ou inversamente proporcionais conforme segue.
a) Diretamente proporcional 
Grandezas são diretamente proporcionais quando elas têm relação direta, assim quando 
uma aumenta a outra também aumenta e vice-versa. Um exemplo pode ser “quantidade 
de máquinas” e “quantidade produzida” de determinado produto. Quando a quantidade de 
máquinas é aumentada, a quantidade produzida também aumenta, por esse motivo essas 
duas grandezas são diretamente proporcionais entre si. 
Acompanhe atentamente a resolução do seguinte exercício 
1. Na construção de um edifício, cinco betoneiras produzem 550 metros de laje por mês. 
Quantas betoneiras seriam necessárias para produzir 1.650 metros de laje por mês? 
Nesse caso a relação é direta, precisamos mais betoneiras para produzir mais lajes por mês. 
23MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
X 1.650
5 550
Betoneiras Metros de lajes
Podemos ler essa relação dessa forma: X betoneiras está para 1.650 metros de laje, assim 
como cinco betoneiras está para 550 metros de laje. 
Sua resolução é o cálculo do valor de X, considerando a igualdade entre as razões proporcionais 
e fazendo o que se chama de multiplicação cruzada, na qual o numerador é formado pela 
multiplicação entre o número que estiver na coluna do X (5) e o que estiver na linha do X 
(1.650). O divisor é o outro número, conforme segue:
X = 1.650
5 550
X = 5 × 1.650
 550
X = 15
Resposta: seriam necessárias 15 betoneiras. 
b) Inversamente proporcional 
Grandezas são inversamente proporcionais quando elas têm relação inversa, assim quando 
uma aumenta a outra diminui e vice-versa. Um exemplo pode ser “quantidade de operários” 
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e “quantidade de tempo” para se realizar alguma tarefa. Quando a quantidade de operários é 
aumentada, a quantidade de tempo é reduzida. 
Acompanhe atentamente a resolução do seguinte exercício
Verifique a resolução dos seguintes exercícios 
1. Uma construtora que emprega 24 operários consegue levantar um prédio em 48 meses. 
Quantos operários ela precisaria para levantar o mesmo prédio em 36 meses? 
Operários Meses
 X 36
 24 48
Nesse caso, a relação é inversa, pois quanto mais operários ela tiver, menos tempo vai levar 
para fazer a construção, assim não é possível resolver a regra de três simplesmente igualando 
as razões da forma como foram apresentadas anteriormente. É necessário considerar que 
essas grandezas são inversamente proporcionais e por isso uma delas deve ser invertida 
como a seguir (meses): 
Operários Meses
 X 48
 24 36
25MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Agora sim, sua resolução é feita, normalmente, calculando o valor de X, considerando a 
igualdade entre as razões:
X = 48
24 36
X = 24 x 48
 36
X 32
Resposta: precisaria de 32 operários. 
2. Com velocidade de 256 km/h um avião vai de uma cidade para outra em 6 horas. Um outro, 
pretende percorrer essa mesma distância em 4 horas. Qual deverá ser a velocidade desse 
avião? 
Velocidade (Km/h) Tempo em horas
 X 4
 256 6
Como são inversamente proporcionais é necessário inverter uma grandeza:
Velocidade (Km/h) Tempo em horas
 X 6
 256 4
26 MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
 X = 6
256 4
 X = 256 x 6
 4
 X = 384
Resposta: a velocidade será de 384 Km/h.
•	 REGRA DE TRÊS COMPOSTA
A regra de três é composta quando existirem três ou mais grandezas envolvidas na situação. 
As mesmas podem ser direta ou inversamente proporcionais.
Para aprender esse assunto observe cuidadosamente os exercícios resolvidos a seguir:
1. Uma empresa demorou 90 dias para construir uma casa de 200 m2 com 10 operários. 
Quantos dias demoraria essa construtora para fazer uma casa de 300 m2 utilizando 30 
operários? 
Perceba que nesse caso a relação se dá entre três grandezas, o tamanho da casa em metros 
quadrados, a quantidade de operários e o tempo, medido em dias. Como a questão envolve 
o cálculo do número de dias, essa será a grandeza que servirá de base para analisarmos as 
outras duas e verificarmos se elas são diretamente ou inversamente proporcionais. 
27MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
2 
 Dias M Número de Operários
 X 300 30
 90 200 10
Como explicado anteriormente, a relação das grandezas sempre será feita com base na 
incógnita, no caso “Dias”. Assim, a grandeza metros quadrados “m2” em relação a “Dias” é 
diretamente proporcional, pois para se fazer mais “m2”, mais “Dias” são necessários e vice-
versa. Por outro lado, a grandeza “Número de Operários” em relação a “Dias” é inversamente 
proporcional, pois com mais operários se leva menos dias para a construção ou a realização 
de uma tarefa qualquer.
Então, vamos inverter apenas a grandeza “Número de Operários”, pois somente ela é 
inversamente proporcional a “Dias” que é a grandeza que serve de base de comparação para 
a análise. 
2 
 Dias M Número de Operários
 X 300 10
 90 200 30
Agora, da mesma forma que é feito o cálculo com a regra de três simples, é só fazer a 
multiplicação cruzada na qual o numerador é formado pela multiplicação entre o número que 
estiver na coluna do X (no caso, 90) e os que estiverem na linha do X (300 e 10). O divisor é 
formado pela multiplicação dos outros (no caso, 200 e 30) conforme segue:
X = 90 x 300 x 10 (número da coluna vezes os números da linha de X) 
 200 x 30 (multiplicação entre os que não estão na coluna nem na linha de X) 
X = 45
Resposta: Demoraria 45 dias. 
28 MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
OBSERVE ATENTAMENTE COMO SE FAZ A MULTIPLICAÇÃO CRUZADA EXPLICADA ACIMA, ELA 
FACILITA MUITO EM CÁLCULOS ASSIM.
2. Uma empresa escalou 9 operários que,em 8 dias de 7 horas de trabalho, abriram uma vala 
de 9 metros de comprimento, 5 metros de profundidade e 4,5 metros de largura. Quantos dias 
essa empresa teria que dispor se fossem 8 operários, que são duas vezes mais ativos que os 
primeiros, para abrir outra vala de 6 metros de comprimento em terreno cuja dificuldade seja 
o triplo da do primeiro?
Dias Operários Grau de Atividade Comprimento Grau de Dificuldade
 X 8 2 6 3
 8 9 1 9 1
Observação: como na pergunta não se fala em largura nem em profundidade, vamos considerar 
que sejam as mesmas, pois se fossem diferentes deveriam ter sido informadas no enunciado 
da questão.
Primeiro passo: identificar quais grandezas são inversamente proporcionais a “Dias”.
Operários: é inversamente proporcional, pois quanto mais operários menos dias.
Grau de atividade: é inversamente proporcional, pois quanto mais ativos, menos dias se 
leva para realizar o trabalho.
Comprimento: é diretamente proporcional, pois quanto mais comprido, mais dias são 
necessários.
29MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Grau de dificuldade: é diretamente proporcional, pois quanto mais difícil mais dias são 
necessários.
Segundo passo: vamos inverter as grandezas inversamente proporcionais.
Dias Operários Grau de Atividade Comprimento Grau de Dificuldade
 X 9 1 6 3
 8 8 2 9 1
Terceiro passo: fazer a multiplicação cruzada.
X = 8 x 9 x 1 x 6 x 3 
 8 x 2 x 9 x 1 
X = 9 
Resposta: seriam necessários 9 dias.
Acesse <http://www.tse.gov.br/hotSites/biblioteca/corujita/arquivos/O_homem_que_calculava.pdf> e 
tenha gratuitamente o interessantíssimo livro “O homem que calculava” de Malba Tahan.
30 MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Acompanhe atentamente a resolução dos exercícios seguintes.
Exercícios propostos
1. Uma construtora faz 50 lajes com 250 toneladas de concreto. Quantas toneladas de con-
creto ela precisaria para fazer 200 lajes? (Resposta: 1.000)
2. O tempo chuvoso faz atrasar a construção de uma obra. Para cada uma hora de chuva, a 
obra atrasa 15 minutos. Calcule quantos dias atrasaria essa obra considerando a ocorrên-
cia de 7.200 horas de chuva durante sua execução. (Resposta: 75 dias) 
3. Para pintar uma casa, 12 pessoas levam 10 dias de 8 horas de trabalho. Quantos dias de 
5 horas de trabalho 16 pessoas gastariam para pintar a mesma casa? (Resposta: 12 dias)
4. A caçamba de um caminhão que leva concreto para as construções tem duas válvulas, 
uma para abastecê-la de concreto e outra para esvaziá-la na construção. O tempo para 
abastecê-la é de 8 minutos e para esvaziá-la é de 10 minutos. Se a caçamba estivesse 
vazia e fosse possível abastecê-la e esvaziá-la ao mesmo tempo, em quantos minutos ela 
estaria cheia? (Resposta: 40)
5. Um depósito de material de construção encomendou 24 caminhões com 5m3 de areia cada 
um. Porém, aceitou que o transporte fosse realizado com caminhões de 6m3. Nesse caso, 
