GEOMETRIA FRACTAL.

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ 
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS 
FACULDADE DE MATEMÁTICA 
CURSO DE LICENCIATURA PLENA EM MATEMÁTICA 
 
 
 
CAIRO DIAS BARBOSA 
 
 
 
GEOMETRIA FRACTAL: CONTEXTUALIZAÇÃO E 
APLICAÇÃO NO ENSINO DE SEQUÊNCIAS E 
PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS 
 
 
 
 
 
 
 
MARABÁ 
2014 
 
 
CAIRO DIAS BARBOSA 
 
 
 
 
GEOMETRIA FRACTAL: CONTEXTUALIZAÇÃO E 
APLICAÇÃO NO ENSINO DE SEQUÊNCIAS E 
PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS 
 
 
 
 
 
Trabalho de Conclusão de Curso submetido à 
Universidade Federal do Pará, Faculdade de 
Matemática, como parte dos requisitos necessários 
para obtenção do grau de Licenciado Pleno em 
Matemática. 
 
Orientador: Profº. Dr. Ducival Carvalho Pereira. 
 
 
 
 
 
 
 
 
MARABÁ 
2014 
 
 
CAIRO DIAS BARBOSA 
 
 
GEOMETRIA FRACTAL: CONTEXTUALIZAÇÃO E APLICAÇÃO NO 
ENSINO DE SEQUÊNCIAS E PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS 
 
 
Trabalho de conclusão de curso submetida a avaliação da banca examinadora aprovada pela 
Faculdade de Matemática da Universidade Federal do Pará e julgada adequada para a 
obtenção do grau de Licenciatura Plena em Matemática. 
 
APROVADO EM 26/ 06 / 2014 
 
 
CONCEITO: EXCELENTE 
 
 
BANCA EXAMINADORA: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Marabá - PA 
2014 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Dedico a Deus pelo seu imenso amor; a minha 
mãe, Anezita Maria Dias, por ser uma mulher 
guerreira que sempre lutou para me garantir 
educação e a minha esposa, Ana Paula Jardim 
Silva, por ter estado ao meu lado em grandes 
desafios e conquistas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AGRADECIMENTOS 
 
 
A Deus por todas as vitórias que tenho conquistado e que irei conquistar mediante 
a fé que tenho nele. 
A minha mãe, Anezita Maria Dias, pelo carinho, cuidados e por estar sempre ao 
meu lado nas situações boas e ruins, acreditando na minha capacidade e me dando forças para 
lutar contra os desafios da vida. 
A minha esposa, Ana Paula Jardim Silva, por sempre orientar e apoiar minhas 
decisões, torcendo para que eu alcance meus objetivos. 
Ao professor Edivan Alves Pereira, ex-coordenador do polo da Universidade 
Aberta do Brasil (UAB) em marabá-Pa, que faleceu em março de 2013, nós deixando muitas 
saudades e boas recordações. 
A atual coordenadora, professora Sayonara Dias Vieira, que assim como o seu 
antecessor, professor Edvan, desempenha um ótimo papel na coordenação do polo da UAB 
em Marabá. 
A todos os meus professores, tutores e colegas de curso pelos conhecimentos 
compartilhados e pelas contribuições em minha formação acadêmica. 
A professora Drª. Fernanda Carla Lima Ferreira que me ajudou na elaboração e 
publicação de alguns trabalhos acadêmicos como artigos, estimulando dessa forma minha 
produção científica. 
Agradeço também ao meu orientador, professor Dr. Ducival Carvalho Pereira, pelo 
apoio e orientação na elaboração deste trabalho. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 "A Geometria dos Fractais não é apenas um 
capítulo da Matemática, mas também uma 
forma de ajudar os Homens a verem o mesmo 
velho Mundo diferentemente." 
 
 
Benoit Mandelbrot 
 
 
 
 
RESUMO 
 
 
Neste trabalho realizamos um estudo acerca da Geometria Fractal, um campo da Matemática 
que a cada dia vem se desenvolvendo devido sua ampla aplicabilidade no desenvolvimento 
de novas tecnologias e a possibilidade de descrever formas e fenômenos com comportamentos 
"aleatórios", que não são possíveis de serem explicados pela Geometria Euclidiana. Os 
fractais estão presentes por todo o universo natural, dessa forma a Geometria Fractal se 
apresenta como uma nova maneira de ver e conceber a natureza. Com isso este estudo procura 
mostrar que não existe apenas a Geometria Euclidiana, mas que há outras como a dos fractais 
onde é possível perceber a beleza e o valor da Matemática em situações do cotidiano, 
proporcionando assim um ensino mais prazeroso e instigante nas aulas de Matemática. Na 
elaboração desta monografia foi realizado um levantamento bibliográfico sobre o assunto, 
sendo que através do estudo de alguns trabalhos já realizados na área, procurou-se apresentar 
de forma clara: origem, definições, características, classificações e aplicações dos fractais em 
diversas áreas. Já para a sua abordagem na Matemática foram realizadas sugestões de 
atividades para serem desenvolvidas em sala de aula como a construção de alguns dos fractais 
mais famosos, por meio da manipulação de matérias concretos e aplicação destes no ensino 
de Sequências e Progressão Geométrica (PG) no ensino médio. Sendo assim mediante este 
estudo e as propostas de atividades aqui apresentadas, buscou-se: uma metodologia que 
pudesse abordar de forma menos abstrata os conceitos de Sequências e PG; uma maior 
interdisciplinaridade da Matemática com outras áreas e a promoção de aulas mais 
motivadoras, estimuladas principalmente pelas curiosas e belas estruturas dos fractais. 
 
 
Palavras-chave: Geometria Fractal, Sequências e Progressões Geométricas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ABSTRACT 
 
 
In this work we conducted a study on the Fractal Geometry , a field of mathematics that every 
day are developing due to its wide applicability in the development of new technologies and 
the possibility of describing forms and phenomena with " random " behaviors , which are not 
possible to be explained by Euclidean geometry. The fractals are present throughout the 
natural world , so that the fractal geometry is presented as a new way of seeing and 
conceiving nature. Thus this study aims to show that there is not just Euclidean geometry ,but 
there are other more like fractals where you can see the beauty and value of mathematics in 
everyday situations, thus providing a more pleasurable and exciting teaching in mathematics 
classrooms . in the preparation of this monograph, a study on the subject was performed 
considering the origin, definitions , characteristics, classifications and applications of fractals 
in several areas: , and through the study of some previous work in the area , we tried clearly to 
demonstrate it. For its approach in Mathematics, suggestions of activities were held to be 
developed in the classroom as the construction of some of the most famous fractals , through 
the manipulation of concrete materials and the application of these teaching sequences and 
Geometric Progression (GP ) in high school . Sit well upon this study and proposed activities 
presented here , we sought : a methodology that would address less abstractly the concepts of 
sequences and GP ; greater mathematics interdisciplinarity with other areas and promoting 
more motivating lessons , mainly stimulated by the curious and beautiful structures of fractals 
 
 
Keywords: Fractal Geometry, Sequences and Geometric Progressions. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
 
1 INTRODUÇÃO .............................................................................................................. 
 
2 SEQUÊNCIAS: PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS................................................. 
2.1 SEQUÊNCIAS OUSUCESSÃO................................................................................... 
2.2 SEQUÊNCIAS FINITAS E INFINITAS...................................................................... 
2.3 LEI DE FORMAÇÃO DE UMA SEQUÊNCIA........................................................... 
2.4 PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS............................................................................... 
2.4.1 Classificação das Progressões Geométricas................................................................ 
2.4.2 Fórmula do Termo Geral............................................................................................. 
2.4.3 Fórmula da Soma dos Termos de Uma PG Finita....................................................... 
2.4.4 Soma dos Termos de uma PG Infinita........................................................................ 
 
3 O ESTUDO DOS FRACTAIS ....................................................................................... 
3.1 GEOMETRIA EUCLIDIANA ...................................................................................... 
3.2 GEOMETRIA FRACTAL ............................................................................................ 
3.2.1 Origem da Geometria Fractal ..................................................................................... 
3.2.2 Definição de Um Fractal ............................................................................................ 
3.2.3 Classificação dos Fractais .......................................................................................... 
3.2.3.1 Fractais definidos por sistemas de funções interadas .............................................. 
3.2.3.2 Fractais gerados por computador ............................................................................ 
3.2.3.3 Fractais aleatórios .................................................................................................... 
3.2.4 Dimensão Fractal ....................................................................................................... 
3.2.4.1 Calculando a dimensão fractal de fractais gerados por função interadas ................ 
3.2.4.2 Calculando a dimensão fractal de qualquer fractal - método "contagem de 
caixas" ................................................................................................................................. 
3.2.5 Características Fundamentais de um Fractal .............................................................. 
 
4 BENOÎT MANDELBROT O "PAI" DOS FRACTAIS ............................................. 
 
5 APLICAÇÃO DOS FRACTAIS NAS CIÊNCIAS E TECNOLOGIAS.................... 
10 
 
13 
13 
13 
14 
14 
14 
16 
17 
18 
 
19 
19 
20 
20 
21 
22 
22 
30 
33 
35 
36 
 
38 
40 
 
41 
 
44 
 
 
6 SUGESTÕES DE ATIVIDADES SOBRE CONSTRUÇÃO E APLICAÇÃO DE 
FRACTAIS NO ENSINO DE SEQUÊNCIAS E PROGRESSÕES 
GEOMETRICAS .............................................................................................................. 
6.1 ATIVIDADE 01 - "JOGO DO CAOS".......................................................................... 
6.2 ATIVIDADE 02 - FRACTAL TRIÂNGULO DE SIERPINSKI ................................. 
6.3 ATIVIDADE 03 - FRACTAL CARPETE DE SIERPINSKI (TAPETE DE 
SIERPINSKI) ...................................................................................................................... 
6.4 ATIVIDADE 04 - FRACTAL CONJUNTO DE CANTOR (POEIRA DE 
CANTOR) ........................................................................................................................... 
6.5 ATIVIDADE 05 - FRACTAL CURVA DE KOCK ..................................................... 
6.6 ATIVIDADE 06 - FRACTAL TRIMINÓ .................................................................... 
6.7 ATIVIDADE 07 - FRACTAL POR DOBRADURAS E CORTES - FORMA DE 
PARALELEPÍPEDO .......................................................................................................... 
 
