calculo 1 aula 20

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O Teste da Derivada Primeira
Concavidade e Inflexa˜o
O Teste da Derivada Segunda
Comportamento de Func¸o˜es
Bras´ılia, 2o semestre de 2009
Universidade de Bras´ılia - Faculdade do Gama
Comportamento de Func¸o˜es
O Teste da Derivada Primeira
Concavidade e Inflexa˜o
O Teste da Derivada Segunda
Conteu´do
O Teste da Derivada Primeira
Concavidade e Inflexa˜o
O Teste da Derivada Segunda
Comportamento de Func¸o˜es
O Teste da Derivada Primeira
Concavidade e Inflexa˜o
O Teste da Derivada Segunda
Func¸o˜es crescentes e decrescentes
Definic¸a˜o: Uma func¸a˜o f : A → R e´
dita crescente em [a, b] ⊂ A se, para todo
x1, x2 ∈ [a, b], tal que x2 > x1
f (x1) < f (x2)
Definic¸a˜o: Uma func¸a˜o f : A → R e´ dita
decrescente em [a, b] ⊂ A se, para todo
x1, x2 ∈ [a, b], tal que x2 > x1
f (x1) > f (x2)
x1 x2
f x2( )
f x1( )
x1 x2
f x2( )
f x1( )
Comportamento de Func¸o˜es
O Teste da Derivada Primeira
Concavidade e Inflexa˜o
O Teste da Derivada Segunda
O TVM e o comportamento de func¸o˜es
Teorema: Seja f uma func¸a˜o cont´ınua no intervalo fechado [a, b] e deriva´vel
no intervalo aberto (a, b):
(i) se f ′(x) > 0, ∀x ∈ (a, b), enta˜o, f (x) sera´ crescente em [a, b];
(ii) se f ′(x) < 0, ∀x ∈ (a, b), enta˜o, f (x) sera´ decrescente em [a, b];
Prova do caso (i) :
I Sejam x1, x2 ∈ [a, b], tais que x1 < x2;
I Pelo TVM sabemos que existe c ∈ (x1, x2) tal que f ′(c) = f (x2)− f (x1)
x2 − x1
I Temos que f ′(c) > 0, por hipo´tese. Como x2 − x1 > 0, segue que
f (x2)− f (x1) > 0 para quaisquer x1, x2 ∈ (a, b);
I Logo f (x2) > f (x1) para quaisquer x1, x2 ∈ (a, b), isto e´, f (x) e´ crescente
em [a, b].
Comportamento de Func¸o˜es
O Teste da Derivada Primeira
Concavidade e Inflexa˜o
O Teste da Derivada Segunda
O TVM e o comportamento de func¸o˜es
Teorema: Seja f uma func¸a˜o cont´ınua no intervalo fechado [a, b] e deriva´vel
no intervalo aberto (a, b):
(i) se f ′(x) > 0, ∀x ∈ (a, b), enta˜o, f (x) sera´ crescente em [a, b];
(ii) se f ′(x) < 0, ∀x ∈ (a, b), enta˜o, f (x) sera´ decrescente em [a, b];
Prova do caso (i) :
I Sejam x1, x2 ∈ [a, b], tais que x1 < x2;
I Pelo TVM sabemos que existe c ∈ (x1, x2) tal que f ′(c) = f (x2)− f (x1)
x2 − x1
I Temos que f ′(c) > 0, por hipo´tese. Como x2 − x1 > 0, segue que
f (x2)− f (x1) > 0 para quaisquer x1, x2 ∈ (a, b);
I Logo f (x2) > f (x1) para quaisquer x1, x2 ∈ (a, b), isto e´, f (x) e´ crescente
em [a, b].
Comportamento de Func¸o˜es
O Teste da Derivada Primeira
Concavidade e Inflexa˜o
O Teste da Derivada Segunda
O TVM e o comportamento de func¸o˜es
Teorema: Seja f uma func¸a˜o cont´ınua no intervalo fechado [a, b] e deriva´vel
no intervalo aberto (a, b):
(i) se f ′(x) > 0, ∀x ∈ (a, b), enta˜o, f (x) sera´ crescente em [a, b];
(ii) se f ′(x) < 0, ∀x ∈ (a, b), enta˜o, f (x) sera´ decrescente em [a, b];
Prova do caso (i) :
I Sejam x1, x2 ∈ [a, b], tais que x1 < x2;
I Pelo TVM sabemos que existe c ∈ (x1, x2) tal que f ′(c) = f (x2)− f (x1)
x2 − x1
I Temos que f ′(c) > 0, por hipo´tese. Como x2 − x1 > 0, segue que
f (x2)− f (x1) > 0 para quaisquer x1, x2 ∈ (a, b);
I Logo f (x2) > f (x1) para quaisquer x1, x2 ∈ (a, b), isto e´, f (x) e´ crescente
em [a, b].
