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Trabalho Final Funções de Várias Variáveis - CTB
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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
UNIVERSIDADE FEDERAL DOS VALES DO JEQUITINHONHA E MUCURI
TEÓFILO OTONI – MINAS GERAIS
BACHARELADO EM CIÊNCIA E TECNOLOGIA
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1
ANA CRISTINA OTONI
ANA PAULA COSTA RODRIGUES
ANTÔNIO MACIEL RIBEIRO
CARDOSO
ARTHUR ROCHA DOS SANTOS
CAMILA ARAUJO JARDIM
IAGO AMARAL OTTONI
ISLANE SANTOS
IZABELA CAMPOS SENA
JAMERSON PEREIRA DUARTE
JOSÉ ANTÔNIO LIMA SANTOS
JOSYMARA MIRANDA ROCHA
JULIANA GARDONI ARAÚJO
LEONARDO PEREIRA CAMPOS
LUCAS EDUARDO FREITAS
XAVIER
NADINNE CAVALCANTE SILVA
NATHÁLIA DIAS SILVA
PATRICK CARDOZO MARTINS
REISLA GRASIELE GONCALVES
TAMARA PEREIRA DA SILVA
TAMMY REIS DE PAIVA CONDÉ
VIRLENILSON RODRIGUES DE
SOUZA
TRABALHO FINAL Turma: CTB
CTT111-FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
TEÓFILO OTONI
2014
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
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2
ANA CRISTINA OTONI
ANA PAULA COSTA RODRIGUES
ANTÔNIO MACIEL RIBEIRO
CARDOSO
ARTHUR ROCHA DOS SANTOS
CAMILA ARAUJO JARDIM
IAGO AMARAL OTTONI
ISLANE SANTOS
IZABELA CAMPOS SENA
JAMERSON PEREIRA DUARTE
JOSÉ ANTÔNIO LIMA SANTOS
JOSYMARA MIRANDA ROCHA
JULIANA GARDONI ARAÚJO
LEONARDO PEREIRA CAMPOS
LUCAS EDUARDO FREITAS
XAVIER
NADINNE CAVALCANTE SILVA
NATHÁLIA DIAS SILVA
PATRICK CARDOZO MARTINS
REISLA GRASIELE GONCALVES
TAMARA PEREIRA DA SILVA
TAMMY REIS DE PAIVA CONDÉ
VIRLENILSON RODRIGUES DE
SOUZA
TRABALHO FINAL Turma: CTB
CTT111-FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Trabalho entregue referente à
disciplina de Funções de Várias
Variáveis, ministrada pela Prof.
Gladys Elizabeth Calle Cardeña no
curso de Bacharelado em Ciência e
Tecnologia da Universidade Federal
dos Vales do Jequitinhonha e Mucuri.
TEÓFILO OTONI
2014
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1
SUMÁRIO
1. NOTAS DE AULA ....................................................................................... 02
1.1 Referentes à Primeira Avaliação ............................................................. 02
1.2 Referentes à Segunda Avaliação ............................................................ 33
1.3 Referentes à Terceira Avaliação ............................................................. 52
2. EXEMPLOS DIDÁTICOS INTERESSANTES .............................................. 65
2.1 Referentes à Primeira Avaliação ............................................................. 65
2.2 Referentes à Segunda Avaliação ............................................................ 68
2.3 Referentes à Terceira Avaliação ............................................................. 70
3. GABARITOS DAS AVALIAÇÕES ............................................................... 75
3.1 Primeira Avaliação ................................................................................... 75
3.2 Segunda Avaliação .................................................................................. 79
3.3 Terceira Avaliação ................................................................................... 81
4. CONSIDERAÇÕES FINAIS ......................................................................... 86
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................ 88
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1. NOTAS DE AULA
1.1 Referente á Primeira Avaliação
CAPÍTULO 10 – EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS E COORDENADAS
POLARES
CURVAS DEFINIDAS POR EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS
{
Exemplo: Esboce e identifique a curva definida pelas equações
paramétricas
Resolução:
{
equação
Exemplo: Que curva é representada pelas equações paramétricas
Resolução:
{
t x y
-1 3 0
0 0 1
1 -1 2
2 0 3
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Curva de um círculo
Fazer uma tabela para identificar o intervalo
Exemplo: Qual é a curva representada pelas equações paramétricas
Resolução:
{
Exemplo: Esboce a curva com equações paramétricas
Resolução:
{
t x y
0 1 0
0 1
-1 0
0 -1
1 0
t x y
0 0 1
1 0
0 -1
0 1
0 -1
0 1
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Reta tangente
{
( )
( )
inclinação da reta tangente para curvas
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)(
)
(
)
Exemplo: Uma curva C definida pela equação paramétrica.
t x y
-2 0 0
- 0 0
-1 1
0 0 0
1 1
-1 1
0 0
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a) Mostre que C tem duas tangentes no ponto (3,0)
b) Encontre os pontos em C onde a tangente é horizontal ou vertical.
c) Determine onde a curva sobe ou desce e onde a concavidade é para
cima e para baixo.