7 CONSIDERAÇÕES FINAIS......................................................................................... 
 
REFERÊNCIAS.............................................................................................................. 
 
 
49 
49 
51 
 
55 
 
58 
61 
64 
 
66 
 
71 
 
73 
10 
 
1 INTRODUÇÃO 
 
 
No cotidiano é possível visualizar algumas formas que apresentam regularidade e 
que assim podem ser explicadas pela Geometria Euclidiana como: quadrados, triângulos, 
círculos, esferas, cubos entre outras que são utilizadas pelos homens em suas construções, 
como pode ser visto nas ruas, nos prédios, nas praças, nos monumentos, etc. No entanto, 
olhando ao redor, pode-se perceber que a natureza principalmente se apresenta com formas 
irregulares e em sua maioria complexas, não sendo possível serem compreendidas pela 
Geometria de Euclides. No entanto, é possível definir e estudar o formato de uma nuvem, de 
um relâmpago, de uma folha de árvore, de um vírus, de um câncer ou até mesmo os 
batimentos do coração quando se utiliza a Geometria Fractal, também conhecida como 
Geometria da Natureza (TEIXEIRA, 2010). 
 A Geometria dos Fractais, que recebeu esse nome pelo seu iniciador o 
matemático Benoit Mandelbrot (1924 - 2010) é uma geometria Não Euclidiana que se 
encarrega do estudo dos fractais que podem ser identificados como objetos, imagens 
elaboradas por programas computacionais e fenômenos (da natureza, sociais e econômicos) 
que possuem formas que parecem ser aleatórias, mas se vistos a diferentes escalas não perdem 
sua definição inicial. Essa característica especial, onde cada uma de suas partes se assemelha 
ao todo, permite encontrar padrões regulares e organizados dentro de uma aparente 
irregularidade (MACEDO; FRANCO, 2008). Tal propriedade leva a Geometria Fractal a 
encontrar-se correlacionada com uma ciência denominada Caos, que procura achar padrões de 
organização em comportamentos aparentemente aleatórios como, um dos exemplos, a 
previsão do tempo de uma região (OLIVEIRA, 2008). 
A ampla aplicabilidade da Geometria Fractal possibilita a conexão com diversas 
áreas do conhecimento humano e principalmente com outros conteúdos de Matemática como 
Álgebra, Números Complexos, Geometria Plana, Geometria Espacial, Series, Limites, etc. 
Todavia segundo Fernandes (2007), mesmo diante dos muitos fatores positivos, a Geometria 
Fractal ainda é um assunto pouco aproveitado como metodologia de ensino da Matemática. 
Observa-se que essa geometria não aparece nos livros didáticos e quando aparece 
é apenas de forma ilustrativa. Um outro fator negativo se deve ao fato de muitos professores 
nem mesmo terem tido contado com o estudo dos fractais durante sua formação, devido ser 
um tema recente, em muitos cursos de matemática não consta na grade curricular 
11 
 
(NASCIMENTO; SILVA; MACIEL, 2012). Todos estes fatores têm contribuído para que 
muitos educadores tenham uma certa resistência na abordagem da Geometria Fractal em suas 
aulas, devido em parte a insegurança. 
Outro ponto importante a se destacar se deve ao fato do estudo dos fractais estar 
se tornando cada vez mais relevante nas últimas décadas, sendo utilizada nas mais diferentes 
áreas como Mineralogia (prospecção de petróleo); Metalurgia (melhoramento de ligas); 
Fisiologia (estudo de órgão do corpo humano); Geografia (estudo dos litorais); Hidrologia 
(percurso dos rios); Artes (pinturas); Cinema (construção de cenários artificiais); Música 
(composição de peças eruditas), entre outras (CARVALHO et al.,1986). Dessa forma, 
verifica-se a necessidade de que os alunos, ainda no ensino médio, entrem em contatocom a 
Geometria Fractal, que já é estudada e aplicada em diversas ciências. 
Com o desenvolvimento das tecnologias o ensino também evoluiu, a Matemática 
como as demais disciplinas deve se adequar a tais mudanças, a atenção do discente deve ser 
estimulada através de aulas lúdicas, que lhe proporcionem algo de novo e que assim lhe 
desperte o interesse e a motivação para aprender. Para este fim, deve-se investir na procura de 
novas metodologias que auxiliem na prática pedagógica do educando pois o conhecimento a 
ser trabalhado deve ser significativo, aplicável e interdisciplinar (MACEDO; FRANCO, 
2008). 
Ministrar uma aula com situações novas e conteúdos atuais e reais, onde o aluno 
possa relacionar aquilo que visualiza com o que estuda, de forma a perceber a beleza e o valor 
da Matemática no seu dia a dia, torna o ambiente favorável à aprendizagem (VEJAN; 
FRANCO 2009). Com isso procura-se mostrar que a Matemática não se resume apenas na 
resolução de cálculos e desenvolvimento de fórmulas, mas que também pode ser uma maneira 
de compreender a natureza além de levar o aluno também a perceber que na Matemática ainda 
há muito a ser descoberto e que para tal depende o desenvolvimento dos mais diversos 
campos do conhecimento humano (TEIXEIRA, 2010). 
Pensando nisso, este trabalho apresenta um estudo sobre os fractais abordando 
conceitos básicos, características, processos de construção e maneiras de aplicá-los nos 
conteúdos de Sequências e Progressões Geométricas no Ensino Médio. A escolha destes 
conteúdos se deve ao fato de possibilitarem o estudo e a compreensão dos efeitos de cada 
interação dos fractais matemáticos que serão descritos no Capítulo 6. 
Objetiva-se assim contribuir para uma melhoria no ensino de Matemática do 
ensino médio, possibilitando ao aluno perceber através da Geometria Fractal, a beleza e o 
valor da Matemática em situações cotidianas. Propondo uma aula com situações novas, onde 
12 
 
o educando possa fazer relações entre o que visualiza e o que estuda (Sequências e 
Progressões Geométricas), tornando o acontecimento em sala de aula favorável a 
aprendizagem ao estabelecer relações entre a Matemática dos fractais com a natureza e 
diferentes áreas do conhecimento. 
Com o intuito de alcançar tais objetivos este trabalho de aplicação teórica 
apresenta seus capítulos organizados da seguinte maneira: 
No capítulo 2 é realizado uma breve explanação dos conteúdos de Sequências e 
Progressões Geométricas, áreas que serão trabalhadas em paralelo com a Geometria Fractal. 
O capítulo 3 detalha as diferenças entre a Geometria Euclidiana e a Geometria 
Fractal, mencionando seus iniciadores e o campo de estudo de cada uma. Ainda nesse capítulo 
são apresentados os fractais clássicos, suas características, definições gerais, categorias de 
fractais e a ideia de Dimensão Fractal. 
No capítulo 4 é apresentado uma biografia de Benoit Mandelbrot, matemático que 
nomeou e divulgou a Geometria Fractal. No capitulo é relatado sua trajetória desde a infância 
como fugitivo da perseguição nazismo ao estudo e desenvolvimento da Geometria Fractal. 
No capítulo 5, é apresentado alguns exemplos do emprego dos fractais em 
diferentes áreas como na medicina, no desenvolvimento de novas tecnologias na Teoria do 
Caos, entre outras. 
O capítulo 6, trata de sugestões de aplicações da Geometria Fractal nos assuntos 
de Sequências e Progressões geométricas, por meio de atividades lúdicas, que visam a 
obtenção de alguns fractais determinísticos construídos através da manipulação de materiais 
concretos. 
No capitulo 7, são realizadas as considerações finais, onde são apresentadas novas 
propostas de aplicação da Geometria Fractal em conjunto com outros conteúdos de 
matemática, afim de promover sua inserção nas aulas de matemática do ensino médio. 
 
 
 
 
 
 
 
13 
 
2 SEQUÊNCIAS: PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS 
 
 
Os conceitos descritos a seguir referente a Sequências e Progressões 
Geométricas, são baseados nas obras de Iezzi e Hazzan (2006) e Dante (1999). 
 
2.1 SEQUÊNCIAS OU SUCESSÃO 
 
Todo conjunto de elementos, numéricos ou não, colocados numa ordem 
determinada é chamado de sequência ou sucessão. 
Em uma sequência, o primeiro elemento é indicado por 
1a
, o segundo por 
2a
, o 
enésimo elemento por 
na
 e assim sucessivamente: 
1a
 = 1º termo (posição 1) 
2a
= 2º termo (posição 2) 
3a
= 3º termo (posição 3) 

 

 

 
na
= nº termo (posição n) 

 

 

 
  ,,,,, 321 naaaa
 
 
2.2 SEQUÊNCIAS FINITAS E INFINITAS 
 
De acordo com o número de elementos de uma sequência, ela pode ser finita ou 
infinita. 
Exemplos: 
1º) 
 12,6,5,4,3,2,1
 é a sequência (finita) dos divisores inteiros positivos de 12 dispostos 
em ordem crescente. 
 
2º) 
  ,2,,8,6,4,2 i
 é a sequência (infinita) dos múltiplos inteiros positivos de 2. 
 
3º) 
 ,11,7,5,3,2
 é a sequência (infinita) dos números primos positivos. 
14 
 
2.3 LEI DE FORMAÇÃO DE UMA SEQUÊNCIA 
 
Interessam à Matemática as sequência em que os termos se sucedem obedecendo 
a certa regra, isto é, aquelas que têm uma lei de formação, que possibilitam explicitar todos os 
seus termos. 
Exemplos: 
A sequência 
 nnan ,12
 , é dada por: 
 para 
;111.21 1  an
 
 para 
;312.22 2  an
 
 para 
;513.23 3  an
 
 para 
,714.24 4  an
etc. 
Portanto, a sequência é 
 ,7,5,3,1
, ou seja, a dos números naturais ímpares. 
 
2.4 PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS 
 
Chama-se progressão geométrica uma sequência dada pela seguinte fórmula de 
recorrência: 





 2,,.1
1
nINnqaa
aa
nn
 
Em que 
a
e 
q
são números reais dados. 
Assim, uma PG é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é o 
produto do anterior por uma constante 
q
dada. 
 
