Use o Teorema de Green para calcular onde F(x,y) : 4x3y3i + (3x4y2 + 5x)j, C é a fronteira do quadrado de vértices (1,0) e (0,1). (Verifique a orie...

Para calcular a integral de linha usando o Teorema de Green, primeiro precisamos verificar a orientação da curva C. No caso do quadrado de vértices (1,0) e (0,1), a orientação padrão é anti-horária. Agora, vamos calcular a integral de linha usando o Teorema de Green. Dado o campo vetorial F(x,y) = 4x^3y^3i + (3x^4y^2 + 5x)j e a curva C, que é a fronteira do quadrado de vértices (1,0) e (0,1). Podemos escrever a integral de linha como: ∮C F · dr = ∬R (dQ/dx - dP/dy) dA Onde R é a região delimitada pela curva C e dP/dy e dQ/dx são as derivadas parciais de P e Q em relação a x e y, respectivamente. Vamos calcular as derivadas parciais de P e Q: dP/dy = 0 dQ/dx = 12x^2y^3 + 5 Agora, vamos calcular a integral dupla ∬R (dQ/dx - dP/dy) dA: ∬R (dQ/dx - dP/dy) dA = ∫[0,1] ∫[0,1] (12x^2y^3 + 5) dxdy Integrando em relação a x primeiro: ∫[0,1] (12x^2y^3 + 5) dx = 4y^3 + 5x |[0,1] = 4y^3 + 5 Agora, integrando em relação a y: ∫[0,1] (4y^3 + 5) dy = y^4 + 5y |[0,1] = 1 + 5 = 6 Portanto, a integral de linha ∮C F · dr é igual a 6.