Apostila de Matematica Equaçoes e Funcçoes

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Equações de primeiro grau 
(com uma variável) 
 Introdução 
 
 Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade. A palavra 
equação tem o prefixo equa, que em latim quer dizer "igual". Exemplos: 
2x + 8 = 0 
5x - 4 = 6x + 8 
3a - b - c = 0 
 
Não são equações: 
4 + 8 = 7 + 5 (Não é uma sentença aberta) 
x - 5 < 3 (Não é igualdade) 
 (não é sentença aberta, nem igualdade) 
 
A equação geral do primeiro grau: 
ax+b = 0 
onde a e b são números conhecidos e a diferente de 0, se resolve de maneira simples: subtraindo b 
dos dois lados, obtemos: 
ax = -b 
dividindo agora por a (dos dois lados), temos: 
 
 
 
 
 
Considera a equação 2x - 8 = 3x -10
 
 
 
A letra é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa " desconhecida".
 
 Na equação acima a incógnita é x; tudo que antecede o sinal da igualdade denomina-se 1º membro, 
e o que sucede, 2º membro. 
 
 
 
 Qualquer parcela, do 1º ou do 2º membro, é um termo da equação. 
 
 
 
 
 
Gráfico de uma equação de 1º grau com duas variáveis 
 Sabemos que uma equação do 1º grau com duas variáveis possui infinitas soluções. 
 Cada uma dessas soluções pode ser representada por um par ordenado (x, y). 
 Dispondo de dois pares ordenados de um equação, podemos representá-los graficamente num 
plano cartesiano, determinando, através da reta que os une, o conjunto das solução dessa equação. 
Exemplo: 
 Construir um gráfico da equação x + y = 4. 
 Inicialmente, escolhemos dois pares ordenados que solucionam essa equação. 
 1º par: A (4, 0) 
 2º par: B (0, 4) 
 A seguir, representamos esses pontos num plano cartesiano. 
x y 
4 0 
0 4 
 
 
 Finalmente, unimos os pontos A e B, determinando a reta r, que contém todos os pontos soluções 
da equação. 
 
 A reta r é chamada reta suporte do gráfico da equação. 
 
Sistemas de Equações 
 Considere o seguinte problema: 
 Pipoca, em sua última partida, acertou x arremessos de 2 pontos e y arremessos de 3 pontos. Ele 
acertou 25 arremessos e marcou 55 pontos. Quantos arremessos de 3 pontos ele acertou? 
 Podemos traduzir essa situação através de duas equações, a saber: 
 x + y = 25 (total de arremessos certo) 
 2x + 3y = 55 (total de pontos obtidos) 
 
 Essas equações contém um sistema de equações. 
 Costuma-se indicar o sistema usando chave. 
 
 O par ordenado (20, 5), que torna ambas as sentenças verdadeiras, é chamado solução do sistema. 
Um sistema de duas equações com duas variáveis possui uma única solução. 
 
Resolução de Sistemas 
 
 A resolução de um sistema de duas equações com duas variáveis consiste em determinar um par 
ordenado que torne verdadeiras, ao mesmo tempo, essas equações. 
 Estudaremos a seguir alguns métodos: 
 
Método de substituição 
 
 
 Solução 
 determinamos o valor de x na 1ª equação. 
 x = 4 - y 
 Substituímos esse valor na 2ª equação. 
 2 . (4 - y) -3y = 3 
 Resolvemos a equação formada. 
8 - 2y -3y = 3 
8 - 2y -3y = 3 
 -5y = -5 => Multiplicamos por -1 
5y = 5 
 
 
y = 1 
 Substituímos o valor encontrado de y, em qualquer das equações, determinando x. 
x + 1 = 4 
x = 4 - 1 
x = 3 
 A solução do sistema é o par ordenado (3, 1). 
 V = {(3, 1)} 
 
 
 
 
 
 
 
Método da adição 
 Sendo U = , observe a solução de cada um dos sistemas a seguir, pelo método da adição. 
 Resolva o sistema abaixo: 
 