2.4.1 Classificação das Progressões Geométricas 
 
As progressões geométricas podem ser classificadas em cinco categorias: 
1ª) crescentes - São as PG em que cada termo é maior que o anterior. Ocorre de duas formas: 
a) PG com termos positivos 
11
1
1 


n
n
nn
a
a
aa
 
Exemplo: 
 ,27,9,3,1
 em que 
11 a
 e 
3q
 
15 
 
b) PG com termos negativos 
1010
1
1 

 q
a
a
aa
n
n
nn
 
Exemplo: 
 ,3,9,27,81 
 em que 
811 a
 e 
3
1
q
 
2ª) constantes - São as PG em que cada termo é igual ao anterior. Ocorre de duas formas: 
a) PG com os termos todos nulos 
01 a
 e 
q
qualquer 
b) PG com os termos iguais e não nulos 
11
1
1 

 q
a
a
aa
n
n
nn
 
Exemplo: 
 ,9,9,9,9
 em que 
91 a
 e 
1q
 
3ª) decrescente - São as PG em que cada termo é menor que o anterior. Pode corre de duas 
maneiras: 
a) PG com termos positivos 
1010
1
1 

 q
a
a
aa
n
n
nn
 
Exemplo: 






,
27
2
,
9
2
,
3
2
,2
 em que 
21 a
 e 
3
1
q
 
b) PG com termos negativos 
11
1
1 

 q
a
a
aa
n
n
nn
 
Exemplo: 
 ,27,9,3,1 
 em que 
11 a
 e 
3q
 
 4ª) alternantes são as P.G em que cada termo tem sinal contrário ao do termo anterior. Ocorre 
quando 
0q
. 
Exemplo: 
 ,50000,500,50,5 
 em que 
51 a
 e 
10q
 
5ª) estacionárias são as PG em que 
01 a
 e 
0...431  aaa
. Isso ocorre quando 
0q
. 
 
16 
 
Exemplo: 
 ,0,0,0,7
 em que 
71 a
 e 
0q
 
 
2.4.2Fórmula do Termo Geral 
 
Utilizando a fórmula de recorrência pela qual se define uma PG e admitindo 
dados o primeiro termo 
 01 a
, a razão 
 0q
 e o índice 
 n
 de um termo desejado, temos: 
 
qaa .12 
 
qaa .23 
 
qaa .34 
 
 

 
qaa nn .1
 
 
Multiplicando essas 
1n
 igualdade, temos: 
 
1
14321432 .............


n
nn qaaaaaaaaa   
 
 cancelam-se 
 
 
Desse modo encontramos o termo de ordem 
n
, denominado termo geral de uma 
PG, que é dado por: 
1
1 .
 nn qaa
 
 
Nessa fórmula: 
na
 termo geral 
1a
 1º termo 
n
 número de termos (até 
na
) 
q
 razão 
 
17 
 
2.4.3 Fórmula da Soma dos Termos de Uma PG Finita 
 
Quando 
1q
, todos os termos da PG são iguais a 
1a
; então 
1. anS 
. Por 
exemplo, na PG 
 4,4,4,4,4,4,4
 a soma de seus termos é: 
284.7 S
 
Vejamos agora a soma dos termos de uma PG finita quando 
1q
. 
Consideremos a PG finita 
),,,,,( 1321 nn aaaaa 
e seja 
nS
 a soma de seus 
termos: 
nn aaaaaS  1321 
 (I) 
Vamos multiplicar os dois membros dessa igualdade pela razão 
q
, obtendo: 
 qaqaqaqaqaSq n
a
n
aaa
n
n
...... 1321
432
  


 
ou 
qaaaaaSq nnn .. 432  
 (II) 
 
Fazendo (II) - (I), temos: 
 
   
1
132132
.)1(
....
aqaqS
aqaSSqaaaaqaaaaSSq
nn
nnnnnnnn

  
 
Fórmula que nos permite calcular a soma dos termos de uma PG finita quando
1q
. 
,
1
. 1



q
aqa
S nn
para 
1q
 
 
Podemos chegar a outra fórmula para o mesmo cálculo da soma dos termos de 
uma PG finita de razão 
1q
 
Vimos que 
1
. 1



q
aqa
S nn
. Como 
1
1 .
 nn qaa
, temos: 
 
18 
 
 
1
1
1
.
1
.
1
.. 1111
11
11
1
1













q
qa
q
aqa
q
aqa
q
aqqa
S
nnnn
n
 
 
 
1
11



q
qa
S
n
n
, para 
1q
 
 
2.4.4 Soma dos Termos de uma PG Infinita 
 
Dada a PG infinita 
 ,,, 321 aaa
 de razão 
q
, 
0q
, para determinar a soma 
S
 
dos seus infinitos termos, temos: 
a) se 
1q
 ou 
1q   Sq ,1|| 
tende a 

 ou 

 (o que significa que é impossível 
determinar S); 
b) 
Sqq ),1|(|11 
converge para um valor finito. 
A partir da fórmula da soma dos 
n
 primeiro termos de uma PG,  
1
11



q
qa
S
n
n
, 
temos que, quando 
n
 tende a 
nq,
 tende a zero, portanto, a fórmula para calcular 
S
, com 
01 a
 e
1|| q
, é: 
 
q
a
q
a
q
a
S








111
10 111
 
q
a
S


1
1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
3 O ESTUDO DOS FRACTAIS 
 
 
3.1 GEOMETRIA EUCLIDIANA 
 
A geometria é uma área da Matemática preocupada com o estudo relacionado a 
forma, tamanho e posição relativas de figuras no espaço. Estudiosos da área acreditam que 
este ramo da Matemática surgiu no antigo Egito, no vale do rio Nilo, devido suas cheias. 
Como todo o ano o rio alagava as áreas de terras que ficavam as suas margens, eram 
enriquecidas com nutrientes da lama levada pelas águas, isso tornava as terras de cultivo as 
mais férteis e cobiçadas da época, porém o fator negativo se dava ao fato do rio destruir as 
demarcações físicas que dividiam as propriedades o que gerava conflitos pela posse da terra 
(BRAZ, 2009). 
Com o intuito de estabelecer fronteiras entre as propriedades existentes atingidas 
pelas inundações, os faraós nomeavam funcionários agrimensores para estabelecer tais 
limites. Dessa forma surgiu a palavra geometria derivada do grego geo = terra + metria = 
medida, ou seja, “medir terra”. Os egípcios além de usar a geometria na agricultura, também a 
usava na construção de pirâmides e casas (na engenharia) entre outras, com isso a geometria 
originou-se de mensuração, ou seja, da necessidade de algo ser medido (NIEDERMEYER; 
KOEFENDER; ROOS, 2009). 
Os postulados de Euclides na geometria impulsionaram o estudo dos planos e das 
três dimensões e deram origem a Geometria Euclidiana, em homenagem a esse estudioso que 
organizou a matéria de um modo sistemático a partir de princípios e definições, 
desenvolvendo os procedimentos por meio de deduções, associando à primeira concepção da 
geometria como conjunto sistematizado e lógico de propriedades (TEIXEIRA, 2010). 
Os cincos postulados de Euclides registrados na sua obra mais influente "Os 
Elementos" escrita a aproximadamente 300 a.C. diz o seguinte: 
 
I. Pode-se traçar uma (única) reta ligando dois pontos; 
II. Pode-se prolongar (de uma única maneira) uma reta finita continuamente em uma 
linha reta; 
III. Pode-se traçar um circulo com centro qualquer e raio qualquer; 
IV. Todos os ângulos retos são iguais; 
V. Se uma reta, interceptando duas outras, forma ângulos internos de um mesmo 
lado cuja soma é menor que dois retos, então estas duas retas, se prolongadas 
indefinidamente, se encontram naquele lado cuja soma dos ângulos internos é menor 
que dois retos (BRAZ,2009, p 12). 
 
20 
 
Dentre os postulados de Euclides o quinto postulado tornou-se alvo de críticas na 
época e durante 2000 anos muitos matemáticos tentaram demonstrá-lo. Das tentativas 
frustradas de mostrar através dos quatros primeiros postulados que o quinto era na verdade 
um teorema foi fator preponderante para o surgimento das geometrias Não Euclidianas 
(BARRETO; TAVARES, 2005). 
No presente verifica-se que são as geometrias Não Euclidianas (geometrias que 
não satisfazem um ou mais dos postulados de Euclides) que resolvem os muitos problemas do 
dia a dia e do campo da Ciência e não a Geometria Euclidiana. Como exemplo destas 
geometrias podem ser citadas: a Geometria Hiperbólica; a Geometria Elíptica; a Geometria 
Projetiva; a Topologia e a Geometria dos Fractais (VEJAN; FRANCO, 2009). 
 
3.2 GEOMETRIA FRACTAL 
 
3.2.1 Origem da Geometria Fractal 
 
A Geometria Fractal fará com que você veja as coisas diferentes. É perigoso ler 
mais. Você arrisca perder a visão infantil de nuvens, florestas, flores, galáxias, 
folhas, penas, rochas, montanhas, torrentes de água, tapetes, tijolos e muito mais. 
Nunca mais você interpretará estes objetos da mesma forma (BARNSLEY apud 
JANOS, 2008, p. IX). 
 
