lista2 probabilidade

Prévia do material em texto

Universidade Federal Fluminense
Instituto de Ciências Exatas
Departamento de Matemática
Professor: Carlos Nascimento
Probabilidade e Estatística - Lista 2 - 2016/1
1. Escolha aleatoriamente ( a expressão �aleatória� indicará que o espaço é equiprovável) uma carta
de baralho com 52 cartas. Calcule a probabilidade de cada um dos eventos:
A = {a carta é de ouros}
B = {a carta é uma figura}
C = {a carta é de naipe preto}
D = {a carta é maior do que 2 e menor do que 6}
E = {a carta é um rei ou um ás de ouros}
2. Lance um dado e uma moeda.
(a) Construa o espaço amostral.
(b) Enumere os seguintes eventos:
A = {coroa, marcado por número par }
B = {cara, marcado por número ímpar }
C = {múltiplos de 3}
(c) Expresse os eventos:
i. B
ii. A ou B ocorrem
iii. B e C ocorrem
iv. A ∪B
(d) Quais dos eventos A, B e C são mutuamente exclusivos (disjuntos)?
3. Se P (A) = 12 ; P (B) =
1
4 e A e B são mutuamente exclusivos (disjuntos), calcule:
(a) P (A)
(b) P (B)
(c) P (A ∩B)
(d) P (A ∪B)
(e) P (A ∪B)
4. Determine a probabilidade de cada evento:
(a) um número par aparecer no lançamento de um dado não viciado;
(b) um rei aparecer ao extrair-se uma carta de um baralho;
(c) pelo menos uma cara aparecer no lançamento de 3 moedas;
(d) pelo menos uma cara aparecer no lançamento de n moedas;
(e) duas copas aparecem ao retirarem-se duas cartas de um baralho;
(f) uma carta de copas e uma carta de ouros aparecem ao extraírem-se duas cartas de um
baralho.
5. Dois dados são lançados simultaneamente. Qual a probabilidade de:
(a) a soma ser menor do que 4;
(b) a soma ser 9;
(c) o primeiro resultado ser maior do que o segundo.
6. Uma urna contém 2 bolas brancas, 3 pretas e 4 verdes. Retirando-se ao acaso 2 bolas dessa urna,
uma após a outra, sem reposição, qual a probabilidade de que:
(a) ambas sejam verdes;
(b) ambas sejam da mesma cor.
7. Dado P (A) = 12 , P (B) =
1
3 , P (A ∩B) = 14 , calcular:
(a) P (A ∪B)
(b) P (A|B)
(c) P (B|A)
(d) P [(A ∪B)|B]
8. Faça A e B serem eventos com P (A) = 12 , P (B) =
1
3 e P (A ∩ B) = 14 . Encontre P (A|B) e
P (B|A).
9. As probabilidades de 3 jogadores marcarem um �penalty� são respectivamente
2
3 ,
4
5 e
7
10 . Se cada
um �cobrar� uma única vez, qual a probabilidade de:
(a) todos acertarem;
(b) apenas um acertar;
(c) todos errarem.
10. Uma urna contém 12 bolas: 5 brancas, 4 vermelhas e 3 pretas. Outra contém 18 bolas: 5 brancas,
6 vermelhas e 7 pretas. Uma bola é retirada de cada urna. Qual é a probabilidade de que as
duas bolas sejam da mesma cor?
11. Uma urna contém 5 bolas pretas, 3 vermelhas e 2 brancas. Foram extraídas 3 bolas com reposição.
Qual a probabilidade de terem sido duas bolas pretas e uma vermelha?
12. A urna número 1 contém: 1 bola vermelha e 2 brancas. A urna número 2 contém: 2 bolas
vermelhas e 1 branca. Tiramos aleatoriamente uma bola da urna 1, colocamos na urna 2 e
misturamos. Em seguida tiramos aleatoriamente uma bola da urna 2. Qual a probabilidade de
tirarmos uma bola branca da urna 2?
13. A urna 1 contém x bolas brancas e y bolas vermelhas. A urna 2 contém z bolas brancas e v bolas
vermelhas. Uma bola é escolhida ao acaso da urna 1 e posta na urna 2. A seguir uma bola é
escolhida ao acaso da urna 2. Qual será a probabilidade de que esta bola seja branca?