Comportamento de Func¸o˜es
O Teste da Derivada Primeira
Concavidade e Inflexa˜o
O Teste da Derivada Segunda
O TVM e o comportamento de func¸o˜es
Teorema: Seja f uma func¸a˜o cont´ınua no intervalo fechado [a, b] e deriva´vel
no intervalo aberto (a, b):
(i) se f ′(x) > 0, ∀x ∈ (a, b), enta˜o, f (x) sera´ crescente em [a, b];
(ii) se f ′(x) < 0, ∀x ∈ (a, b), enta˜o, f (x) sera´ decrescente em [a, b];
Prova do caso (i) :
I Sejam x1, x2 ∈ [a, b], tais que x1 < x2;
I Pelo TVM sabemos que existe c ∈ (x1, x2) tal que f ′(c) = f (x2)− f (x1)
x2 − x1
I Temos que f ′(c) > 0, por hipo´tese. Como x2 − x1 > 0, segue que
f (x2)− f (x1) > 0 para quaisquer x1, x2 ∈ (a, b);
I Logo f (x2) > f (x1) para quaisquer x1, x2 ∈ (a, b), isto e´, f (x) e´ crescente
em [a, b].
Comportamento de Func¸o˜es
O Teste da Derivada Primeira
Concavidade e Inflexa˜o
O Teste da Derivada Segunda
O TVM e o comportamento de func¸o˜es
Teorema: Seja f uma func¸a˜o cont´ınua no intervalo fechado [a, b] e deriva´vel
no intervalo aberto (a, b):
(i) se f ′(x) > 0, ∀x ∈ (a, b), enta˜o, f (x) sera´ crescente em [a, b];
(ii) se f ′(x) < 0, ∀x ∈ (a, b), enta˜o, f (x) sera´ decrescente em [a, b];
Prova do caso (i) :
I Sejam x1, x2 ∈ [a, b], tais que x1 < x2;
I Pelo TVM sabemos que existe c ∈ (x1, x2) tal que f ′(c) = f (x2)− f (x1)
x2 − x1
I Temos que f ′(c) > 0, por hipo´tese. Como x2 − x1 > 0, segue que
f (x2)− f (x1) > 0 para quaisquer x1, x2 ∈ (a, b);
I Logo f (x2) > f (x1) para quaisquer x1, x2 ∈ (a, b), isto e´, f (x) e´ crescente
em [a, b].
Comportamento de Func¸o˜es
O Teste da Derivada Primeira
Concavidade e Inflexa˜o
O Teste da Derivada Segunda
O Teste da Derivada Primeira
Sejam uma func¸a˜o f , um intervalo (a, b) e um ponto c ∈ (a, b) tal
que f e´ cont´ınua em (a, b) e c seja o u´nico ponto cr´ıtico de f no
intervalo. Suponha ainda que f ′ exista para todos os pontos em
(a, b), exceto possivelmente em c. Nesse caso:
(i) se f ′(x) > 0 ∀x ∈ (a, c) e f ′(x) < 0 ∀x ∈ (c , b), enta˜o f
admite um ponto de ma´ximo relativo (ou local) em c;
(ii) se f ′(x) < 0 ∀x ∈ (a, c) e f ′(x) > 0 ∀x ∈ (c , b), enta˜o f
admite um ponto de m´ınimo relativo (ou local) em c ;
(iii) se f ′(x) ≤ 0 ∀x ∈ (a, b) ou f ′(x) ≥ 0 ∀x ∈ (a, b), enta˜o f na˜o
admite ma´ximos ou m´ınimos relativos em (a, b) e c e´ dito
ponto de sela.
Comportamento de Func¸o˜es
O Teste da Derivada Primeira
Concavidade e Inflexa˜o
O Teste da Derivada Segunda
Exemplos
1. Determine os intervalos onde a func¸a˜o
f (x) = x3 − 6x2 + 9x + 1 e´ crescente ou decrescente.
Encontre tambe´m seus pontos cr´ıticos e use o teste da
derivada primeira para determinar se sa˜o pontos de ma´ximo
ou m´ınimo local, ou sela.
