fetrans Escoamento

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Capitulo 4 
Escoamento 
 
 
 Aulas do Prof José Antonio 
 
 FENÔMENOS DE TRANSPORTES - A 
 
 ANO : 2015 
 
 
 
 
 
 
 
4.1 - Introdução 
 
Os elementos de um fluido em escoamento podem possuir 
diferentes velocidades e podem estar sujeitos a diferentes 
acelerações. 
Estudaremos os comportamentos de um fluido em uma condição de 
movimento. 
Os fluidos contêm um número de particulas cujas caracteristicas 
podem variar continuamente. 
4.1.1 - Campo de aceleração 
 
 
Esta equação representa a variação da aceleração de um fluido no 
espaço e no tempo. 
 
 
4.1. 2 - Os tres principios Fundamentais 
 
A teorias da mecânica dos fluidos se baseia em tres principios 
consideradods fundamentais para a explicação dos fenômenos a 
que estão submetidos os fluidos.; 
1. O Principio da Conservação da Massa 
A massa que atravessa todas as secções de um tubo de 
corrente fluida por unidade de tempo é sempre a mesma. 
Este principio permite deduzir a equação da continuidade. 
representada matemáticamente ´por : = 0 
2 A segunda Lei de Newton que diz que a somatória das forças 
que agem em uma particula em movimento relativo a um 
sistema de referência fixo, é igual à taxa de variação da 
quantidade de movimento linear. 
Matemáticamente podemos escrever: 
 
 
 
 Onde p = m v quantidade de movimentio ou momentum 
linear. 
 
3 Primeira Lei da Termidinâmica ou lei da conservação da 
Energia. Esta lei diz que a energia total do sistema é 
conservada. 
Isto significa dizer que esta lei deve ser satisfeita para todo e 
qualquer instante de tempo “t” (taxas) isto é, em qualquer 
instante precisaremos ter um equilibrio entre todas as taxas 
de energias , medidas em [Joules;/segundo], ou [ Watt ]. 
Deve satisfazer um equilibrio para qualquer intervalo de tempo 
∆t, ou seja, um equilçibrio entre as trocas de quantidades de 
energia medidas em Joule. 
 
A nivel de taxas podemos escrever a primeira lei da 
termodinamica matemáticamente da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esta equação nos diz o segjuinte: 
 “A energia que entra no sistema aberto, menos a energia que sai 
do sistema aberto, mais a energia gerada dentro do sistema, é igual 
à energia armazenada no sistema.” 
Se (dE/dt)ARMAZENADA = 0 → EARMAZENADA = cte → o sistema é 
chamado de estacionário ou permanente. 
 
4.1.2.1 - SISTEMA FECHADO 
Podemos imaginar um sistema fechado como sendo um volume 
com massa M, no espaço, e que não troca massa com o meio 
exterior, mas podendo trocar energia através de suas fronteiras. No 
sistema fechado temos uma situaç ão não instantânea, mas a 
variação de energia ocorre em um intervalo de tempo. 
Matemáticamente para um sistema fechado podemos escrever a 
primeira lei da termodinâmica da seguinte forma: dQ – dW = dE 
Esta equação nos diz que a energia que entra menos a que sai, é 
igual à energia armazenada total E do sistema. 
 
Figura 1 - Sistenma Fechado 
 
4.1.2.2 - Sistema Aberto 
 
O sistema aberto também chamado de Volume de Controle, 
pode ser uma quantidade de volume e massa no espaço, 
porém ele se comunica com o meio ambiente podendo trocar 
massa e energia com o meio, 
Aqui no sistema aberto, temos situaçao instantânea, isto é; a 
energia varia por unidade de tempo. 
A equação da primeira lei aplicada a este sistema aberto, 
ficarà da seguinte forma: 
 
 
 
 
Figura 2 - Sistema Aberto 
 
 
 
 
Lembrete: 
 
 Esta equação nos traduz que a energia que está entrando no 
sistema junto com a massa por unidadde de tempo, menos a que 
está saindo, também junto com a massa por unidade de tempo, 
mais a energia gerada dentro do sistema, é igual à energia 
acumulada 
Na equação acima, : 
 m = é a massa por unidade de tempo (vazão massica) 
 u = energia interna 
pV = energia devida à pressão 
V²/S = Energia Cinética 
 gz = energia potencial em relação a um sistema de referência. 
Se e dE/dt = 0 → O sistema é estacionário ou 
permanente. 
 
