Teorema dos Quatro Vértices - Carlos Tadeo Opa

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE
GOIA´S
´
TEOREMA DOS QUATRO
VE´RTICES
por
Carlos Tadeo Opa
Formosa
outubro/2007
INTRODUC¸A˜O
Neste trabalho vamos demonstrar que toda curva Simples, Fechada e
Convexa tem no mı´nimo quatro ve´rtices.
Para isso demonstraremos alguns teoremas e proposic¸o˜es sobre curvas,
ale´m de alguns resultados de algebra linear considerados necessa´rios.
Por fim mostraremos este que e´ um resultado cla´ssico da Geometria Difer-
encial de Curvas e Superf´ıcies.
5
Cap´ıtulo 1
CURVAS
1.1 CURVAS PLANAS
1.1.1 Curvas Parametrizadas
Definic¸a˜o 1. Uma curva diferencia´vel parametrizada e´ uma aplicac¸a˜o difer-
encia´vel α : I 7→ R3 de um intervalo aberto I-(a,b) da reta real R em
R
3. Isto e´, α e´ uma correspondeˆncia que leva cada t ∈ I em um ponto
α(t) = (x(t), y(t), z(t)) ∈ R3.
Proposic¸a˜o 1. Seja α(t) uma curva parametrizada que na˜o passa pela origem.
Se α(t0) e´ o ponto do trac¸o de α mais pro´ximo da origem e α
′(t0) 6= 0, enta˜o
α(t0) e´ ortogonal a α
′(t0).
Demonstrac¸a˜o. Seja α(t) = (x(t), y(t), z(t)),a func¸a˜o distaˆncia entre α(t0) e
a origem.Se α(t0) e´ o ponto mais pro´ximo da origem, enta˜o:
d(α(t), 0) =
√
((x(t))2 + (y(t))2) + (z(t))2
Elevando-se os dois lados da igualdade ao quadrado obtemos
d2(α(t), 0) = x(t)2 + y(t)2 + z(t)2
e derivando ambos os lados, segue que
0 = 2[x(t).x′(t)] + 2[y(t).y′(t)] + 2[z(t).z′(t)]
pelas propriedades de produto interno(vide apeˆndice), chegamos a
0 = (x(t), y(t), z(t))(x′(t), y′(t), z′(t))
6
portanto, substituindo t port0, temos
α(t0).α
′(t0) = 0
Definic¸a˜o 2. : Dado t0 ∈ I, o comprimento do arco de uma curva parametrizada
α : I 7→ R3, a partir do ponto t0, e´:
S(t) =
∫ t
t0
‖α′(t)‖ dt
Onde ‖α′(t)‖ =√(x′(t))2 + (y′(t))2 + (z′(t))2
Proposic¸a˜o 2. : Uma curva esta´ parametrizada pelo comprimento de arco
se, e somente se ‖α′(t)‖ = 1.
Demonstrac¸a˜o. : Se ‖α′(t)‖ = 1, para todo t pertecente a I, enta˜o:
Lα(t) =
∫ t
t0
‖α′(ξ)‖ dξ =
∫ t
t0
dξ = t− t0
Reciprocamente, se
Lα = t+ c
obtemos que
‖α′(t)‖ = L′α(t) = 1
Proposic¸a˜o 3. Seja α(s) uma curva parametrizada pelo comprimento do
arco tal que sua derivada segunda α′′(s) seja identicamente nula, enta˜o o
trac¸o de α(s) e´ uma reta.
Demonstrac¸a˜o. ‖α′′(s)‖ = 0,∀s ∈ I, enta˜o α′′(s) = 0, integrando ambos
os lados da igualdade temos: α′(s) = u e |u| = 1, integrando novamente,
obtemos que α(s) = t+ us, logo α(s) e´ uma reta.
Proposic¸a˜o 4. : Seja α : I 7→ R3, com 0 ∈ I uma curva parametrizada e
seja v ∈ R3 um vetor fixado, Admita que α′(t) seja ortogonal a v para todo
t ∈ I e que α(0) tambe´m seja ortogonal a v. Enta˜o α(t) e´ ortogonal a v para
todo t ∈ I.