2. Idem, mas para a func¸a˜o
f (x) =
{
x2 − 4, se x < 3
8− x , se x ≥ 3
Comportamento de Func¸o˜es
O Teste da Derivada Primeira
Concavidade e Inflexa˜o
O Teste da Derivada Segunda
Exemplos
1. Determine os intervalos onde a func¸a˜o
f (x) = x3 − 6x2 + 9x + 1 e´ crescente ou decrescente.
Encontre tambe´m seus pontos cr´ıticos e use o teste da
derivada primeira para determinar se sa˜o pontos de ma´ximo
ou m´ınimo local, ou sela.
2. Idem, mas para a func¸a˜o
f (x) =
{
x2 − 4, se x < 3
8− x , se x ≥ 3
Comportamento de Func¸o˜es
O Teste da Derivada Primeira
Concavidade e Inflexa˜o
O Teste da Derivada Segunda
Conteu´do
O Teste da Derivada Primeira
Concavidade e Inflexa˜o
O Teste da Derivada Segunda
Comportamento de Func¸o˜es
O Teste da Derivada Primeira
Concavidade e Inflexa˜o
O Teste da Derivada Segunda
Definic¸a˜o de concavidade
Definic¸a˜o: O gra´fico de uma func¸a˜o sera´
coˆncavo para cima no ponto (c , f (c)) se
f ′(c) existir e se houver um intervalo aberto
A contendo c , tal que para todo x 6= c , o
ponto (x , f (x)) do gra´fico estiver acima da
reta tangente a` f em (c , f (c))
Definic¸a˜o: O gra´fico de uma func¸a˜o sera´
coˆncavo para baixo no ponto (c, f (c)) se
f ′(c) existir e se houver um intervalo aberto
A contendo c , tal que para todo x 6= c , o
ponto (x , f (x)) do gra´fico estiver abaixo da
reta tangente a` f em (c , f (c))
x f x
c f c( , ( ))
( , ( ))
x f x
c f c( , ( ))
( , ( ))
Comportamento de Func¸o˜es
O Teste da Derivada Primeira
Concavidade e Inflexa˜o
O Teste da Derivada Segunda
A derivada segunda e a concavidade
Teorema: Seja uma func¸a˜o f : (a, b)→ R, deriva´vel em (a, b) e
c ∈ (a, b). Nesse caso
(i) se f ′′(c) > 0, enta˜o o gra´fico de f e´ coˆncavo para cima em
(c , f (c));
(ii) se f ′′(c) < 0, enta˜o o gra´ficode f e´ coˆncavo para baixo em
(c , f (c));
Comportamento de Func¸o˜es
O Teste da Derivada Primeira
Concavidade e Inflexa˜o
O Teste da Derivada Segunda
Prova do teorema da concavidade
Provaremos o teorema para o caso i, em que f ′′(c) > 0. Nessa situac¸a˜o:
1. Pela definic¸a˜o de derivada f ′′(c) = lim
x→c
f ′(x)− f ′(c)
x − c > 0 ⇒
f ′(x)− f ′(c)
x − c > 0, para alguma vizinhanc¸a de c;
2. Pelo TVM, existe algum d entre x e c tal que f ′(d) =
f (x)− f (c)
x − c , logo
f (x)− f (c) = f ′(d)(x − c);
3. A distaˆncia entre f e a sua tangente em c, avaliada no ponto x e´
D = [f (x)− f (c)]− f ′(c)(x − c);
4. De (2) segue que D = (x − c)[f ′(d)− f ′(c)]
5. Fazendo x = d em (1) podemos verificar que D > 0 e a parte i do
teorema esta´ demonstrada.
Comportamento de Func¸o˜es
O Teste da Derivada Primeira
Concavidade e Inflexa˜o
O Teste da Derivada Segunda
Prova do teorema da concavidade
Provaremos o teorema para o caso i, em que f ′′(c) > 0. Nessa situac¸a˜o:
1. Pela definic¸a˜o de derivada f ′′(c) = lim
x→c
f ′(x)− f ′(c)
x − c > 0 ⇒
f ′(x)− f ′(c)
x − c > 0, para alguma vizinhanc¸a de c;
2. Pelo TVM, existe algum d entre x e c tal que f ′(d) =
f (x)− f (c)
x − c , logo
f (x)− f (c) = f ′(d)(x − c);
3. A distaˆncia entre f e a sua tangente em c, avaliada no ponto x e´
D = [f (x)− f (c)]− f ′(c)(x − c);
4. De (2) segue que D = (x − c)[f ′(d)− f ′(c)]
5. Fazendo x = d em (1) podemos verificar que D > 0 e a parte i do
teorema esta´ demonstrada.
