Aula 2 de Probabilidade e Estatística

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DISCIPLINA: PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 
 
2ªAULA – TEOREMAS DE PROBABILIDADE 
 
PROF. MÁRIO MONTEIRO 
 
AULA 2 – 19/02/18 
 
 
Teoremas da Probabilidade 
 
1. Teorema do Evento Complementar 
2. Teorema da União 
3. Teorema da Probabilidade Condicionada 
4. Teorema do Produto ou da Intersecção 
5. Eventos Independentes 
6. Binômio de Newton 
7. Teorema da Probabilidade Total 
8. Teorema de Bayes 
9. Estudo de Caso: Positivo ou Negativo 
10. Exercícios. 
 
 
 
Capitulo 1 
Evento Complexo Árvore de Falhas 
Árvore de Falhas 
Teste de Vacina 
Árvore de Falhas 
Incêndio 
TEOREMAS DE PROBABILIDADE 
I-TEOREMA DO EVENTO COMPLEMENTAR 
II -TEOREMA DA UNIÃO 
P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A∩B) 
Caso de A e B Eventos Mutuamente Exclusivos 
P(AUB) = P(A) + P(B) 
P(A∩B )= Φ 
Caso de três Eventos 
III.1 -TEOREMA DA PROBABILIDADE CONDICIONADA 
ESPAÇO AMOSTAL = 52 CARTAS 
ESPAÇO AMOSTAL = 12 CARTAS 
PROBABILIDADE DE TIRAR REIS DE OUROS EM UM BARALHO? 
SEM INFORMAÇÃO: 
COM INFORMAÇÃO: 
“A CARTA É FIGURA” 
P=1/52 
P=1/12 
A INFORMAÇÃO REDUZ O ESPAÇO AMOSTRAL 
III.2 -TEOREMA DA PROBABILIDADE CONDICIONADA 
Exemplo: Imagine uma urna com 10 bolas numeradas, sendo 6 vermelhas e 4 azuis 
Evento Probabilidade de ter tirado o número 1, sabendo que a bola é azul => P(A/B) ? 
Evento A: Probabilidade de tirar uma bola com o número 1 
P(A) = 2/10 = 1/5 
 
Evento B: Probabilidade de tirar uma bola azul 
P(B) = 4/10 = 2/5 
𝑷 𝑨 / 𝑩 =
𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)
𝑷(𝑩)
=
𝟏
𝟏𝟎
𝟐
𝟓
=
𝟏
𝟏𝟎
∗
𝟓
𝟐
=
𝟏
𝟒
 
 
P(A/B) = 1/4 
P(A∩B) = probabilidade de ter número 1 e ser azul = 1/10 
III.3 -TEOREMA DA PROBABILIDADE CONDICIONADA 
IV -TEOREMA DO PRODUTO ou TEOREMA DA INTERSECÇÃO 
TEOREMA DO PRODUTO OU TEOREMA DA INTESECÇÃO 
TEOREMA DA 
PROBABILIDADE 
CONDICIONADA 
TEOREMA DO 
PRODUTO 
IV -TEOREMA DO PRODUTO 
PARA TRÊS EVENTOS 
V – EVENTOS INDEPENDENTES 
TEOREMA DO PRODUTO PARA 
EVENTOS INDEPENDENTES 
O quadrado da soma diz que um binômio elevado ao quadrado é igual ao 
quadrado do primeiro monômio (termo) mais duas vezes o primeiro vezes o 
segundo monômio (termo), mais o quadrado do segundo monômio (termo). 
(a + b)² = a² + 2ab + b² 
VI –BINÔMIO DE NEWTON 
A fórmula do binômio de Newton destina-se ao desenvolvimento das 
potências sucessivas de um binômio. 
 