quantos caminhões são necessários para realizar o transporte? (Resposta: 20)
6. Um engenheiro demora 10 dias para executar um projeto elétrico em uma construção. Com 
a	ajuda	de	outro	trabalhador,	esse	serviço	fi	ca	pronto	em	8	dias.	Caso	esse	outro	trabalha-
dor	fi	zesse	essa	atividade	sozinho,	quantos	dias	ele	demoraria?	(Resposta:	40)
7. Por um registro passam 1.350 litros de água por hora que enchem um reservatório em 13 
horas. Determine em quanto tempo outro registro, que permite passar apenas 25 litros por 
minuto, encheria o mesmo reservatório. (Resposta: 11,7 horas)
31MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
PORCENTAGEM
Dá-se o nome de percentagem ou porcentagem à parte calculada sobre uma quantidade de 
100 unidades, ou seja, é uma parte de 100, ou 0,01 (1÷100).
Toda razão a/b, na qual b = 100, é uma porcentagem e o símbolo que a representa é % .
Existem vários meios para se resolver um problema que necessite do uso de porcentagem 
como, por exemplo, regra de três simples e o cálculo direto por calculadoras. 
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32 MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Atente para os seguintes exercícios resolvidos:
•	 Sobre porcentagem de um número ( % )
1 ) Um corretor ganha 5% de comissão na negociação de um imóvel que é vendido por R$ 
200.000,00. Calcule o valor dessa comissão.
5% de 200.000,00
5 ÷ 100 x 200.000,00
0,05 x 200.000,00
R$ 10.000,00
2) Se a comissão do corretor fosse 4% e o valor da venda do imóvel fosse R$ 1.200.000,00, 
qual seria o valor da comissão?
4% de 1.200.000,00
4 ÷ 100 x 1.200.000,00
0,04 x 1.200.000,00
R$ 48.000,00
3) Considere que você tenha recebido R$ 30.000,00 de comissão pela venda de um 
apartamento. Se sua comissão é de 6% sobre o valor da venda, calcule esse valor de venda.
33MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Esse problema pode ser resolvido por meio de uma regra de três, em que se lê:
6 está para 100, assim como 30 mil está para X
 6 30.000
100 X
 X = 500.000,00
Assim, o valor da venda é R$ 500.000,00 e 6% desse valor é R$ 30.000,00. 
500.000,00 x 0,06 = 30.000,00.
Então, você poderia, simplesmente, dividir 30.000,00 por 0,06 e chegaria à resposta de R$ 
500.000,00. 
4) Se você recebeu R$ 15.000,00 de comissão pela negociação de um imóvel, e sua comissão 
era de 5% sobre o valor da venda, calcule por quanto ele foi vendido.
15.000,00 ÷ 0,05 = 300.000,00
O imóvel foi vendido por R$ 300.000,00.
5) Um terreno que estava sendo vendido por R$ 200.000,00 teve seu preço aumentado em 
8%. Qual o novo preço de venda? 
200.000,00 x 0,08 = 16.000,00
O seu novo preço de venda é R$ 216.000,00 (200.000,00 + 16.000,00)
34 MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
6) Uma área comercial está sendo alugada por R$ 6.000,00 e, para pagamento antecipado, 
o proprietário concede um desconto de 5% sobre o valor do aluguel. Qual o valor do aluguel 
antecipado? 
6.000,00 x 0,05 = 300,00 
O valor do aluguel antecipado é de R$ 5.700,00 (6.000,00 – 300,00)
7) Após ter sofrido um reajuste de 10%, um apartamento está sendo vendido por R$ 100.000,00. 
Qual era o seu preço de venda antes do reajuste? 
Resolução: R$ 100.000,00 já é o preço com os 10% de acréscimo, então esse valor de R$ 
100.000,00 está para 110%. O valor anterior (X) está para 100%
100.000,00 = X 
 110 100 
X = R$ 90.909,09
.
Acompanhe atentamente a resolução do seguinte exercício:
•	 Observe	estes	exercícios	sobre	variação	percentual	(Δ%)
1. Houve um reajuste no preço de certo imóvel que passou de R$ 580.000,00 para R$ 
720.000,00 após dois anos. Qual a taxa de aumento?
35MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Nesse caso, a base para o cálculo é o valor inicial: 580.000,00, assim, ele é considerado como 
sendo 100%. Dessa forma, a questão pode ser resolvida de várias formas.
a. Regra de três: 
580.000,00 = 720.000,00 
 100 X
X = 124,14%
.
Aumentou de 100 para 124,14, então o acréscimo foi de 24,14%.
b. De forma direta:
Dividir o segundo valor pelo primeiro, subtrair 1 e multiplicar por 100:
[(720.000,00 ÷ 580.0000,00) -1] × 100 = 24,14%
Observe que nesse caso é necessário subtrair 1 e multiplicar por 100.
c. Dividindo o valor do acréscimo pela base de cálculo:
(140.000,00 ÷ 580.0000,00) × 100 = 24,14%
Aqui,é necessário apenas multiplicar o resultado por 100.
2. Considere que você tenha comprado um imóvel por R$ 200.000,00 e vendido por R$ 
190.000,00. Qual a taxa de perda?
A perda foi de R$10.000,00 e a base de cálculo é R$ 200.000,00
(10.000,00 ÷ 200.000,00) × 100 = 5%
36 MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Resposta: a perda foi de 5% sobre o valor da compra R$ 200.000,00 que é a base para o 
cálculo.
Acompanhe atentamente a resolução do seguinte exercício:
•	 Agora sobre percentual de um número em relação a outro (%T) 
1. Uma imobiliária vendeu 20 dos 80 apartamentos de um prédio em construção. Quantos 
porcento dos apartamentos foram vendidos? 
(20 ÷ 80) × 100 = 25%
Respostas: 25% dos apartamentos do prédio foram vendidos, faltam ser vendidos 75%.
2. Um apartamento de 220m2 possui as seguintes dependências: 
- 3 suítes com 40m2 cada; 
- 1 sala com 50m2;
- 1 cozinha com 25m2;
- 1 banheiro com 10m2;
- 1 área de serviços com 15m2; 
Qual o percentual de cada dependência em relação ao tamanho do apartamento? 
37MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
- 3 suítes com 40m2 cada: 18,18% cada suíte, 54,54% as três. 
- 1 sala com 50m2 : 22,73%
- 1 cozinha com 25m2 : 11,36%
- 1 banheiro com 10m2 : 4,5%
- 1 área de serviços com 15m2 : 6,8% 
Acréscimos/Abatimentos sucessivos
Acréscimos e abatimentos são operações realizadas com muita frequência nos negócios. 
Quando eles são sucessivos, os valores dos acréscimos ou dos abatimentos são calculados 
sempre com base no valor imediatamente anterior e não no valor inicial de uma série. Isso nos 
remete à ideia de juro composto ou desconto composto, que veremos mais à frente. 
Acompanhe os exercícios resolvidos sobre acréscimos:
1. O preço de um terreno sofreu três reajustes consecutivos de 5%, 10% e 15%. Qual é o seu 
preço atual se ele custava inicialmente R$ 100.000,00?
100.000,00 + 5% = 105.000,00 
105.000,00 + 10% = 115.500,00 
115.500,00 + 15% = 132.825,00 
Ou podemos fazer um índice para cada reajuste e multiplicar um pelo outro para encontrar o 
índice de reajuste para todo o período da seguinte forma:
38 MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
5% = 5 ÷ 100 = 0,05 :.. 0,05 + 1 = 1,05
Assim, o índice para reajustar qualquer valor em 5% é 1,05.
10% = 10 ÷ 100 = 0,10 :.. 0,10 + 1 = 1,10
15% = 15 ÷ 100 = 0,15 :.. 0,15 + 1 = 1,15
Depois, multiplicamos um pelo outro:
1,05 x 1,10 x 1,15 = 1,32825.
Agora subtraímos 1 e multiplicamos por 100:
(1,32825 -1) x 100 = 32,825% 
Assim, o reajuste em todo o período foi de 32,825%.
Com aquele índice do período todo (1,32825), chegamos ao resultado multiplicando-o pelo 
valor inicial de R$ 100.000,00 resultando em R$ 132.825,00. 
Seria diferente e errado somar os percentuais de ajuste (5 + 10 + 15) 30% e aplicá-lo ao valor 
inicial que resultaria em R$ 130.000,00 quando o valor correto R$ 132.825,00, pois o reajuste 
do período todo é 32,825%, como explicado anteriormente. Isso se deve ao fato de que os 
reajustes são aplicados sobre os valores imediatamente anteriores após cada um deles ter 
sofrido seus respectivos reajustes.
2. Após ter sofrido três reajustes sucessivos de 10%, 14% e 16% o valor do CUB (Custos 
Unitários Básicos de Construção) de alto padrão por metro quadrado é de R$ 1.366,00. Calcule 
o valor anterior a esses reajustes.
39MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Observação: um erro muito comum na resolução de problemas como esse é a aplicação dos 
porcentuais sobre o valor atual (R$ 1.366,00). O erro se dá porque aqueles percentuais devem 
ser aplicados sobre os valores anteriores aos reajustes, que não sabemos quais são. Por isso 
não é correto fazer o cálculo com a utilização direta do valor atual.
A sugestão indicada seria a elaboração do índice de reajuste para o período todo e depois 
resolver com uma regra de três da seguinte forma:
1,10 x 1,14 x 1,16 = 1,45464. Esse é o índice que representa 45,464% de reajuste: 1,45464 – 1 
= 0,45464 ou 45,464%.
Assim, é correto pensarmos que o valor de R$ 1.366,00 já está com o reajuste de 45,464% 
e, dessa forma, ele é 145,464% do valor inicial. Então, calcularemos quanto era o valor inicial 
ou os 100%.
1.366,00 = 145,464 
