P2 Duílio

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Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro
2a. Prova de Ca´lculo 2 subst - Turma 01
Prof. Duilio
Aluno:
Justifique suas respostas!
1) (1.0 pto) Seja f a func¸a˜o f(r, θ) = er
2+3 cos(3θ) e considere que as variaveis r e θ
dependem de s e t como r = s+ 3st2 e θ =
√
s2 + 3t3. Calcule as derivadas parciais
∂f
∂s
e
∂f
∂t
.
2) (1.0 pto) Se z = y + f(x2 − y2), onde f e´ uma func¸a˜o diferenciavel, mostre que
y
∂z
∂x
+ x
∂z
∂y
= x.
3) (2.0 ptos) Determine se as func¸o˜es abaixo sa˜o continuas:
a) f(x, y) =


3y5
x5 + 3y5
; se (x, y) 6= (0, 0)
0 ; se (x, y) = (0, 0)
b) f(x, y) =


x3y sen2 y
x2 + 3y2
; se (x, y) 6= (0, 0)
0 ; se (x, y) = (0, 0)
4) (2.0 ptos) Esboce 4 curvas de n´ıvel para cada uma das func¸o˜es
a) f(x, y) = 1− e2x/y.
b) f(x, y) = sen (xy).
5) (2.0 pontos) Suponha que em uma regia˜o do espac¸o o potencial ele´trico V e´ dado por
V (x, y, z) = y cos(x3)− y3x2 + z3x− xyz.
a) (1.0 pto) Encontre a taxa de variac¸a˜o do potencial no ponto P (0, 2, 1) na direc¸a˜o do
vetor ~v = (4, 0, 3).
b) (0.6 pto) Em qual direc¸a˜o o potencial V varia mais rapidamente no ponto P ?
c) (0.4 pto) Qual e´ a taxa ma´xima de variac¸a˜o de V no ponto P ?
6) (2.0 pontos) Determine os valores ma´ximo e mı´nimo absolutos da func¸a˜o
f(x, y) = 4x+ 6y − x2 − y2
no conjunto D = {(x, y); 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 5}.
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