 Solução 
 Adicionamos membros a membros as equações: 
 
 2x = 16 
 
 x = 8 
 
 Substituímos o valor encontrado de x, em qualquer das equações, determinado y: 
 8 + y = 10 
 y = 10 - 8 
 y = 2 
 A solução do sistema é o par ordenado (8, 2) 
 V = {(8, 2)} 
Equações de 2º grau 
Definições 
 Denomina-se equação do 2º grau na incógnita x, toda equação da forma: 
ax2 + bx + c = 0; a, b, c IR e 
 Exemplo: 
 x2 - 5x + 6 = 0 é um equação do 2º grau com a = 1, b = -5 e c = 6. 
 6x2 - x - 1 = 0 é um equação do 2º grau com a = 6, b = -1 e c = -1. 
 7x2 - x = 0 é um equação do 2º grau com a = 7, b = -1 e c = 0. 
 x2 - 36 = 0 é um equação do 2º grau com a = 1, b = 0 e c = -36. 
 Nas equações escritas na forma ax² + bx + c = 0 (forma normal ou forma reduzida de uma equação 
do 2º grau na incógnita x) chamamos a, b e c de coeficientes. 
 a é sempre o coeficiente de x²; 
 b é sempre o coeficiente de x, 
 c é o coeficiente ou termo independente. 
 
Equação completas e Incompletas 
 Uma equação do 2º grau é completa quando b e c são diferentes de zero. Exemplos: 
x² - 9x + 20 = 0 e -x² + 10x - 16 = 0 são equações completas. 
 Uma equação do 2º grau é incompleta quando b ou c é igual a zero, ou ainda quando ambos são 
iguais a zero. Exemplos: 
 x² - 36 = 0 
(b = 0) 
 x² - 10x = 0 
(c = 0) 
 4x² = 0 
(b = c = 0) 
Raízes de uma equação do 2º grau 
 Resolver uma equação do 2º grau significa determinar suas raízes. 
Raiz é o número real que, ao substituir a incógnita de uma equação, 
transforma-a numa sentença verdadeira. 
 O conjunto formado pelas raízes de uma equação denomina-se conjunto verdade ou conjunto 
solução. Exemplos: 
 Dentre os elementos do conjuntos A= {-1, 0, 1, 2}, quais são raízes da equação 
x² - x - 2 = 0 ? 
 Solução 
 Substituímos a incógnita x da equação por cada um dos elementos do conjunto e verificamos 
quais as sentenças verdadeiras. 
Para x = -1 
(-1)² - (-1) - 2 = 0 
1 + 1 - 2 = 0 
0 = 0 
(V) 
Para x = 0 
0² - 0 - 2 = 0 
0 - 0 -2 = 0 
-2 = 0 
(F) 
Para x = 1 
1² - 1 - 2 = 0 
1 - 1 - 2 = 0 
-2 = 0 
(F) 
Para x = 2 
2² - 2 - 2 = 0 
4 - 2 - 2 = 0 
0 = 0 
(V) 
 Logo, -1 e 2 são raízes da equação. 
 Determine p sabendo que 2 é raiz da equação (2p - 1) x² - 2px - 2 = 0. 
 
Solução 
Substituindo a incógnita x por 2, determinamos o valor de p. 
 
 Logo, o valor de p é . 
 
 
Resolução de equações incompletas 
 Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto verdade. 
 Utilizamos na resolução de uma equação incompleta as técnicas da fatoração e duas importantes 
propriedades dos números reais: 
 1ª Propriedade: 
 2ª Propriedade: 
 
 1º Caso: Equação do tipo . 
 Exemplo: 
 Determine as raízes da equação , sendo . 
 