Resolução:
a)
Obs.:
√
√
√
√
√
√
√
√ √
√
√
√
√ √
b)
Obs.:{
Obs.:
{ }
Tangente vertical:
Assim tem assíntota vertical em t=0
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c)
( )
( )
( )
Obs.:
Exemplo: a)Encontre a tangente à ciclóide:
{
No ponto
b) Em que pontos a tangente é horizontal ou vertical.
Resolução:
a)
√
√
√
{
(
√
) (
√
)
(
)
(
√
)
√
√ (
√
)
√ √
√
√
√ √
√ √
√ √
b)
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{
( )
{
Para tangente vertical:
L’hopital:
ÁREAS
b
a
ydxA
Exemplo: encontre a área sobre o arco do ciclóide
))(( senrx
))cos(( ry
drrdx )cos(
drrA ))cos(1())cos(1(
2
0
2
0
2
2 ))cos(1( drA
2
0
22 ))(cos)cos(21( drA
2
0
22 ))((cos)cos(21( drA
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2
0
2
2
)(2cos
2
1
)cos(21 drA
2
0
2 )cos()cos(2
2
3
drA
2
0
2 )()(2
2
3
sensenr
22 3)0020()2()2(23 rsensenr
COMPRIMENTO DE ARCO
dx
dx
dy
L
b
a
2
1
dt
dx
dt
dy
dx
dy
dt
dt
dx
dt
dy
L
b
a
22
Exemplo:
)cos(tx
2,0t
)(tseny
Calcular comprimento de arco
)cos(t
dx
dy
)(tsen
dx
dx
dttsentL
2
0
22
cos
dt
2
0
2
Exemplo :
C:
)(tsenrx
2,0
)cos(1 try
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Calcule “L”,
)cos(trr
d
dx
)(trsen
d
dy
dsenrrrrL
2
0
222222 cos)cos(2
drr
2
0
22 )cos(22
dr
2
0
2 )cos(12
Mas:
2
)cos(1
2
2
sen
)cos(1
2
2 2
sen
dsenr
2
0
22
2
22
dsenr
2
0
22
2
22
dsenr
2
0
2
2
2
2
0
2
1
2
cos
2
r
)0cos()cos(4 24 8
COORDENADAS POLARES
Polo: Ponto escolhido no plano denominado pólo( ou origem) “0”.
Eixo polar: É um único desenhado horizontalmente para direita e
correspondente ao eixo “x” positivo em coordenadas cartesianas .
Raio = distancia de “0” o ponto o “P”.
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Exemplo:
a) Marque os pontos cujas coordenadas polares são
4
5
,1
.
b)
3,2
c)
3
2
,2
d)
4
3
,3
Relações entre coordenadas polares e cartesianas
r
x
)cos(
)cos(rx
x
y
tg
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r
y
sen )(
)(rseny
222 ryx
Exemplo: Calcule
3
,2
ponto que esta em coordenadas polares para
coordenadas cartesiana.
222 yxr
)cos(rx
3
cos2
x
1x
)(rseny
3
2
seny
3y
3
,2
P
ou
3,1
Exemplo: Converter
1,1
em coordenadas cartesianas para
coordenadas polares .
222 yxr
)1(1 222 r 2r
1
1
1
tg
4
ou
4
4
,2
P
ou
4
7
,2
Curva polar
)(fr
Exemplo: Que curva representa a equação polar ?
222 yxr
42 r
2r
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Exemplo: Esboce a curva polar
)cos(2 r
)cos(rx
r
x
)cos(
0r
r
x
r
2
xr 22
xyx 222
0222 xyx
021122 xyx
completando quadrado
0112 22 yxx
1)1( 22 yx
Outra forma :
Simetria
a) Se a equação polar não mudar quando θ é trocado por – . Ela é
simétrica em relação ao eixo polar. Exemplo:
b) Se a equação não mudar quando r for trocado por –r ou for trocado
por θ + π a curva é simétrica em relação ao polo. Exemplo:
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c) Se a equação não mudar quando θ for trocado por π – θ. Simétrica
em relação à θ =
.
Tangente a curvas polares
Exemplo:
a) Calcule a inclinação da reta tangente quando
b) Encontre os pontos na cardioide onde a reta tg é horizontal ou
vertical.
Solução:
a)
em
,
[ √ ]
[ √ ][ √ ]
[ √ ]
[ √ ][ √ ]
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b) Horizontal
ou
Vertical
ou
Obs.:
(forma indeterminada)
L’Hopital
Em
existe assíntota vertical.