4..2 –Classificação dos Escoamentos 
 
Diz-se que um fluido está em escoamento, quando ele está em 
movimento. de translação., ou seja, possue velocidade. 
 O escoamento pode ser: 
- Permanente (ou estacionário) 
- Uniforme ou não uniforme 
- Laminar ou Turbulento 
- Uni bi e tridimensional 
Figura 3 Esquema para classificação dos escoamentos 
 
 
Do diagrama acima, tiramos uma classificação para fluidos e para 
escoamentos, a saber: 
 FLUÍDOS 
Newtonianos e Não Newtonianos - 
Nesta defini ç ã o, separamos os que seguem ( Newtonianos) e os 
que não seguem ( Não Newtonianos) a Lei de Newton da 
viscosidade 
Compressiveis e incompressiveis 
Nos fluidos compressiveis a massa especifica não é constante . 
São os gases e vapores. 
Nos fluidos incompressiveis (liquidos em geral) podemos considerar 
a massa especifica como constante ao longo do escoamento. 
Viscosos e Não viscosos 
Nos viscosos a viscosidade dinâmica ( µ ) n ã o é nula., ou seja é 
diferente de zero. 
Nos fluidos não viscosos esta consideraç ã o só é feita para 
aqueles casos onde a viscosidade tem um valor muito baixo. 
 Por exemplo: á gua. 
A viscosidade é tabelada. Todos os fluidos t ê m viscosidade. 
Portanto, não existe fluido sem viscosidade. O que se faz ao afirmar 
que ela é zero é apenas para aproximaç õ es permitidas por nã o 
oferecer resultados que tem influ ê ncia nos problemas. Portanto, o 
uso e consideraç ã o de µ = 0 é apenas simplifica ç ã o. 
ESCOAMENTOS 
Permanente - 
Uniforme e não uniforme 
Uni dimensional, Bi dimensional e tridimensional 
Laminar ou Turbulento 
 
4.3 – Escoamentos Unidimensionais e Bidimensionais 
 
É unidimensional ou unidirecional, quando apenas uma 
coordenada é suficiente para descrever as propriedades do fluido. 
Hipóteses práticas: 
1– a variaç ã o da sec ç ã o transversal é muito pequena 
2 - o perfil de velocidades não varia ao longo do tubo. 
 3 - - a velocidade, a press ã o, e a massa especifica t ê m varia ç 
õ es despreziveis para cada secção em cada instante 
 
Figura 4 Escoamento unidimensional 
A direç ã o e a intensidade da velocidade é a mesma em cada secç 
ã o e em cada ponto da secç ã o. Observar que em secç õ es 
diferentes podemos ter velocidades diferentes, porém , na seccç ã o 
ela não varia. 
No escoamento bidimensional temos a variaç ã o de velocidade em 
dois eixos de coordenadas cartesianas. 
 
 
Figura 5 -Escoamento bidimensional 
 
4.3 – Escoamentos Uniformes 
 
Quando a velocidade não varia em direç ã o e intensidade de ponto 
a ponto, ou seja; em cada secç ã o ela é constante. 
 
 
Figura 6 - Escoamento Uniforme 
Observar que o escoamento uniforme é unidimensional ou 
unidirecional. 
Uma forma de entender o escomento uniforme é a aná lise da 
equaç ã o geral da acelera ç ã o, que nos mostra como varia a 
velocidade num escoamento. 
De uma forma generalizada: 
 
 
No movimento uniforme as derivadas em x , y e z são zero, pois a 
velocidade é constante na direç ã o do escoamento e nã o tem 
componentes nas outras duas direç õ es. 
Observe que no movimento uniforme a velocidade pode variar com 
o tempo. 
Matemáticamente podemos escrever para o movimento uniforme: 
→ a velocidade é constante na dire ç ã o X 
 → a velocidade n ã o tem componente em Y 
 → a velocidade n ã o tem componente em Z 
 → a velocidade varia com o tempo 
Consequentemente,→ a pressã o é constante na dire ç ã o X 
 → a massa especifica é constante na dire ç ã o X 
 
4.5 – Escoamentos Permanentes 
 
Regime em escoamento permanente é aquele no qual as condiç õ 
es do fluido são invariaveis em cada ponto em relaç ã o ao tempo. 
Em cada ponto a velocidade de sucessivos espaços de tempo é 
constante. 
 → v = constante com o tempo, ou seja, n ã o muda com o 
tempo. 
Implica ç õ es: 
 → a pressão não varia com o tempo. 
 → a massa especifica não varia com o tempo. 
 