Solução 
Inicialmente, colocamos x em evidência: 
 
 Para o produto ser igual a zero, basta que um dos fatores também o seja. Assim: 
 
 Obtemos dessa maneira duas raízes que formam o conjunto verdade: 
 
 De modo geral, a equação do tipo tem para soluções e . 
 2º Caso: Equação do tipo 
 Exemplos: 
 Determine as raízes da equação , sendo U = IR. 
 Solução 
 
 
 De modo geral, a equação do tipo possui duas raízes reais se for um número positivo, 
não tendo raiz real caso seja um número negativo. 
Resolução de equações completas 
 Para solucionar equações completas do 2º grau utilizaremos a fórmula de Bhaskara. 
 A partir da equação, em que a, b, c IR e , desenvolveremos passo a passo a 
dedução da fórmula de Bhaskara (ou fórmula resolutiva). 
 
 Assim, encontramos a fórmula resolutiva da equação do 2º grau: 
 
 Podemos representar as duas raízes reais por x' e x", assim: 
 
 
 Exemplos: 
 resolução a equação: 
Temos 
 
Discriminante 
 Denominamos discriminante o radical b2 - 4ac que é representado pela letra grega (delta). 
 
 Podemos agora escrever deste modo a fórmula de Bhaskara: 
 
 De acordo com o discriminante, temos três casos a considerar: 
1º Caso: O discriminante é positivo . 
 O valor de é real e a equação tem duas raízes reais diferentes, assim representadas: 
 
 Exemplo: 
 Para quais valores de k a equação x² - 2x + k- 2 = 0 admite raízes reais e desiguais? 
 
Solução 
 
Para que a equação admita raízes reais e desiguais, devemos ter 
 
 
 Logo, os valores de k devem ser menores que 3. 
2º Caso: O discriminante é nulo 
 O valor de é nulo e a equação tem duas raízes reais e iguais, assim representadas: 
 
 Exemplo: 
 Determine o valor de p, para que a equação x² - (p - 1) x + p-2 = 0 possua raízes iguais. 
Solução 
 
Para que a equação admita raízes iguais é necessário que . 
 
 Logo, o valor de p é 3. 
3º Caso: O discriminante é negativo . 
 O valor de não existe em IR, não existindo, portanto, raízes reais. As raízes da equação são 
número complexos. 
 
 Exemplo: 
 Para quais valores de m a equação 3x² + 6x +m = 0 não admite nenhuma raiz real? 
 
Solução 
Para que a equação não tenha raiz real devemos ter 
 
 Logo, os valores de m devem ser maiores que 3. 
Resumindo 
 Dada a equação ax² + bx + c = 0, temos: 
 Para , a equação tem duas raízes reais diferentes. 
 Para , a equação tem duas raízes reais iguais. 
 Para , a equação não tem raízes reais. 
 
RELAÇÕES ENTRE OS COEFICIENTES E AS RAÍZES 
 Considere a equação ax2 + bx + c = 0, com a 0 e sejam x'e x'' as raízes reais dessa equação. 
 Logo: 
 
Observe as seguintes relações: 
 Soma das raízes (S) 
 
 
 
 Produto das raízes (P) 
 
 Como ,temos: 
 
 
 
 Denominamos essas relações de relações de Girard. Verifique alguns exemplos de aplicação 
dessas relações. 
 Determine a soma e o produto das raízes da equação 10x2 + x - 2 = 0. 
Solução 
Nesta equação, temos: a=10, b=1 e c=-2. 
A soma das raízes é igual a . O produto das raízes é igual a 
Assim: Assim: 
 
 Determine o valor de k na equação x2 + ( 2k - 3)x + 2 = 0, de modo que a soma de suas raízes 
seja igual a 7. 
Solução 
Nesta equação, temos: a=1, b=2k e c=2. 
 S= x1 + x2 = 7 
 
Logo, o valor de k é -2. 
 
COMPOSIÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DO 2º GRAU, CONHECIDAS AS RAÍZES 
 Considere a equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0. 
 Dividindo todos os termos por a , obtemos: 
 
 
Como , podemos escrever a equação desta maneira. 
x2 - Sx + P= 0 
 
Exemplos: 
 Componha a equação do 2º grau cujas raízes são -2 e 7. 
Solução 
A soma das raízes corresponde a: 
S= x1 + x2 = -2 + 7 = 5 
O produto das raízes corresponde a: 
P= x1 . x2 = ( -2) . 7 = -14 
A equação do 2º grau é dada por x2 - Sx + P = 0, onde S=5 e P= -14. 
Logo, x2 - 5x - 14 = 0 é a equação procurada. 
 