7
Demonstrac¸a˜o. : Seja α(t) = (x(t), y(t), z(t)) e v = (a, b, c), enta˜o α′(t) =
(x′(t), y′(t), z′(t)). Sabemos que o produto interno entre:
〈α′(t).v〉 = 0⇐⇒
⇐⇒ (a, b, c).(x′(t), y′(t), z′(t)) = 0⇐⇒
⇐⇒ ax′(t) + by′(t) + cz′(t) = 0
, integrando ambos os lados da igualdade no intervalo [0,t], obtemos:
a
∫ t
0
x′(t)dt+ b
∫ t
0
y′(t)dt+ c
∫ t
0
z′(t) = 0⇐⇒
⇐⇒ a[x(t)− x(0)] + b[y(t)− y(0)] + c[z(t)− z(0)]⇐⇒
⇐⇒ ax(t)− ax(0) + by(t)− by(0) + cz(t)− cz(0) = 0⇐⇒
⇐⇒ ax(t) + by(t) + cz(t) = ax(0) + by(0) + cz(0)⇐⇒
⇐⇒ (a, b, c).(x(t), y(t), z(t)) = (a, b, c).(x(0), y(0), z(0))⇐⇒
⇐⇒ v.α(t) = v.α(0)
Como v e´ ortogonal a α(0), segue que α(t) e´ ortogonal a v para todo t ∈ I.
8
Proposic¸a˜o 5. : Seja α : I 7→ R3 uma curva parametrizada, com α′(t) 6= 0,
para todo t ∈ I. Enta˜o |α| e´ uma constante se, e somente se α(t) e´ ortogonal
a α′(t) para todo t ∈ I.
Demonstrac¸a˜o. : Por hipo´tese ‖α(t)‖=k, elevando ambos os membros da
igualdade ao quadrado temos
‖α(t)‖2 = k2 ⇐⇒
logo pelas propriedade do produto interno de vetores, segue que
〈α(t), α(t)〉 = k2
Derivando ambos os lados
⇐⇒ α(t).α′(t) + α′(t).α(t) = 0⇐⇒
⇐⇒ 2[(α(t).α′(t))] = 0⇐⇒
⇐⇒ α(t).α′(t) = 0
Donde a volta e´ dada pelo caminho inverso.
1.1.2 Curvas Regulares e Parametrizadas pelo compri-
mento do Arco
Seja α : I 7→ R3 uma curva diferencia´vel parametrizada. Para cada t ∈ I
tal que α′(t) 6= 0, ha´ uma reta bem definida contendo o ponto α(t) e o vetor
α′(t). Essa reta e´ chamada a reta tangente a α em t. Para o desenvolvimento
da geometria das curvas e´ essencial a existeˆncia de uma reta tangente em
todos os pontos de α. Chamaremos ponto singular de α um ponto t ∈ I onte
α′(t) = 0.
Seja α : I 7−→ R2 uma curva parametrizada, dada por α(t) = (x(t), y(t)).
O vetor tangente(ou vetor velocidade) de α em t0 ∈ I e´ dado por:
α′(t0) = (x′(t0), y′(t0))
A velocidade escalar de α em t0 ∈ I e´ dada pelo mo´dulo do vetor veloci-
dade α′(to), isto e´,
‖α′(t0)‖ =
√
(x′(t0))2 + (y′(t0))2
quando α′(t0) 6= (0, 0), tal vetor aponta na direc¸a˜o tangente a` curva α em t0.
9
Definic¸a˜o 3. : Uma curva diferencia´vel parametrizada α : i 7→ R3 e´ chamada
regular se α′(t) 6= 0 para todo t ∈ I.
Proposic¸a˜o 6. : Seja α : I 7→ R3 uma curva parametrizada e regular em
t0 ∈ I. Enta˜o existe � > 0, tal que α e´ injetiva no intervalo I0 = {t ∈
I; |t− t0| < �}.
Demonstrac¸a˜o. : Como α′(t0) 6= (0, 0, 0), temos x′(t0) 6= 0, y′(t0) 6= 0 e
z′(t0) 6= 0. Suponha x′(t0) 6= 0, logo como x′ e´ uma func¸a˜o cont´ınua, existe
� > 0, tal que x′(t) 6= 0, para todo t ∈ I0 = (t0 − �, t0 + �). Nesse caso, x e´
estritamente mono´tona e, portanto injetiva, o que implica que α|t0 e´ injetiva.
A prova de y′(t0) e z′(t0) e´ ana´loga.
Definic¸a˜o 4. : Dado t0 ∈ I, o comprimento do arco de uma curva parametrizada
α : I 7→ R3, a partir do ponto t0, e´:
S(t) =
∫ t
t0
‖α′(t)‖ dt
Onde ‖α′(t)‖ =√(x′(t))2 + (y′(t))2 + (z′(t))2
Proposic¸a˜o 7. : Uma curva esta´ parametrizada pelo comprimento de arco
se, e somente se ‖α′(t)‖ = 1.