A Geometria Fractal como observado faz parte das geometrias Não Euclidianas e 
estuda as entidades geométricas, denominadas fractais, que são conjuntos cujas formas são 
extremamente irregulares ou fragmentadas e que têm essencialmente a mesma estrutura em 
todas as escalas, ou seja, cada uma de suas partes representa cópias reduzidas do todo 
(MACEDO; FRANCO, 2008). Os Fractais são gerados pela repetição de um mesmo processo 
periódico, apresentando autossemelhança e complexidade infinita (OLIVEIRA, 2008). 
O nome fractal foi utilizado pela primeira vez em 1975, por Bernoit Mandelbrot, 
considerado o pai dos fractais. Quando preparou seu primeiro trabalho para ser publicado, este 
precisava de um nome para rotular suas formas, suas dimensões e geometrias. Ao folhear um 
dicionário em latim do seu filho, se deparou com o adjetivo fractus, do verbo, frangere, 
quebrar, fraturar. "A associação com os principais cognatos ingleses - fracture e fraction - 
parecia adequada. Mandelbrot criou a palavra (substantivo e adjetivo, inglês e francês) 
fractal" (GLEICK, 1989, p. 93). 
A importânciada contribuição de Benoit Mandelbrot deve-se ao fato deste 
estudar os fractais com base nas suas habilidades em geometria e assim, aperfeiçoar técnicas 
21 
 
de estudo, definir estruturas, propriedades e aplicações (NOVAKI; BARANKIEVICZ; 
SILVA, 2012). Uma observação a se fazer é que o matemático polonês não descobriu os 
fractais, mas apenas difundiu e nomeou os estudos em que se dedicou e que veio a 
proporcionar maiores conhecimento na área da geometria. Inclusive este se apoiou nas 
pesquisas de cientistas que já haviam realizados estudos acerca destes objetos geométricos, 
porém sem dar muita importância ou chegar a nenhuma conclusão exata, como os 
matemáticos Georg Cantor (1845-1918) e David Hilbert. Até mesmo na Grécia Homérica, 
Índia e China estes já eram conhecidos como “monstros matemáticos” por volta do século XX 
(NIEDERMEYER; KOEFENDER; ROOS, 2009). 
Conforme observam de Vejan e Franco (2009): 
 
Embora não aparentem, os fractais podem ser encontrados em todo o universo 
natural e em quase toda ciência, desde os aspectos das nuvens, montanhas, árvores, 
brócolis, couve-flor, relâmpagos, até a distribuição das galáxias, como na arte e na 
Matemática." 
 
 No entanto, somente há poucos anos, com o desenvolvimento e aprimoramento 
dos computadores, a Geometria Fractal vem se confirmando (NIEDERMEYER; 
KOEFENDER; ROOS, 2009). Estas formas facilmente visíveis na natureza não tinham valor 
científico até que Mandelbrot, fazendo uso de computadores, desenvolvesse e apurasse 
técnicas para o estudo e aproveitamento dos fractais, que se tornaram de importância 
inquestionável para o estudo de outras disciplinas (FERNANDES, 2007). 
 
3.2.2 Definição de Um Fractal 
 
Desde o surgimento dessa nova geometria, diversos estudiosos no assunto se 
propuseram a elaborar uma definição adequada aos fractais, no entanto, o conceito de fractal 
ainda têm muito a ser discutido dado as suas peculiaridades e abrangência de exemplos. 
Conforme Barbosa, (2005, p. 19) alguns autores renomados em suas obras 
conceituarão os fractais da seguinte forma: 
 
Mandelbrot e seu primeiro conceito de fractal - "Um fractal é por definição, um 
conjunto para o qual a dimensão Hausdorff-Besicovitch excede estritamente a 
dimensão topológica." 
J. Feder - "Um fractal é uma forma cujas partes se assemelham ao seu todo sob 
alguns aspectos". 
K.J.Falconer - "Um conjunto F é fractal se, por exemplo: (1) F possui alguma forma 
de "autossimilaridade" ainda que aproximada ou estatística; (2) a dimensão fractal, 
definida de alguma forma, é maior que dimensão topológica; (3) o conjunto F pode 
ser expresso através de um procedimento recursivo ou interativo." 
22 
 
Com base nas definições supracitadas, percebe-se a dificuldade em se conceituar 
de maneira formal o que chega a ser fractais, no entanto, levando em consideração a sua 
utilização na educação, pode-se apresentar conceitos mais simples, de forma a uma fácil 
compreensão e entendimento, para isso, basta levar em consideração a característica mais 
marcante dos fractais, a autossimilaridade (BARBOSA, 2005). 
Dessa forma, visando uma abordagem mais didática pode-se dizer que: 
 “Os fractais são formas geométricas que repetem sua estrutura em escalas cada 
vez menores” (STEWART, 1996, p. 12). 
 "Quando variamos a 'escala de observação', dentro de certos limites e 
continuamos a encontrar o mesmo tipo de geometria dizemos estar diante de uma 
estrutura fractal" (RICINERI, 1990, p. 84). 
 
3.2.3 Classificação dos Fractais 
 
Para fins didáticos, a fim de facilitar o reconhecimento das características e 
propriedades dos fractais, segundo Rabay (2013), levando em consideração a forma como o 
fractal é gerado e o grau de autossimilaridade que nele se observa, estes objetos geométricos 
podem ser classificados em três categorias principais: fractais definidos por sistemas de 
funções interadas, fractais definidos por uma relação de recorrência (por computador) e 
fractais aleatórios. 
 
3.2.3.1 Fractais definidos por sistemas de funções interadas 
 
São fractais gerados por processos matemáticos interativos (construídos a partir da 
interação de figuras geométricas), dessa forma a principal característica destes fractais é a 
autossemelhança exata, onde o conjunto total é formado por pequenas réplicas fiéis delas 
mesmas. Estes fractais são conhecidos como geométricos, matemáticos ou determinísticos 
(FERNANDES, 2007). 
Segundo Barbosa (2005) os fractais determinísticos ainda podem ser divididos em 
subcategorias de acordo com a forma de construção, como: (I) Fractal pela fronteira; (II) 
Fractal por remoção; (III) Fractal tipo Dürer e (IV) Fractal tipo árvore. 
(I) Fractal pela fronteira - São construídos a partir da substituição de uma 
determinada parte pelo seu gerador, tendo como resultado o aumento do comprimento ou da 
23 
 
área destes fractais que aumentam a cada nova interação, como exemplo, temos a Curva de 
Koch (RABAY, 2013). 
A Curva de Koch é um dos primeiros fractais a serem descritos, sendo 
mencionado pela primeira vez em uma artigo publicado em 1906 pelo matemático sueco 
Helge Von Kock (NOVAKI; BARANKIEVICZ; SILVA, 2012). Esta curva geométrica que 
não tem tangente em nenhum ponto causou uma crise no cálculo, ao mostrar que uma curva 
embora contínua, não é diferenciável em qualquer um de seus pontos (JANOS, 2008). A 
Figura 3.2.3.1.1, mostra a Curva de Koch. 
Na construção da Curva de Koch segue-se as seguintes etapas: 
 Desenhe um segmento de reta com comprimento unitário; 
 Divida o segmento em três partes de mesmo tamanho e retire a parte central; 
 Na parte central retirada, construa um triangulo equilátero e retire sua base; 
 Como esse procedimento pode ser realizado indefinidamente, repita o 
procedimento quantas vezes for necessário. 
 
Nível 0 Nível 1 Nível 2 
 
Nível 3 Nível 4 Nível 5 
 
Figura 3.2.3.1.1 - Curva de Koch com 5 iterações. 
Fonte: Rabay (2013). 
 
A Curva de Koch mostra a principal característica dos fractais definidos por 
sistemas de funções iteradas, como visto na sua construção qualquer parcela, por menor que 
seja, segue o processo de construção das parcelas maiores, dessa forma o fractal se torna 
invariante à escala na qual o mesmo é observado, a autossemelhança de suas partes é tanta 
que mesmo utilizando um microscópio para visualizar as ranhuras progressivamente menores 
da curva de Koch não seria possível descobrir o grau de ampliação usado no microscópio 
(SANTOS; NETO; SILVA, 2007). 
Como mais exemplos de fractais definidos pela fronteira tem-se: O Floco de Neve 
de Koch, A Curva de Peano e a Curva de Hilbert. Estes fractais podem ser visualizados 
respectivamente nas Figuras 3.2.3.1.2, 3.2.3.1.3, 3.2.3.1.3 e 3.2.3.1.4 
24 
 
O Floco de Neve de Koch (FIGURA 3.2.3.1.2), também conhecido como Ilhas de 
Kock, tem processo de construção semelhante a Curva de Kock, porém em vez de começar 
com um segmento de reta inicia-se com um triângulo equilátero, onde em cada um dos seus 
lados é construído sua Curva de Kock. 
 
Nível 0 Nível 1 Nível 2 Nível 3 Nível 4 Nível 5 
 
Figura 3.2.3.1.2 - Floco de Neve de Koch com 5 interações. 
Fonte: Santos, Neto e Silva (2007). 
 
Na construção da Curva de Peano (FIGURA 3.2.3.1.3) inicia-se com um 
segmento de reta. Deve-se substituir esse segmento por uma curva de 9 segmentos de medida 
igual a 1/3 do comprimento do segmento inicial, esse é o primeiro nível do fractal. O método 
é realizado sucessivamente, sempre substituindo cada segmento anterior pela curva de 9 
segmentos. 
 
 Nível 0 Nível 1 Nível 2 Nível 3 Nível 4 
 
Figura 3.2.3.1.3 - Curva de Peano com 4 interações.Fonte: Zavala (2007). 
 
Na Curva de Hilbert a figura primitiva é um quadrado unitário dividido em quadro 
quadrados; o nível 1 da curva é composta de 3 segmentos consecutivos com extremos nos 
seus pontos centrais, para o nível seguinte deve-se substituir cada quadrado por novos 4 
quadrados com a mesma construção da curva iniciadora, conectando cada curva parcial com 
um segmento na mesma ordem dos anteriores, e proceder assim sucessivamente conforme 
mostrado na figura 3.2.3.1.4. 
 
Nível 0 Nível 1 Nível 2 Nível 3 Nível 4 Nível 5 
 
Figura 3.2.3.1.4 - Curva de Hilbert com 5 interações. 
Fonte: Teixeira (2010). 
25 
 
(II) Fractal por remoção - São fractais construídos a partir da remoção de partes 
do mesmo de forma interativa, sendo que tais interações são matematicamente ditas infinitas. 
Como exemplo de fractal por remoção temos o Triângulo de Sierpinski também conhecido 
como Cesta de Sierpinski (BARBOSA, 2005). 
O Triângulo de Sierpinski foi criado em 1916, pelo matemático polonês Waclav 
Sierpinski (1882-1969). Trata-se de um fractal formado a partir de um triângulo equilátero em 
que, através dos pontos médios de seus lados, inscreve-se um outro triângulo equilátero 
invertido, gerando assim, quatro triângulos congruentes em seu interior de lados iguais a 
metade do triângulo anterior. Remove-se a área do triângulo central e, em cada um dos 
triângulos não eliminados, repete-se as mesmas construções anteriores. Este procedimento 
continua infinitamente, originando o Triângulo de Sierpinski (FIGURA 3.2.3.1.5), cuja área 
vai ficando cada vez menor (TEIXEIRA, 2010). 
 