 X 100
X = 1.366,00 = 939,06 
 1,45464
.
.
Ou seja, simplificando:
Depois de termos calculado o índice do período 1,45464, basta dividir o valor final (R$ 1.366,00) 
por ele. 
Para conferir o cálculo, basta reajustar o valor encontrado (R$ 939,06) em 10%, depois em 
mais 14% e na sequência em mais 16%, sucessivamente, o que é o mesmo que multiplicá-lo 
por 1,45464. O resultado será R$ 1.366,00.
40 MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Verifique os exercícios resolvidos sobre abatimentos.
1. Um apartamento foi anunciado para ser alugado por R$ 2.000,00. Após um tempo, não 
havendo procura, esse valor foi reduzido em 10%. Passado mais alguns meses, esse novo 
valor foi reduzido em mais 8%. Calcule o valor pelo qual ele está sendo alugado hoje. 
Vamos mostrar duas formas de se resolver para que você possa aplicar em casos mais 
trabalhosos. 
a. 2.000,00 – 200,00 (10% de 2.000,00) = 1.800,00
 1.800,00 – 144,00 (8% de 1.800,00) = 1.656,00
b. Faremos um índice: 
Como se trata de abatimento, o índice será 1 (100%) menos a taxa unitária. 
10% = 10 ÷ 100 = 0,10 (Taxa unitária que representa 10%) 
1 – 0,10 = 0,90 (esse é o índice para se reduzir em 10%)
1 – 0,08 = 0,92 (esse é o índice para se reduzir em 8%)
Multiplicamos os dois (0,90 × 0,92 = 0,828) e encontramos o índice para multiplicar pelo valor 
inicial (0,828 × 2.000,00), resultando em R$ 1.656,00.
41MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
2. Um terreno foi vendido pelo valor final de R$ 180.000,00. Para se chegar a esse valor foram 
concedidos descontos sucessivos de 8%, 10% e 5%. Qual era o preço inicial desse imóvel?
Primeiramente, faremos o índice:
1 – 0,08 = 0,92
1 – 0,10 = 0,90
1 – 0,05 = 0,95
0,92 x 0,90 x 0,95 = 0,7866
Depois resolvemos por meio de uma regra de três na qual o valor final (180.000,00) está para 
esse índice 0,7866 (78,66%), assim como o valor inicial (X) que queremos encontrar está para 
1 (100%): 
180.000,00 = 0,7866 
 X 1
X = 228.832,95
.
O valor inicial sobre o qual foram dados os descontos era de R$ 228.832,95. Assim, se 
multiplicarmos esse valor (228.832,95) por aquele índice (0,7866), teremos como resultado o 
valor final de R$ 180.000,00. 
CONSIDERAÇÕES FINAIS 
Por aqui terminamos esta unidade na qual você pode perceber a importância dos cálculos 
básicos	e	financeiros	para	o	setor,	bem	como	a	visão	macroeconômica	do	cenário	atual	em	
que você está inserido. Além disso, você estudou os cálculos envolvendo regra de três e 
porcentagem, que, embora sejam básicos, são muito utilizados nos negócios e por vezes são 
causas de embaraços para os menos preparados. 
42 MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Consulte o site: <www.somatematica.com.br> e aprenda muitas curiosidade sobre matemática.
ATIVIDADE DE AUTOESTUDO
1. Um reservatório de areia para construção estava cheio. Após alguns dias, percebemos que 
ele tinha diminuído 30%, e restaram ainda 14 mil quilos. Qual era a sua quantidade inicial? 
(Resposta: 20 mil kg)
2. Um operário recebeu este mês um aumento de 15% e passou a ganhar R$ 1.265,00. Quan-
to recebia anteriormente? (Resposta: 1.100,00)
3. Para se fazer uma determinada argamassa, são utilizadas 1 porção de cimento e 4 porções 
de areia. Sabendo-se que essas porções são iguais determine a porcentagem de cada 
produto. (Resposta: 20% e 80%)
UNIDADE II
JUROSE DESCONTOS
Professor Me. Pedro José Raymundo
Objetivos de Aprendizagem
•	 Entender	a	diferença	entre	os	sistemas	de	capitalização	simples	e	composto.
•	 Aprender	a	utilizar	os	cálculos	financeiros	voltados	ao	mercado	imobiliário.
•	 Verificar	formas	de	utilização	dos	cálculos	financeiros	nos	negócios.
•	 Analisar	negócios	por	meio	dos	cálculos	de	juros	e	descontos.
•	 Desenvolver	conhecimentos	com	a	utilização	de	exercícios	práticos	envolvendo	os	
sistemas de capitalização. 
Plano de Estudo
A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade:
•	 Juro	simples
•	 Desconto	simples
•	 Juro	composto
•	 Desconto	composto
45MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
INTRODUÇÃO
Nesta unidade, buscamos aprofundar um pouco mais os cálculos financeiros por meio do 
estudo dos juros simples e composto, assim como dos descontos simples e composto. Em 
relação aos juros, iremos estudar como calcular taxas, montante e períodos de aplicação de 
capital. Sobre os descontos, veremos os cálculos do desconto “por dentro” e “por fora”, prazos 
médios e equivalência entre taxas de juro e de desconto.
JURO SIMPLES
Juro é a remuneração do capital (dinheiro). Para quem investe é o retorno do investimento. Para 
quem toma emprestado é o custo pelo empréstimo. Assim como o aluguel é uma remuneração 
pelo imóvel alugado e o lucro, o retorno por algum empreendimento, o juro é a recompensa do 
capital deixado à disposição de outra pessoa. 
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46 MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
•	 Diferença entre juro e taxa de juro
O juro, entendido como uma remuneração do capital, é sempre expresso em valor numa 
determinada moeda [Exemplo: R$ 10,00 (dez reais); US$ 20,00 (vinte dólares) etc].
A taxa de juro (normalmente representada pela letra “i”) é um índice que, aplicado sobre o 
capital, determina sua remuneração em um determinado período de tempo (dias, meses, 
anos). O número de períodos (tempo) é representado pela letra “n”.
A taxa pode ser representa de forma:
•	 percentual:	10%	ao	mês,	25%	ao	ano,	0,5%	ao	dia;
•	 unitária:	0,10	ao	mês;	0,25	ao	ano;	0,005	ao	dia.
A forma unitária nada mais é do que a forma percentual dividida por cem. Assim, 10% é igual 
a 10 ÷ 100, ou 0,10. 
Observação: para simplificar as fórmulas matemáticas sempre será usada a forma unitária, 
assim, quando a taxa, por exemplo, for 5%, o “i” na fórmula será substituído por 0,05 (5÷100). 
Porém, quando utilizarmos a calculadora Hp12C a informação deverá ser em percentual. 
Assim, se taxa for 5%, na tecla “i” da calculadora deverá ser informado o número 5.
Acompanhe atentamente a resolução do seguinte exercício:
47MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
•	 Cálculo	do	juro	simples
No sistema de juro simples, não há cálculo de juros sobre juros, ou seja, ele não incide sobre 
os juros dos períodos anteriores. Não há capitalização dos juros, como acontece no regime 
de juro composto.
Fórmula	para	o	cálculo	do	juro simples: 
j = C i n
Na	qual:	j	=	juro;	
	 	 C	=	capital;	
	 	 i	=	taxa;	
	 	 n	=	número	de	períodos(dia,	mês,	ano	etc).
A Tabela 1 a seguir mostra o cálculo de juro simples, considerando taxa de 10% ao período 
que pode ser dia, mês, ano etc. 
Tabela	1:	Cálculo	de	juro	simples	com	taxa	de	10%	ao	período.
N C J Juros 
Acumulados
Montante (M)
0 100,00 - - 100,00
1 100,00 10,00 10,00 110,00
2 100,00 10,00 20,00 120,00
3 100,00 10,00 30,00 130,00
Fonte: o autor
48 MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Para o cálculo dos juros no final do terceiro período (R$ 30,00):
J = C i n 
J	=	100,00	.	0,10	.	3	
J	=	30,00
•	 Com a hp 12c
Vários	cálculos	a	partir	desse	ponto	serão	feitos	também	com	a	calculadora	financeira	
HP12C.	Colocamos	uma	imagem	dessa	calculadora	para	você	que	ainda	não	a	conhece.	
Vale a pena investir um pouco de seu tempo para aprender a utilizar essa ferramenta 
que	facilita	muito	os	cálculos	do	dia	a	dia	de	forma	rápida	e	segura.	Nos	cálculos	de	
juros	simples,	ela	não	é	muito	utilizada	pela	facilidade	em	realizá-lo,	porém	nos	juros	
compostos,	que	veremos	mais	adiante,	ela	é	muito	recomendada.
Se	você	quiser	utilizar	mesmo	sem	ter	a	calculadora	hp12c,	baixe	pela	internet	o	seu	emulador	
e	faça	tudo	como	se	estivesse	com	ele	em	mãos.	É	muito	fácil,	é	só	pesquisar	por	“emulador	
hp12c”. 
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49MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Para	efetuar	o	cálculo	do	exercício	anterior,	usamos	as	seguintes	teclas	após	digitar		f		
CLx para zerar todas as suas memórias:
100 chs PV 120 i 90 n f int R x<>y 
Observação: para juro simples na HP 12c, a taxa informada deve ser sempre a taxa anual e o 
período sempre o número de dias.
Portanto: 10% ao mês = 120% ao ano e 3 meses = 90 dias. 
Acompanhe atentamente a resolução do seguinte exercício:
•	 Cálculo	do	Montante	
O Montante (M) é a soma do Capital (C) e do Juro (j).
M = C + j ou M = C [ 1 + ( i . n )]
Assim, para calcularmos o Montante de R$ 130,00 ao final do terceiro período temos:
M	=	100,00	[1	+	(0,10	.3)]	
M	=	100,00[1	+	(0,30)]	
M	=	100,00(	1,30	)	M	=	130,00	(R$)
FLUXO DE CAIXA
 130 Montante 
 