Demonstrac¸a˜o. : Se ‖α′(t)‖ = 1, para todo t pertecente a I, enta˜o:
Lα(t) =
∫ t
t0
‖α′(ξ)‖ dξ =
∫ t
t0
dξ = t− t0
Reciprocamente, se
Lα = t+ c
obtemos que
‖α′(t)‖ = L′α(t) = 1
Proposic¸a˜o 8. : Seja OA um diaˆmetro de comprimento 2a, de um c´ırculo
S1 e sejam OY e AV as retas tangentes a S1, respectivamente em O e A.
Uma semi-reta r e´ trac¸ada a partir de O e encontra o c´ırculo S1 em C e a reta
AV em B. Marque na reta OB o segmento OP de maneira que OP = BC.
Girando r em torno de O, o ponto p descreve uma curva chamada Cisso´ide
de Dio´cles(conforme a figura). Tomando O como a origem do plano xy, OA
como eixo x e OY como o eixo y, enta˜o o trac¸o de α e´ dado por:
α(t) =
(
2at2
1 + t2
,
2at3
1 + t2
)
10
Demonstrac¸a˜o. : Temos que as equac¸o˜es da reta r : y = tx e S1 : y =√−x2 + 2ax, segue que Xc = 2a
t2 + 1
, Yc =
2at
t2 + 1
, Xb = 2a, Yb = S, sendo
y =
s
2a
x, enta˜o S = 2at e o ponto P(x,xt).
Por hipo´tese temos que d(B,C) = d(O,P ), logo:√(
2a
t2 + 1
− 2a
)2
+
(
2at
t2 + 1
− 2at
)2
=
√
x2 + x2t2
Elevando ambos os lados da igualdade ao quadrado e fazendo a soma das
frac¸o˜es , obtemos:(
2a− 2at2 − 2a
t2 + 1
)2
+
(
2at− 2at3 − 2at
t2 + 1
)2
= x2 + x2t2(
2at2
t2 + 1
)2
+
(−2at3
t2 + 1
)2
= x2(t2 + 1)
Portanto temos que:
4a2t4 + 4a2t6
(t2 + 1)2
= x2(t2 + 1)
segue que:
x2 =
4a2t4 + 4a2t6
(t2 + 1)3
x =
√
4a2t4 + a2t6
(t2 + 1)
concluimos enta˜o que x =
2at2
1 + t2
e y = tx =
2at3
1 + t2
e o trac¸o da Cisso´ide de
Dio´cles e´ dado por:
α(t) =
(
2at2
1 + t2
,
2at3
1 + t2
)
Proposic¸a˜o 9. :Seja um Disco circular de raio a no plano xy, que gira
sem escorregar ao longo do eixo Ox. A figura descrita por um ponto da
circunfereˆncia do disco e´ chamada ciclo´ide e seu trac¸o parametrizado e´ dado
por α(t) = a(t− sen(t)) + a(1 + cos(t)).
11
Demonstrac¸a˜o. : Quando o c´ırculo gira um aˆngulo t, seu centro se move
um comprimento OT. Na figura temos OT=TP=at, CT=a, CA=acost e
AP=asent.
Portanto, ascoordenadas de P sa˜o
x = O¯T − A¯P = at− asent = a(t− sent)
y = A¯T = C¯T − A¯C = a− acost = a(1− cost)
Essas euac¸o˜es sa˜o va´lidas para qualquer P. Logo, a equac¸a˜o vetorial da
ciclo´ide e´:
~r = a(t− sent)~i+ a(1− cost)~j
Proposic¸a˜o 10. : Uma hipociclo´ide e´ a curva descrita pelo movimento de
um ponto fixo P, de um c´ırculo de raio b, que gira dentro de um circulo fixo
de raio a, a > b(ver figura).E seu trac¸o e´ dado pela equac¸a˜o vetorial:
~r = [(a− b)cost+ bcosta− b
b
t]~i+ [(a− b)sent− bsenta− b
b
t]~j
Demonstrac¸a˜o. : Suponhamos que, inicialmente o c´ırculo de raio b tangencia
o c´ırculo de raio a no ponto(a,0) e que o ponto P e´ este ponto de tangeˆncia.
Para parametrizar a curva, vamos analisar a figura, onde demarcamos o
ponto P quando o ponto de tangeˆncia dos dois c´ırculos e´ T.
Pela construc¸a˜o da curva, temos que os arcos AT e PT sa˜o iguais.