Áreas e comprimentos em coordenadas polares
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∑
∫
∫
∫
Exemplo: Calcule a área limitada pela rosácea
∫
∫
(
)
∫
[(
)]
(
)
Exemplo: Calcule a área da região que está dentro de e fora
(
)
(
)
(
)
∫
∫
(
∫
∫
)
∫
∫
∫
Comprimento de arco em coordenadas polares
∫ √(
) (
)
dΘ
Temos:
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∫ √(
) (
)
dθ
(
)
∫ √(
)
dθ
Exemplo: , calcule o comprimento do arco.
∫ √ ∫ √
SEÇÕES CÔNICAS
Definição: Interseção de uma superfície com o plano, formando assim uma
seção cônica.
PARÁBOLA
(√ )
(√ ) (√ )
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Se abertura para direita
Se abertura para esquerda
Exemplo: Dada a equação ; esboce o gráfico, ache a diretriz e
o foco.
(
)
ELIPSE
(√ ) (√ )
√
√
(√ ) (√ )
√
√
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Exemplo: Esboce e ache os focos de
√
Hipérbole
| |
(√ ) (√ )
√
√
√
Assíntotas (Oblíquas)
| |
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Exemplo: Esboce e ache tudo
| |
CAPÍTULO 12 - VETORES E GEOMETRIA NO ESPAÇO
Exemplo: Seja z=3 represente a superfície:
Solução:
{(x,y,z) ϵ / (x,y) ϵ , z=3 }
Exemplo: y=5.
Solução:
{(x,y,z) ϵ / (x,y) ϵ , y=5}
Distancia entre dois pontos
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Seja P=(u, v, w) e Q(o, p, s ) ϵ
d(P,Q) = √
Vetores: ⃗⃗⃗ ( , ) = < ,⃗ √
Exemplo:
Seja ⃗
Solução:
⃗ =√
⃗ =√
⃗
Soma de vetores
Seja ⃗ , vetores, onde o ponto inicial do é o ponto terminal de ⃗ , ⃗ +
vetor de ponto inicial ⃗ e ponto terminal .
Regra do paralelogramo: ⃗ + =√
Produto escalar
⃗ + , ⃗ = ), ( )
⃗ . = O resultado é um escalar.
Ângulo entre vetores
=
⃗⃗ ⃗
⃗ ⃗⃗
Exemplo: ⃗⃗ , ⃗⃗
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Ângulo é
, determine ⃗
Solução
=
⃗ ⃗
⃗ ⃗
» ⃗ =
⃗ » ⃗ =
. 4 . 6 » ⃗ = 12
Vetores perpendiculares
Para mostrar que os dois vetores são perpendiculares.
Obs: ⃗
Exemplo: ⃗⃗ ⃗⃗ Mostre que ⃗⃗ e ⃗⃗ são
perpendiculares.
⃗ . , são perpendiculares.
Cossenos diretores
.
= ̂ ϵ
̂
̂
=
⃗
.
.
=
̂
̂
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⃗
.
.
=
̂
̂
⃗
.
Exemplo: Determine os ângulos diretores de:
⃗⃗ ⃗⃗ √
Solução:
1= √ cos cos
√
arccos(
√
)
√
√
arccos (
√
)
√
√
arccos (
√
)
Projeções
⃗ ⃗ = ⃗ cosɵ
cosɵ =
⃗ ⃗
⃗ ⃗⃗⃗ =
⃗
(comprimento)
⃗ ⃗⃗⃗ =
⃗
(unitário)
Exemplo: Determine a ⃗⃗ ⃗⃗ com ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ , ⃗⃗ √ .
Solução:
3
Comprimento =
⃗
=
√
⃗ ⃗⃗⃗ comprimento x unitário:
⃗ ⃗⃗⃗⃗ = (
√
) (
√
√
√
)
⃗ ⃗⃗⃗⃗ =
⃗ ⃗⃗⃗ =
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Produto vetorial
Exemplo: ⃗⃗ x ⃗⃗
⃗
x ⃗ = |
̂ ̂ ̂
|= ̂ ̂ ̂
Teorema: O ângulo entre e ⃗ ɵ ϵ (0,π)
⃗⃗⃗ ⃗ ⃗
Prova:
=( )
⃗ =( )
x ⃗ = |
̂ ̂ ̂
| = ( )
⃗⃗⃗ ⃗ ( )²+( )²+( )²
² + ²+ + 2
( ²+ )( )- ( + )²
². ²-
ǀ ǀ².ǀ ǀ²- ǀaǀ²ǀbǀ²
a bǀ²( )
a b ²
Propriedade 1. Vetores paralelos: ⃗⃗ ⃗⃗
Propriedade 2. O volume do paralelogramo determinado pelos vetores a, b, c
é:
Equação da reta
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Equações paramétricas da reta.