 Formar a equação do 2º grau, de coeficientes racionais, sabendo-se que uma das raízes é 
. 
Solução 
Se uma equação do 2º grau, de coeficientes racionais, tem uma raiz , a outra raíz será . 
 
 Assim: 
 
Logo, x2 - 2x - 2 = 0 é a equação procurada. 
 
 FORMA FATORADA 
 Considere a equação ax2 + bx + c = 0. 
 Colocando a em evidência, obtemos: 
 
Então, podemos escrever: 
 
Logo, a forma fatorada da equação ax2 + bx + c = 0 é: 
a.(x - x') . (x - x'') = 0 
 
Exemplos: 
 Escreva na forma fatorada a equação x2 - 5x + 6 = 0. 
Solução 
Calculando as raízes da equação x2 - 5x + 6 = 0, obtemos x1= 2 e x2= 3. 
Sendo a= 1, x1= 2 e x2= 3, a forma fatorada de x2 - 5x + 6 = 0 pode ser assim escrita: 
(x-2).(x-3) = 0 
 Escreva na forma fatorada a equação 2x2 - 20x + 50 = 0. 
 
Solução 
Calculando as raízes da equação 2x2 - 20x + 50 = 0, obtemos duas raízes reais e iguais a 5. 
Sendo a= 2, x1=x2= 5, a forma fatorada de 2x2 - 20x + 50 = 0 pode ser assim escrita: 
2.(x - 5) (x - 5) = 0 ou 2. (x - 5)2=0 
 
 Escreva na forma fatorada a equação x2 + 2x + 2 = 0. 
Solução 
Como o , a equação não possui raízes reais. 
Logo, essa equação não possui forma fatorada em IR. 
 
 
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS 
 
 Chamamos de equações exponenciais toda equação na qual a incógnita aparece em 
expoente. 
 
Exemplos de equações exponenciais: 
1) 3x =81 (a solução é x=4) 
2) 2x-5=16 (a solução é x=9) 
3) 16x-42x-1-10=22x-1 (a solução é x=1) 
4) 32x-1-3x-3x-1+1=0 (as soluções são x’=0 e x’’=1) 
 
Para resolver equações exponenciais, devemos realizar dois passos importantes: 
1º) redução dos dois membros da equação a potências de mesma base; 
2º) aplicação da propriedade: 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: 
 
1) 3x=81 
Resolução: Como 81=34, podemos escrever 3x = 34 
E daí, x=4. 
 
2) 9x = 1 
Resolução: 9x = 1  9x = 90 ; logo x=0. 
 
5) 23x-1 = 322x 
Resolução: 23x-1 = 322x  23x-1 = (25)2x  23x-1 = 210x ; daí 3x-1=10, 
de onde x=-1/7. 
 
6) Resolva a equação 32x–6.3x–27=0. 
Resolução: vamos resolver esta equação através de uma transformação: 
32x–6.3x–27=0  (3x)2-6.3x–27=0 
)0 e 1(  aanmaa nm
 
4
3
 logo ; 33 33 273 :Resolução
273 )4
.4 então ; 
4
3
4
3
 
4
3
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3
 
256
81
4
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 :Resolução
256
81
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3
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3
4 34
4
4
4
4
































x
x
xxx
x
xxx
x
Fazendo 3x=y, obtemos: 
y2-6y–27=0 ; aplicando Bhaskara encontramos  y’=-3 e y’’=9 
Para achar o x, devemos voltar os valores para a equação auxiliar 3x=y: 
 
y’=-3  3x’ = -3  não existe x’, pois potência de base positiva é positiva 
y’’=9  3x’’ = 9  3x’’ = 32  x’’=2 
 