Portanto:
at = bα e α =
at
b
por outro lado como β = PĈD, segue que:
β = α− t
=
a
b
t− t
=
a− b
b
t
queremos determinar aas coordenadas x(t) e y(t) do ponto P. temos
x = OB +BM
= (a− b) cos t+ b cos β
12
= (a− b) cos t+ b cos a− b
b
t
y = PM = BN
= BC − CN
= (a− b)sent− bsenβ
= (a− b)sent− bsena− b
b
t
. Portanto, as equac¸o˜es parame´tricas da hipociclo´ide sa˜o:
x(t) = Ct
e a equac¸a˜o vetorial correspondente e´:
~r = (a− b) cos t+ b cos a− b
b
t+ (a− b)sent− bsena− b
b
t
Os cu´spides ocorrem nos pontos onde o ponto de tangeˆncia dos dois c´ırculos
e´ o ponto P, portanto ocorrem quando:
at = n.2pib, n ∈ N
t = n.2pi
b
a
, n ∈ N
13
Cap´ıtulo 2
TEORIA LOCAL DAS
CURVAS
2.1 TEORIA LOCAL DAS CURVAS PARAMETRIZADAS
PELO COMPRIMENTO DE ARCO
Nesta sec¸a˜o descreveremos os resultados principais sobre curvas a serem
utilizados neste trabalho.
Seja α : I = (a, b) 7→ R2 uma curva parametrizada pelo comprimento de
arco ”s”. Como o vetor tangente α′(s) e´ unita´rio, o mo´dulo |α′′| da derivada
segunda mede a taxa de variac¸a˜o do aˆngulo que as tangentes vizinhas do ponto
s fazem com a tangente em s. |α′′| da´ portanto, uma medida, da rapidez que
a curva se afasta da tangente de s, em sua vizinhanc¸a.
Definic¸a˜o 5. : Seja α : I 7→ R2, uma curva parametrizada pelo comprimento
de arco s ∈ I. O nu´mero |α′′|=k(s), chama-se curvatura de α em s.
Podemos observar que mudando-se a orientac¸a˜o, o vetor tangente muda
de sentido, isto e´, se β(−s) = α(s), enta˜o:
dβ
d(−s) = −
dα
ds
s,
portanto, α′′(t) e a curvatura permanecem invariantes por uma mudanc¸a de
direc¸a˜o.
Proposic¸a˜o 11. : Seja α : I 7→ R2,e suponha αparametrizada pelo compri-
mento de arco, enta˜o a derivada segunda α′′(s) e´ normal a derivada primeira
α′(s).
14
Demonstrac¸a˜o. : como α′ e´ unita´rio, temos que α′.α′ = 1 derivando ambos
os membros obtemos:
α′(s).α′′(s) + α′′(s).α′(s) = 0
2.(α′(s).α′′(s) = 0
α′(s).α′′(s) = 0
logo a derivada segunda e´ normal a primeira.
Definic¸a˜o 6. : Nos pontos onde k(s) 6= 0, fica bem definido pela equac¸a˜o
α′′ = k(s)n(s) e seja n(s) um vetor na direc¸a˜o de α′′(s). Logo pela proposic¸a˜o
anterior n(s) e´ normal a α′(s) e e´ chamado vetor normal em s. Chamamos
de pano osculador, o plano determinado por α′(s) e n(s).
Definic¸a˜o 7. : Fazendo t(s) = α′(s), enta˜o t′(s) = k(s)n(s), segue que o
vetor unita´rio dado por b(s) = t(s) ∧ n(s) e´ normal ao planos osculador e
sera´ chamado vetor binormal em s.
Podemos calcular b′(s), observando que b′(s) e´ normal a b(s) e, por outro
lado:
b′(s) = t′(s) ∧ n(s) + t(s) ∧ n′(s) = t(s) ∧ n′(s)
segue que :
b′(s) = τ(s).n(s)
Definic¸a˜o 8. : Seja α : I 7→ R3 uma curva parametrizada pelo comprimento
de arco s, tal que α′′ 6= 0, s ∈ I. O nu´mero τ(s) definido por b′(s) = τ(s).n(s)
e´ chamado torc¸a˜o de α em s.
15
Cap´ıtulo 3
O TEOREMA DOS QUATRO
VE´RTICES
Nessa sec¸a˜o vamos enunciar e demosntrar a raza˜o princiapal dessa mono-
grafia.
Definic¸a˜o 9. Seja α : [a, b] 7→ R2 uma curva regular fechada e de classe C2,
enta˜o essa curva e´ chamada ”Curva de Jordan.
Teorema 1. (Teorema dos Quatro Ve´ritices) Seja α : (a, b) 7→ R2 uma curva
de jordan, regular e de clase C3. Enta˜o α possui pelo menos quatro ve´rtices.
Antes de provarmos esse resultado, vamos introduzir e estudar as pro-
priedades de c´ırculo circunscrito ao trac¸o de uma curva fechada e regular.