Vejamos as seguintes potências: 
(a + b)0 = 1 
(a + b)1 = a + b 
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 
VI –BINÔMIO DE NEWTON 
Fórmula do Binômio de Newton 
 
(a + b)n = Cn,0∙a
n∙b0 + Cn,1∙a
n-1∙b1 + Cn,2∙a
n-2∙b2 + ... + Cn,n∙n
a-n∙ 
VI –BINÔMIO DE NEWTON 
Combinação sem repetição: 
 
𝑪𝒏.𝒑 =
𝒏!
𝒑! ∗ 𝒏 − 𝒑 !
 
 
(𝒂 + 𝒃)𝒏= 𝑪𝒏,𝒑 ∗ 𝒂
𝒏−𝒑 ∗ 𝒃𝒑
𝒏
𝒑=𝟎
 
VI –BINÔMIO DE NEWTON 
VII.1 - TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL 
EVENTOS SOB DIVERSAS CONDIÇÕES 
PROBABILIDADES DIFERENTES PARA CADA 
CONDIÇÃO. 
VII.2-EXERCICIO DO TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL 
1-Supondo duas urnas, conforme figura 
abaixo 
2-Uma primeira bola é transferida da 
urna A para a urna B. 
3-Qual a probabilidade de uma segunda 
bola retirada da urna B ser preta? 
RESPOSTA = 5/16 
VII.3-EXERCICIO DO TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL - SOLUÇÃO 
1-Supondo duas urnas, conforme figura 
abaixo 
2-Uma primeira bola é transferida da 
urna A para a urna B. 
3-Qual a probabilidade de uma segunda 
bola retirada da urna B ser preta? 
A segunda bola 
depende da primeira 
VIII.1-TEOREMA DE BAYES 
THOMAS BAYES - 1702-1761 
1º) Informação da ocorrência do 
evento B (vermelha) 
2º) Probabilidade de ter ocorrido um 
particular evento A. 
Evento B => Efeito 
Evento A => Causa 
𝑻𝑬𝑶𝑹𝑬𝑴𝑨 𝑫𝑬 𝑩𝑨𝒀𝑬𝑺 ⇒ 𝑷(𝑨𝒋/B)=
𝑷 𝑨𝑱 ∗𝑷( 𝑩/𝑨𝑱 
 𝑷 𝑨𝑱 ∗𝑷(𝑩/𝑨𝑱)
𝒏
𝒋=𝟏
 𝒋 = 𝟏, 𝟐, 𝟑…𝒏 
) 
VIII.2-TEOREMA DE BAYES - EXERCÍCIO 
Nas mesmas condições. Qual a probabilidade da segunda bola ser preta sabendo-se que 
a primeira foi preta. 
Resposta = 2/5 
REGRA DO PRODUTO => P(A∩B) = P(A)*P(B/A) 
P(1ªP∩2ªP) = P(1ªP)*P(2ªP/1ªP) = (1/4)*(2/4)=(2/16)=(1/8) 
EVENTOS: 
Evento A => Primeira bola preta na urna A (1ªP) 
Evento B => Segunda bola preta na urna B (2ªP), dado que a primeira foi preta 
TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL => P(B) = ∑P(A)*P(B/A) 
P(2ªP)= P(1ªB)*P(2ªP/1ªB) + P(1ªP)*P(2ªP/1ªP) + P(1ªV)*P(2ªP/1ª) 
P(2ªP)= (2/4)*(2/4) + (1/4)*(2/4) + (1/4)*(1/4) = 5/16 
𝑻𝑬𝑶𝑹𝑬𝑴𝑨 𝑫𝑬 𝑩𝑨𝒀𝑬𝑺 ⇒ 𝑷(A / B ) =
𝑷(𝑨∩𝑩)
𝑷(𝑩)
⇒ 𝐏 𝟏ª𝐏/𝟐ª𝐏 =
𝑷(𝟏ª𝑷∩𝟐ª𝑷)
𝑷(𝟐ª𝑷)
=
𝟏/𝟖
𝟓/𝟏𝟔
=
𝟏∗𝟏𝟔
𝟖∗𝟓
=
𝟐
𝟓
 
