EXE RETAS PLANOS ESPAÇOS

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Matemática – 2ª Série 
LISTA DE EXERCÍCIOS - Geometria de Posição 
Data: 12 de abril de 2008 
 
Colégio I. L. Peretz - Morá Fabiola 1/3 
Resolva os exercícios a seguir lembrando que : 
- letras maiúsculas denotam pontos ( A , B , C , ...). 
- letras minúsculas denotam retas ( a , b , c , ...). 
- letras gregas minúsculas denotam planos ( α ,β , γ , δ ,... ). 
- E denota o Espaço . 
 
1) Classifique em Verdadeira (V) ou Falsa (F) cada uma das afirmações abaixo . Caso 
seja falsa justifique ou dê um contra-exemplo . 
a) ( ) Se uma reta é perpendicular a um plano então ela é perpendicular ou ortogonal 
às retas desse plano . Resp : V 
b) ( ) Se duas retas r e s têm um único ponto em comum e r está contida em um plano 
α , então s e α têm um único ponto em comum . Resp : F 
c) ( ) Duas retas paralelas distintas determinam um plano . Resp : V 
d) ( ) Duas retas paralelas a um mesmo plano são paralelas entre si . Resp : F 
 
2) Classifique em Verdadeira (V) ou Falsa (F) cada uma das afirmações abaixo . Caso 
seja falsa justifique ou dê um contra-exemplo . 
a) ( ) Se r e s são retas distintas então r ∩ s = ∅. Resp : F 
b) ( ) Se uma reta é ortogonal a duas retas concorrentes de um plano então ela é 
perpendicular ao plano . Resp : V 
c) ( ) Duas retas concorrentes têm um único ponto em comum . Resp : V 
d) ( ) Se uma reta e um plano têm um ponto em comum , então são secantes . 
 Resp : F 
 
3) Observando a figura , dê as posições relativas entre : 
 D C 
 
 A B 
 
 
 H G 
 
 E F 
 
a) a reta AE e a reta GH : ______________________ Resp : ortogonais 
b) a reta BF e o plano ACD : ______________________ Resp : perpendicular 
c) a reta DH e o plano ACE : ______________________ Resp : pararlela 
 
4) Classifique em verdadeira ou falsa cada uma das afirmações abaixo . Caso seja falsa justifique 
. 
a) Duas retas que têm intersecção vazia são paralelas . Resp : F 
b) r ⊥ α ∧ s ⊂ α → r ⊥ s Resp : F 
c) r ≠ s ∧ r // t → s // t Resp : F 
 
5) Complete com V ou F : 
a) ( ) r ≠ s ∧ r // s ∧ s ⊂ α → r // α Resp : V 
b) ( ) r × s ∧ r __ t → s __ t Resp : F 
c) ( ) Duas retas que não têm pontos em comum são reversas . Resp : F 
d) ( ) r // s ∧ t × s → t × r Resp : F 
e) Duas retas que têm intersecção vazia são paralelas . Resp : F 
f) Duas retas paralelas a um mesmo plano são paralelas entre si . Resp : F 
Matemática – 2ª Série 
LISTA DE EXERCÍCIOS - Geometria de Posição 
Data: 12 de abril de 2008 
 
Colégio I. L. Peretz - Morá Fabiola 2/3 
 
6) (PUC-SP) Assinale a afirmação verdadeira : 
a) Dois planos paralelos a uma reta são paralelos entre si . 
b) Dois planos perpendiculares a uma reta são perpendiculares entre si . 
c) Duas retas perpendiculares a um plano são paralelas entre si. 
d) Duas retas paralelas a um plano são paralelas entre si. 
e) Dois planos perpendiculares a um terceiro são perpendiculares entre si. 
 Resp : C 
 
7) (UNESP-91) Sejam α e β planos perpendiculares , α∩β = r . Em α considera-se uma reta s 
perpendicular a r , s∩r = {A} ,e em β considera-se t oblíqua a r , t∩r = {A} . Dentre as afirmações : 
I) s é perpendicular a β. 
II) t é perpendicular a s . 
III) O plano determinado por s e t é perpendicular a β. 
IV) Todo plano perpendicular a s que não contém A é paralelo a β. 
Pode-se garantir que : 
a) somente I é falsa. 
b) somente II é falsa. 
c) somente III é falsa. 
d) somente IV é falsa. 
e) nenhuma é falsa. Res: B 
 
8) Classifique em verdadeira ou falsa cada uma das afirmações abaixo .Caso seja falsa justifique . 
a) Dois planos que possuem uma reta em comum são secantes . Resp : F 
b) Se dois planos α e β são secantes , então existe uma reta de α que é perpendicular a uma 
reta de β . Resp : V 
c) α Χ β → α ∩ β = r Resp : V 
d) a // α ∧ a // β ∧ α ≠ β → α // β Resp : F 
e) A ∉ α → ∃� β / β//α ∧ A ∈ β Resp : V 
f) Se dois planos α e β são secantes , então toda reta de α é paralela ou reversa às retas 
de β . Resp : F 
g) Se um plano α contém uma reta r e r é paralela a outro plano β , então α é paralelo a β . 
 Resp : F 
 
9) Na figura , a ⊥ α , CD ⊥ AC , AB = 3 cm , AC = 4 cm e CD = 12 cm . Determine o 
comprimento de BD . Resp : 13 cm 
 B 
 
 
 
 
 D A 
 
 C 
 α 
 
 
 a 
 
 
 
 
Matemática – 2ª Série 
LISTA DE EXERCÍCIOS - Geometria de Posição 
Data: 12 de abril de 2008 
 
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10) Na figura AP ⊥ PQ , AP ⊥ PC , PQ ⊥ QC , AP = 2 , PQ = 3 e QC = 12 . Calcule AC . 
Resp : 5 
 A 
 
 
 
 C 
 P 
 
 
 Q 
 
 
 
11) Dois planos α e β são secantes cuja reta comum é r . Dois pontos distintos A e B são tais 
que B ∈ r , A ∈ α , AB ⊥ r , AB mede 8 cm e a projeção ortogonal A B' , de AB sobre β , mede 4 
cm . Qual é a medida de um ângulo agudo formado por α e β? 
Resp : 60º 
 
12) Uma reta s é secante às faces de um diedro α β�r e é ortogonal a r . Se os ângulos agudos 
que s forma com α e β , respectivamente , medem 50º e 20º , qual é a medida do diedro ? 
Resp : 110 º 
 
13 ) Calcule a medida de um diedro , sabendo que duas semi retas de mesma origem , 
perpendiculares às suas faces , formam um ângulo de 70º . Resp : 110 º