14. Uma mão de pôquer consiste em 5 cartas. Se as cartas tiverem valores consecutivos distintos e
não forem todas do mesmo naipe, dizemos que a mão é um straight. Por exemplo, uma mão com
cinco de espadas, seis de espadas, sete de espadas, oito de espadas e nove de copas é um straight.
Qual é a probabilidade de que alguém saia com um straight?
15. Para a Copa do Mundo, 32 países são divididos em 8 grupos, com 4 países cada um. Supondo
que a escolha do grupo de cada país é feita ao acaso, calcule a probabilidade de que dois países
determinados A e B se encontrem no mesmo grupo (na realidade a escolha não é feita de forma
completamente aleatória).
2
16. Durante o mês de agosto a probabilidade de chuva em um determinado dia é de 4/10. O Flumi-
nense ganha um jogo em um dia com chuva com probabilidade 6/10 e em um dia sem chuva com
probabilidade de 4/10. Sabendo-se que o Fluminense ganhou um jogo naquele dia de agosto,
qual a probabilidade de que tenha chovido nesse dia?
17. Num exame há 3 respostas para cada pergunta e apenas uma delas é certa. Portanto, para cada
pergunta, um aluno tem probabilidade 1/3 de escolher a resposta certa se ele está adivinhando
e 1 se sabe a resposta. João sabe 30% das respostas do exame. Se ele deu a resposta certa para
uma das perguntas, qual é a probabilidade de que a adivinhou?
18. Das 10 alunas de uma turma, três têm olhos azuis. Se duas delas forem escolhidas ao acaso, qual
a probabilidade de: (a) ambas terem olhos azuis; (b) nenhuma ter olhos azuis; (c) pelo menos
uma ter olhos azuis.
19. Um indivíduo foi submetido a alguns testes de personalidade e concluiu-se que, este é louco com
uma probabilidade igual a 0,6, ladrão com uma probabilidade igual a 0,7 e não louco nem ladrão
com uma probabilidade de 0,25.
(a) Determine a probabilidade do indivíduo ser louco e ladrão.
(b) Determine a probabilidade do indivíduo ser apenas louco ou apenas ladrão.
(c) Determine a probabilidade do indivíduo ser ladrão, sabendo que o mesmo não é louco.
20. Uma urna contém 10 bolas pretas e 5 bolas vermelhas. São feitas retiradas aleatórias. Cada bola
retirada é reposta, juntamente com 5 bolas da mesma cor. Qual é a probabilidade de saírem
nessa ordem: 1 preta, 1 preta, 1 vermelha, 1 vermelha? E nesta ordem: 1 preta, 1 vermelha, 1
preta, 1 vermelha? Dado que a primeira bola é preta, qual a probabilidade de que a segunda seja
preta?
21. Uma caixa A contém 8 peças, das quais 3 são defeituosa e uma caixa B contém 5 peças, das quais
2 são defeituosas. Uma peça é retirada aleatoriamente de cada caixa:
(a) Qual a probabilidade p de que ambas as peças não sejam defeituosas?
(b) Qual a probabilidade p de que uma peça seja defeituosa e a outra não?
(c) Se uma peça é defeituosa e a outra não, qual é a probabilidade p de que a peça defeituosa
venha da caixa A?
22. Suponha que temos duas urnas 1 e 2, cada uma com duas gavetas. A urna 1 contém uma moeda
de ouro em uma gaveta e uma moeda de prata na outra gaveta; enquanto a urna 2 contém uma
moeda de ouro em cada gaveta. Uma urna é escolhida ao acaso; a seguir uma de suas gavetas é
aberta ao acaso. Verifica-se que a moeda encontrada nessa gaveta é de ouro. Qual a probabilidade
de que a moeda provenha da urna 2?
23. Uma urna A contém 4 bolas: 2 brancas, 2 pretas; uma urna B contém 5 bolas: 3 brancas, 2
pretas. Uma bola é retirada de A para B. Uma bola é retirada de B e verificada ser branca. Qual
é a probabilidade de que a bola transferida tenha sido branca?