Exemplo prá tico, é o do tanque de á gua que é alimentado por um 
registro e tem uma saida de tal forma que a vazão de água que 
entra é igual à vaz ã o de água que sai, conforme figura abaixo: 
 
Figura 7 - Tanque alimentado por vazão constante 
 
A quantidade de água que entra é a mesma que está saindo. 
Assim, as configuraç õ es das propriedades deste fluido em 
qualquer ponto, no tempo, são iguais. Portanto, pressão, massa 
especifica, velocidade, etc. são as mesmas em qualquer instante. 
Note que, em cada ponto, as propriedades são diferentes, mas,.no 
tempo elas não mudam. 
Podemos matemáticamente, para um escoamento tridimensional, 
escrever: 
 → a velocidade muda com a posi ç ão X 
 → a velocidade muda com a posi ç ão Y 
 → a velocidade muda com a posi ç ã o Z 
Se fecharmos a torneira terá um movimento VARIADO, pois haverá 
trambém variação das propriedades com o tempo. 
Novamente, tomando-se a equação geral da aceleração: 
 
 
Agora, a aceleração convectiva é diferente de zero, mas a 
aceleração total = 0 
A velocidade não muda com o tempo. 
OS ESCOAMENTOS TRIDIMENSIONAIS E VARIADOS SÃO 
MUITO COMPLICADOS E NÃO SÃO OBJETOS DE NOSSO 
ESTUDO. 
4.6 - A experiência de Reynolds 
Osborn Reynolds – Fisico e Engenheiro irlandes , em 1883, fez o 
seguinte experimento: 
 
Figura 8 - Experimento de Reynolds 
 
Ao abrir um pouco a válvula (pequenas velocidades de descarga) 
forma-se um filete continuo de fluido colorido no eixo do tubo (3). Ao 
abrir mais a valvula (5) o filete começa a apresentar ondulações e 
finalmente desaparece. 
Como o nível continua descendo no recipiente (2), conclui-se que o 
fluido colorido é injetado e totalmente diluido na água. do tubo (3) . 
Estes fatos denotam a existência de dois tipos de escoamento 
separados por um escoamento de transição. 
No primeiro caso, (filete colorido) as particulas viajam sem agitação 
transversal mantendo-se em lâminas sobrepostas sem trocas de 
particulas. 
No segundo caso as particulas apresentam velocidades 
transvesrsais, já que o filete desaparece pela diluição de suas 
particulas no volume de água. 
 
Figura 9 - Escoamentos laminar transição e turbulento 
 
Escoamento Laminar: é aquele no qual as particulas se deslocam 
em lâminas individualizadas, sem troca de massa entre si. 
Escoamento turbulento é aquele no qual as particulas apresentam 
um movimento caótico, isto é, a velocidade apresenta componentes 
transversais ao movimento. 
 
4.6.1. – O número de Reynolds 
 
Reynolds verificou com seu experimento que para o escoamento 
ser laminar ou turbulento dependia do valor de um número 
adimensional dado por: 
 
 → lembrete: 
onde: 
Re → número de Reynolds 
V → velocidade do fluido [m/s] 
D → diâmetro do tubo [ m] 
 → viscosidade cinemática [ m²/s] 
µ→ viscosidade absoluta [ N/m²s] ou [ kgf/s.m²] 
 
Nota-se que Re depende do conjunto de grandezas V, D e e de 
 e não somente de cadas um deles. 
Assim, Reynolds verificou que: 
Re ≤ 2000 → Escoamento Laminar 
2000 < Re < 2300 → escoamento de transição 
Re ≥ 2300 → escoamento turbulento 
 No escoamento turbulento temos flutuações da velocidade em 
cada ponto. 
A Tabela abaixo fornece alguns valores para a viscosidade 
dinamica de alguns fluidos importantes e usuais na prática de 
engenharia. 
 
 
Um artificio às vezes possivel de se utilizar na engenharia é tirar em 
cada ponto uma medida da velocidade ( em vários pontos) e 
considerar que ela não varia no tempo, caracterizando o 
escoamento em laminar ou permanente.. 
 