Comportamento de Func¸o˜es
O Teste da Derivada Primeira
Concavidade e Inflexa˜o
O Teste da Derivada Segunda
Prova do teorema da concavidade
Provaremos o teorema para o caso i, em que f ′′(c) > 0. Nessa situac¸a˜o:
1. Pela definic¸a˜o de derivada f ′′(c) = lim
x→c
f ′(x)− f ′(c)
x − c > 0 ⇒
f ′(x)− f ′(c)
x − c > 0, para alguma vizinhanc¸a de c;
2. Pelo TVM, existe algum d entre x e c tal que f ′(d) =
f (x)− f (c)
x − c , logo
f (x)− f (c) = f ′(d)(x − c);
3. A distaˆncia entre f e a sua tangente em c, avaliada no ponto x e´
D = [f (x)− f (c)]− f ′(c)(x − c);
4. De (2) segue que D = (x − c)[f ′(d)− f ′(c)]
5. Fazendo x = d em (1) podemos verificar que D > 0 e a parte i do
teorema esta´ demonstrada.
Comportamento de Func¸o˜es
O Teste da Derivada Primeira
Concavidade e Inflexa˜o
O Teste da Derivada Segunda
Prova do teorema da concavidade
Provaremos o teorema para o caso i, em que f ′′(c) > 0. Nessa situac¸a˜o:
1. Pela definic¸a˜o de derivada f ′′(c) = lim
x→c
f ′(x)− f ′(c)
x − c > 0 ⇒
f ′(x)− f ′(c)
x − c > 0, para alguma vizinhanc¸a de c;
2. Pelo TVM, existe algum d entre x e c tal que f ′(d) =
f (x)− f (c)
x − c , logo
f (x)− f (c) = f ′(d)(x − c);
3. A distaˆncia entre f e a sua tangente em c, avaliada no ponto x e´
D = [f (x)− f (c)]− f ′(c)(x − c);
4. De (2) segue que D = (x − c)[f ′(d)− f ′(c)]
5. Fazendo x = d em (1) podemos verificar que D > 0 e a parte i do
teorema esta´ demonstrada.
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O Teste da Derivada Primeira
Concavidade e Inflexa˜o
O Teste da Derivada Segunda
Prova do teorema da concavidade
Provaremos o teorema para o caso i, em que f ′′(c) > 0. Nessa situac¸a˜o:
1. Pela definic¸a˜o de derivada f ′′(c) = lim
x→c
f ′(x)− f ′(c)
x − c > 0 ⇒
f ′(x)− f ′(c)
x − c > 0, para alguma vizinhanc¸a de c;
2. Pelo TVM, existe algum d entre x e c tal que f ′(d) =
f (x)− f (c)
x − c , logo
f (x)− f (c) = f ′(d)(x − c);
3. A distaˆncia entre f e a sua tangente em c, avaliada no ponto x e´
D = [f (x)− f (c)]− f ′(c)(x − c);
4. De (2) segue que D = (x − c)[f ′(d)− f ′(c)]
5. Fazendo x = d em (1) podemos verificar que D > 0 e a parte i do
teorema esta´ demonstrada.
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O Teste da Derivada Primeira
Concavidade e Inflexa˜o
O Teste da Derivada Segunda
Pontos de inflexa˜o
Definic¸a˜o: O ponto (c , f (c)) e´ chamado ponto de inflexa˜o do
gra´fico de f se por ele passar uma reta tangente de f e se existir
um intervalo aberto A contendo c , tal que se x ∈ A, enta˜o
(i) f ′′(x) < 0 se x < c e f ′′(x) > 0 se x > c , ou;
(ii) f ′′(x) > 0 se x < c e f ′′(x) < 0 se x > c ;
Isto e´, ponto de inflexa˜o e´ onde a func¸a˜o muda de concavidade!
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O Teste da Derivada Primeira
Concavidade e Inflexa˜o
O Teste da Derivada Segunda
Exemplos
1. Determine onde a func¸a˜o f (x) = x3 − 6x2 + 9x + 1 e´ coˆncava
para cima ou coˆncava para baixo e determine seus pontos de
inflexa˜o, se houver.
2. Idem, mas para a func¸a˜o f (x) = x1/3
Comportamento de Func¸o˜es
O Teste da Derivada Primeira
Concavidade e Inflexa˜o
O Teste da Derivada Segunda
Exemplos
1. Determine onde a func¸a˜o f (x) = x3 − 6x2 + 9x + 1 e´ coˆncava
para cima ou coˆncava para baixo e determine seus pontos de
inflexa˜o, se houver.
