apol analise combinatória

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Questão 1/5 - Análise Combinatória
De um total de 120 alunos que se destinam aos cursos de Matemática, Física e Química sabe-se que:
I.  40 destinam-se à Matemática e, destes, 20 são do sexo masculino. 
II. O total de alunos do sexo masculino é 60, dos quais 10 destinam-se à Química. 
III. Existem 30 moças que se destinam ao curso de Química. 
Nessas condições, sorteando um aluno ao acaso do grupo total e sabendo que é do sexo feminino, assinale a alternativa que apresenta a probabilidade de que esse aluno destine ao curso de Matemática.
Nota: 0.0
	
	A
	1313
Sejam AA o evento  "sortear aluno que se destina à Matemática" e BB o evento "sortear aluno do sexo feminino". O total de alunos do sexo feminino é 120−60=60120−60=60 e, destes, 40−20=2040−20=20 destinam-se à Matemática. Assim, P(A∩B)=20120P(A∩B)=20120. Além disso, P(B)=60120P(B)=60120. Portanto, a probabilidade de que o aluno sorteado destina-se à Matemática sabendo que é do sexo feminino é P(A∖B)=P(A∩B)P(B)=13.P(A∖B)=P(A∩B)P(B)=13.
	
	B
	1616
	
	C
	112112
	
	D
	1414
	
	E
	512512
Questão 2/5 - Análise Combinatória
Uma carta é sorteada de um baralho comum, que possui 13 cartas (AA, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K) de cada naipe (ouros - ♢♢, copas - ♡♡, paus - ♣♣ e espadas - ♠♠). Com base nesse experimento, analise as afirmativas:
I. O espaço amostral ΩΩ associado a esse experimento possui exatamente 52 eventos elementares. 
II. A probabilidade de que a carta sorteada seja um AA é 152152.
III. Sabendo que a carta sorteada é de copas, a probabilidade de que ela seja um AA é 113.113. 
São corretas as afirmativas:
Nota: 20.0
	
	A
	I, apenas.
	
	B
	I e II, apenas.
	
	C
	I e III, apenas.
Você acertou!
O baralho possui 4×13=524×13=52 cartas. Logo, o espaço amostral possui 52 eventos elementares e a afirmativa I é correta. Consideremos AA o evento  "sortear AA". Logo, #A=4#A=4 e a probabilidade da carta sorteada ser um AA é P(A)=452=113P(A)=452=113. Com isso, a afirmativa II é incorreta. Passamos para a afirmativa III. Trata-se de uma probabilidade condicional. Seja BB o evento "sortear copas". Então, P(A∩B)=152P(A∩B)=152 e P(B)=1352.P(B)=1352. Portanto, a probabilidade da carta sorteada ser AA, dado que é de copas é P(A∖B)=P(A∩B)P(B)=113.P(A∖B)=P(A∩B)P(B)=113.
	
	D
	II, apenas.
	
	E
	II e III, apenas.
Questão 3/5 - Análise Combinatória
Com base na palavra CAPÍTULO, analise as afirmativas:
I. O número de anagramas dessa palavra é igual a 5040.
II. O número de anagramas dessa palavra que começam por consoante e terminam por vogal é igual a 11520. 
III. O número de anagramas dessa palavra que têm as letras C, A, P juntas nessa ordem é igual a 120. 
São corretas as afirmativas:
Nota: 20.0
	
	A
	I, apenas.
	
	B
	I e II, apenas.
	
	C
	I e III, apenas.
	
	D
	II, apenas.
Você acertou!
O número de anagramas da palavra CAPÍTULO é igual a 8!=403208!=40320. Logo, a afirmativa I é incorreta. Observamos que há 4 maneiras de escolher a consoante que será a primeira letra do anagrama e 4 maneiras de escolher a vogal que será a última letra do anagrama. Depois disso, há 6!6! modos de arrumar as demais letras entre a primeira e a última. Portanto, o número de anagramas que começam por consoante e terminam por vogal é igual a 4×4×6!=115204×4×6!=11520. Assim, a afirmativa II é correta. Para a afirmativa III, consideramos CAP como se fosse uma única letra. Assim, devemos permutar 6 objetos: CAP, I, T, U, L, O. Portanto, o número de anagramas que podemos formar com as letras C, A, P juntas nessa ordem é igual a 6!=7206!=720 e a afirmativa III é incorreta.
	
	E
	II e III, apenas.
Questão 4/5 - Análise Combinatória
Assinale a alternativa que apresenta o coeficiente independente de xx no desenvolvimento de (x2+1√x)9(x2+1x)9:
Nota: 20.0
	
	A
	192192
	
	B
	212212
Você acertou!
O termo geral do desenvolvimento deste binômio é
Tp+1=(9p)(1√x)p(x2)9−p=(9p)x−p2x9−p29−p=(9p)x18−3p229−p.Tp+1=(9p)(1x)p(x2)9−p=(9p)x−p2x9−p29−p=(9p)x18−3p229−p.
Como buscamos o termo independente de xx, devemos impor que 18−3p2=018−3p2=0, isto é, p=6p=6. Desta forma, o termo independente de xx vale T7=(96)123=212.T7=(96)123=212.
	
	C
	232232
	
	D
	252252
	
	E
	292292
Questão 5/5 - Análise Combinatória
Muito além do estudo das combinações, dos arranjos e das permutações, a Análise Combinatória é a parte da Matemática que analisa estruturas e relações discretas. Com base nesses conceitos, coloque V quando a afirmativa for verdadeira e F quando falsa.
I. (   ) Os anagramas formados da palavra AMOR foram colocados em ordem alfabética. A posição correspondente à palavra ROMA é a 23ª. 
II. (   ) Em um torneio, no qual cada time enfrenta todos os demais uma única vez, são jogadas 28 partidas. Ao todo, participaram 8 times. 
III.  (   ) Em um grupo de 7 homens e 4 mulheres, podemos formar exatamente 371 comissões de 6 pessoas incluindo pelo menos duas mulheres em cada comissão.
Agora, marque a sequência correta.
Nota: 20.0
	
	A
	V – V – V
	
	B
	V – F – V
	
	C
	V – V – F
	
	D
	V – F – F
	
	E
	F – V – V
Você acertou!
Com a palavra AMOR, podemos formar 4!=244!=24 anagramas. Listados em ordem alfabética, o anagrama ROMA deve ser o último dessa lista. Logo, sua posição é a 24ª e a afirmativa I é falsa. Com nn times, são jogadas Cn,2Cn,2 partidas. Assim, Cn,2=28Cn,2=28, isto é, n(n−1)=56n(n−1)=56. Resolvendo essa equação e notando que nn é um inteiro positivo, concluímos que n=8n=8. Logo, a afirmativa II é verdadeira. Para a afirmativa III, podemos formar C11,6C11,6 comissões de 6 pessoas num grupo de 11 pessoas. Destas possibilidades, existem C7,6C7,6 comissões sem mulheres e 4×C7,54×C7,5 comissões com apenas uma mulher. Logo, ao todo, existem C11,6−C7,6−4×C7,5=462−7−84=371C11,6−C7,6−4×C7,5=462−7−84=371 comissões com pelos menos duas mulheres.