Portanto a solução é x=2 
 
 
 
 Função de 1º grau 
 Definição 
 Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por 
uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a 0. 
 Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é chamado termo 
constante. 
 Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau: 
 f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3 
 f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7 
 f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0 
 
Gráfico 
 O gráfico de uma função polinomial do 1º grau, y = ax + b, com a 0, é uma reta oblíqua aos eixos Ox 
e Oy. 
 Exemplo: 
 Vamos construir o gráfico da função y = 3x - 1: 
 Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los com o auxílio de uma régua: 
 a) Para x = 0, temos y = 3 · 0 - 1 = -1; portanto, um ponto é (0, -1). 
 b) Para y = 0, temos 0 = 3x - 1; portanto, e outro ponto é . 
 Marcamos os pontos (0, -1) e no plano cartesiano e ligamos os dois com uma reta. 
x y 
0 -1 
 
0 
 
 
 Já vimos que o gráfico da função afim y = ax + b é uma reta. 
 O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da reta e, como veremos adiante, a está ligado 
à inclinação da reta em relação ao eixo Ox. 
 O termo constante, b, é chamado coeficiente linear da reta. Para x = 0, temos y = a· 0 + b = b. Assim, 
o coeficiente linear é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo Oy. 
 
 
Função de 1º grau 
Zero e Equação do 1º Grau 
 Chama-se zero ou raiz da função polinomial do 1º grau f(x) = ax + b, a 0, o número real x tal que 
f(x) = 0. 
 Temos: 
 f(x) = 0 ax + b = 0 
 Vejamos alguns exemplos: 
1. Obtenção do zero da função f(x) = 2x - 5: 
 f(x) = 0 2x - 5 = 0 
2. Cálculo da raiz da função g(x) = 3x + 6: 
 g(x) = 0 3x + 6 = 0 x = -2 
 
3. Cálculo da abscissa do ponto em que o gráfico de h(x) = -2x + 10 corta o eixo das abicissas: 
O ponto em que o gráfico corta o eixo dos x é aquele em que h(x) = 0; então: 
 h(x) = 0 -2x + 10 = 0 x = 5 
 
Crescimento e decrescimento 
 Consideremos a função do 1º grau y = 3x - 1. Vamos atribuir valores cada vez maiores a x e observar 
o que ocorre com y: 
 
x -3 -2 -1 0 1 2 3 
y -10 -7 -4 -1 2 5 8 
 
 
 Notemos que, quando aumentos o valor de x, os correspondentes 
 valores de y também aumentam. Dizemos, então que a 
 função y = 3x - 1 é crescente. 
 Observamos novamente seu gráfico: 
 
 
Regra geral: 
a função do 1º grau f(x) = ax + b é crescente quando o coeficiente de x é positivo (a > 0); 
a função do 1º grau f(x) = ax + b é decrescente quando o coeficiente de x é negativo (a < 0); 
Justificativa: 
 para a > 0: se x1 < x2, então ax1 < ax2. Daí, ax1 + b < ax2 + b, de onde vem f(x1) < f(x2). 
 para a < 0: se x1 < x2, então ax1 > ax2. Daí, ax1 + b > ax2 + b, de onde vem f(x1) > f(x2). 
 
 
 Função de 1º grau 
 Sinal 
 Estudar o sinal de uma qualquer y = f(x) é determinar os valor de x para os quais y é positivo, 
os valores de x para os quais y é zero e os valores de x para os quais y é negativo. 
 Consideremos uma função afim y = f(x) = ax + b vamos estudar seu sinal. Já vimos que essa 
função se anula pra raiz . Há dois casos possíveis: 
 1º) a > 0 (a função é crescente) 
 y > 0 ax + b > 0 x > 
 y < 0 ax + b < 0 x < 
 Conclusão: y é positivo para valores de x maiores que a raiz; y é negativo para valores de x 
menores que a raiz 
 
 2º) a < 0 (a função é decrescente) 
 y > 0 ax + b > 0 x < 
 y < 0 ax + b < 0 x > 
 
 Conclusão: y é positivo para valores de x menores que a raiz; y é negativo para valores de x 
maiores que a raiz. 
 