2. Idem, mas para a func¸a˜o f (x) = x1/3
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O Teste da Derivada Primeira
Concavidade e Inflexa˜o
O Teste da Derivada Segunda
Conteu´do
O Teste da Derivada Primeira
Concavidade e Inflexa˜o
O Teste da Derivada Segunda
Comportamento de Func¸o˜es
O Teste da Derivada Primeira
Concavidade e Inflexa˜o
O Teste da Derivada Segunda
O teste da derivada segunda para extremos relativos
Seja c um ponto cr´ıtico de uma func¸a˜o f , no qual f ′(c) = 0.
Suponhamos que f ′(x) exista para todos x em algum intervalo
aberto contendo c . Nesse caso, se f ′′(c) existe, enta˜o:
(i) se f ′′(c) < 0, enta˜o f admite um ma´ximo relativo (ou local)
em (c, f (c));
(ii) se f ′′(c) > 0, enta˜o f admite um m´ınimo relativo (ou local)
em (c, f (c));
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Concavidade e Inflexa˜o
O Teste da Derivada Segunda
Prova do teste da derivada segunda
Provaremos a segunda parte do teorema. Portanto, por hipo´tese f
e´ uma func¸a˜o deriva´vel em um certo intervalo aberto A, que
conte´m c , tal que f ′(c) = 0 e f ′′(c) > 0. Nesse caso,
1. Pela definic¸a˜o de derivada f ′′(c) = lim
x→c
f ′(x)− f ′(c)
x − c > 0;
2. Sendo f ′(c) = 0, por hipo´tese, segue que
f ′(x)
x − c > 0, em
algum intervalo aberto que conte´m c . Nesse caso:
2.1 Logo, se x − c > 0 ⇒ x > c , enta˜o f ′(x) > 0;
2.2 Logo, se x − c < 0 ⇒ x < c , enta˜o f ′(x) < 0;
3. Identificamos em 2.1 e 2.2 o resultado para um m´ınimo local
do teste da derivada primeira.
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Concavidade e Inflexa˜o
O Teste da Derivada Segunda
Prova do teste da derivada segunda
Provaremos a segunda parte do teorema. Portanto, por hipo´tese f
e´ uma func¸a˜o deriva´vel em um certo intervalo aberto A, que
conte´m c , tal que f ′(c) = 0 e f ′′(c) > 0. Nesse caso,
1. Pela definic¸a˜o de derivada f ′′(c) = lim
x→c
f ′(x)− f ′(c)
x − c > 0;
2. Sendo f ′(c) = 0, por hipo´tese, segue que
f ′(x)
x − c > 0, em
algum intervalo aberto que conte´m c . Nesse caso:
2.1 Logo, se x − c > 0 ⇒ x > c , enta˜o f ′(x) > 0;
2.2 Logo, se x − c < 0 ⇒ x < c , enta˜o f ′(x) < 0;
3. Identificamos em 2.1 e 2.2 o resultado para um m´ınimo local
do teste da derivada primeira.
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Concavidade e Inflexa˜o
O Teste da Derivada Segunda
Prova do teste da derivada segunda
Provaremos a segunda parte do teorema. Portanto, por hipo´tese f
e´ uma func¸a˜o deriva´vel em um certo intervalo aberto A, que
conte´m c , tal que f ′(c) = 0 e f ′′(c) > 0. Nesse caso,
1. Pela definic¸a˜o de derivada f ′′(c) = lim
x→c
f ′(x)− f ′(c)
x − c > 0;
2. Sendo f ′(c) = 0, por hipo´tese, segue que
f ′(x)
x − c > 0, em
algum intervalo aberto que conte´m c . Nesse caso:
2.1 Logo, se x − c > 0 ⇒ x > c , enta˜o f ′(x) > 0;
2.2 Logo, se x − c < 0 ⇒ x < c , enta˜o f ′(x) < 0;
3. Identificamos em 2.1 e 2.2 o resultado para um m´ınimolocal
do teste da derivada primeira.
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Concavidade e Inflexa˜o
O Teste da Derivada Segunda
Exerc´ıcio
Considere a func¸a˜o f (x) = x2/3 − 2x1/3. Determine os pontos
cr´ıticos e de inflexa˜o da func¸a˜o. Determine os intervalos em que a
func¸a˜o e´ crescente ou decrescente e os intervalos em que a func¸a˜o
e´ coˆncava para cima ou coˆncava para baixo.
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Concavidade e Inflexa˜o
O Teste da Derivada Segunda
Refereˆncias
I Livro texto, sec¸a˜o 4.4.
Comportamento de Func¸o˜es
	O Teste da Derivada Primeira
	Concavidade e Inflexão
	O Teste da Derivada Segunda