Figura 10 - Artificio usado na pratica 
 A importância fundamental do Re é a possibilidade de se avaliar a 
estabilidade do escoamento, podendo obter uma indicação se o 
escoamento flui de forma laminar ou turbulenta. O Re constitui a 
base do comportamento de sistemas reais, baseado em modelos de 
tamanhos reduzidos. 
Exemplo: Tunel aerodinâmico → medem-se esforços em modelos 
de asas de avião. 
Dois sistemas são dinamicamente semelhantes se o Re for o 
mesmo para ambos. 
Para aplicações aerodinâmicas o número de Reynolds toma a 
forma: 
 
Onde 
 → massa especifica do ar 
V → velocidade da aeronave 
ĉ→ corda aérea média do perfil 
µ → viscosidade dinamica ou absoluta 
 
 
Figura 11 Tuinel de Vento com modelos de asas em teste 
(EMBRAER) 
4.7 – Tensões de cisalhamento turbulentas 
Consideremos dois dutos de mesmo diâmetro, sendo que em um 
temos escoamento turbulento e no outro temos escoamento laminar
 
Figura 12 Perfil de velocidades laminar e turbulento 
 
Pelo principio da aderência nas paredes, em ambos os casos v =0. 
No caso (a,) - laminar, → v (r ) = VMAX ( 1 - r²/R² ) equação da 
curva de velocidades para o caso laminar. 
No caso (b) – turbulento → v(r) = V MAX [1 – r/R ]
1/7 equação da 
curva de velocidades para o caso turbulento. 
Vimos na experiência de Reynolds que, para o caso de escoamento 
laminar, vimos um movimento retilineo, indicando a não passagem 
de particulas na direção transversal, embora a velocidade “V” 
varie com o raio “ r “. 
No caso turbulento, houve passagem de particulas na direção 
transversal entre as camadas ( aqui falamos em camadas e não em 
“laminas”) ocasionando a turbulência ( movimento desgovernado 
das partriculas ). 
Ocorre que, não há passagem apenas de particulas, mas de 
quantidade de movimento. 
 
 
Quando uma particula fluida se desloca de uma camada de menor 
velocidade para outra de maior velocidade , ela causa uma 
desaceleração nas particulas que a hospedaram, e, vice – versa, 
aceleram quando migram para uma de maior velocidade, 
ocasionando uma certa compensação, e uma certa uniformidade 
no perfil deas velocidades., conforme mostrado na figura 13. 
Conforme a segunda lei de Newton, a variação de quantidade de 
movimento na camada, da origem a uma fôrça, que, por unidade 
de área tranversal atravessada pelas particulas fluidas, resulta em 
uma tensão de cisalhamantoo TURBULENTA. 
Tendo em vista a definição de tensão de cisalhamento em função 
de viscosidade e do gradiente de velocidades. 
 
Esta não é propriedade do fluido porque depende das condições do 
escoamento. 
Ela depende da velocidade na camada com valor variando de zero 
na parede, até o valor máximo no centro do duto, para voltar a ser 
zero na outra parede devido ao principio da aderência. Como ela 
depende de velocidades ela aumenta com o número de Reynolds. 
Asssim, a tensão de cisalhamento total num escoamento turbulento 
é dada pela soma da tensão viscosa com a turbulenta. 
 + 
 
 
Figura 13 - Variação das tensões viscosas e turbulentas 
 
 
Figura 14 - Representação Gráfica das Tensões no fluido 
 
4.8 - Linhas de Corrente e Tubos de Corrente 
Trajetória – é o caminho percorrido por uma particula em instantes sucessivos. 
Ligamos cada ponto ocupado pela particula em cada instante, e teremios a 
trajetória desta particula. [ 
 A equação da trajetória será uma função doponto inicial e do 
tempo inicial (incio da contagemdos tempos) 
 
 
Figura 15-Representação da trajetória com espaço e tempo 
Onde tn - t0 = intervalo de tempo de exposição. 
LINHA DE CORRENTE É A LINHA IMAGINÁRIA TANGENTE AOS VETORES 
VELOCIDADES DE DIFERENTES PARTICULAS NO MESMO INSTANTE. 
TRATA-SE DE UM FENOMENO INSTANTÂNEO. 
A visualisação pode ser feita jogando serragem em diversos pontos ao longo 
do escoamernto ( utilizando um tubo transparente) e batendo-se uma foto 
instantânea . 
 A serragem, num curto intervalo de tempo, deixará marcado um espaço 
percorrido que representará o vetor velocidade em cada ponto. 
 Na trajetória traçamos linhas tangentes aos traços de velocidade marcados 
pela serragem, e ai teremos uma linha de corrente. 
 