0 1 2 3 n(períodos) 
100 10 10 10 
Capital Juros Juros Juros 
50 MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Acompanhe atentamente a resolução do seguinte exercício:
•	 Cálculo	do	capital
Para o cálculo do capital (C), pode ser usada a mesma fórmula do montante: 
M = C [ 1 + ( i . n )]
Ou a fórmula transformada:
 
).(1 ni
M
C
+
=
Exemplo: 
Que capital deve ser aplicado para gerar um montante de R$ 130,00 em três meses com taxa 
de juro de 10% ao mês?
 
)3.10,0(1
00,130
+
=C
 = 100,00C 
 
30,1
00,130
=C
51MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Acompanhe atentamente a resolução do seguinte exercício:
•	 Cálculo	da	taxa
Para o cálculo da taxa (i), pode ser usada a mesma fórmula do montante: 
M = C [ 1 + ( i . n )] 
Exemplo: 
Que taxa deve ser aplicada sobre o capital de R$ 100,00 para gerar um montante de R$ 
130,00 em três meses?
Substituindo na fórmula do montante temos:
 M = C [ 1 + ( i . n )]
130 = 100 [ 1 + ( i . 3 )] 
130 = [100 + ( i . 300 )]
130 – 100 = i . 300
 
i=
300
30
i = 0,10 ou 10% ao mês (ao mês porque o período está expresso em meses)
52 MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Ou com a fórmula:
 
cn
j
i
.
=
 
00,100.3
00,30
=i
i = 0,10 ou 10% ao mês 
Acompanhe atentamente a resolução do seguinte exercício:
•	 Cálculo	do	período	
Para o cálculo do período (n), também pode ser usada a mesma fórmula do montante: 
M = C [ 1 + ( i . n )]
Exemplo: 
Durante quanto tempo deve ficar aplicado o capital de R$ 100,00	para	gerar	um	montante	
de	R$	130,00	com	taxa	de	juros	de	10%	ao	mês?
130 = 100 [ 1 + ( 0,10 . n )] 
130 = 100 [ 1 + 0,10n] 
130 = 100 + 10 . n
130 – 100 = 10n
 30 = 10n
 30 = n
 10
 n = 3 (três meses, pois a taxa é ao mês)
53MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Ou pela Fórmula:
 
ci
j
n
.
=
 
00,100.10,0
00,30
=n
n = 3 meses 
Acompanhe atentamente a resolução dos seguintes exercícios:
•	 Exercícios resolvidos
1. Calcule o juro simples gerado por um capital de R$ 2.500,00, quando aplicado durante8 
meses a uma taxa de 3,5% ao mês.
C = 2.500,00;
n = 8;
i = 0,035;
j = ? 
Cálculo com a Fórmula:
j = c i n
j = 2.500,00 x 0,053 x 8 
j = 700,00
54 MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Com a Hp12c
2500 chs PV 240 n 42i f int 700
2. Uma aplicação de R$ 40.000,00, rendeu, em 3 meses, R$4.800,00 de juros. Qual foi a taxa 
mensal de juros?
C = 40.000,00;
n = 3;
j = 4.800,00;
i = ?
 
04 ou 4%,0..:
00,000.120
00,800.4
..:
3.00,000.40
00,800.4
..: ==== iii
cn
j
i
3. Uma aplicação financeira feita durante 2 meses a uma taxa de 3% ao mês rendeu R$1.920,00 
de juro. Qual foi a quantia aplicada?
j = 1.920,00; 
i = 0,03; 
n = 2; 
c = ?
 