 
 
Função Quadrática 
 Definição 
 Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada 
por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a 0. 
 Vejamos alguns exemplos de função quadráticas: 
1. f(x) = 3x2 - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1 
2. f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1 
3. f(x) = 2x2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5 
4. f(x) = - x2 + 8x, onde a = -1, b = 8 e c = 0 
5. f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0 
 
Gráfico 
 O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax2 + bx + c, com a 0, é uma curva chamada 
parábola. 
Exemplo: 
 Vamos construir o gráfico da função y = x2 + x: 
 Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em 
seguida, ligamos os pontos assim obtidos. 
x y 
-3 6 
-2 2 
-1 0 
 
0 0 
1 2 
2 6 
 
 
 Observação: 
 Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c, notaremos sempre que: 
 se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima; 
 se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo; 
 
Zero e Equação do 2º Grau 
 Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax2 + bx + c , a 0, os números reais 
x tais que f(x) = 0. 
 Então as raízes da função f(x) = ax2 + bx + c são as soluções da equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0, as 
quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara: 
 
 Temos: 
 
Observação 
 A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando 
, chamado discriminante, a saber: 
 quando é positivo, há duas raízes reais e distintas; 
 quando é zero, há só uma raiz real (para ser mais preciso, há duas raízes iguais); 
 quando é negativo, não há raiz real. 
 
 
 Função Quadrática 
 
 Coordenadas do vértice da parábola 
 Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; 
quando a< 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V. 
 Em qualquer caso, as coordenadas de V são . Veja os gráficos: 
 
 
 
 
 
 Imagem 
 O conjunto-imagem Im da função y = ax2 + bx + c, a 0, é o conjunto dos valores que y pode 
assumir. Há duas possibilidades: 
 1ª - quando a > 0, 
 
a > 0 
 
 
 2ª quando a < 0, 
 
a < 0 
 
 
Função Quadrática 
 
Construção da Parábola 
 É possível construir o gráfico de uma função do 2º grau sem montar a tabela de pares (x, y), mas 
seguindo apenas o roteiro de observação seguinte: 
1. O valor do coeficiente a define a concavidade da parábola; 
2. Os zeros definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x; 
3. O vértice V indica o ponto de mínimo (se a > 0), ou máximo (se a< 0); 
4. A reta que passa por V e é paralela ao eixo dos y é o eixo de simetria da parábola; 
5. Para x = 0 , temos y = a · 02 + b · 0 + c = c; então (0, c) é o ponto em que a parábola corta o eixo 
dos y. 
Sinal 
 Consideramos uma função quadrática y = f(x) = ax2 + bx + c e determinemos os valores de x para os 
quais y é negativo e os valores de x para os quais y é positivos. 
 Conforme o sinal do discriminante = b2 - 4ac, podemos ocorrer os seguintes casos: 
1º - > 0 
 Nesse caso a função quadrática admite dois zeros reais distintos (x1 x2). a parábola intercepta o 
eixo Ox em dois pontos e o sinal da função é o indicado nos gráficos abaixo: 
 
quando a > 0 
y > 0 (x < x1 ou x > x2) 
y < 0 x1 < x < x2 
 
 
quando a < 0 
y > 0 x1 < x < x2 
y < 0 (x < x1 ou x > x2) 
 
 
 
 
Função Quadrática 
 
 2º - = 0 
 
quando a > 0 
 
 
 
quando a < 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Função Quadrática 
 
 3º - < 0 
 
quando a > 0 
 
 
quando a < 0 
 
 
 
 
 
FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 
 Chamamos de funções exponenciais aquelas nas quais temos a variável aparecendo em 
expoente. 
 A função f:IRIR+ definida por f(x)=ax, com a  IR+ e a1, é chamada função exponencial de 
base a. O domínio dessa função é o conjunto IR (reais) e o contradomínio é IR+ (reais positivos, 
maiores que zero). 
 