 
Figura 16 -Resultado de uma foto instantânea 
 
Na equação de uma linha de corrente, diferentemente da trajetória da particula, 
o “tempo” não seria uma variavel, porque o fenomeno se dá em um 
determinado instante de tempo. 
O tubo de corrente é um tubo imaginário formado por “ n” , linhas de corrente.. 
Ele pode ter a forma que se desejar, porém, com a única condição de ser 
construido por linhas de corrente , num mesmo instante “ t” . 
 
Figura 17 - Representação de um tubo de corrente 
 
As linhas de corrente são consrtruidas a partir de pontos fixos no espaço, 
atravessados pelo fluido, e , potanto, não acompanham o fluido em seu 
movimento. 
As particulas fluidas, pelo fato de terem suas velocidades sempre tangentes às 
linhas de corrente, elas nunca atravessarão as paredes do tubo de corrente, 
ou seja, nunca haverá movimento de particulas transversais ao tubo de 
corrente. ] 
Vale observar que, quando um fluido em movimento ocupa todo o volume 
interno de um tubo de paredes rigidas, esse duto pode ser naturalmente 
considerado um tubo de corrente. 
 Num regime permanente (ou estacionário ) as linhas de corrente podem ser 
consideradas linhas fixas no espaço formando um tubo de corrente . O fluido 
escoa sempre com os mesmos valôres de detererminada grandeza associada 
à partícula fluida, quer seja esta grandeza um escalar, como a pressão, a 
massa especifica, etc... ou vetorial , como a velocidade, a quantidade de 
movimento, a aceleração, etc... sem mudanças com o passar do tempo. 
Essas linhas imaginarias, tomadas através do fluido, servem para indicar a 
direção da velocidade nas diversas secções do escoamento. Uma tangente à 
curva em qualquer ponto representará a direção instantânea da velocidade das 
particulas fluidas naquele ponto. 
 
4.9 Conceito de Vazão 
 
4.9.1 - Vazão em Volume ou Vazão volumétrica 
Define-se vazão em volume ou volumétrica “Q”, como sendo o volume de fluído 
que atravessa determinada secção do escoamento, na unidade de tempo. 
Matemáticamente: 
 → no sistema SI [m³/s] 
Outras unidades também são usuais para vazão: [ m³/h] , [ m³/min] , [l/s] , [ 
l/min] 
Se uma torneira encher 1 [l] em 5 [s] ; então a vazão na secção de descarga 
da torneira será de 0.2 [l/s], pos Q = 1/5 [l/s] = 0.2 [l/s] 
4.9.2 – Vazão em massa ( Qm) e Vazão em Peso ( QG ) 
É a massa de fluido que atravessa uma certa secção do tubo de corrente na 
unidade de tempo. 
A vazão em peso (QG ) é o peso do fluido que atravessa uma certra secção do 
tubo de corrente na unidade de tempo. 
 Asssim temos: 
 Vazão em massa: 
 
No sitema internacional SI → [kg/s] 
Vazão em peso: 
 
No sistema internacional SI → [ N/s] 
 As vazões se relacionam entre si segundo a seguinte expressão: 
 
4.10 - Velocidade média no escoamento 
A velocidade média na secção do escoamento é uma velocidade ficticia e 
uniforme na secção que, quando substitue o perfil real de velocidade na 
secção, produzirá a mesma vazão em volume. 
Asssim, se conhecermos a vazaão em volume numa dada secção de area “A”, 
podemos obter a velocidade média V pela relação: 
 
Consideremos agora uma secção de um tubo de corrente qualquer em 
escoamento.. 
: 
Figura 18 - Elemento infinitesimal de um tubo de corrente 
 
Figura 19 - O Perfil da Velocidade Média 
Seja dV o volume de fluido que atravessa a area dA no intervalo de tempo dt. 
Podemos escrever: 
dv = dl. dA 
A vazão volumétrica de um elemento infinitesimal será: 
dQ = dV/dt = (dl / dt ) dA 
Mas (dl / dt) é a velocidade da particula de volume dV que atravessa a ´area 
dA . 
Logo: 
 
Onde: 
 
Usamos a integral porque a velocidade varia para cada dA. 
Se a velocidade fosse uniforme → Q = V.A 
Aplicando o conceito de velocidade média podemos escrever: 
 → onde → 
Onde V é o perfil de velociodade real. 
 As seguintes relações entre vazões podem ainda ser consideradas: 
 
= 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 4.1 
Dado um perfil de velocidades, determinar a velocidade média. 
Esquema: 
 