24. São dadas duas urnas A e B. A urna A contém uma bola preta e uma vermelha. A urna B
contém duas bolas pretas e três vermelhas. Uma bola é escolhida ao acaso na urna A e colocada
na urna B. Uma bola é então extraída, ao acaso, da urna B. Pergunta-se:
(a) Qual a probabilidade de que ambas as bolas retiradas sejam da mesma cor?
(b) Qual a probabilidade de que a primeira bola seja vermelha, sabendo-se que a segunda foi
preta?
25. Conside o experimento lançar dois dados, e os seguintes eventos:
A = {(x1, x2)/x1 + x2 = 8}
B = {(x1, x2)/x1 = x2}
3
C = {(x1, x2)/x1 + x2 = 10}
D = {(x1, x2)/x1 > x2}
E = {(x1, x2)/x1 = 2x2}
Calcule:
(a) P (A|B)
(b) P (C|D)
(c) P (D|E)
(d) P (A|C)
(e) P (C|E)
(f) P (C|A)
(g) P (A|D)
(h) P (B|C)
(i) P (A|E)
(j) P (B|E)
(k) P (A|B ∩ C)
(l) P (A ∩B|C ∩D)
26. Em certo colégio, 5% dos homens e 2% das mulheres têm mais do que 1.80m de altura. Por outro
lado, 60% dos estudantes são homens. Se um estudante é selecionadoaleatoriamente e tem mais
de 1.80m de altura, qual a probabilidade de que o estudante seja mulher?
27. Três máquinas, A, B e C produzem respectivamente 40%,50% e 10% do total de peças de uma
fábrica. As porcentagens de peças defeituosas nas respectivas máquinas são 3%, 5% e 2%. Uma
peça é sorteada ao acaso e verifica-se que é defeituosa. Qual a probabilidade de que a peça tenha
vindo da máquina B?
28. Considere um baralho de 52 cartas.
(a) Retirando-se uma carta ao acaso, qual a probabilidade de que ela seja de ouros ou de copas?
(b) Retirando-se duas cartas ao acaso com reposição da 1
a
carta, qual a probabilidade de ser a
1
a
de ouros e a 2
a
de copas?
(c) Recalcular a probabilidade anterior se não houver reposição da 1
a
carta.
(d) Havendo reposição, qual a probabilidade de sair a 1
a
carta de ouros ou então a 2
a
carta de
copas?
29. Mostre que se A e B são eventos independentes e mutuamente exclusivos, então P (A) = 0 ou
P (B) = 0.
30. Moste que se A e B são eventos independentes e de probabilidades não nulas, então A e B não
são mutuamente exclusivos, isto é, A ∩B 6= ∅.
4
Respostas:
1. P (A) = 13/52;
P (B) = 3/13;
P (C) = 1/2;
P (D) = 3/13;
P (E) = 5/52.
2.
3. (a) P (A) = 1/2
(b) P (B) = 3/4
(c) P (A ∩B) = 0
(d) P (A ∪B) = 3/4
(e) P (A ∪B) = 1/4
4. (a) 1/2
(b) 1/13
(c) 7/8
(d)
2n−1
2n
(e) 1/17
(f) 13/204
5. (a) 1/12
(b) 1/9
(c) 5/12
6. (a) 1/6
(b) 0.28
7. (a)
7
12
(b)
3
4
(c)
1
2
(d) 1
8.
5
8 ;
5
6
9. (a)
28
75
(b)
1
6
(c)
1
50
10.
35
108
11.
9
40
12.
5
12
13.
(
x
x+y
)(
z+1
z+v+1
)
+(
y
x+y
z
z+v+1
)
14. 0,0039
15. 96/992
16. 1/2
17. 7/16
18. (a) 1/15 (b) 7/15 (c)
8/15
19. (a) 0,55 (b) 0,2 (c)
0,375
20.
1
30 ;
1
30 ;
3
4
21. (a)
3
8
(b)
19
40
(c)
9
19
22.
2
3
23.
4
7
24. (a)
7
12
(b)
2
5
25. (a)
1
6
(b)
1
15
(c) 1
(d) 0
(e) 0
(f) 0
(g)
2
15
(h)
1
3
(i) 0
(j) 0
(k) 0
26.
4
19
27.
25
39
28. (a) 50%
(b) 6.25%
(c) 6.37%
(d) 43.75%
5