 
 
 
 
GRÁFICO CARTESIANO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 
 Temos 2 casos a considerar: 
  quando a>1; 
  quando 0<a<1. 
 
 Acompanhe os exemplos seguintes: 
 
1) y=2x (nesse caso, a=2, logo a>1) 
Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o 
gráfico abaixo: 
 
 
 
x -2 -1 0 1 2 
y 1/4 1/2 1 2 4 
 
 
 
2) y=(1/2)x (nesse caso, a=1/2, logo 0<a<1) 
Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o 
gráfico abaixo: 
 
x -2 -1 0 1 2 
y 4 2 1 1/2 1/4 
 
 
Nos dois exemplos, podemos observar que 
a) o gráfico nunca intercepta o eixo horizontal; a função não tem raízes; 
b) o gráfico corta o eixo vertical no ponto (0,1); 
c) os valores de y são sempre positivos (potência de base positiva é positiva), portanto o 
conjunto imagem é Im=IR+. 
 
Além disso, podemos estabelecer o seguinte: 
 
 
 
a>1 0<a<1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f(x)é crescente e Im=IR+ 
Para quaisquer x1 e x2 do domínio: 
x2>x1  y2>y1 (as desigualdades têm 
mesmo sentido) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f(x) é decrescente e Im=IR+ 
Para quaisquer x1 e x2 do domínio: 
x2>x1  y2<y1 (as desigualdades têm 
sentidos diferentes) 
 
 
INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS 
 
 Chamamos de inequações exponenciais toda inequação na qual a incógnita aparece em 
expoente. 
 
Exemplos de inequações exponenciais: 
 
 
Para resolver inequações exponenciais, devemos realizar dois passos importantes: 
1º) redução dos dois membros da inequação a potências de mesma base; 
2º) aplicação da propriedade: 
 
a>1 0<a<1 
am > an  m>n 
(as desigualdades têm mesmo sentido) 
am > an  m<n 
(as desigualdades têm sentidos 
diferentes) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 )32 para satisfeita é (que 03125150.5-25 4)
-3) xpara satisfeita é (que 
5
4
5
4
 3)
real) x todopara satisfeita é (que 22 2)
)4 é solução (a 813 1)
x
3
12-2x 2

















x
x
x
x
x
x
EXERCÍCIO RESOLVIDO: 
 
 
 
 
FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 A função f:IR+IR definida por f(x)=logax, com a1 e a>0, é chamada função logarítmica de 
base a. O domínio dessa função é o conjunto IR+ (reais positivos, maiores que zero) e o contradomínio 
é IR (reais). 
 
 
GRÁFICO CARTESIANO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 Temos 2 casos a considerar: 
  quando a>1; 
  quando 0<a<1. 
 
 Acompanhe nos exemplos seguintes, a construção do gráfico em cada caso: 
 
3) y=log2x (nesse caso, a=2, logo a>1) 
Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o 
gráfico abaixo: 
 
 
x 1/4 1/2 1 2 4 
y -2 -1 0 1 2 
 
 
negativos) (reais IRS Portanto
0 44
:obtemos 1, quemaior é (4) base a Como
.44 14 Porém,
14 daí, e 114.11 114).1641(
:sejaou , 114.164.44
: temos4por lados os ambos ndoMultiplica
.
4
11
4.44
4
4
 escritaser pode inequaçãoA 
:Resolução
4
11
444 )1
-
0
0
11








 
x
-
x
xx
xxx
xxx
xx
x
xxx
 
4) y=log(1/2)x (nesse caso, a=1/2, logo 0<a<1) 
Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o 
gráfico abaixo: 
 
 
 
x 1/4 1/2 1 2 4 
y 2 1 0 -1 -2 
 
 
 
Nos dois exemplos, podemos observar que 
d) o gráfico nunca intercepta o eixo vertical; 
e) o gráfico corta o eixo horizontal no ponto (1,0). A raiz da função é x=1; 
f) y assume todos os valores reais, portanto o conjunto imagem é Im=IR. 
 