Seja α : [a, b] 7→ R2 uma curva fechada e regular. Como o trac¸o de α e´ limi-
tado, existe pelo menos um disco fechado D(P, r) = {φ ∈ R2; ‖φ− P‖ ≤ r}
que conte´m o trac¸o de α, onde P e´ o centro de D. Seja Dα o conjunto de tais
discos.
Lema 1. : Existe um u´nico disco D0 ∈ Dα, tal que D0 e´ o disco de menor
raio dentre os elementos de Dα.
Demonstrac¸a˜o. : Seja F : R2 7→ R, dada por,
F (P ) = maxt∈[a,b] ‖α(t)− P‖
Como α e´ regular e esta´ definida em um intervalo fechado e limitado, o
ma´ximo acima existe e ocorre em um ponto tp ∈ [a, b]. A func¸a˜o F, portanto
esta´ bem definida e possui as seguintes propriedades:
16
(i) F (P ) > 0,∀P ∈ R2
De fato, se F(P)= 0, ‖α(t)− P‖ ≤ maxt⊂[a,b]; enta˜o ‖α(t)− P‖ = 0 e,
portanto, a curva α seria constante, o que contradiz α ser regular.
(ii) F e´ cont´ınua em R2.
Com efeito, sejam P,Q ∈ R2. Pela desigualdade triangular, para todo t ∈
[a, b],
‖α(t)− P‖ ≤ ‖α(t)−Q‖+ ‖P +Q‖ ≤ F (Q)− ‖P −Q‖
e, analogamente,
F (Q) = ‖α(t)−Q‖ ≤ F (P ) + ‖P −Q‖ .
Logo, aplicando maxt∈[a,b] nas desigualdades acima, temos
F (P ) ≤ F (Q) + ‖P −Q‖ e F (Q) ≤ F (P ) + ‖P −Q‖
Portanto,
|F (P )− F (Q)| ≤ ‖P −Q‖ ,
o que implica que F e´ cont´ınua em R2.
Para cada P ∈ R2, considere o disco Dp de centro P e raio F(P), isto e´,
Dp = {U ∈ R2; ‖U − P‖ ≤ F (P )}
Pela definic¸a˜o de F(P), temos que Dp ∈ Dα, para todo P ∈ R2. Considere
agora D(P,r) um disco de centro P e raio r em Dα.
Afirmamos que
F (P ) ≤ r
de fato, como o trac¸o de α esta´ contido em D(P,r), temos
‖α(t)− P‖ ≤ r
para todo t ∈ [a, b]. Logo, aplicando maxt∈[a,b] nessa desigualdade, obtemos
F (P ) = maxt∈[a,b] ‖α(t)− P‖ ≤ r.
Portanto, entre todos os discos de centro P emDα, Dp e´ o disco de menor raio.
17
Sejam O=(0,0) e tO ∈ [a, b], tais que
F (O) = ‖α(tO)−O‖ = ‖α(tO)‖
Para todo P ∈ R2, tal que ‖P‖ ≥ 2 ‖α(tO)‖ ., temos
‖α(t)− P‖ ≥ ‖P‖ − ‖α(t)‖ ≥ 2 ‖α(tO)‖ − ‖α(tO)‖ = ‖α(tO)‖ .
Tomando-se o ma´ximo nas desigualdades acima, quando t varia em [a,b],
obtemos que, para todo P ∈ R2, com ‖P‖ ≥ 2 ‖α(tO)‖,
F (P ) ≥ ‖α(tO)‖ = F (O).
Ale´m disso, pela continuidade de F, temos que F, restrita ao disco fechado
D(O, r0) de centro O e raio r0 = 2 ‖α(tO)‖, assume um valor mı´nimo em um
ponto P0. Esse ponto e´, de fato, ponto de mı´nimo global de F, visto que
F (P0) ≤
{
F (P ), se P ∈ D(O, r0),
F (O) ≤ F (P ), se P 6∈ D(O, r0)
O disco de centro P0 e raio F (P0) e´, portanto, um disco que conte´m o trac¸o
de α e possui o menor raio entre todos os discos em Dα.
Vamos provar a unicidade de tal disco. Suponha que existam dois discos
D1 e D2 de raio F (P0) em Dα. Temos enta˜o que o trac¸o de α esta´ contido
em D1 ∩ D2. Pela geometria elementar como D1 e D2 sa˜o disco de mesmo
raio, existe um disco de raio menor, a menos que eles coincidam, que conte´m
D1 ∩D2, o que contradiz a escolha de P0.