Nível 0 Nível 1 Nível 2 Nível 3 Nível 4 
 
Figura 3.2.3.1.5 - Triângulo de Sierpinski com 4 interações. 
Fonte: Niedermeyer, Koefender e Roos (2009). 
 
Como mais exemplos de fractais definidos por remoção, tem-se: Tapete de 
Sierpinski, Pirâmide de Sierpinski, Esponja de Menger e o Conjunto de Cantor. Estes fractais 
podem ser visualizados respectivamente nas Figuras 3.2.3.1.6, 3.2.3.1.7, 3.2.3.1.8 e 3.2.3.1.9. 
Para a construção do Tapete de Sierpinski (FIGURA 3.2.3.1.6), deve-se partir de 
um quadrado, dividi-lo em nove pequenos quadrados congruentes e eliminar o central. Em 
seguida, aplicar esse mesmo processo em cada um dos 8 quadrados restantes de maneira 
sucessiva e interativa. 
 
Nível 0 Nível 1 Nível 2 Nível 3 Nível 4 
 
Figura 3.2.3.1.6 - Tapete de Sierpinski com 4 interações. 
Fonte: Rabay (2013). 
 
26 
 
A Pirâmide de Sierpinski (FIGURA 3.2.3.1.7), é gerado a partir de um tetraedro, 
onde são removidos os volumes centrais de cada face do tetraedro constituídos por tetraedros 
semelhantes e com aresta medindo 1/2 da aresta do tetraedro inicial. 
 
Nível 0 Nível 1 Nível 2 Nível 3 Nível 4 
 
Figura 3.2.3.1.7 - Pirâmide de Sierpinski com 4 interações. 
Fonte: Rabay (2013). 
 
Na construção da Esponja de Menger (FIGURA 3.2.3.1.8), considere um cubo e 
divida-o em 27 cubos usando planos secantes ortogonais às faces. Esses cubos devem ter 
arestas de 1/3 da aresta do cubo que está sendo dividido. Retire o cubo do centro e os cubos 
centrais da face, esse é o primeiro nível de interação. O procedimento deve ser repetido 
sucessivamente nos cubos que restam a cada nova interação. 
 
Nível 0 Nível 1 Nível 2 Nível 3 
 
Figura 3.2.3.1.8 - Esponja de Menger com 3 interações. 
Fonte: Teixeira (2010). 
 
O Conjunto de Cantor (FIGURA 3.2.3.1.9), é uma poeira de pontos obtida a partir 
de um segmento inicial, onde retira-se o terço médio; depois, retira-se o terço médio dos 
segmentos restantes continuando o processo indefinidamente. 
 
 
Figura 3.2.3.1.9 - Conjunto de Cantor com 5 interações. 
Fonte: Rabay (2013). 
27 
 
(III) Fractal tipo Dürer - são fractais construídos a partir de interações feitas em 
polígonos regulares com a inscrição de novos polígonos semelhantes ao inicial e que devem 
ficar igualmente espaçados. O fractal tipo Dürer, tem esse nome em homenagem ao pintor 
alemão Albrecht Dürer (1471-1528), que empregava a ideia de proporção e geometria em sua 
arte, sendo assim, um dos primeiros artistas que elaborou objetos fractais, utilizando 
polígonos regulares (PEREIRA, 2013). Como exemplo dessa variedade de fractal, têm-se o 
fractal hexagonal tipo Dürer. 
O Fractal hexagonal tipo Dürer é um fractal onde seu iniciador é um hexágono 
regular que irá sofrer interações matemáticas através da inscrição de novos hexágonos que 
seguem um padrão regular de construção. 
Conforme Barbosa (2005), na construção do Fractal hexagonal tipo Dürer 
(FIGURA 3.2.3.1.10), segue-se as seguintes etapas: 
 Constrói-se seu iniciador, que no caso será um hexágono regular grande; 
 Seja AB um de seus lados. Ponha hexágonos regulares menores I e II em cada um 
dos extremos A e B, de tal maneira dispostos que um de seus ângulos coincida 
com o ângulo do hexágono inicial, sendo que I e II tenham um vértice em comum; 
 Nos demais lados deve-se repetir o mesmo procedimento, com isso forma-se 6 
(seis) hexágonos regulares e ao centro surge consequentemente um polígono 
regular estrelado; 
 Remove-se os triângulos intermediários e o polígono estrelado central, obtendo-se 
assim o nível 1 do fractal. 
 Repetindo a operação em cada hexágono do nível anterior sucessivamente, obtém-
se o fractal Hexagonal Tipo Dürer. 
 
Nível 0 Nível 1 Nível 2 Nível 3 
 
Figura 3.2.3.1.10 - Fractal hexagonal tipo Dürer com 3 interações. 
Fonte: Gomes (2007). 
 
Como mais exemplos de fractais tipo Dürer, temos: Fractal pentagonal tipo Dürer 
e Fractal octogonal. Estes fractais podem ser visualizados respectivamente nas Figuras 
3.2.3.1.11 e 3.2.3.1.12. 
 
28 
 
Na construção do Fractal pentagonal tipo Durer (FIGURA 3.2.3.1.11) , considera-
se um pentágono regular, em cada um dos seus vértices, construa um pentágono de forma que 
o ângulo deste coincida com o ângulo do pentágono regular inicial e ainda com a condição de 
que os pentágonos que estão sobre a mesma aresta do pentágono inicial tenham um vértice em 
comum. Deve-se remover o pentágono central da figura e os triângulos que se formam entre 
os pentágonos. O procedimento deve ser repetido interativamente e sucessivamente. 
 
Nível 0 Nível 1 Nível 2 Nível 3 
 
Figura 3.2.3.1.11 - Fractal pentagonal tipo Dürer com 3 interações. 
Fonte: Rabay (2013). 
 
Na construção do Fractal octogonal tipo Durer (FIGURA 3.2.3.1.12) , considera-
se um octógono regular, em cada um dos seus vértices, construa um octógono de forma que o 
ângulo deste coincida com o ângulo do octógono regular inicial e ainda com a condição de 
que os octógonos que estão sobre a mesma aresta do octógono inicial tenham um lado em 
comum. Deve-se remover a figura estrelada central e os triângulos que se formam entre os 
octógonos. O procedimento deve ser repetido interativamente e sucessivamente. 
 
Nível 0 Nível 1 Nível 2 Nível 3 
 
Figura 3.2.3.1.12 - Fractal octogonal tipo Dürer com 3 interações. 
Fonte: Rabay (2013). 
 
(IV) Fractal tipo árvore - Possui como característica principal seu processo 
interativo, constituído por ramificações que fazem lembrar as ramificações que ocorrem nas 
polpas das árvores. A Árvore Bifurcada e a Árvore Pitagórica são exemplos destes fractais. 
A Árvore Bifurcada pode ser apresentada de vários modelos, pois esta pode ser 
construída com diferentes ângulos de bifurcação e fator de redução, no entanto, será utilizado 
um modelo de acordo com Barbosa (2005), onde o ângulo de bifurcação do fractal é de 120º e 
o fator de redução é 1/2 (meio). 
29 
 
Na construção segue-se os seguintes procedimentos: 
 Considere um segmento de reta AB (tronco principal) de tamanho qualquer; Na extremidade, desenhe dois segmentos com fator de redução de 1/2 de AB 
formando o ângulo de bifurcação entre eles e simétrico em relação ao segmento 
anterior; 
 Em cada novo segmento deve-se repetir o processo sucessivamente, conforme a 
Figura 3.2.3.1.13. 
 
Nível 0 Nível 1 Nível 2 Nível 3 Nível 4 
 
Figura 3.2.3.1.13 - Árvore Bifurcada com 4 interações. 
Fonte: Zavala (2007). 
 
Para a construção da Árvore Pitágoras (FIGURA 3.2.3.1.14), considere um 
triângulo retângulo com a sua hipotenusa (base maior) na horizontal, construa um quadrado 
em cada lado do triângulo e com a mesma medida desse lado, o triângulo retângulo 
juntamente com os quadrados dos catetos constituem o iniciador-gerador. O tronco principal 
será o quadrado construído na hipotenusa. Para construir o nível 1 do fractal construir sobre o 
lado de cada quadrado oposto ao respectivo cateto novo triângulo retângulo tendo como 
hipotenusa justamente esse lado. Para se obter a autossimilaridade, os novos triângulos 
retângulos de cada interação devem ser semelhante ao inicial. 
 
 
Figura 3.2.3.1.14 - Árvore de Pitágoras com 6 interações. 
Fonte: Furuya (2014). 
 
30 
 
3.2.3.2 Fractais gerados por computador 
 
São fractais de prevalência construção realizadas por computadores devido ao seu 
auto grau de complexidade principalmente (FIGURA 3.2.3.2.1). 
 
 
Figura 3.2.3.2.1 - Fractais Gerados por programas de computador. 
Fonte: Nascimento; Silva e Maciel (2012). 
 
Entre estes fractais o Conjunto de Julia e o Conjunto de Mandelbrot, são os mais 
famosos e estudados, sendo que ambos são construídos utilizando funções que operam com 
números complexos. 
Segundo Rabay (RABAY, 2013, p. 27), fractais definidos por uma relação de 
recorrência têm a seguinte característica: 
 
Esses fractais são também denominados de fractais de fuga de tempo, possuem uma 
forma mais livre de similaridade, definida como quase autossimilaridade, o fractal 
apresenta pequenas cópias do fractal inteiro de maneira distorcida ou degenerada por 
isso não são autossimilares exatamente. 
 
Conjunto de Julia - O Conjunto de Julia foi criado no século XX pelos 
matemáticos Pierre Fatou (1878 - 1929) e Gaston Julia (1893 - 1978), tal conjunto representa 
a imagem no plano complexo obtida quando se aplica interadamente a função 
CZZ nn 
2
1
, 
onde 
C
é um complexo fixo para toda a imagem, que pode ser ajustado arbitrariamente e 
Z
é 
um complexo inicial. Este conjunto foi idealizado numa época que ainda não existiam 
computadores, somente tempos depois com o surgimento destes é que foi possível verificar a 
complexidade e beleza do mesmo (CARVALHO et al., 1986). 
Na Figura 3.2.3.2.2, são apresentadas algumas figuras do Conjunto de Julia, para 
dados valores de c. 
 
