Resolucao da Lista 16 de Calculo Diferencial e Integral Aplicado I

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Resolução da Lista 16 de Cálculo Diferencial e Integral Aplicado I 
Por: Camila Fontoura Paulo 
Orientadora: Cruz Sonia Quiroga de Caldas 
 
Questão 3 
Constrói-se uma janela normanda colocando-se um semicírculo em cima de uma 
janela retangular. Encontre as dimensões da janela de área máxima, sabendo-se 
que seu perímetro é de 5 m. 
 O enunciado nos diz que o perímetro da janela é 5 m. 
Logo, 
 y y P = 2x + 2y + �r = 5 
 Sabendo que y = r. Desta relação temos, 
 x x = 
��������
� 
 
A área total da janela é a área do retângulo mais a área do semicírculo: 
A = 2yx + 
���
� 
Substituindo x na relação da área temos: 
A(y) = 2y	��������� �
 + 
���
� 
A(y) = 5y -2y2- �y2 + ��
�
� 
Derivando essa expressão e igualando a zero para encontrar os pontos críticos 
temos: 
5 – 4y -2�y + �y = 0 
-y (� + 4) = -5 
y = 
�
��� 
Temos ainda: 
A’’(y) = -4 -2� + � = -(4+2�) 
Como A’’(y) < 0 podemos afirmar que y = 
�
��� é um ponto de máximo local. 
Substituindo y na relação de x: 
r 
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Resolução da Lista 16 de Cálculo Diferencial e Integral Aplicado I 
Por: Camila Fontoura Paulo 
Orientadora: Cruz Sonia Quiroga de Caldas 
 
x = 
���	 
����
���	
���
� 
x = 
�������������
����� �
�
� 
x = 
��
��� 
Logo, para uma janela de área máxima a base medirá 
�
��� m e a altura será 
��
��� m. 
 
Questão 4 
Uma ilha situada a 40 km da costa deve ter um serviço de barcos para uma cidade 
A. Se os barcos têm velocidade média de 15 km/h e os carros uma velocidade 
média de 45 km/h, onde deverá estar situada a estação de barcos na costa, a fim de 
tornar a via a mais rápida possível? 
 I 
 
 40 km ����� ���� 
 
 x 100 - x A 
 100 km 
Na figura, temos a construção das relações entre as distâncias, onde I = ilha e A = 
cidade. Utilizou –se o teorema de Pitágoras para a definição da distância percorrida 
por barcos. O tempo total gasto no percurso será definido desta forma: 
T = 
���� !"
#�� !" 
+ 
��!� "
#!� "
 
T = 
��$����%�
�� + 
������%
�� , x & [0,100] 
Derivando esta expressão e igualando a zero para obter os pontos críticos temos: 
%
����$���%� - 
�
�� = 0 
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Por: Camila Fontoura Paulo 
Orientadora: Cruz Sonia Quiroga de Caldas 
 
'%����$����%�
����$����%� = 0 
(����� ����)2 = (3x)2 
1600 + x2 = 9x2 
x2 = 200 
x = 10�( 
Calculando T(0)=���) = 4,89, T(100) = 7,18 e T(10�() = 4,74. Vemos que o valor 
mínimo de T é achado em x = 10�(. 
Logo, a estação de barcos deve estar a 100 – 10�( km aproximadamente 85,86 km 
da cidade, a fim de tornar a via a mais rápida possível. 
 
 
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