Supor que não haja variação da velocidade, segundo a direção normal ao 
plano do papel. 
Solução 
Sendo o diagrama linear, temos a seguiinte representação para esta 
distribuição de velocidades: 
 V = C1y + C2 ( 1 ) 
Precisaremos agora calcular C1 e C 2 , que são duas constantes. 
Aplicando as condições de contorno temos: 
 Para y = 0 → V = 0 → C2 = 0 
Para y = h → V = V0 → V0 = C1 h → C1 = V0/ h 
Substituindso em (1 ) ficará : 
Nestas condições a velocidade média será dada por : 
 , pois dA = b.dy , já substituido dentro da 
integral. 
Assim, 
 
 
Em uma representação gráfica, teremos: 
 
 
4.11 - Equação da Continuidade para regime permanente 
Esta equação resulta do principio da conservação da Massa. Para o 
escoamento permanente, a massa de fluido que passa por todas as secções 
de uma corrente de fluido por unidade de tempo é a mesma. 
 
Em A1 passa uma vazão massica de valor: 
 
Em A2 passa a vazão 
 
Aplicando para fluidos compressiveis teremos: 
 → definição matemática da equação da continuidade 
 = = constante → no sistema SI [ kg/s] 
→ em unidades inglesas [ lb/s] 
Ou, utilizando o peso especifico: 
 → [kgf/s] ou em unidades inglesas [ lbf/s] 
Para fluidos incompressiveis, a massa especifica não varia com a distância 
nem com o tempo: , então podemos cortar a massa especifica, ficando a 
equação: 
Q = = → [ m³/s] ou [ft³/s] 1 = 2 e w1 = w2 
 
De uma forma geral, para escoamentos permanentes , de um fluido 
incompressivel, a equação da continuidade é dada por: 
An1 V1 = An2 V2 = An3V3 = cte, onde An1, An2,...... etc, representam áreas 
normais aos respectivos vetores velocidade. 
4.11.1. – Caso mais complexo. Equação da continuidade para 
escoamento tridimensional e variável 
 
Vamos deduzir a equação continuidade para fluido compressivel, e depois 
para incompressivel. 
Consideremos tres eixos de coordenmadas cartesianas como referência para 
um sistema infinitesimal de um fluido em movimento, conforme a figura 
abaixo : 
Figura 20 - Paralelepipedo infinitesimal para dedução da 
equação da continuidade 
 
Para o fluido à montante, ( lado 1 ) , aplicando a equação da continuidade 
temos: 
 u (dy dz) 
Para o fluido à jusante (lado 2) , análogamente , teremos: 
 + 
 A diferença entre os fluxos a montante e a jusante ( Qm1 – Qm2 ) nos 
fornecerá o acúmulo de energia e massa dentro do volume considerado, 
resultando: 
 [ ( u dy dz dx) ] ( A ) 
Utilizando o mesmo raciocinio para os eixos y e z, teremos respectivvemente: 
Y : → [ ( v dy dz dx)] ( B ) 
Z : → [ ( w dy dz dx) ] ( C ) 
Lembrando que: 
u = dx v = dy w = dz 
Somando (A ) + ( B ) + ( C ) teremos o fluxo resultante com os eixos X,Y 
e Z. 
Então ficará: 
 { [ ( u dy dz dx) ] + [ ( v dy dz dx) ] + [ ( w dy 
dz dx) ] } = 
 u + v + w ] dx dy dz → representa o fluxo de massa 
resultante. 
Considerando agora variação com o tempo, a real variação de massa com o 
tempo dentro do paralelepipedo será: 
 ( dx dy dz ) = ( dx dy dz ) → representa a variação de 
massa com o tempo. 
Pelo principio da conservação da massa, o fluxo resultante é igual à variação 
da massa. 
Igualando os termos, vem: 
 u + v + w ] dx dy dz = ( dx dy dz ) 
A parcela referente ao volume ( dxdydz ) pode ser cancelada, porque aparece 
multiplicando ambos os membros da equação 
 + u + v + w = 0 → Equação da Continuidade para 
um escoamento de fluido compressivel, tridimensional e variado ( não 
permanente). 
 