Definic¸a˜o 10. : Seja α uma curva fechada e regular. O fecho do disco
fechado de menor raio que conte´m o trac¸o de α e´ chamado circulo circun-
scrito de α. Pelo lema anterior, cada curva fechada e regular amite um u´nico
c´ırculo circunscrito que sera´ denotado por Circ(α).
Estudaremos as propriedades de Circ(α).
Lema 2. : Todo semi-c´ırculo fechado de Circ(α) conte´m pontos do trac¸o de
α.
Demonstrac¸a˜o. Vamos supor, por contradic¸a˜o, que existe um semi-c´ırculo de
Circ(α) sem pontos do trac¸o de α. Vamos escolher o sistema de coordenadas
Oxy de R2 de modo que Circ(α) seja um c´ırculo centrado na origem O e
com raio R0, talque o trac¸o de α na˜o possuas pontos sobre o Circ(α) com
x ≤ 0. Parametrize Circ(α) pelo trac¸o da aplicac¸a˜o γ : [0, 2pi] 7→ R2, dada
18
por γ(t) = R0 cos t, R0 sin t) e considere a func¸a˜o h : [
pi
2
,
3pi
2
] 7→ R, definida
por
h(u) = mint∈[a,b] ‖γ(u)− α(t)‖
A func¸a˜o h e´ cont´ınua e h(u) > 0, ∀ u ∈ [pi
2
,
3pi
2
]. Como h assume seu valor
mı´nimo, temos que
ξ0 = min{h(u), u ∈ pi
2
, [
3pi
2
]} > 0
Observe que o trac¸o de α esta´ contido no c´ırculo de centro(
ξ0
2
, 0) e raio R0
sendo, portanto, poss´ıvel obtermos um disco de raio menor que R0 que ainda
conte´m o trac¸o de α, visto que o trac¸o de α esta´ contido em dois discos
distintos de mesmo raio, o que contradiz a definic¸a˜o de Circ(α).
Este lema tem, como consequ¨eˆncia imediata, o seguinte resultado:
Corola´rio 1. : O trac¸o de uma curva fechada e regular instersecta seu c´ırculo
circunscrito em pelo meno dois pontos. Ale´m disso, se ele instersecta em
exatamente dois pontos, tais pontos esta˜o diametralmente opostos.
Vamos agora estudar o comportamento dos pontos do trac¸o de α, que
esta˜o sobre Circ(α).
Lema 3. : Seja α : [a, b] 7→ R2 uma curva de Jordan, regular, parametrizada
pelo comprimento de arco e orientada de modo que o campo normal N aponte
para a regia˜o limitada pelo seu trac¸o. Para todo t ∈ [a, b], tal que α(t) ∈
Circ(α), as retas tangentes a` α e Circ(α) coincidem em α(t) e a curvatura
k de α satisfaz:
k(t) ≥ 1
R0
onde R0 e´ o raio de Circ(α).
Demonstrac¸a˜o. Seja P0 o centro de Circ(α). Se α(t) ∈ Circ(α), a func¸a˜o
h : [a, b] 7→ R, dada por
h(t) = ‖α(t)− P0‖2 ,
19
possui um ma´ximo em t1. Como h na˜o se anula nesse ponto, e´ diferencia´vel
em t1 e, portanto:
h′(t1) = 2 〈α′(t1), α(t1)− P0〉 = 0
e
h′′(t) = 2 〈α′(t1), α′(t1)〉+ 2 〈α′′(t1), α(t1)− P0〉 ≤ 0, poisopontoe´dema´ximo.
A primeira equac¸a˜o nos diz que as retas tangentes de α e Circ(α) coincidem
em t1, enquanto que a segunda equac¸a˜o, devido a orientac¸a˜o de α, implica
que; dividindo ambos os membros por 2 e usando que 〈x, x〉=‖x2‖,
0 ≥ ‖α′(t1)‖2 + 〈α′′(t1)−R0N(t1)〉 = 1− k(t1)R0,
o que conclui a prova.
Agora usando os resultados obtidos acima iremos demonstrar o Teorema
principal.
demonstrac¸a˜o do Teorema 1. : Suponha α orientada positivamente. Pelo
lema 3, existem pelo menos dois pontos P e Q do trac¸o de α pertencentes ao
Circ(α). Vamos considerar Γ1 e Γ2 os arcos do trac¸o de de α determinados
por P e Q. se alguns desses arcos estivessem inteiramente contido em Circ(α),
a curvatura de αao longo desse arco seria constante e, portanto, α possuiria
um numero infinito de ve´rtices. Vamos supor enta˜o que Γ1 e Γ2 na˜o esta˜o
contidos em Circ(α).