31 
 
 
c = φ − 2 onde φ é a 
razão áurea 
c = (φ−2) + (φ−1)i 
 = -0.4+0.6i 
c = -0.70176 - 0.3842i 
 
c = 0.285 + 0.01i c = 0.285 + 0i c = 0.45 + 0.1428i c = -0.835 - 0.2321i 
Figura 3.2.3.2.2- Imagens obtidas do Conjunto de Julia variando os valores de c. 
Fonte: Conjunto de Júlia (2014). 
 
Conjunto de Mandelbrot - O fractal Conjunto de Mandelbrot que virou 
praticamente um símbolo dos fractais, é considerada uma expansão do Conjunto de Julia, este 
foi criado em 1979 por Mandelbrot que tentando encontrar uma forma de generalizar o 
conjunto de Julia, percebeu a possibilidade de criar uma imagem que continha todos estes 
conjuntos agrupados (NUNES, 2006). Os pontos que pertencem ao conjunto de Mandelbrot 
correspondem precisamente aos conjuntos de Julia conexos (FIGURA 3.2.3.2.2), e os pontos 
fora do conjunto de Mandelbrot correspondem aos conjuntos de Julia desconexos 
(MIRANDA, 2012). 
 
 
Figura 3.2.3.2.2 - Conjunto de Mandelbrot como um repertório de imagens do 
Conjunto de Julia. 
Fonte: Elert (2002). 
32 
 
O conjunto de Mandelbrot tem uma forma muito particular de autossemelhança 
aproximada se o ampliarmos o suficiente, o observador perceberá que existe uma repetição 
infinita do conjunto (FIGURA 3.2.3.2.3), mas também uma infinita variedade de formas 
rodeando esse conjunto. Este conjunto, talvez seja o mais complexo objeto conhecido pelos 
matemáticos, em seu interior infinitas regiões podem ser observadas e é também um dos 
objeto mais intricados que se conhece. (JANOS, 2008). 
 
 
Figura 3.2.3.2.3 - Ampliações do Conjunto de Mandelbrot com infinitas réplicas em seu interior. 
Fonte: Conjunto de Mandelbrot (2014). 
 
Uma eternidade não seria tempo suficiente para conseguirmos observar todo este 
Fractal, com os seus discos enfeitados com extremidades espinhosas, as suas espirais 
e filamentos enrolando-se em todas as direções, exibindo volumosas moléculas 
infinitamente variadas (RESENDE; NEVES; CASTANHEIRA, 2004, p. 33). 
 
A geração deste fractal é realizada através da função 
CZZ nn 
2
1
, onde 
 e C são números complexos e . A cada iteração da função, o número 
resposta fica a uma determinada posição de seu predecessor. Alguns desses novos valores 
ficam a uma distância finita enquanto outros tendem para o infinito e é nessa fronteira entre 
finito e infinito que é delimitado o conjunto de Mandelbrot. É importante ressaltar que o valor 
de 
C
 no Conjunto de Mandelbrot é atualizado a cada interação, diferente do que acontece no 
conjunto de Julia onde 
C
é fixo para cada figura gerada (CARVALHO et al., 1986). 
Uma outra observação a se fazer é que matematicamente, as imagens dos 
conjuntos de Mandelbrot e de Julia são em "branco e preto", no sentido de que um ponto está 
dentro ou fora do conjunto em questão. Entretanto atualmente, com o uso do computador as 
imagens destes fractais são plotadas relacionando cores para os diferentes valores de 
Z
(Conjunto de Julia) ou 
C
 (Conjunto de Mandelbrot) indicados geralmente por uma única cor, 
quando os pontos são aprisionados no conjunto e por um padrão de cores e tons que 
descrevem a quantidade de interações que outros pontos levam para escapar para o infinito 
(RABAY, 2013). 
 
 
33 
 
3.2.3.3 Fractais aleatórios 
 
"Nuvens não são esferas, montanhas não são cones, continentes não são círculos, 
o som do latido não é contínuo e nem o raio viaja em linha reta" (MANDELBROT apud 
ADAMI, 2013, p. 10). 
Também conhecidos como fractais naturais, nestes as partes em escalas menores 
são apenas parecidas, ou seja, é a forma menos evidente de autossemelhança em um fractal. 
Pois diferente dos fractais gerados por programas ou por interação de figuras geométricas, nos 
fractais naturais a autossemelhança só atinge um certo grau de redução devido a lógica de que 
estes em determinados instantes se decompõem em estruturas moleculares que não são 
autossimilares ao todo (JANOS, 2008). 
Na natureza são muitos os exemplos de fractais que são estatisticamente 
autossimilares. Em algumas plantas como a Samambaia Renda Portuguesa (FIGURA 
3.2.3.3.1), por exemplo, observa-se que suas estruturas se repetem dentro de si própria, como 
se estruturas estatisticamente semelhantes e menores constituíssem as estruturas maiores 
(CARVALHO et al., 1986). 
 
 
Figura 3.2.3.3.1 - Samambaia Renda Portuguesa. 
Fonte: Instituto (2014). 
 
Na Figura 3.2.3.3.2 pode-se observar vários outros exemplos de fractais 
encontrados na natureza, como nuvens, raios, conchas, plantas, cordilheiras, floco de neve 
entre outros. 
34 
 
 
brócolis romanesco náutilo flocos de neve raios 
 
cordilheiras galhos de samambaia leito dos rios no deserto 
flor da árvore de 
macaco 
 
estalactites cristais de bismuto babosa nuvenscasca dos caracóis cristais de cobre neurônios repolho 
 
penas do pavão árvore sangue do dragão asas de uma libélula 
 
 
árvores concha marinha Egito visto do espaço 
Figura 3.2.3.3.2- Fractais na Natureza. 
Fonte: Padrões (2014). 
 
35 
 
3.2.4 Dimensão Fractal 
 
Por vivermos num ambiente cuja descrição geométrica, é viável no máximo, em três 
dimensões, ficamos perplexos diante às limitações em encontrar referências para 
atender uma quarta ou quinta dimensão. Mas confusos, ainda, ficamos perante a 
ideia de dimensões que não precisam ser expressas através de um número inteiro, 
algo existente, por exemplo, entre as dimensões um e dois (CARVALHO et al., 
1986, p. 19). 
 
Para especificar a localização de um ponto segundo a geometria euclidiana 
precisamos de três números, latitude, longitude e altitude, ou seja, o espaço é concebido em 
três dimensões onde os sólidos possuem três, as superfícies têm duas dimensões, as linhas 
possuem uma dimensão e o ponto têm dimensão zero. No entanto essa maneira de descrever 
o espaço não leva em consideração nem a forma nem o tamanho da figura, uma linha 
unidimensional, por exemplo, pode se apresentar como uma reta ou uma curva, já uma 
superfície é considerada bidimensional independente de ser plana ou esférica. Esta forma de 
caracterização da dimensão de um objeto somente em números inteiros é denominada de 
Dimensão Topológica (SERRA; CARA, 1997). 
Mandelbrot porém voltou-se para uma compreensão diferente da ideia das 
dimensão 0, 1, 2 e 3, devido as medidas euclidianas (comprimento, largura e altura) não 
serem satisfatórias no estudo das formas irregulares, desta forma este desenvolveu o conceito 
de dimensão fracionada também conhecida como dimensão fractal (FIGURA 3.2.4.1), que é 
uma forma de mensurar propriedades como o grau de aspereza, ou fragmentação, ou 
irregularidade de um fractal, possibilitando assim calcular o espaço que um objeto ocupa por 
mais irregular que ele seja como a casca ou a folha de uma árvore, por exemplo (GLEICK, 
1989). 
 
Dimensão Euclidina Dimensão Fractal 
 
Figura 3.2.4.1 - Comparação entre a dimensão Euclidiana e a dimensão 
Fractal. 
Fonte: Siqueira (2005). 
36 
 
3.2.4.1 Calculando a Dimensão Fractal de fractais gerados por funções interadas 
 
Com base nos procedimentos descritos em Barbosa (2005), pode-se compreender 
como calcular a dimensão fracionada de um objeto fractal com autossimilaridade estrita, 
seguindo o raciocínio a seguir. 
Considera-se as seguintes figuras geométricas euclidianas, um segmento de reta 
(dimensão 1), um quadrado (dimensão 2) ou um cubo (dimensão 3) repartidas em objetos 
autossimilares (FIGURA 3.2.4.1.2). 
 
 
 
Figura 3.2.4.1.2 - Figuras geométricas euclidianas. 
Fonte: Nunes (2006). 
 