{
Equações simétricas da reta.
Exemplo: a) Determine as equações paramétricas e simétricas da reta que
passa pelo ponto A(2, 4,-3) e B(3,-1,1)
b)Qual é a interseção dessa reta com o plano xy?
Solução:
(a) = ⃗⃗⃗⃗ ⃗ = =
=
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Equação vetorial da reta
{
Equação paramétrica da reta
(b)
(
)
PLANOS
⃗⃗⃗ ⃗⃗
Equação do plano
Exemplo :determine a equação do plano ⃗⃗ ⃗ ,plano passa pelo
ponto
Plano
b) Interseção com os planos coordenados
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intersecção plano com o plano
intersecção plano com o plano
intersecção plano com o plano
Grafico:
Se
Se
Se
Exemplo : Determine o plano que passa por : P (1,3,2), Q (3,-1,-6) e R (5,2,0)
⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗
⃗⃗⃗⃗ ⃗
⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ {
}
⃗⃗⃗ ⃗⃗
⃗
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( dividindo por 2)
Exemplo: Determine o ponto onde a reta com equações paramétricas:
R: {
intercepta o plano
{
Exemplo 3 : a) Ache o ângulo entre os planos
b) =retaparamétrica.
Solução:
a) ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
=
⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗
‖ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗‖
√ √
√ √
√ √
b)
Reta e plano yz
{
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Equação paramétrica {
Exemplo: Determine a distancia entre 2 planos paralelos
Para x e y = 0
e
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗
(
)
√
√
√
√
√
Distâncias
D(P1, ) = ?
⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗
⃗
⃗ ⃗
‖ ⃗ ‖
⃗ ⃗
‖ ⃗ ‖
√
√
√
|
√
|
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SUPERFÍCIES CILÍNDRICAS
Exemplo: Esboce
Observe que os cortes verticais são parábolas ao
longo do eixo y paralelo ao plano xz. Temos a
formação de um cilindro parabólico.
A superfície é um cilindro parabólico.
Exemplo: Esboce
Como a figura não possui z trata-se de um cilindro de
raio 1 no plano z=k.
Superfície
Exemplo: Esboce o gráfico .
Nesse caso não temos a variável x , assim trata-se de
um cilindro de eixo x ao longo do plano yz e paralelo
ao eixo x e raio 1.
Superfície
QUÁDRICAS
Elipsoide:
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Observação: Se → → esfera de raio “c” de
centro (0,0,0).
Exemplo: Esboce
Plano xy → z = 0
Plano yz → x = 0
Plano xz → y = 0
Exemplo: Esboce
Paraboloide elíptico
Plano xy → z = 0 → → (x,y) =
(0,0,0)
So existe um ponto para satisfazer a igualdade
a zero.
Plano yz → x= 0 → z=
Plano xz → y = 0 → z=
Observação: z= k , k
Dividindo a equação por 4 e rearranjando os termos temos:
(
√
)
(√
)
Observação: Paraboloide elíptico para baixo : -
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Exemplo: Esboce
Plano xy → z =0 →
Plano yz → x = 0→
Plano xz → y = 0 →
Hiperbolóide de uma folha:
Observação: z= k
Exemplo: Esboce
( 2 )
dividindo por 4 temos:
(√ )
Plano xy → z =0 →
Plano yz → x = 0 →
(√ )
Plano xz → y = 0 →
(√ )
Se y=k →
(√
)
Multiplicando por -1 e rearranjando os termos temos:
(√
)
Coordenadas Cilíndricas
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Exemplo: a) Transformar ponto (
) em coordenadas cilíndricas, para
coordenas retangulares.
=>
√
( √ )
b) P em coordenadas retangulares para coordenadas cilíndricas
√
( √
)
Exemplo: Paraboloide , transformando em coordenadas
cilíndricas.
√
Coordenadas Esféricas
Exemplo : Transformar
em
coordenadas retangulares
para coordenadas esféricas:
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1.2 Referente á Segunda Avaliação.
CAPÍTULO 13 - FUNÇÕES VETORIAIS
( )
Exemplo: Dada a função √ , calcule o Domínio(r).
{ |
√ { |
{ |
Limites
Dada a função
( )
Sempre que:
Exemplo: Calcule o limite de (
).no ponto t
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Continuidade
Quando ( )
é contínua se :
Exemplo: Determine se ( √ ) é contínua em [0,3).
Em ( √ ) É um ponto não definido, logo r não é
continua.
Exemplo: Descreva a curva descrita pela:
Exemplo: Esboce a curva descrita porExemplo: Determine a equação vetorial para o segmento ligando
ao ponto .