00,000.32..:
2.03,0
00,920.1
..: === cc
in
j
c
55MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
4. Certo capital foi aplicado, por 3 meses, à taxa de juros simples de 7% ao mês. Decorridos 
os 3 meses, o mesmo capital foi aplicado, por mais 2 meses, à taxa de 48% ao ano. A soma 
dos juros obtidos nas duas transações foi de R$ 362.500,00. Qual foi a aplicação?
j1 + j2 = 362.500,00
c1i1n1 + c2i2n2 = 362.500,00
c.0,07.3 + c.0,04.2 = 362 500,00
0,29 c = 362 500,00
c = 1.250.000,00
Acompanhe atentamente a resolução do seguinte exercício:
•	 Períodos e taxas de juro
Relação de siglas com os respectivos significados:
i = taxa;
n = período;
ad = ao dia;
am = ao mês; 
ab = ao bimestre;
at = ao trimestre; 
aq = ao quadrimestre;
as = ao semestre;
aa = ao ano.
A taxa i e o número de períodos n, necessariamente, devem estar expressos na mesma 
56 MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
unidade de medida de tempo. Por exemplo, quando a taxa for ao mês, o período deve ser 
medido em meses. Quando a taxa for ao ano, o período deve ser medido em anos e assim 
por diante.
O período comercial considera o mês sempre com 30 dias e o ano com 360 dias (12 meses 
de 30 dias). 
Acompanhe atentamente a resolução do seguinte exercício:
•	 Taxas Proporcionais 
Para a conversão das taxas i proporcionais a diferentes períodos:
•	 de i ad para i am: multiplica-se a taxa ao dia por 30 (um mês tem 30 dias)
 1% ad = 30 % am (1% × 30 dias).
•	 de i ad para i aa: multiplica-se a taxa ao dia por 360 (um ano tem 360 dias)
 1% ad = 360 % aa (1% × 360 dias).
•	 de i am para i ad: divide-se a taxa ao mês por 30 (um mês tem 30 dias)
 30% am = 1 % ad (30% ÷ 30 dias).
•	 de i am para i aa: multiplica-se a taxa ao mês por 12 (um ano = 12 meses)
 1% am = 12 % aa (1% × 12 meses).
•	 de i aa para i am: divide-se a taxa ao ano por 12 (um ano = 12 meses)
 12% aa = 1 % am (12% ÷ 12 meses).
57MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
•	 de i aa para i ad: divide-se a taxa ao ano por 360 (um ano tem 360 dias)
 360% aa = 1% ad (360% ÷ 360 dias).
Acompanhe atentamente a resolução do seguinte exercício:
•	 Períodos proporcionais
Para transformar:
•	 dias em meses: divide-se o número de dias por 30 (um mês tem 30 dias);
 75 dias = 2,5 meses (75 ÷ 30 = 2,5);
 15 dias = 0,5 mês (15 ÷ 30 = 0,5);
•	 dias em anos: divide-se o número de dias por 360 (um ano tem 360 dias);
 540 dias = 1,5 anos (540 ÷ 360 = 1,5);
•	 meses em dias: multiplica-se por 30 (um mês tem 30 dias);
 1,5 meses = 45 dias (1,5 × 30);
•	 meses em anos: divide-se por 12 (um ano tem 12 meses);
 6 meses = 0,5 anos (6 ÷ 12).
58 MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Acompanhe atentamente a resolução do seguinte exercício:
•	 Método	Hamburguês
Esse método é utilizado para a cobrança de juros sob o regime de juros simples de empréstimos 
(créditos rotativos) cujos saldos devedores sejam variáveis durante o período calculado. 
Exemplos desses empréstimos são as contas de cheques especiais, em que os saldos dos 
clientes ficam devedores e se alteram, muitas vezes diariamente, a cada lançamento a débito 
ou a crédito, quando são efetuados saques ou depósitos. 
Assim, durante o período (geralmente o mês) os juros são calculados pelo saldo-médio sacado 
a descoberto dentro de um determinado limite fornecido pelo banco. Esse juro calculado pelo 
sistema de juro simples só é cobrado no final do referido período.
Para calcularmos o valor dos juros, é necessário elaborar uma planilha com o saldo em cada 
dia em que houver alterações (depósitos ou saques). Multiplicamos a taxa	de	juros	diária pelo 
resultado da multiplicação entre o saldo devedor diário e a quantidade de dias que esse saldo 
tenha permanecido devedor.
Exemplo:
1) Considerando o Método Hamburguês, calcule o juro cobrado pelo banco no mês de 
novembro, com taxa de 6% ao mês por uma conta de cheque especial, sem saldo inicial, que 
teve os seguintes lançamentos: 
59MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Tabela	2:	Cálculo	do	saldo	médio	devedor	pela	Método	Hamburguês
DATA Depósitos Cheques Saldo Saldo(D) x 
nº de dias
01/11 0,00
02/11 2.000,00(D) 2.000,00(D) x 10 20.000,00
12/11 4.000,00(C) 1.800,00(D) 200,00(C) - -
15/11 1.200,00(C) 4.500,00(D) 3.100,00(D) x 11 34.100,00
26/11 200,00(C) 2.600,00(D) 5.500,00(D) x 4 22.000,00
= ∑ 76.100,00
∑/30 2.536,67
Observação: na tabela acima, D = Débito (ou saldo negativo) e C = Crédito (ou saldo positivo).
Cálculo:
J = c . i . n
Na qual: J: é o juro do período
 c: é a somatória sempre dividida por 30, porque o mês comercial tem 30 dias 
(76.100,00/30 = 2.536,67), ou seja, é a média diária do saldo devedor.
 i: 6% am
 n: como é um só período (um mês) = 1
 J = 2.536,67 × 0,06 × 1
 j = 152,20
Ou seja, o juro cobrado no mês pela utilização dos saldos devedores conforme Tabela 2 é de 
R$ 152,20 com taxa de 6% ao mês.
60 MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Acompanhe atentamente a resolução dos seguintes exercícios:
•	 Exercícios propostos sobre juros simples 
1) Qual o juro de um capital de R$ 500,00 aplicado por 10 meses a uma taxa de 7% ao mês? 
(350,00)
2) Qual o juro e o montante acumulados em um ano a uma taxa de 10% ao mês a partir de 
uma aplicação de R$ 325,00? (j = 390,00 e M = 715,00)
3) Qual o montante acumulado em 18 meses a uma taxa de 0,10% ao dia a partir de um ca-
pital de R$ 1.000,00? (1.540,00)
4) Qual o montante acumulado em 120 dias a uma taxa de 24% ao ano a partir de um capital 
de R$ 5.000,00? (5.400,00)
5) Qual o capital necessário para se obter um montante de R$ 970,00 daqui a três semestres 
a uma taxa de 5% ao mês? (510,52)
6) Qual o capital necessário para se obter um montante de R$ 1.070,00 daqui a três anos a 
uma taxa de 0,7% ao mês? (854,63)
7) Qual o capital necessário para se obter um montante de R$ 2.000,00 daqui a 18 meses a 
uma taxa de 7,5% ao ano? (1.797,75)
8) Qual o juro simples recebido em uma aplicação de R$ 5.000,00 a uma taxa de 2% ao mês 
pelo período de 15 dias? (50,00)
9)	 Foi	 efetuado	 um	único	 depósito	 de	R$	 570,00	 em	uma	aplicação	 fi	nanceira.	Após	 dois	
anos, seu saldo era de R$ 775,20. Qual a taxa de juro recebida? (1,5% am) 
61MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
10) A que taxa devemos aplicar um capital de R$ 100,00 para que ele duplique em 20 meses? 
(5% ao mês)
11) Fizemos uma dívida de R$ 30.000,00 para aquisição de um imóvel. Não foi efetuado 
nenhum pagamento e, após 5 meses, ela estava em R$45.000,00. Qual a taxa de juro 
cobrada? (10% am) 
12)	 Por	quanto	tempo	deve	ficar	aplicado	um	capital	para	que	ele	quadruplique	de	valor	a	uma	
taxa de 10% am? (30 meses) 
13) Considerando o Método Hamburguês, calcule o juro cobrado por um banco no mês de 
dezembro, com taxa de 12% ao mês em cheque especial com saldo inicial negativo de R$ 
1.000,00 que teve os seguintes lançamentos:
DATACréditos Débitos Saldo Saldo(D) x 
nº de dias
01/12
04/12 5.000,00(D)
10/12 1.000,00(C) 1.800,00(D)
17/12 1.200,00(C) 4.500,00(D)
29/12 9.200,00(C) 2.600,00(D)
∑
∑/30
	 	 Resposta:	R$	859,20	
14) Considerando o Método Hamburguês, calcule o juro cobrado pelo banco no mês de janei-
ro, com taxa de 9% ao mês por um empréstimo de capital de giro que teve os seguintes 
lançamentos: saldo inicial devedor de R$5.000,00; débitos nos dias 10, 20 e 30 de R$ 
6.000,00, R$ 7.000,00 e R$10.000,00, respectivamente.
	 	 Resposta:	R$	1.089,00
62 MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
15) Considerando o Método Hamburguês, calcule o juro cobrado por um banco no mês de 
fevereiro (28 dias), com taxa de 7,5% ao mês por um empréstimo de capital de giro que 
teve os seguintes lançamentos: saldo inicial positivo de R$3.000,00; saques nos dias 2, 
15 e 20 de R$5.000,00, R$6.000,00 e R$7.000,00, respectivamente, e pagamento de 
R$4.000,00 no dia 17.
	 	 Resposta:	R$	355,00
DESCONTO SIMPLES
Desconto é o abatimento que incide sobre um título de crédito (cheque, duplicata, nota 
promissória) ou sobre uma dívida qualquer por terem sido liquidados antes de seu vencimento.
Para o cálculo do desconto é importante saber:
Valor Nominal (VN) é o valor de face, ou seja, valor impresso no título. É o que ele valerá no 
vencimento.
Valor atual (VA) é o valor pelo qual o título pode ser pago antecipadamente. Naturalmente, 
é um valor menor do que o VN, pois se o título for liquidado antecipadamente, ele terá um 
desconto (D).
Fo
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OC
K.
CO
M
63MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Dessa forma, o Desconto (D) é igual ao Valor Nominal (VN) menos o Valor Atual (VA) pelo qual 
o título pode ser pago antecipadamente.
D = VN - VA
Existem dois tipos de descontos simples:
a) O Desconto Comercial Simples, também chamado de Bancário ou “por fora” é o desconto 
normalmente utilizado pelos bancos e pelo comércio em geral. É o tipo que resulta no maior 
valor de desconto. 
Nesse tipo de desconto, a base de cálculo é o Valor Nominal (VN). Ele é calculado sobre o 
valor nominal descontando-se a taxa multiplicada pelo número de períodos antecipados e as 
fórmulas de cálculo são as seguintes:
VA = VN [1 – (i . n )] 
cs
Na qual: VAcs = Valor Atual com desconto comercial simples
Exercício 1
Uma duplicata de R$ 100,00 foi quitada três meses antes do vencimento com taxa de desconto 
comercial simples de 10% ao mês. Por quanto ela foi quitada e qual o valor do desconto? 
VAcs = VN [1 – (i . n)]
VAcs = 100 [1 – ( 0,10 . 3 )]
VAcs = 100 (1 – 0,30)
VAcs = 100 (0,70) = 70,00
Ela foi quitada por R$ 70,00; seu desconto foi de R$ 30,00 (100,00 – 70,00)
64 MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
No fluxo de caixa: taxa de desconto de 10% am.
100,00 VN 
 