Além disso, podemos estabelecer o seguinte: 
 
a>1 0<a<1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f(x) é crescente e Im=IR 
Para quaisquer x1 e x2 do domínio: 
x2>x1  y2>y1 (as desigualdades têm 
mesmo sentido) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f(x) é decrescente e Im=IR 
Para quaisquer x1 e x2 do domínio: 
x2>x1  y2<y1 (as desigualdades têm 
sentidos diferentes) 
 
 
 
 
EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS 
 
 Chamamos de equações logarítmicas toda equação que envolve logaritmos com a incógnita 
aparecendo no logaritmando, na base ou em ambos. 
 
Exemplos de equações logarítmicas: 
7) log3x =5 (a solução é x=243) 
8) log(x2-1) = log 3 (as soluções são x’=-2 e x’’=2) 
9) log2(x+3) + log2(x-3) = log27 (a solução é x=4) 
10) logx+1(x2-x)=2 (a solução é x=-1/3) 
 
Alguns exemplos resolvidos: 
1) log3(x+5) = 2 
Resolução: condição de existência: x+5>0 => x>-5 
log3(x+5) = 2 => x+5 = 32 => x=9-5 => x=4 
Como x=4 satisfaz a condição de existência, então o conjunto solução é S={4}. 
 
2) log2(log4 x) = 1 
Resolução: condição de existência: x>0 e log4x>0 
log2(log4 x) = 1 ; sabemos que 1 = log2(2), então 
log2(log4x) = log2(2) => log4x = 2 => 42 = x => x=16 
Como x=16 satisfaz as condições de existência, então o conjunto solução é S={16}. 
 
3) Resolva o sistema: 
 
Resolução: condições de existência: x>0 e y>0 
Da primeira equação temos: 
log x+log y=7 => log y = 7-log x 
Substituindo log y na segunda equação temos: 
3.log x – 2.(7-log x)=1 => 3.log x-14+2.log x = 1 => 5.log x = 15 => 
 
=> log x =3 => x=103 
Substituindo x= 103 em log y = 7-log x temos: 
log y = 7- log 103 => log y = 7-3 => log y =4 => y=104. 
Como essas raízes satisfazem as condições de existência, então o conjunto solução é S={(103;104)}. 
 
 
INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS 
 
 Chamamos de inequações logarítmicas toda inequação que envolve logaritmos com a 
incógnita aparecendo no logaritmando, na base ou em ambos. 
 
Exemplos de inequações logarítmicas: 
1) log2x > 0 (a solução é x>1) 
2) log4(x+3)  1 (a solução é –3<x1) 
 
Para resolver inequações logarítmicas, devemos realizar dois passos importantes: 
1º) redução dos dois membros da inequação a logaritmos de mesma base; 
2º) aplicação da propriedade: 
 





1log.2log.3
7loglog
yx
yx
a>1 0<a<1 
logam > logan  m>n>0 
(as desigualdades têm mesmo sentido) 
logam > logan  0<m<n 
(as desigualdades têm sentidos 
diferentes) 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: 
 
1) log2(x+2) > log28 
Resolução: 
Condições de existência: x+2>0, ou seja, x>-2 (S1) 
Como a base (2) é maior que 1, temos: 
x+2>8 e, daí, x>6 (S2) 
O conjunto solução é S= S1  S2 = {x  IR| x>6}. 
Portanto a solução final é a intersecção de S1 e S2, como está representado logo abaixo no desenho: 
 
 
2) log2(log3x)  0 
Resolução: 
Condições de existência: x>0 e log3x>0 
Como log21=0, a inequação pode ser escrita assim: 
log2(log3x)  log21 
Sendo a base (2) maior que 1, temos: log3x  1. 
Como log33 = 1, então, log3x  log33 e, daí, x  3, porque a base (3) é maior que 1. 
As condições de existência estão satisfeitas, portanto S={x  IR| x  3}.