VIII.3-EXERCÍCIO - TEOREMA DE BAYES - SOLUÇÃO 
IX – ESTUDO DE CASO – POSITIVO OU NEGATIVO 
ÁRVORE DE PROBAILIDADES 
A) Qual a probabilidade do teste dar negativo? Resposta: 0,8296 
B) Qual a probabilidade do individuo estar saudável se o teste der negativo? Resposta: 0,998 
C) Se der positivo, qual a probabilidade da pessoa estar doente? Resposta: 0,46 
IX – SOLUÇÃO DO ESTUDO DE CASO – POSITIVO OU NEGATIVO 
IX – SOLUÇÃO DO ESTUDO DE CASO – POSITIVO OU NEGATIVO 
PESSOA 
SER 
SAUDAVEL 
RESULTADO DO TESTE 
DAR NEGATIVO 
IX – SOLUÇÃO DO ESTUDO DE CASO – POSITIVO OU NEGATIVO 
PESSOA 
SER 
SAUDAVEL 
RESULTADO DO 
TESTE DAR 
POSITIVO 
Falso 
Positivo 
IX – SOLUÇÃO DO ESTUDO DE CASO – POSITIVO OU NEGATIVO 
PESSOA 
ESTAR 
DOENTE 
RESULTADO 
DO TESTE 
DAR 
NEGATIVO 
IX – SOLUÇÃO DO ESTUDO DE CASO – POSITIVO OU NEGATIVO 
PESSOA 
ESTAR 
DOENTE 
RESULTADO DO 
TESTE DAR 
POSITIVO 
Verdadeiro 
Positivo 
IX – SOLUÇÃO DO ESTUDO DE CASO – POSITIVO OU NEGATIVO 
Negativo 
Correto 
Falso 
Negativo 
Verdadeiro 
Positivo 
Falso 
Positivo 
IX – SOLUÇÃO DO ESTUDO DE CASO – POSITIVO OU NEGATIVO 
A) Qual a probabilidade do teste dar negativo? 
Negativo Correto 
Falso Negativo 
IX – SOLUÇÃO DO ESTUDO DE CASO – POSITIVO OU NEGATIVO 
B) Qual a probabilidade do individuo estar saudável se o teste der negativo? 
Negativo Correto 
Falso Negativo 
𝑃 𝑆𝑎𝑢𝑑á𝑣𝑒𝑙 𝑁𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 =
𝑃(𝑁𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 ∩ 𝑆𝑎𝑢𝑑á𝑣𝑒𝑙)
𝑃(𝑁𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜)
=
0,828
0,828 + 0,0016
= 0,998 / 
99,8% de probabilidade da pessoa ser saudável dado 
que o teste deu negativo. 
IX – SOLUÇÃO DO ESTUDO DE CASO – POSITIVO OU NEGATIVO 
C) Se der positivo, qual a probabilidade da pessoa estar doente? 
𝑃 𝐷𝑜𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑃𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 =
𝑃(𝐷𝑜𝑒𝑛𝑡𝑒 ∩ 𝑃𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜)
𝑃(𝑃𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜)
=
0,0784
0,092 + 0,0784
= 0,46 / 
46% de probabilidade da pessoa estar doente dado 
que o teste deu positivo. EXAMES COMPLEMENTARES 
X - EXCERCÍCIOS - 1 º EXERCÍCIO 
Considere dois eventos A e B. Sabendo que P(A)-0,4 e P(AUB)=0,7. Seja P(B)=p. A partir 
disso, calcule os valores de p ´para que os eventos A e B sejam. 
A) Mutuamente excludentes. P=0,3 
B) Independentes. 
Resposta: p=0,5 
X - EXERCÍCIOS – SOLUÇÃO DO 1º EXERCÍCIO 
X - EXERCÍCIOS – 2º EXERCÍCIO 
Considere o circuito elétrico ilustrado a seguir. É preciso que passe um pulso entre os 
pontos A e B. Como a estrutura onde ele está instalado é muito precária, cada chave 