 0 1 2 3 
70,00 VA 
O valor do desconto é o valor nominal menos o valor atual.
D = VN – VA 
D = 100 – 70 = 30,00
Para o cálculo direto do desconto comercial simples, também pode ser usada a fórmula:
D = VN . i . n
cs
Na qual: Dcs: valor do desconto comercial simples 
Dcs = 100 . 0,10 . 3 = 30,00
Dcs = 30,00
É esse tipo de desconto, o comercial simples, que os bancos utilizam para cobrar de seus clientes, 
porque ele é o que resulta em um maior valor de desconto entre todos os tipos.
65MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
b) Desconto Racional simples, também chamado de desconto real ou “por dentro”:
A base de cálculo é o Valor Atual (VA):
 
).(1 ni
VN
VA
rs
+
=
Na qual: VArs é o Valor Atual com desconto racional simples.
Exemplo: 
Qual o valor atual com desconto racional simples para o mesmo exercício 1?
 
)3.10,0(1
00,100
+
=rsVA
 
3,1
00,100=rsVA
VA = 76,92rs
No fluxo de caixa: taxa de desconto de 10%am
 
 VN = 100,00 
 
 0 1 2 3 
 76,92 VA 
D = VN - VA
D = 100,00 – 76,92 = 23,08
66 MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Para o cálculo direto do valor do desconto racional simples, a fórmula é:
 
).(1
..
ni
niVN
D
rs
+
=
Cálculo do desconto racional simples com o mesmo exercício 1:
 
 
)3.10,0(1
3.10,0.100
+
=
rs
D :. 
30,1
30
=
rs
D :. Drs = 23,08 
Acompanhe atentamente a resolução do seguinte exercício:
•	 Prazo Médio para descontos
Para o cálculo do desconto de vários títulos com vencimentos diferentes e com a mesma taxa, 
não é necessário fazer o cálculo do desconto de um a um. Por meio do cálculo do PRAZO 
MÉDIO de vencimento dos títulos, é possível fazer um só cálculo de desconto.
Exemplo: calcule o valor do desconto comercial simples para os títulos, conforme tabela a 
seguir com taxa de 5% ao mês. 
67MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Valor Nominal Prazo de vencimento em dias
R$ 100,00 30
R$ 200,00 35
R$ 250,00 33
R$ 5.000,00 60
Primeiramente, calculamos o prazo médio, dividindo a somatória dos produtos entre os valores 
e os prazos (318.250,00) pela somatória dos valores dos títulos (5.550,00 ).
Valor Nominal Prazo de vencimento em dias Valor x Prazo
R$				100,00 30 3.000,00
R$				200,00 35 7.000,00
R$				250,00 33 8.250,00
R$	5.000,00 60 300.000,00
Soma:	5.550,00 Soma:	318.250,00
318.250,00 = 57,34 dias, ou 1,91 mês (57,34 ÷ 30) 
 5.550,00 
•	 Com a hp 12C
Esse é o prazo médio de vencimento (1,91 mês) desses títulos, ponderando os valores e os 
prazos dos mesmos.
Com a informação do prazo médio e com a fórmula abaixo, é possível calcular o valor do 
desconto envolvendo todos os títulos.
Dcs = VN . i . n
Dcs = 5.550 .0,05 . 1,91
Dcs = R$ 530,03
68 MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Acompanhe atentamente a resolução do seguinte exercício:
•	 Equivalência	entre	taxa	de	juros	simples	e	de	desconto	simples
a) No Desconto Racional: como o desconto racional (real) é calculado “por dentro”, ou seja, 
a base de cálculo é o valor atual do título, sua taxa (de desconto) é equivalente à taxa de 
juros. 
Com os mesmos dados do exercício 1:
No fluxo de caixa: taxa de desconto de 10% am
Desconto = VN – VA = 100 – 76,92 = 23,08
•	 No desconto racional com a taxa de desconto de 10% am, em três meses, o valor no-
minal de R$ 100,00 gera o valor atual de R$ 76,92. Aplicamos, agora, a taxa de juros 
também de 10% am, em três meses, sobre o valor atual de R$ 76,92, é gerado o mesmo 
valor de juros e chega-se ao montante de R$ 100,00.
M = C [ 1 + ( i . n )]
M = 76,92 [ 1 + (0,10 . 3 )] 
M = 76,92 [ 1 + ( 0,3)]
M = 100,00
69MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
b) No desconto	comercial, o mesmo não acontece, porque nesse tipo de desconto, o cálculo 
é efetuado “por fora”, ou seja, a base de cálculo do desconto é o valor nominal, enquanto a 
base de cálculo para os juros é o valor atual.
Com os mesmos dados do exercício 1:
No fluxo de caixa: taxa de desconto de 10% am
Dcs = VN . i . n
Dcs = 100 . 0,10 . 3
Dcs = 30,00
Com o desconto comercial de R$ 30,00, o valor nominal de R$100,00 transforma-se no valor 
atual de R$ 70,00. Porém, ao se aplicar a taxa de juros também de 10% am sobre o valor atual 
de R$ 70,00, é gerado um juro de apenas R$ 21,00, chegando ao montante de R$ 91,00 e não 
de R$ 100,00 que é o valor nominal. 
Dessa forma, para chegarmos à taxa de juros equivalente à taxa de desconto comercial 
simples, ou seja,a taxa de juros que vai transformar em três meses o valor atual de R$ 70,00 
em R$ 100,00, como no exercício 1, utilizamos a seguinte fórmula:
 
).(1 nid
id
ij
-
=
Na qual: ij = taxa de juros
 id = taxa de desconto
70 MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
 
)3.01,0(1
10,0
-
=ij
 
70,0
10,0
=ij
ij = 0,14286 ou 14,286% am
A taxa de juros de 14,286% am equivale à taxa de desconto comercial simples de 10% a.m, 
pois aplicando-se aquela taxa (14,286% a.m) sobre os R$ 70,00, chegamos ao montante de 
R$ 100,00.
M = 70[ 1 + (0,14286 × 3 )]
M = 70 ( 1,4286)
M = 100,00
De forma inversa, quando sabemos a taxa de juros simples, podemos calcular a taxa de 
desconto comercial simples equivalente a essa taxa de juros com a seguinte fórmula:
 
).(1 nij
ij
id
+
=
Exemplo: qual a taxa de desconto comercial simples equivalente à taxa de juros simples de 5% 
ao mês num período de 9 meses? 
 