Observando as figuras acima verifica-se que cada uma é constituída por cópias 
congruentes e reduzidas de si própria e para que cada peça pequena fique igual ao todo, esta 
deve ser ampliada por um fator de aumento (coeficiente de proporcionalidade) igual a 4. O 
número de peças em cada interação é então calculado pela função, 
Dmn 
, onde 
n
 e o 
número de peças, 
m
é o fator de aumento e 
D
 a dimensão. 
Dessa forma, conforme a Tabela 3.2.4.1.1, temos as seguintes dimensões fractais 
para as figuras supracitadas: 
 
Tabela 3.2.4.1.1 - Dimensão fractal das figuras euclidianas: reta, quadrado e cubo. 
Figura Reta Quadrado Cubo 
Número de peças (n) 4 16 64 
Fator de aumento (m) 4 4 4 
Cálculo da dimensão 
D441 
 
1D
 
D416 
 
D442 
 
2D
 
D464 
 
D443 
 
3D
 
Dimensão 1 2 3 
 
Com base nesta mesma função será mostrado que também é possível calcular a 
dimensão fractal de figuras consideradas monstros matemáticos como, por exemplo, a curva 
37 
 
de Koch, obtida na Seção 3.2.3.1, onde é tomado um segmento de reta de comprimento 
C
, 
unitário, dividido em três partes iguais e substituído o terço médio por dois outros segmentos 
de comprimento igual aos que restaram (FIGURA 3.2.3.1.1). 
Analisando o processo de construção da curva de Koch, calcula-se sua dimensão 
da seguinte forma: 
Como: 
Dmn 
, onde 
4n
e 
3m
 segue-se que, 
D34 
. 
Aplicando o logaritmo em cada membro da igualdade obtemos, 
 
262,1
47712,0
60206,0
3log
4log
3log4log3log4log  DDDDD
 
 
Como mostrado a Curva de Kock, apresenta uma dimensão espacial , entre 1 e 2, 
a dimensão fracionada significa que devido o detalhamento infinito que a mesma apresenta, 
esta ocupa mais espaço do que uma curva convencional, porém menos espaço do que o plano 
que a contém. E foi assim, usando métodos criados pelos matemáticos no começo do século e 
quase esquecidos, que Mandelbrot encontrou uma maneira de caracterizar as Dimensões 
Fractais (GLEICK, 1989). 
Para se calcular a dimensão fracionada de fractais com autossimilaridade estrita 
pode-se então organizar a função 
Dmn 
 de modo a apresentar 
D
 em função de 
n
 e 
m
, 
como mostrado a seguir: 
 
 
 
 
 
 
Para que não fique dúvidas em relação a dimensão fractal deve-se atentar para 
algumas observações: 
 O conceito de dimensão fractal (espacial ou fracionada) se relaciona com a 
quantidade de espaço que o objeto ocupa entre Dimensões Euclidianas; 
 Independente do número de interações a dimensão permanece a mesma, dessa 
forma, geralmente no cálculo da dimensão espacial, se trabalha com os dados da 
primeira interação por ser menos trabalhoso; 
 Nas figuras perfeitas da Geometria Euclidiana a dimensão espacial coincide com a 
dimensão topológica, por isso são representadas por números inteiros, nos fractais 
38 
 
isso não acontece necessariamente. A Curva de Koch, por exemplo, têm 
dimensão topológica 1 e dimensão espacial aproximadamente 1,262. 
 
3.2.4.2 Calculando a dimensão fractal de qualquer fractal - método "contagem de caixas" 
 
Se um folha de caderno for amassada de maneira a formar uma bola de papel, esta 
bola terá dimensão entre dois e três devido aos espaços vazios irregulares que surgiram, ou 
seja, quanto menos espaços vazios tiver, mais próxima de três será sua dimensão, do contrário 
será mais próxima de dois. Da mesma forma as dimensões de um floco de neve, do sistema 
circulatório humano, ou da casca de uma árvore, também possuem dimensão fracionada. 
Devido estes fractais terem autossimilaridade estatística, ou seja, serem constituídos por 
cópias reduzidas distorcidas do todo, suas dimensões são medidas com valores aproximados 
diferentes dos fractais matemáticos onde a dimensão é exata (JANOS, 2008). 
Desta forma o método mais geral que pode ser aplicado para se determinar a 
dimensão fractal de qualquer tipo de figura é a "contagem de caixas" que em se tratando de 
figuras planas é denominada de "contagem de quadrados". O método apresenta um valor 
aproximado. Para se calcular, por exemplo, a dimensão fractal de Fernando de Noronha deve-
se inserir o mapa da ilha em uma malha de quadrículos de lado 
 
 depois deve-se hachurar e 
contar quantos quadrículos 
 n
 foram necessário para cobrir todo o objeto. Quanto mais se 
reduzir o lado dos quadrículos, mais estreita será a malha e maior será a precisão no cálculo 
da dimensão (SERRA; KARAS, 1997). 
Para o cálculo da dimensão fractal pelo método contagem de caixas ou quadrados 
utiliza-se a seguinte função: 
 
log
log n
D 
 
 
Onde: 
D
= dimensão fractal 
n
 = número de quadrados ou caixas que contém alguma parte do objeto 

= medida de reduçãoComo observado para figuras planas se utiliza a contagem dos quadrados 
(FIGURA 3.2.4.2.1), já para o cálculo da dimensão fractal de objetos de dimensão topológica 
3 como uma planta por exemplo é usado a contagem de caixas (FIGURA 3.2.4.2.2). 
39 
 
 
 
 
 
Figura 3.2.4.2.1 - Método Contagem de Caixas - 
Mapa de Fernando de Noronha. 
Fonte: Rabay (2013). 
Figura 3.2.4.2.2 - Método Contagem de 
Cubos - Planta. 
Fonte: Silva; Boudon (2007). 
 
Para que seja possível verificar a eficiência do método contagem de quadrados 
no cálculo da dimensão espacial, a seguir na Figura 3.2.4.2.3 é demonstrado a sua aplicação 
em um fractal matemático (curva de Koch) que como visto na Seção 3.2.4.1, possui 
dimensão 1,262. 
 
 
Escala 1:16 
Figura 3.2.4.2.3 - Método da contagem de quadrados aplicado a Curva de Kock. 
Fonte: Rabay (2013). 
 
Sabendo que: 
33,
log
log
 n
n
D

 e 
16
 
Calcula-se a dimensão resolvendo a equação: 
261,1
204,1
519,1
16log
33log
 DDD
 
40 
 
Como pôde ser observado através do método das caixas chegou-se a um valor 
bem próximo da dimensão fractal da Curva de Kock encontrada na Seção 3.2.4.1, através do 
método empregado para fractais determinísticos. 
 
3.2.5 Características Fundamentais de um Fractal 
 
Com base nos conceitos e peculiaridades das diferentes categorias de fractais 
abordados anteriormente neste trabalho é possível agora enumerar algumas de suas 
propriedades. 
Conforme Nussenzveig (1999 apud RABAY, 2013) os fractais possuem as 
seguintes características: 
 Autossemelhança - É a similaridade que uma parte possui com o todo, sendo que 
esta semelhança pode ser exata, aproximada ou estatística, porém em qualquer um 
desses casos ocorre uma semelhança onde tomada uma porção menor do fractal 
esta pode ser vista como uma réplica de todo o fractal numa escala inferior. 
 Complexidade infinita - Por mais que se tente ampliar um objeto fractal nunca 
será possível ter uma "imagem finalizada", pois mais detalhes vão se mostrando 
devido o fractal ter um número infinito de interações, dessa forma, não é possível 
representar a imagem completamente. 
 Irregularidade - Com o sentido de rugosidade, aspereza (não suavidade) ou 
fragmentação; 
 Dimensão não inteira - A maioria dos objetos fractais exibem dimensão 
fracionária. Este tipo de dimensão representa o grau de ocupação deste no espaço, 
que está relacionado com o seu grau de aspereza (irregularidade). 
É importante destacar que autossimilaridade e a complexidade infinita são duas 
características entre as citadas anteriormente que caracterizam qualquer fractal, ou seja, são as 
características fundamentais que todo fractal atende (ALMEIDA, 2006). 
 
 
 
 
 
 
41 
 
4 BENOÎT MANDELBROT O "PAI" DOS FRACTAIS 
 
 
O matemático Benoit Mandelbrot de família judia nasceu em 1924 em Varsóvia, 
na Polônia, sua mãe era médica e seu pai vendedor de roupas. Em 1936 a sua família se 
mudou para a França, onde Mandelbrot passou a ser educado em casa pelo seu tio, Szolem 
Mandelbrot, um renomado matemático e professor do Collège de France. Seu tio optou que 
Mandelbrot aprendesse a jogar xadrez antes de conhecer as primeiras letras e de saber a 
tabuada. Aos 13 anos, dois anos acima do normal, entrou para a escola oficial. Com o começo 
da Segunda Guerra Mundial a família mudou-se para Tulle, no centro da França, onde bons 
professores também refugiados da guerra contribuíram para um bom desempenho escolar de 
Benoit Mandelbrot. Quando a França foi libertada dos nazistas ao fim da guerra, Mandelbrot 
realizou exames de admissão na Escola Normal e na Escola Politécnica, obtendo ótimos 
resultados. Além dos bons professores que teve em Tulle, o principal motivo do sucesso de 
Mandelbrot, se deve ao dom que o mesmo tinha de ser capaz de dar uma visão geométrica a 
maioria dos problemas, geometrizando assim as mais diversas matérias. Ao resolver questões 
de cálculo integral chegava as soluções sem muito esforço utilizando desenhos geométricos, 
com tamanha originalidade que muitas das vezes conduziam às raízes históricas das próprias 
questões (SANTOS; NETO; SILVA, 2007). 
Tendo sido aprovado nas escolas a que se candidatou, Mandelbrot escolheu em 
primeiro momento a Escola Normal, mas permaneceu por pouco tempo, mudando para Escola 
Politécnica onde estudou até concluir seu doutorado. Na época existia o movimento do grupo 
Bourbaki fundado pelo seu tio Szolem Mandelbrot. O grupo tinha como membros um número 
fixo de jovens matemáticos que buscavam a reconstrução da Matemática Francesa, visando 
uma Matemática pura, formal e austera, sem influências de imagens que poderiam levar ao 
engano pelo aspecto visual, ou seja, a geometria passou a ser desvalorizada pois não gerava 
confiança. A Matemática tornou-se assim mais rigorosa, pautando-se pelo método axiomático. 
Mesmo perante as ideias do seu tio, Mandelbrot avesso a abandonar sua intuição geométrica 
não suportou o predomínio da abstração imposta por Bourbaki. Mudou-se da França para os 
Estados Unidos em 1948, a fim estudar Ciência Aeroespacial, no entanto, conseguiu 
posteriormente um cargo na IBM - Centro de Pesquisas Thomas Watson, que na época 
recrutava jovens talentos com bons projetos de pesquisa (BARBOSA 2005). 
42 
 
Foi na IBM com a ajuda dos seus potentes computadores, que Mandelbrot criou a 
Geometria Fractal. Ao trabalhar com problemas de economia, analisou o comportamento 
gráfico de preços de algodão, os registros analisadas eram precisos, completos e antigos, 
referente a um século ou mais. Quando Mandelbrot processou os dados nos computadores, 
percebeu padrões existentes onde misteriosamente, as variações diárias nos preços coincidiam 
com as mensais, ou seja, as sequências de variações eram independentes da escala e o mais 
surpreendente é que esses dados analisados remontavam a um período conturbado que 
vivenciou; duas guerras mundiais e uma depressão (GLEICK, 1989). 
 