Afirmac¸a˜o 1. : Em cada Γi, i=1,2, existe um ponto α(ti), tal que
k(ti) <
1
R0
,
onde k(ti) e a curvatura de α em ti e R0 e´ o raio de Circ(α). Observe que,
pelo lema 2, a curva α intersecta todo semi-c´ırculo fechado de Circ(α). Por-
tanto, trocando Γi por algum sub-arco de Γi, podemos supor que os extremos
de Γi esta˜o em um semı´-c´ırculo fechado de Circ(α). Como estamos supondo
que o nu´mero de ve´rtices de α e´ finito, γi 6⊂ Circ(α), e, portanto, existe
Qi ∈ Γi que pertence ao interior do disco D, delimitado por Circ(α). Ale´m
disso, a reta que passa por P e Q intersecta Circ(α) transversalmente. Logo,
pelo Lema 4, ela e´ transversal ao trac¸o de α, o que implica que existem pontos
do trac¸o de α de amobos os lados dessa reta. Fixe um dos arcos Γi e, por
20
simplicidade, denote-o por Γ. Escolha o sistema de coordenadas Oxy de R2
de modo que a reta que passa por P e Q seja o eixo Oy, o centro de Circ(α)
esteja sobre o eixo Ox e Γ possua pontos com coordenada x positiva(veja
a figura abaixo). Nesse sistema de coordenadas, o centro de Circ(α) e´ da
forma (x0, 0), com x0 ≤ 0. Seja S ∈ Γ um ponto no interior de D, e seja
M o c´ırculo determinado por P,Q e S. Visto que S esta´ no interior de uma
metade de D, o raio R¯ de M e´ estritamente maior que R0. O centro de M
e´, portanto, um ponto da forma (λ, 0) com λ < 0. Considere Mi o c´ırculko
de centro (λ− t, 0), t ∈ R, t ≥ 0 e raio R¯. Como Γ e´ um arco fechado, existe
um u´ltimo valor de t para o qual Mi intersecta o arco Γ. Seja t1 ∈ R, tal que
Mi ∩ Γ 6= ∅, pore´m, para todo t > t1, Mi ∩ Γ = ∅. Denote por M1 o c´ırculo
Mt1, e seja Q¯ ∈Mt1 ∩ Γ.
21
Observe que em Q¯, as retas tangentes a Γ e M1 coincidem e, numa vizin-
hanc¸a desse ponto,Γ fica no exterior de M1. Como o vetor normal a` α em Q¯
aponta para o interior de M1, um argumento ana´logo ao do Lema 4 implica
que a curvatura em Q¯ satisfaz
kQ¯ ≤ 1
R
<
1
R0
,
o que prova a afirmac¸a˜o.
Decorre da afirmac¸a˜o 1 que, em cada arco Γi, α possui pontos onde a cur-
vatura e´ menor que a curvatura em seus extremos. Portanto a curvatura de
α possui um mı´nimo em cada Γi, digamos em α(t¯1), com
k(t¯1) ≤ 1
R
<
1
R0
,
Logo a curva α possui pelo menos dois ve´rtices. Agora observe que os arcos
determinados pelos pontos α(t¯1) possuem pontos, P e Q, com curvatura maior
que a curvatura em seus extremos. Assim a curvatura de α possui um ma´ximo
em cada um desses arcos, o que implica que α possui pelo menos mais dois
ve´rtices, portanto, totalizando pelo menos quatro ve´rtices.
22
APEˆNDICE
NOC¸O˜ES DE ALGEBRA LINEAR
3.1 PRODUTO INTERNO
Definic¸a˜o 11. : Seja V um espac¸o vetorial real. Um produto interno sobre
V e´ uma func¸a˜o que a cada par de vetores, v1, v2 associa um nu´mero real,
denotado 〈v1, v2〉.