4.11.2 - Equação da continuidade para escoamento em regime 
permanente , fluido compressivel e tridimensional 
 
No escoamento permanenente as propriedades não variam com tempo 
Logo: = 0 → a massa especifica é constante porque o escoamento 
é permanente. 
A equação da continuidade então resulta: 
 u + v + w = 0 
Note que aparece na equação porque ele não varia com o tempo, porém varia com 
x,y e z. 
Caso dos fluidos compressiveis (gases e vapores). 
4.11.3. - Equação da continuidade para fluidos 
incompressiveis em regime de escoamento permanente 
 
 Como temos fluido incompressivel, não varia, portanto podemos cancelar na 
equação acima. 
 u + v + w = 0 
Observar que não temos o termo variando com o tempo. Por se tratar de 
escoamento em regime permanente.,. 
4.11.4 – Equação da Continuidade para escoamento bi-
dimensional, fluido incompressivel e escoamento em regime 
permanente 
 
Agora o termo ∂w/∂z = 0 e novamente não temos variação com o tempo, ´por 
isto ∂ /∂t = 0 porque o fluxo é em regime permanente,. 
 u + v = 0 
Notar que não aparece na equação, porque o fluido é incompressivel. 
4.11.5 Equação da continuidade para escoamento em regime 
permanente, fluido incompressivel e unidirecional, 
 
Só temos velocidade na direção x e ela é constante. 
 u = 0 → significa que a componentre de V em x, ( u ) é a própria 
velocidade total que é cosntanmte. 
 v = 0 → significa que não tem componente em y 
 w = 0 → significa que não tem componente em z. 
 
 EXEMPLO 4.2 
Dadas as componentes de velocidade para um fluido incompressivel em 
escoamento permanente, verificar se a condição de continuidade é satisfeita., 
sendo este escoamento tridimensional. 
Dados: 
 u = 2x² - xy + z² 
v = x² - 4 xy + y² 
w = -2xy – yz + y² 
 
 
Solução 
Para escoamento de fluido incompressivel e em regime permanente, e 
tridimensional, a equação deduzida para este caso é: 
 u + v + w = 0 
 = 4x – y 
 = -4x + 2y 
 = -y 
 
Somando os termos conforme manda a equação da continuidade acima: 
( 4x –y ) + ( - 4x + 2 y ) + ( -y) = 0 
 0 = 0 → Satisfaz a condição da continuidade. 
 
EXEMPLO 4.3 - Exercicio proposto 
Para um escoamento permanente de fluido incompressivel as componentes de 
velocidade são dadas por: 
U = ( 2x – 3y )t 
V= (x – 2y) t 
W =0 
Verificar se a condição de continuidade-é satisfeita. 
 
Exemplo 4.4 
Quando 1800 [l/min] escoam através de um tubo de ф= 200 mm de diâmetro , 
que converge para ф = 100 mm , qual a velocidade média em cada uma destas 
secções? 
 Esquema 
 
Solução 
 
Para operar com unidades coerentes, precisaremos passar a vazão 
volumetrica Q de [ l/min] ára [ m³/s] 
Q = 1800 [l] / [min] = 1800 [l]/60 [s] = (1800/60) x 10-3 [m³/s] = 0.030 [m³/s] 
Velocidade do fluido na secção de diametro de 200 mm 
V200 = Q/A = 0.030/(πD²)/4 = 0.030 x 4 / πx (020)² [m³/s/m²] = 0.955 [m/s] 
Velocidade do fluido na secção de diâmetro 100 mm 
V100 = Q/A = 0.030 x 4 / π x (0.1)² = 3.82 [m/s] 
EXEMPLO 4.5 – PROPOSTO 
Se a velocidade em um tubo de diâmetro 350 mm é de 0.5 [m/s] qual será a 
velocidade em um jato de ф = 70 mm de diâmetro saindo de um bocal fixado 
no tubo? 
Esaquema 
 
 
Solução 
Aeqwuação da contionuidade diz que a vazão que entre é igual à que sai. 
Logo: 
A350 .v350 = A0 v70 
Substituindo os valores: 
[ Πx(0.350)² /4 ]x 0.5 = [ (0.0700\0² x π/4 v70 
V70 = 12.5 [ m/s] 
 
EXEMPLO 4.6 – 
Em um tubo de 150 mm de diâmetro escoa ar sob uma pressão manométrica 
de 2 [kgf/cm²] e uma temperatura de 27ºC. Se a pressão barométrica for de 1 
[kgf/cm²] e a velocidade for de 3 [m/s] quantos quilos de ar por segundo 
estarão escoando? 
Dado : constante universal para o ar ( tabelado ) a 27ºC 
 R = 29.3 [ m/K] 
Esquema 
 
 Solução 
Queremos a massa por segundo, que é a vazão massica. 
Pelo principio da continuidade a vazão que entra é igual à que sai. 
 Precisaremos da massa especifica nas condições de pressão e temperatura 
que o ar se encontra. 
 