Exemplo: Determine a equação vetorial que representa a curva obtida pela
interseção de com o plano
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Derivação de funções vetoriais
Vetor unitário (versor tangente)
Teorema: Se temos se f, g, h são funções
diferenciáveis, então:
Exemplo: a) Determine a derivada
b) Encontre o versor tangente em t=0.
√
(
√
√
)
Exemplo: (√ ) Determine r’(t), o vetor posição
quando t=1 e calcule r’(1).
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̂ ̂
Exemplo: Determine as equações paramétricas da reta tangente à hélice
no ponto
.
(
)
Quando
(
) façamos:
(
)
Integrais
∫
∫ ∫
∫
Exemplo : Se r(t)= calcule a integral.
Solução:
∫ ∫ ∫ ∫
|
|
|
∫
Comprimento de Arco de Função Vetorial
∫
∫ √( )
( )
Exemplo: Calcule o comprimento da hélice circular
do ponto até .
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Solução:
Intervalo: {
{
∫
∫ √
√
Funções de Várias Variáveis
Definição: Uma função f de duas variáveis é uma regra que associa a cada
par ordenado , domínio da função, a um único valor real,
denotado:
O conjunto é o domínio de e sua imagem, o conjunto de valores
possíveis de .
{ |
{ |
Exemplo: Determine os domínios das seguintes funções e calcule
a)
√
Solução:
{
{ |
b)
Solução:
{
{ |
Exemplo: Determine o domínio da função √
Solução:
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{
Imagem { |
Esboce o gráfico da função
(Equação do plano)
Se
Se
Se
Exemplo: Determine o domínio e a imagem
{
Curvas de Nível
As curvas de nível de uma função de duas variáveis são aquelas com
equação , com .
Curvas de Nível
Exemplo: Esboce o gráfico das curvas de nivel ,
para
1° curva de nivel: quando
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2° curva de nivel: quando
3° curva de nivel: quando
4° curva de nivel: quando
Exemplo: Esboce as curvas de nível √ para
Solução:
Quando
√
Quando
√
√
Quando
√
√
Quando
√
Exemplo: esboce algumas curvas de nível
(parabolóide)
(
)
(elipse)
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(
√
)
(√ )
(elipse)
Funções de Três Variáveis
Exemplo: Determine
Dom (restrição)
Plano
Limites e Continuidades de Funções de Várias variáveis
Exemplo:
,
{
quando o
quando o
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Exemplo:
sempre
=
=
sempre
=
lim
=
lim f(x,y)
→(0,0)
Exemplo:
quando
ƒ
sempre que
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√ sempre que
√
√
√
√
Assim podemos afirmar que
{
(x,y) (0,0) tal que | f(x,y) -0| <
Obs 1: e
||
|| ||
√
Obs 2
| | | |
mas
≤
→
então:
| | | |
Obs 3:
| | √ √ | |
Assim: √ √
Logo,
Logo o limite existe e é zero.
Continuidade para funções de várias variáveis
Definição :
Se diz que f é contínua no ponto quando
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por todos os caminhos
Exemplo:
é continua em (0,0)
; logo g não é contínua em
Mas façamos que:
{
Então
Provemos que sobre qualquer caminho ela tem limite
tal que
tal que
Logo não é contínua em (0,0)
Exemplo:
Solução:
não é continua em ;
Mas é contínua em {
Redefinindo temos:
{
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CAPÍTULO 14 - DERIVADAS PARCIAIS
Exemplo:
{
Calcule as derivadas parciais em todo
( )
Agora quando
Se
( )
( )
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( )
Se
Interpretação das derivadas Parciais
Exemplo: ; ache e . Interprete esses
números como inclinações.
Solução:
(1,1) = -2 (inclinação da reta tangente a curva)
Fixo
curva
(inclinação da reta tangente a curva)
Curva:
Derivadas de Maior Ordem
Exemplo: calcule duas derivadas de segunda
ordem.
Solução:
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Teorema: suponha que f seja definida em uma Bola aberta D que contenha o
ponto Se e forem contínuas em D → (a,b) = (a,b)
Plano Tangente e Aproximações Lineares
⃗ . ( . ⃗⃗⃗⃗ .)
(dividindo por C ):
( )
- =
- ) +
- )
̂ ̂
Equação do Plano Tangente
Exemplo: Determine um plano tangente ao parabolóide elíptico
no ponto .
Solução:
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Aproximações Lineares
Exemplo: , no ponto encontre a aproximação pelo plano
tg de no
Solução:
Regra da cadeia
Caso 1:
( )
Caso 2:
( )
Exemplo: { ; }, ache
em .
Solução:
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Exemplo: ;
determine
.