 
)9.05,0(1
05,0
+
=id :. 
45,1
05,0
=id :. id = 0,03448 ou 3,448%am 
Assim, a taxa de juros simples de 5% am equivale à taxa de desconto comercial simples de 
3,448% am com antecipação de 9 meses. 
71MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Atenção: a equivalência entre essas taxas varia conforme o número de períodos. Observe 
que quanto maior o número de períodos, maior será a diferença entre essas taxas.
Acompanhe atentamente a resolução do seguinte exercício:
•	 Observe atentamente os seguintes exercícios resolvidos 
1) Calcule o desconto por dentro de um título de R$ 6.864,00 à taxa de 12% ao mês, 36 dias 
antes do vencimento. 
2) Um título com valor nominal de R$2.000,00, à taxa de 9% ao mês, vai ser descontado 8 
meses antes do vencimento. Calcule a diferença entre os descontos bancário e racional. 
72 MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
3) Calcule a taxa a ser aplicada, por dentro, no valor de uma duplicata de R$1.800,00, para que 
ele, 2,5 meses antes do vencimento, seja reduzido a R$1.000,00.
800(1 + 2,5i) = 4.500i
800 + 2000i = 4.500i
800 = 2.500i
i = 0,32 ou 32%
4) Um comerciante recebeu um desconto racional de R$30,00 ao pagar um título. Sabendo 
que a taxa usada pelo banco é de 72% ao ano, e que o valor do título é de R$ 530,00, encontre 
o prazo de antecipação do título. 
5) Qual a taxa de juro mensal equivalente à taxa de desconto comercial simples de 4,5% am 
pelo prazo de 105 dias?
ij' = id ij' = 0,045 :. ij' = 0,045 :. ij = 5,34% am 
 1 – ( id . n' ) 1 – (0,045.3,5) (0,8425)
. . .
73MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
6) Qual a taxa mensal de desconto comercial simples equivalente à taxa de juro de 5,5% ao 
mês pelo prazo de 8 meses?
id' = ij id' = 0,055 id' = 0,055 id = 0,03819 id = 3,82% am
 1 + ( ij . n' ) 1 + (0,055.8) 1,44
. . . 
Acompanhe atentamente a resolução dos seguintes exercícios:
Aprenda	sempre	mais,	resolva	estes	exercícios	propostos:
1) Calcular o valor atual e o valor do desconto comercial simples para os títulos 
conforme abaixo:
a) Um cheque pré-datado para daqui a 90 dias de R$ 200,00, à taxa de 9% am. ( Dcs= 54,00; 
VAcs= 146,00)
b) Uma duplicata de R$ 1.500,00, com vencimento em 45 dias à taxa de 30% am. (Dcs= 
675,00; VAcs= 825,00)
c) Um título de R$ 9.000,00, com vencimento em 31/05, à taxa de 0,10% ad. (data de hoje: 
01/05 do mesmo ano) (Dcs= 270,00;VAcs=8.730,00).
2) Calcular o valor atual e o valor do desconto racional simples para os títulos conforme 
abaixo:
a) Um título de R$ 625,00, com vencimento em 01/05, à taxa de 42% aa. (data de hoje: 01/04 
do mesmo ano) (Drs=21,14; VArs= 603,86)
74 MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
b) Uma Nota Promissória de R$ 90,00 à taxa de 72% aa 45 dias antes de seu vencimento. 
(Drs= 7,43; VArs= 82,57)
c) Um cheque pré-datado para daqui a 210 dias de R$ 1.110,00, à taxa de 18% aa. (Drs= 
105,48; VArs= 1.004,52).
3) Qual o valor nominal e o valor atual de um título que:
a) Foi pago com desconto comercial de R$ 10,00 à taxa de 10% am 4 meses antes de seu 
vencimento? (VN = 25,00 ;VAcs= 15,00)
b) Foi pago com um desconto racional de R$ 210,00 à taxa de 0,3% ad 60 dias antes de seu 
vencimento? (VN = 1.376,67 ;VArs= 1.166,67)
c) Foi pago com desconto comercial de R$ 25,00 à taxa de 4% am 6 meses antes de seu 
vencimento? (VN = 104,17 ;VAcs= 79,17)
4) Qual a taxa de desconto comercial simples aplicada em um título de:
a) Valor nominal de R$ 250,00, com desconto de R$50,00 para ser pago 2 meses antes do 
vencimento?(10% am)
b) Valor atual de R$ 600,00, com desconto de R$60,00 para ser pago 4 meses antes do ven-
cimento? (2,273% am)
c) Valor atual de R$ 350,00, com desconto de R$150,00 para ser pago 300 dias antes do 
vencimento? (3,0% am)
5)	Por	quanto	tempo	foi	antecipado	o	pagamento	de	uma	nota	promissória	de:
a) Valor nominal de R$ 990,00, que foi paga com desconto comercial de R$35,00 à taxa de 
1% ad? (3,535 dias)
75MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
b) Valor nominal de R$ 570,00, que obteve desconto racional de R$ 70,00 à taxa de 5% am? 
(2,8 meses)
c) Valor atual de R$ 440,00, que obteve desconto comercial de R$ 60,00 à taxa de 4% am? 
(3 meses)
6)	Calcule	o	desconto	comercial	simples,	por	meio	do	prazo	médio,	com	taxa	de	4,5	%	
ao	mês,		para	uma	operação	que	envolva	as	seguintes	duplicatas:
R$ 550,00 descontados dois meses e meio antes do vencimento, R$ 700,00 noventa dias 
antes e R$ 100,00 um ano antes. (210,33)
7)	Calcule	o	desconto	racional	simples,	por	meio	do	prazo	médio,	com	taxa	de	3	%	ao	
mês,		para	uma	operação	que	envolva	os	seguintes	cheques:
R$ 1.550,00 para 4,3 meses, R$ 300,00 para 105 dias, R$ 900,00 para um semestre. (344,19)
8)	Calcule	o	desconto	comercial	e	o	racional	simples,	através	do	prazo	médio,	com	taxa	
de	5,5%	ao	mês,		para	uma	operação	que	envolva	as	seguintes	duplicatas:
R$ 15.000,00 para dois meses, R$ 200,00 para 90 dias, R$ 1.000,00 para 15 dias e R$ 340,00 
para 1,5 mês. (Dcs = 1.738,53 ; Drs = 1.573,17)
9)	Qual	a	taxa	de	juro	ao	mês	equivalente	à	taxa	de	desconto	comercial	simples	de	3,5%	
am	pelo	prazo	de	75	dias?(3,835%	am)
10) Qual a taxa de juro mensal equivalente à taxa de desconto comercial simples de 
1,5%	am	pelo	prazo	de	1	ano?(1,83%	am)
76 MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
11)	Qual	a	taxa	mensal	de	desconto	comercial	simples	equivalente	à	taxa	de	juro	4,5%	
am	pelo	prazo	de	8	meses?(3,31%	am)
12) Qual a taxa mensal de desconto comercial simples equivalente à taxa de juro de 
0,5%	ad	pelo	prazo	de	60	dias?	(11,54%	am)
JUROS COMPOSTOS
No regime de capitalização composta, os juros são capitalizados ao final de cada período, ou 
seja, eles são somados ao capital a cada período incorrido e o cálculo do juro para o próximo 
período é feito sobre a soma do capital e dos juros do período anterior.
Fo
nte
: S
HU
TT
ER
ST
OC
K.
CO
M
77MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
•	 Comparação entre as capitalizações. 
Vamos fazer uma comparação entre as capitalizações Simples e Composta conforme a Tabela 
3.
Um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado para render juros de 10% ao mês durante 3 meses. 
Determine o montante no final dos 3 meses pelos dois sistemas.
Tabela 3: comparação entre as capitalizações Simples e Composta 
Observe bem a diferença entre a capitalização simples e composta conforme a tabela 3.
Analisando esse exemplo, podemos observar que, no fim do primeiro mês, os montantes 
são iguais nos dois sistemas de capitalização.No entanto, do segundo mês em diante, os 
montantes diferem, dando valores cada vez maiores no sistema de capitalização composta 
pelo fato dos juros compostos serem calculados sobre o valor do montante, enquanto os juros 
simples são calculados sobre o valor do capital.
78 MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Acompanhe atentamente a resolução do seguinte exercício:
•	 Cálculo	do	montante
Dessa forma, para o cálculo do montante sob o regime de juro composto, é necessário saber 
o período de capitalização.
Exemplo1: qual o montante final de uma aplicação de R$ 100,00 considerando uma taxa de 
juro de 10% ao período (dia, mês, ano, etc)?
Número de 
períodos (n)
Capital (C) Juros (J) Juros 
acumulados
Montante (M)
0 R$ 100,00 - - R$ 100,00
1 R$ 100,00 R$ 10,00 R$ 10,00 R$ 110,00
2 R$ 110,00 R$ 11,00 R$ 21,00 R$ 121,00
3 R$ 121,00 R$ 12,10 R$ 33,10 R$ 133,10
Assim, se a taxa de 10% do exemplo 1 for ao dia com capitalização diária, após 3 dias, o 
montante será de R$ 133,10; se ela for mensal com capitalização mensal, após 3 meses, o 
montante será de R$ 133,10 e assim sucessivamente.
Importante: é necessário que a taxa e o período de capitalização sejam expressos na mesma 
medida de tempo, ou seja, se o período de capitalização for mensal, a taxa deve ser ao mês 
79MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
e assim por diante. Caso a taxa esteja expressa em período diferente ao da capitalização, ela 
deverá ser convertida pela proporcionalidade, como já estudamos.
A	fórmula	para	o	cálculo	do	montante	é	a	seguinte:	
n
M = C (1+ i) 
•	 Cálculo	do	montante	do	exemplo	1	utilizando	a	fórmula
M = 100 (1+ 0,10)3
M = 100 [1,10]3
M = 100 [1,331]
M = 133,10
•	 Cálculo	do	montante	com	a	hp12c
Para fazer esse cálculo com a calculadora hp12c, basta digitar as seguintes teclas:
f	REG															(para	limpar	a	memória	financeira)	
f 2 (para aparecer no visor duas casas decimais) 
100 CHS PV (PV é o capital de R$ 100,00)
3 n (“n” é o número de períodos = 3)
10 i (“i” é a taxa = 10% a cada período)
FV (FV é o valor futuro ou montante = 133,10)
80 MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Acompanhe atentamente a resolução do seguinte exercício:
•	 Cálculo	do	juro
Para cálculo dos juros, basta diminuir o capital do montante.
•	 Cálculo	do	juro	utilizando	a	fórmula
J = M - C
J = 133,10 – 100,00 
J = 33,10
Ou ainda, com a seguinte fórmula:
n
J = C[(1+i) –1]
No caso do exercício 1 temos:
J = 100[(1+0,10)3 –1]
J = 33,10
•	 Cálculo	do	juro	com	a	hp	12	c:
f	REG															(para	limpar	a	memória	fi	nanceira)	
f 2 (para aparecer no visor duas casas decimais) 
100 CHS PV (PV é o capital de R$ 100,00)
3 n ( “n” é o número de períodos = 3)
10 i ( “i” é a taxa = 10% a cada período)
FV RCL PV + (Resultado 33,10)
81MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Acompanhe atentamente a resolução do seguinte exercício:
•	 Cálculo	do	capital
Para calcular o capital, quando sabemos o valor do montante final, o tempo em que foi aplicado 
e a taxa, utilizamos a fórmula:
C = M 
n
 (1+i)
.
•	 Cálculo	do	capital	utilizando	a	fórmula:
Exemplo 2: qual o capital que gera o montante de R$ 133,10 por ter ficado aplicado durante 3 
meses à taxa de 10% ao mês capitalizada mensalmente? 
C = 133,10/[1+ (0,10)]3
C = 133,10/(1,10)3
C = 133,10/1,331
C = 100,00
•	 Cálculo	do	capital	com	a	hp12c
f	REG																		(para	limpar	a	memória	fi	nanceira)	
f 2 (para aparecer no visor duas casas decimais) 
33,10 CHS FV (FV é o valor futuro ou montante = 133,10)
3 n (“n” é o número de períodos = 3)
10 i (“i” é a taxa = 10% a cada período)
PV (PV é o resultado, ou seja, o capital de R$ 100,00)
82 MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Acompanhe atentamente a resolução do seguinte exercício:
•	 Cálculo	da	taxa
Para o cálculo da taxa “i”, quando temos o valor do capital do montante e o número de períodos 
correspondente, aplicamos a seguinte fórmula:
 