ilustrada do circuito tem probabilidade igual a ½ de estar fechada. Além disso, cada chave 
tem funcionamento completamente independente das demais. Qual é a chance de 
sucesso do pulso? Resposta: 0,53 
X - EXERCÍCIOS - SOLUÇÃO DO 2 º EXERCÍCIO 
X - EXERCÍCIOS -3º EXERCÍCIO 
Em uma caixa existem três envelopes brancos e dois envelopes pardos. Eles sãoextraídos da 
caixa sem reposição. Calcule: 
A) A chance de que saiam três envelopes brancos sucessivos. Resposta: 0,3 
B) A chance de que saiam dois pardos sucessivamente. Resposta: 0,4 
C) A chance de que saiam ou dois pardos sucessivos ou três brancos sucessivos. Resposta: 0,5 
D) A chance que os envelopes sejam sorteados em tipos intercalados. Resposta: 0,1 
X - EXERCÍCIOS –SOLUÇÃO DO 3º EXERCÍCIO 
X – EXERCÍCIOS –SOLUÇÃO DO 3º EXERCÍCIO 
X- EXERCÍCIOS – SOLUÇÃO DO 3º EXERCÍCIO 
X EXERCÍCIOS – SOLUÇÃO DO 3º EXERCÍCIO 
X - EXERCÍCIOS -4º EXERCÍCIO 
Um comerciante fez um levantamento das vendas de sua loja e montou a tabela abaixo. 
Pede-se: 
Monte um diagrama de Venn para as vendas. 
A) Uma determinada cliente comprou uma calça qual a probabilidade de ela ter comprado 
também uma saía? Resposta: 0,27 
B) Ela comprou uma blusa ou uma saia, qual a chance de ter comprado uma calça? 
Resposta: 0,31 
C) A cliente comprou uma blusa, qual a probabilidade de ela ter comprado uma saia ou 
uma calça para fazer um conjunto? Resposta: 0,32 
X - EXERCÍCIOS – SOLUÇÃO DO 4º EXERCÍCIO 
Diagrama de Venn 
A) Uma determinada cliente comprou uma calça qual a probabilidade de ela ter 
comprado também uma saía? 
X - EXERCÍCIOS – SOLUÇÃO DO 4º EXERCÍCIO 
B) Ela comprou uma blusa ou uma saia, qual a chance de ter comprado uma calça? 
X - EXERCÍCIOS – SOLUÇÃO DO 4º EXERCÍCIO 
C) A cliente comprou uma blusa, qual a probabilidade de ela ter comprado uma saia ou 
uma calça para fazer um conjunto? 
X - EXERCÍCIOS – SOLUÇÃO DO 4º EXERCÍCIO 
X I- REVENDO OS CONCEITOS 
PROPRIEDADES: 
1) A probabilidade do evento impossível é zero => P(Φ)=0 
2) P(AUBUC...UK)=P(A) + P(B) +...P(K) => Se os eventos A, B..e K forem mutuamente 
excludentes 
3) Probabilidade do evento complementar: 
4) Evento União: P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B) 
5) Evento União => eventos mutuamente excludentes: P(AUB)=P(A)+P(B) 
6) Probabilidade Condicionada: Probabilidade de que o 
evento A ocorra tendo a informação de que o evento B ocorreu: 
7) Regra do Produto: Probabilidade do evento intersecção: P(A∩B)=P(A).P(B/A)=P(B).P(A/B) 
8) Regra do Produto para eventos mutuamente excludentes: P(A∩B)=P(A)*P(B) 
X I- REVENDO OS CONCEITOS 
X I- REVENDO OS CONCEITOS 
MUITO OBRIGADO