Na IBM deparou-se com questões de ruídos nas linhas telefônicas utilizadas em rede 
entre os computadores. Mandelbrot soube dos engenheiros que algum ruído não 
podia ser eliminado e interferia nos sinais; a aleatoriedade e a irregularidade dos 
ruídos afastavam os engenheiros da busca de soluções. Resolveu o problema 
empregando um trabalho de Georg Cantor chamado Poeira de Cantor 
(BARBOSA,2005, p.12). 
 
Os engenheiros sabiam que a informação era transmitida por pacotes separados 
através de corrente elétrica e quanto maior fosse a intensidade da corrente, mais se afastavam 
os ruídos, porém perceberam que não era possível eliminá-los por completo. De vez em 
quando surgia um erro causado por algum ruído que apagava um sinal. A natureza dos ruídos 
de transmissão eram aleatórios, porém sabia-se que ocorria em grupos, onde períodos de 
transmissões sem erro eram seguidos de intervalos com erros. Mandelbrot então mostrou uma 
maneira de descrever a distribuição dos erros que previa precisamente os padrões vistos, 
realizou para isso uma descrição abstrata baseada no fractal Conjunto de Cantor (FIGURA 
3.2.3.1.9). No modelo proposto, separações cada vez mais apuradas entre os grupos 
supracitados foram realizadas, com isso, Mandelbrot exemplificou para os engenheiros que 
dentro de qualquer sequência de erros, por menor que seja, sempre existirá um período de 
transmissão ausente de erros, também mostrou que em escalas de uma hora ou um segundo, a 
proporção de períodos livres de erro para os períodos cheios de erros permanece constante. Os 
engenheiros aprenderam com Mandelbrot que os erros eram inevitáveis e que a melhor 
maneira de combatê-losseria usar uma estratégia de redundância para descobri-los e corrigi-
los em vez de aumentar a intensidade da corrente elétrica (GLEICK, 1989). 
 Mandelbrot desenvolveu ainda a construção e a aplicação de alguns tipos de 
Fractais, elaborou teorias matemáticas para métodos de autossemelhanças em probabilidades, 
estudou a distribuição das galáxias e com ferramentas dessas nova geometria caracterizou os 
movimentos brownianos. Mesmo diante de tantas contribuições importantes, Mandelbrot 
encontrou muitas dificuldades para conseguir que outros cientistas aceitassem seu trabalho 
43 
 
devido a moda da Matemática da época (FIGURA 4.1), inclusive muitos destes o acusavam 
de estar obcecado para conseguir um lugar na história, outros por ter um exagerado 
sentimento de superioridade e grandeza. No entanto apesar dos entraves, sua obra publicada 
foi de grande impacto e relevância pois mostrou uma nova maneira de ver o mundo 
(RESENDE; NEVES; CASTANHEIRA, 2004). 
 
 
Figura 4.1 - Matéria sobre a Geometria Fractal de Mandelbrot. 
Fonte: RESENDE; NEVES; CASTANHEIRA (2004). 
 
Mandelbrot chegou à fama tendo recebido vários prêmios, medalhas e honrarias 
pelas suas descobertas e feitos, sendo convidado a ocupar vários cargos acadêmicos, dentre os 
quais: o de professor de Matemática e Economia em Harvard, professor de Engenharia em 
Yale e professor de Fisiologia na Faculdade Einstein de Medicina. Entre os vários trabalhos 
publicados merecem destaque a sua primeira obra (Os Objetos Fractais: Forma, Acaso e 
Dimensão) lançada em 1975 e sua obra reformulada e a mais famosa (A Geometria Fractal da 
Natureza) publicada em 1977 (RICIERI, 1990). 
Objetos naturais muito diversos, alguns dos quais, como a Terra, o céu e o oceano, 
nos são bastante familiares, são estudados com a ajuda de uma grande família de 
objetos geométricos, até agora considerados esotéricos e perfeitamente inúteis. 
Pretendo mostrar, pelo contrário, que estes objetos, pela sua simplicidade, 
diversidade e extraordinária extensão das suas novas aplicações, merecem ser 
rapidamente integrados na geometria elementar. Apesar de o seu estudo fazer parte 
dos campos científicos diferentes, entre os quais a geomorfologia, a astronomia e a 
teoria de turbulências, os objetos naturais em questão têm em comum uma forma 
extremamente irregular ou interrompida. Para os estudar, concebi, aperfeiçoei e 
utilizei extensivamente uma nova geometria da natureza. (MANDELBROT apud 
RESENDE; NEVES; CASTANHEIRA, 2004, p. 19). 
 
Benoît Mandelbrot, faleceu aos 85 anos, vítima de um câncer no pâncreas no dia 
14 de outubro de 2010, em Cambridge, nos Estados Unidos, onde vivia com a família 
(ROTHMAN, 2010). 
44 
 
5 APLICAÇÃO DOS FRACTAIS NAS CIÊNCIAS E TECNOLOGIAS 
 
 
No presente com o desenvolvimento das tecnologias, principalmente a 
informática, tornou-se possível o estudo e a aplicação cada vez mais frequente da Geometria 
Fractal no desenvolvimento de várias tecnologias e no estudo dos mais diversos fenômenos 
das mais diferentes áreas do conhecimento como a Física, Medicina, Economia, Geografia, 
Biologia, etc. 
Na Medicina a Geometria Fractal ajuda no estudo da anatomia do corpo humano 
assim como também de muitos animais. A rede de vasos do sistema sanguíneo, por exemplo, 
possui natureza fractal; da artéria aorta aos capilares, ocorrem tantas ramificações que nestes 
os glóbulos sanguíneos são obrigados a se mover em fila indiana, devido o caminho ficar cada 
vez mais estreito, com isso o sistema circulatório procura apertar em um volume limitado, 
uma enorme área de superfície, permitindo assim que nos tecidos cada célula não esteja mais 
de três ou quatro células de distância de um vaso sanguíneo, Figura 5.1. No aparelho digestor, 
se observa ondulações dentro de ondulações o que garante uma maior absorção dos nutrientes, 
Figura 5.2. Os pulmões humanos também têm a capacidade de acomodar uma espantosa área 
de superfície, sendo superior a uma quadra de tênis, garantindo uma maior absorção de 
oxigênio, Figura 5.3. Como outros exemplos de estruturas do corpo humano que possuem 
comportamento fractal, pode-se citar ainda o sistema coletor urinário, sistema linfático, o 
cérebro e o canal biliar do fígado (GLEICK, 1989). 
 
 
Figura 5.1 - Vasos 
sanguíneos do corpo 
humano. 
Fonte: SUAREZ (2013) 
Figura 5.2 - Ondulações do 
Intestino humano. 
Fonte: SANTOS; NETO; SILVA 
(2007). 
Figura 5.3 - Pulmão humano. 
Fonte: Oliveira (2008). 
 
Com base no comportamento dos objetos fractais onde a partir de regras simples é 
possível construir estruturas complexas, ao analisar estruturas fractais identificadas nos seres 
45 
 
vivos, Santos; Neto e Silva (2007) dão a seguinte explicação para que a natureza tenha esse 
comportamento: 
Mostra-nos uma forma de como a natureza pode sustentar a evolução de seres vivos 
complexos sem haver necessidade de guardar demasiada informação. Os «planos de 
construção» podem, deste modo, ser codificados em menor quantidade de 
informação (basta armazenar no DNA as sementes iniciais e as regras de interação) e 
esses planos seriam desenvolvidos iterando as respectivas regras. 
 
Ainda na Medicina, a Geometria Fractal possui aplicações no diagnóstico de 
muitas doenças, por exemplo, insuficiência cardíaca e alguns tipos de cânceres. Conforme 
estudos já realizados é comprovado que um coração saudável bate em um ritmo fractal, e que 
batimentos quase periódico, é um sintoma de insuficiência cardíaca. Já o diagnóstico de 
alguns tumores cancerosos é possível devido estes possuírem dimensão fractal superior à dos 
tecidos normais (FIGURA 5.4), ou seja, quanto mais agressivo for câncer, mais tortuosa e 
infiltrada será as bordas do tumor.(NOVAKI; BARANKIEVICZ; SILVA, 2012). 
 
Tecido normal Tecido canceroso 
 
Figura 5.4 - Prognóstico de neoplasias da mucosa oral. 
Fonte: Zavala (2007). 
 
Na Pintura tem-se como exemplos as obras de alto valor do artista plástico Jason 
Pollock (1912-1956) que se apresentam como um emaranhado caótico de pingos de tintas, 
(FIGURA 5.5). Para descobrir se uma obra é falsa, especialistas analisam se esta possui 
comportamento fractal característico das obras de Pollock que os falsários não conseguem 
reproduzir, onde cada parte da pintura ampliada se assemelha ao todo original (SANTOS; 
NETO; SILVA, 2007). 
 
46 
 
 
Figura 5.5 - Pintura do artista Pollock. 
Fonte: Santos; Neto e Silva (2007). 
 
Na Computação Gráfica a aplicação da Geometria Fractal é um dos campos 
mais promissores devido ser bastante útil ao cinema, em Hollywood, por exemplo, utiliza-se 
para se obter efeitos especiais como explosões e na criação de paisagens artificiais mais 
realistas, como rios, conjunto montanhosos e plantas (GLEICK, 1989). Na Figura 5.6 é 
possível visualizar algumas dessas paisagens. 
 
 
Figura 5.6 - Paisagens falsas geradas por computação gráfica. 
Fonte: RESENDE; NEVES; CASTANHEIRA (2004). 
 
Outra vantagem das imagens fractais geradas por algoritmos se deve ao fato de 
economizarem a memória do computador, que é a parte mais cara, isso ocorre porque os 
pontos que geram tais paisagens são calculados um a um através de transformações 
matemáticas, dessa forma são consumidos apenas, poucos kilobytes referente ao 
armazenamento da fórmula em vez de consumir megabytes de memória para guardar uma 
imagem completa (JANOS, 2008). "Dizem que uma imagem pode substituir mil palavras. No 
caso, um único fractal pode ocupar o espaço de 100 000 palavras na memória do computador" 
(OLIVEIRA, 2008). 
Na Música, a partir de alguns fractais, trabalhos em programas computacionais 
pode-se criar as músicas fractais, o processo