Proposic¸a˜o 12. : Todo produto interno satisfaz as seguintes propriedades:
1. 〈v, v〉≥ 0, ∀v e 〈v, v〉 = 0 ⇔ v = 0
2. 〈αv1, v2〉=α 〈v1, v2〉 ∀α ∈ R
3. 〈v1 + v2, v3〉=〈v1, v3〉+〈v2, v3〉
4. 〈v1, v2〉=〈v2, v1〉
Demonstrac¸a˜o. 1. Seja v = (x, y, z), enta˜o 〈v, v〉=(x, y, z)(x, y, z) = x2 +
y2 + z2 = v2 = |v|2 ≥ 0
2. Dados α ∈ R e v1 = x1, y1, z1 e v2 = x2, y2, z2, logo
〈αv1, v2 =〉=(αx1, αy1, αz1)(x2, y2, z2) = αx1x2+αy1y2+z1z2 = α(x1x2+
y1y2 + z1z2) = α 〈v1, v2〉
3. Sejam v1 = (x1, y1, z1); v2 = (x2, y2, z2) e v3 = (x3, y3, z3), enta˜o
〈v1 + v2, v3〉 = 〈((x1, y1, z1) + (x2, y2, z2)), (x3, y3, z3)〉
= 〈(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)(x3, y3, z3)〉 = (x1x3 + x2x3 + y1y3 + y2y3 +
z1z3 + z2z3)
= (x1x3 + y1y3 + z1z3) + (x2x3 + y2y3 + z2z3) = 〈v1, v3〉+ 〈v2, v3〉
23
4. Sejam v1 = (x1, y1, z1); v2 = (x2, y2, z2), enta˜o
〈v1, v2〉 = 〈(x1, y1, z1)(x2, y2, z2)〉 = x1x2 + y1y2 + z1z2 = x2x1 + y2y1 +
z2z1 = 〈v2, v1〉
Definic¸a˜o 12. : Seja V um espac¸o vetorial com produto interno 〈〉. Diz-se
que dois vetores de V sa˜o ortogonais (em relac¸a˜o a este produro interno) se
〈v, w〉=0. No caso em que v e w sa˜o ortogonais denotamos por v⊥w.
Proposic¸a˜o 13. : Em relac¸a˜o ao produto interno valem as seguintes pro-
priedades:
1. 0⊥v, ∀ v ∈ V
2. v⊥w ⇒ w⊥v
3. se v⊥w, ∀ w ∈ V, enta˜o v=0
4. se v⊥w e λ e´ um escalar, enta˜o λv⊥w.
5. se v1⊥w e v2⊥w, enta˜o v1 + v2⊥w.
Demonstrac¸a˜o. 1. 0 = 0.v ⇒ 〈0, v〉=〈0.v, v〉=0. 〈v, v〉=0
2. Sejam v = (x1, y1, z1) w = (x2, y2, z2), como v⊥w, enta˜o:
〈v, w〉=0, segue que:
〈v, w〉=〈(x1, y1, z1), (x2, y2, z2)〉=x1x2 + y1y2 + z1z2 = x2x1 + y2y1 +
z2z1=〈w, v〉=0, portanto w⊥v
3. tome w=v e pela propriedade 1 da proposic¸a˜o anterior
〈w, v〉 = 〈v, v〉=0,logo v=0.
4. como v⊥w,temos 〈v, w〉=0, logo por 2 da proposic¸a˜o anterior
〈v, w〉=0⇒ 〈λv, w〉=λ〈v, w〉= λ.0 = 0
3.2 PRODUTO VETORIAL
Nesta sec¸a˜o faremos o estudo de algumas das propriedades do produto
vetorial em R3. Tais propriedades nos sera˜o u´teis no decorrer dessa mono-
grafia.
24
Definic¸a˜o 13. : Dados dois vetores w1 e w2 de componentes w1 = (x1, y1, z1)
e w2 = (x2, y2, z2). O produto vetorial de w1 e w2 denotado por w1 × w2, e´
definido como sendo o vetor de componentes
w1 × w2 = (y1z2 − y2z1,−x1y2 + x2y1, x1y2 − x2y1).
Proposic¸a˜o 14. : O produto vetorial satisfaz as seguintes propriedades:
1. |w1 × w2| = |w1| |w2| sin θ, onde θ e´ o aˆngulo entre w1 e w2.2. 〈w1 × w2, w1〉=〈w1 × w2, w2〉=0
3. w1 × w2 = 0, se e so´ se, w1 e w2 sa˜o linearmente dependentes.
4. w1 × w2 = −(w2 × w1)
5. w1 × (w2 + w3) = w1 × w2 + w1 × w3
6. (λw1)× w2 = λ(w1 × w2)
7. w1 × (w2 × w3) = 〈w1, w3〉w2 − 〈w1, w2〉w3.
Onde w1, w2, w3 sa˜o vetores e λ e´ um nu´mero real.
Proposic¸a˜o 15. :Seja P um plano em R3 dado pela equac¸a˜o ax+by+cz+d =
0, enta˜o o vetor (a,b.c) e´ perpendicular ao plano.
Demonstrac¸a˜o. : Sejam p0 = (x0.y0, z0) e p = (x, y, z) pontos pertencentes
ao plano P. Enta˜o ax0 + by0 + cz0 + d = 0 = ax + by + cz + d. Assim,
a(x− x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0. Como o vetor (x− x0, y − y0, z − z0) e´
paralelo a P. O vetor (a,b,c) e´ normal a P.
25