1
1
-÷
ø
ö
ç
è
æ
=
n
C
M
i
 
1-n
C
M
=iou
•	 Cálculo	da	taxa	utilizando	a	fórmula	
Exemplo 3: 
A que taxa deve ser aplicado R$100,00 para ele se transformar no valor de R$ 133,10, em 3 
meses?
 
1
00,100
10,133 3
1
-÷
ø
ö
ç
è
æ
=i
i = 0,10 ou 10% ao mês, porque o período está expresso em meses.
•	 Cálculo	da	taxa	com	a	hp12c
133,10 CHS FV 3 n 100,00 PV 
i (10, ou seja, 10% a cada período – mês)
83MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Acompanhe atentamente a resolução do seguinte exercício:
•	 Equivalência	entre	taxas	de	juros
As taxas de juros expressas em medidas de tempo (períodos) diferentes são equivalentes 
quando aplicadas sobre um mesmo capital em determinado tempo, geram o mesmo montante.
Acompanhe atentamente a resolução do seguinte exercício:
•	 CAPITALIZAÇÃO
A equivalência entre as taxas se dá no regime de capitalização composta e depende do 
período da capitalização. 
Assim, para se saber qual taxa capitalizada em um período maior (exemplo 1 ano) que 
equivale a outra capitalizada em um período menor (exemplo 1 mês), pode ser empregada 
a seguinte fórmula (esse processo se chama capitalização): 
n
 i = (1+i ) – 1
p> p<
Na qual: ip> , é a taxa do período maior
 ip<, é a taxa do período menor
84 MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
Exemplo 4: qual taxa anual, capitalizada anualmente, equivalente à taxa de 1% ao mês, 
capitalizada mensalmente? 
ip> = (1+ip<)n – 1
ip> = (1+0,01)12 – 1 = 12,68% ao ano. 
•	 Com a hp 12c 
x 
 i E 100 1 + n y 1 – 100 x
Acompanhe atentamente a resolução do seguinte exercício:
•	 DESCAPITALIZAÇÃO
Porém, para se saber qual taxa capitalizada em um período menor (exemplo 1 mês) que 
equivale a outra capitalizada em um período maior (exemplo 1 ano), pode ser empregada a 
seguinte fórmula (esse processo se chama descapitalização): 
1/n
i = (1+i ) – 1
p< p>
Exemplo 5: qual a taxa mensal equivalente à taxa de 90% ao semestre?
1/n
 i = (1+i ) – 1
p< p>
1/6
 i = (1+0,90) – 1 
p<
0,1667
 i = (1,90) – 1 = 11,29 % ao mês
p<
85MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
•	 Com a hp 12c
Acompanhe atentamente a resolução do seguinte exercício:
•	 Cálculo	do	período
Para o cálculo do número de períodos “n” em que ficou aplicado um capital, quando temos 
o valor desse capital, do montante gerado e da taxa aplicada, utilizamos a seguinte fórmula:
 
)1ln(
)ln(ln
i
CM
+
-
 
)1log(
log
i
C
M
+
n= n=ou
•	 Cálculo	do	período	utilizando	a	fórmula:
Exemplo 6: 
Por quanto tempo deve ficar aplicado o capital de R$ 100,00 para gerar o montante de R$ 
133,10 com taxa de juros de 10% am?
n = 
)10,01ln(
)00,100ln10,133(ln
+
- 
:. n =
0953,0
)6051,48911,4( - 
 
n = 
0953,0
286,0
 
:. n = 3 
 
Ou seja, 3 meses, pois a taxa está expressa em meses.
86 MATEMÁTICA FINANCEIRA E PLANOS DE NEGÓCIOS | Educação a Distância
•	 Cálculo	do	período	com	a	hp12c
100	CHS	PV	133,10	FV	10	i	n		(Resposta,	3)
Observação: para o cálculo do período, a calculadora HP 12C tem uma limitação. No caso 
acima, ela calculou exatamente dando o resultado de 3 meses. Porém, para um problema 
em que o resultado seja um número de períodos fracionado