V = 1/ ( o volume especifico é igual ao inverso da massa especifica – (Cap 1) 
Substituindo → P/ = RT → P = R T 
Como w é númericamente igual à , podemos substituir e fazer as contas com 
w 
P = w R T → w = P/RT = (2 +1 ) x 104 / 29.3 x 300 = 3.41 [kgf/m³] 
 A vazão massica será então 
 Qm = w Q = 3.41 var A 
Qm = 3.41 [kgf/m³] x 3 [m/s] x π x ( 0.150)² /4 = 0.181 kg/s 
Portanto Qm = 0.181 [ kg/s] 
Obs . Como o kgf é numéricamente igual ao kg , ele foi simplesmente 
substituido para haver coerência na resposta do problema. 
 
EXEMPLO 4.7 
Ar escoa num tubo convergente,. A área de maior secção do tubo é 20 cm² e 
a de menor área é de 10 cm². A massa especifica do ar na secção (1) é de 
0.12 [utm/m³], enquanto que na secão (2 ) é de 0.09 [utm/m³]. 
Sendo a velocidade na secção (1) 10 m;/s determinar a velocidade na secção ( 
2) e a vazão em massa. 
Dado 
1 utm = [ 1 kgf.s²/m] 
 
Figura 
 
 
Solução 
A1 = 20 cm² 
A2 = 10 cm² 
1 = 0.12 [ utm/m³] 
2 = 0.09 utm/ m³ 
V1 = 10 [m/s] 
Calculo de v2 
Pela equação da continuidade 
Qm1 = Qm2 
Mas 
Qm1 = 1 v1A1 
Qm2 = 2v2A2 
Iguaalando as vazões massicas teremos: 
 1 v1A1 = 2v2A2 → v2 = 1 v1 A1 / 2 A2 
 
V2 = 0.12 [kgf.s²/m
4] x 10 [m/s] x 20 x10-4 [m²] / 0.09 [kgf.s²/m4]x10 x10 -
4[m²] 
 
V2 = 26.67 [m/s] 
Calculo da vazão massica 
Qm1 = 1 v1A1 
Substituindio os valores, teremos: 
Qm1 = 0.12 [kgfs²/m
4] x 10 [m/s] x20 x10-4 [m²] 
Qm1 = 0.023 [kg/s] 
 
 
 
4.12 – Tubo de Venturi ( Tubo Convergente-divergente) 
 
Consideremos um fluido incopmpressivel escoando por um Vengturi conforme 
a figura abaixo: 
 
 
Figura 21 Tubo de Venturi e as linhas de corrente 
 
Vamos determinar a velocidade média na garganta do Venturi. 
Pela Contionuidade 
Q =QG 
Sendo v e vG as ve.locidades médias nas secções de entrada e na garganta 
respectivamente e sendo A e AG as areas nas respectivas secções 
transversais, tgeremos: 
 vA = vGAG 
 vG = vA/AG 
Análise 
A pressão na garganta é menor devido á conservação da Energia, Na 
garganta a velocidade é maior, As linhas de correnmte convergem para a 
garganta e divergem ao passar pela garganta, diminuindo a velocidade até se 
normalizar novamenteem v , 
Então, quando as linhas de corrente convergem, haverá um aumento de 
velocidasde e onde deivergem haverá uma redução de velocidade. 
Apicação apropriada para medir vazão de liquido, gas ou vapor. Fabricado em 
aço carbono, ou aço inoxidavel 
Para se medir vazões se procede da segjuinte forma: 
 
Pela equação da Conservação da Energia (a ser estudado no Capitulo 5) 
demonstra-se que 
 
 [ m/s] 
Assim, a partir de valôres geométricos do tubo, podemos calcular a velocidade 
corrente e a vazão volumétrica no tubo. 
Uma outra aplicação , usada com os VENTURIS , pelo fato de a pressão 
diminuir na garganta., (porque aumenta a velocidade e consequetemente 
aumenta a energia cinética, logo, para manter a energia tiotal constante 
conforme a lei da conservação da enegia, a pressão deve diminuir ). é a 
aplicação como dosador de produtos quimicos em tratamento de água , pois se 
a pressão diminue na garganta, o fluxo pode “puxar” o fluido que passa em 
comuinicação com o Venturi, conforme a figura abaixo: 
 
 
Figura 22 -Aplicação de Venturi em tratamento de água 
FIM