Solução:
Substituindo na equação:
Substituindo na equação:
Derivada direcional
⃗
⃗ 〈 〉
Determinação
⃗
Caracterização da derivada direcional
(vetor gradiente)
⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗
‖ ⃗⃗ ‖
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Exemplo
a) Determine ⃗⃗
b) Determine a derivada direcional de f em na direção
.
‖ ‖
√
√
√
√
√
√
√
√
√
Teorema: Suponha que f é diferenciável o valor Máximo da derivada direcional
(taxa de variação)
‖ ⃗⃗ ‖
Mas quando ⃗ ‖ ⃗⃗ ‖
⃗⃗
‖ ‖
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗
⃗⃗
‖ ⃗⃗ ‖
‖ ⃗⃗ ‖
〈 ⃗⃗ ⃗⃗ 〉
‖ ⃗⃗ ‖
‖ ⃗⃗ ‖
‖ ⃗⃗ ‖
Máximos e Mínimos
Máximo local – quando ponto (x,y) em uma bola aberta com
centro em (a,b)
Mínimo local – quando
Se o máximo e o mínimo valerem para todos os pontos do dominio de ,
então f tem um máximo absoluto ou mínimo absoluto em
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Teorema: Se uma função f tem um máximo ou mínimo local em então
e (pontos críticos ).
Exemplo: Seja
São nulos quando e entao é um ponto critico.
Completando os quadrados temos:
entao é um mínimo local.
Teste da segunda derivada: Se é um ponto critico de
( )
|
|
Exemplo: Determine os valores mínimos e máximos locais e os pontos de
sela de
Solução:
{
Pontos críticos
|
| |
|
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Máximo e Mínimo Absoluto
Teorema: contínua num conjunto fechado e limitado:
assume máximo absoluto
assume mínimo absoluto
Exemplo:
{ Determine máximo e mínimo
absoluto.
(i) Pontos Críticos:
único ponto
(ii)
{
{
{
{
(iii)
e pontos de mínimo absoluto.
e pontos de máximo absoluto.
1.3 Referente á Terceira Avaliação
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CAPÍTULO 15 - INTEGRAIS MÚLTIPLAS
Integrais Duplas sobre Retângulos
P: Partição do intervalo [a,b], espaçamento
∑
∫
VOLUMES E INTEGRAIS DUPLAS
P: parti o do intervalo [a,b] em “n” pontos;
Q: parti o do intervalo [c,d] em “m” pontos;
Volume do Prisma =
∑ ∑
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d
c
b
a
dxdyyxf ),(
Integrais Duplas sobre Regiões Gerais
Tipo 1
b
a
xy
xy
dydxyxf
)(
)(
2
1
),(
Tipo 2
d
c
yx
yx
dxdyyxf
)(
)(
2
1
),(
Exemplo Motivador: {
Solução:
Tipo 2
d
c
yx
yx
dxdyyxf
)(
)(
2
1
),(
(
)
(
)
√( ⁄ )
√ ⁄
⁄ √
⁄
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√
=
2 3
00 0
2
113
),(
2
113
),(
2
2
yx
x
yx
x
dxdyyxfdxdyyxf
Tipo 1
2
113
0
3
²
),(
xy
xy
dydxyxf
Integrais Duplas em Coordenadas Polares
∬ =
br
ar
rdrdrsenrf ),cos(
Exemplo: Calcule ∬ , {
Numa região do semi-plano superior limitada pelos círculos
e .
Polares
rdrdsenrr ²²4cos3
0
2
1
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Cartesianas
o Tipo 1
√ √
√
2
1
²4
0
1
0
²4
²1
²43²43*2
xx
x
dydxyxdydxyx
o Tipo 2
√ √
√
2
1
²4
0
1
0
²4
²1
²43²43*2
yy
y
dxdyyxdxdyyx
Integrais Triplas
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Partição intervalo P partição subintervalo [xi-1..xi], i=0 ... l;
l
ab
Partição intervalo ;Q partição subintervalo [yi-1..yi], j=0 ... m;
m
cd
Partição intervalo; S partição subintervalo [zi-1..zi], k=0 ... n;
n
rs
zyxzyxf kji
l
i
m
j
n
klmn
),,( ***
111,,
lim
s
r
d
c
b
a
dxdydzzyxf ),,(
Exemplo: Calcule ∭ onde
{ .
dxdydzxyz ²
3
0
2
1
1
0
= 1
0
2
² ²yzx
=
dydzyz²
2
1
2
1
3
0
=
dzz
y
1
0
3
0
²
4
²
=
3
0
²
4
3
dzz
= 3
0
3
³
4
3 z
=
4
27
Exemplo: Calcule ∭√ onde E é a região limitada pelo
paraboloide y= x²+z² e pelo plano .
1º Passo: Graficar
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2º Passo Projetar em
Em coordenadas polares:
2
0
2 4
²C r
rrdydrd
Em coordenadas cartesianas:
Tipo 1:
²4 x
≤ z(x) ≤
²4 x
2
2
²4
²4
4
²²
x
x zx
dydzdxzx ²²
Tipo 2:
²4 x
≤ x(z) ≤
²4 x
2
2
²4
²4
4
²²
z
z zx
dydxdzzx ²²
Exemplo: Utilize a integral tripla para determinar o volume do tetraedro T
limitado pelos planos , .
1º Passo Graficar:
Pontos ⁄ e
2º Passo Projetar xy (z=0)
Retas:
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Tipo 1:
1
0
2
2
2
2
0
x
x
xy
dzdydx
Tipo 2:
2
1
2
1
0
2
0
2
0
1
2
1
22
0
2
0
y xy y xy
dzdxdydzdxdy
Integração Tripla em Coordenadas cilíndricas
cosrx
rseny
zz
dzrdrddxdydz
r=fator de correção
Exemplo: Um sólido E está contido no cilindro , abaixo do
plano e acima do 2. A densidade em qualquer ponto
é proporcional à distância do ponto ao eixo do cilindro
√
Determine
E
dxdydzyxk ²²
1º passo: Graficar
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2º passo: Projetar
Projeção
E
dxdydzyxk ²²
=
1
0
2
0
4
²1
r
dzkrrdrd
=
1
0
2
0
4
²1
²
r
dzdrdkr
Coordenadas Esféricas
),,(
cos
cos
z
senseny
senx
dddsendxdydz ²
Fator de correção =
sen²
Exemplo: Calcule
dve zyx
²²²
}1²²²/),,{( 3 zyxRzyx
Esfera:
20
0
10
}20,0,10/),,{( 3 RR
dxdydzzyx 2
3
²)²²(
=
2
0 0
1
0
² ²
)
2
3
(
dddsene
=
2
0 0
1
0
² ² dddsene
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Exemplo: Determine o volume do sólido que fica acima de √ e
abaixo de
2
2
22
2
1
)
2
1
(²²
0
2
1
2
1
²²²
0²²²
²²²
zyx
zzyx
zzyx
zzyx
Achando o
: Z=√x² +y²
4
1
cos
tg
sen
20
cos0
4
0
Achando o
esfera 0
X²+y²+z²=z
cos
cos²
Achando o θ: projeta o cone no ch o
R
dxdydz1
=
4
0
2
0
cos
0
²
dddsen
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MUDANÇA DE VARIÁVEIS EM INTEGRAIS MÚLTIPLAS
Exemplo ilustrativo:
para e
, e
Resumo:
, e onde
, então
(
) (
) com
Resumo:
(
)
, e onde
, então (
)
com
Resumo:
(
)
Exemplo: Calcule ∬ onde R a região limitada pelas curvas
e . Com e .
(
)
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(
)
Encontrando o fator de correção:
Jacobiano
|
⁄
⁄
⁄
⁄
| |
|
Solução: ∬
1
0
1
0
²4²42
v
v
u
u
dudvvuuv
Exemplo: Calcule ∬
onde R é descrito pelos pontos ,
, , .
para e
Temos que:
, então ⁄
Temos que: , então
⁄
Encontrando as retas
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, e , então u
Resumo:
, e , então u
Resumo:
, e
Resumo:
, e
Resumo:
Encontrando o fator de correção:
Jacobiano
|
⁄
⁄
⁄
⁄
| |
⁄
⁄
⁄
⁄
| ⁄
Solução: ∬
2
1
2
1
vu
vu
v
u
dudve
Encontrando os Fatoresde Correção
Coordenadas Esféricas
|
|
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
|
|
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|
|
|
| |
|
Coordenadas Cilíndricas
|
⁄
⁄
⁄
⁄
| |
|
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2. EXEMPLOS DIDÁTICOS INTERESSANTES
2.1 Primeira Avaliação
Exemplo 01) [Equações Paramétricas] Suponha que um projétil seja
disparado da origem no instante no instante t = 0 uma velocidade inicial
de grandeza v0 m/s e sentido dado pelo ângulo de elevação α, como
demonstra a imagem 01. Suponha que a única força que atua sobre o
projétil é a forma da gravidade. Mostre usando equações paramétricas
que o alcance máximo de um projétil é:
Imagem 1
m x =
gx
v0
cos
+ (tg )x
Solução:
Consideremos separadamente as componentes x e y da aceleração. Como a
força da gravidade age para baixo, temos:
ax =
dvx
dt
= 0
e
ay =
dvy
dt
= g
Onde g = 9,8 m/s² é a aceleração da gravidade. Portanto, tem - se que:
vx = c1 e vy = - gt + c2
para certas constantes c1 e c2. Mas quando t = 0, temos que vx = v0cos( ) e
vy = v0sen( ) e, consequentemente, tem – se que:
vx = v0cos( )
e
vy = -gt + v0sen( ).
Uma outra integração acarreta em:
x = (v0cos( ))t + c3 [1]
e
y = - 0,5gt² + (v0sen( ))t + c4 [2].
Mas x = y quando t = 0, logo c3 = c4 = 0.
Estas são as equações paramétricas da trajetória do projétil. Podemos utilizar
as equações [1] e [2] para mostrar que o projétil segue uma trajetória
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parabólica: eliminamos o parâmetro resolvendo a primeira equação pata t e
substituindo – na segunda:
t =
x
v0cos
= 0, g.
x
v0
cos ( )
+ (v0sen( )).
x
v0cos( )
Pode – se concluir que:
m x =
gx
v
cosα
+ (tg α)x
Exemplo 02) [Coordenadas Polares] Calcule a área da região limitada
pelo curva em coordenadas polares conforme as imagens 02 e 03:
= tgθ, θ
π
e pela reta (coordenadas Cartesianas),
e pelo eixo polar.
Imagem 2
Imagem 3
Solução:
Indiquemos por A (θ) a área da região hachurada A área que queremos é?
Área = lim
θ→
π
A (θ)
Temos:
A(θ) = rea P – rea A =
tg(θ)sen θ
∫ tg θdθ
θ
0
Vamos Calcular:
∫ tg θdθ
θ
0
Temos que:
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∫ tg θdθ =
θ
0
∫ (sec θ ) dθ = [tgθ – θ]
θ
0
= tgθ θ
θ
0
Assim:
tgθ
tgθ +
θ =
tgθ( θ) +
θ
=
senθcosθ +
θ
Portanto,
rea = lim
θ→
π
[
senθ +
θ] =
π
OBSERVAÇÃO:
= cosθ = tgθ = senθ e P = senθ = tgθsenθ
Assim, rea P =
sen θtgθ u.m .
Exemplo 03) [Seções Cônicas] Identifique o gráfico de
Solução:
O procedimento é completar o quadrado nos termos em x e em y:
e
Agora podem ocorrer três casos:
Caso 1: 55 – E > 0; Por exemplo, E = -89, de modo que 55 – E =144. Nesse
caso, temos:
(x )
–
(y + )
=
Que é uma hipérbole com centro (2, -1) e eixo principal horizontal.
Caso 2: 55 – E < 0; por exemplo, E = 199, de modo que 55 – E = -144. Aqui
temos
(y + )
–
(x + )
=
Que é uma hipérbole com centro (2, -1) e eixo principal vertical.
Caso 3: 55 – E = 0; E = 55. Dessa vez nossa equação fica:
ou
Essas equações representa as duas retas
Que são assíntotas dos dois primeiros Casos.
Exemplo 04) [Coordenadas Esféricas] Determine uma equação em
Coordenadas esféricas da esfera x² + y² + z² - 2az = 0, onde a > 0.
Solução:
Como = x² + y² + z² e z = cos a equação dada pode ser escrita:
² = apcos = 0 ou ( acos ) = 0
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O gráfico dessa equação é o gráfico de = 0 junto com o gráfico de -
2a cos = 0. Mas o gráfico de = 0 (ou seja, a origem) é parte do gráfico de -
2a cos = 0; logo, a equação desejada é:
= apcos
A imagem 04 é a esfera a tangente do plano xy na origem.
2.2 Segunda Avaliação
Exemplo 01) [Derivadas Parciais] Determine a Derivada Parcial
indicada:
(a) √ ;
= -
u(v-w)-1/2,
= -
u( -
(v-w)-3/2) =
u(v-w)-3/2
=
(v-w)-3/2
(b)
Exemplo 02) Se , calcule suas derivadas parciais
pela definição.
=
=
Imagem 4
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=
=
= =
=
=
Exemplo 03) As derivadas parciais existem em todo ponto. Aplicaremos
o teorema para provar a diferenciabilidade de f no ponto (0, 0). Para isto
provaremos que as derivadas parciais são contínuas no ponto (0, 0).
De fato |x| ≤ √ e ≤ (x²+ y²)²; logo
| |
≤ √
teremos |
| |
| < ε se 0 < √ < δ.(Analogamente para a outra derivada parcial).
Exemplo 04) Calcule as derivadas direcionais de
√ na direção do vetor .
ângulo formado por ( , ) e o
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Instituto Federal De Educacao Ciencia E Tecnologia Do Amazonas Campus Manaus Centro
ANA JULIA DE OLIVEIRA GODOY
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