Matemática Numeros Aline

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Trabalho de Matemática
Números Complexos
 
E. E. Profª Regina Halepian Antunes
Jul/2015
Trabalho de Matemática
Números Complexos
 
 Trabalho realizado por Aline Do 
 Nascimento, nº 45, 3º Série A, do 
 Ensino Médio, apresentado ao Prof. 
 Marcelo da disciplina de Matemática.
E. E. Profª Regina Halepian Antunes
Jul/2015
	
	
Introdução
O fato de um número negativo não ter raiz quadrada parece ter sido sempre claro para os matemáticos que se depararam com esta questão, até a concepção do modelo dos números complexos.
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Números Complexos
Historicamente, os números complexos começaram a ser estudados graças à grande contribuição do matemático Girolamo Cardano (1501-1576). Esse matemático mostrou que mesmo tendo um termo negativo em uma raiz quadrada era possível obter uma solução para a equação do segundo grau: x2 – 10x +40 = 0. Essa contribuição foi de grande importância, pois até então os matemáticos não acreditavam ser possível extrair a raiz quadrada de um número negativo. A partir dos estudos de Girolamo Cardano, outros matemáticos estudaram sobre esse impasse na matemática, obtendo uma formalização rigorosa com Friedrich Gauss (1777-1855).
O conjunto dos números complexos é o conjunto que possui maior cardinalidade, afinal ele contém todos os outros conjuntos. É necessário, pois, compreender os processos das operações (aritméticas, trigonométricas, algébricas) envolvendo elementos desse conjunto, assim como a representação geométrica dos números complexos.
Portanto, nessa seção serão abordados assuntos como: concepções básicas do número complexo, operações aritméticas com números complexos, operações trigonométricas com os números complexos, o Plano de Argand-Gauss, entre outros artigos que se relacionam com os números complexos – números de grande importância e aplicabilidade.
O Conjunto dos Números Complexos
Os números naturais surgiram da necessidade do homem de relacionar objetos a quantidades, os elementos que pertencem a esse conjunto são: 
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...}, o zero surgiu posteriormente, com a finalidade de expressar algo nulo no preenchimento posicional. 
O conjunto dos números naturais surgiu simplesmente com o propósito da contagem, no comércio sua utilização esbarrava nas situações em que era preciso expressar prejuízos. Os matemáticos da época, no intuito de resolver tal situação, criaram o conjunto dos números inteiros, simbolizado pela letra Z. 
Z = {... , -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4, ... } 
Operações comerciais representando lucros ou prejuízos podiam ser calculadas, por exemplo: 
20 – 25 = – 5 (prejuízo) 
–10 + 30 = 20 (lucro) 
–100 + 70 = – 30 (prejuízo) 
Conjugado de um Número Complexo 
Para determinarmos o oposto, o conjugado e a igualdade de qualquer número complexo precisamos conhecer alguns fundamentos.
Oposto
O oposto de qualquer número real é o seu simétrico, o oposto de 10 é -10, o oposto de -5 é +5. O oposto de um número complexo respeita essa mesma condição, pois o oposto do número complexo z será – z.
Por exemplo: Dado o número complexo z = 8 – 6i, o seu oposto será:
- z = - 8 + 6i.
Conjugado
Para determinarmos o conjugado de um número complexo, basta representar o número complexo através do oposto da parte imaginária. O conjugado de z = a + bi será:
 
Exemplo:
z = 5 – 9i, o seu conjugado será:
z = – 2 – 7i, o seu conjugado será
Operações
Número complexo é um par ordenado de números reais (a, b). Assim, o conjunto dos números complexos é uma extensão do conjunto dos números reais. Todo número complexo pode ser escrito na forma a + bi, chamada de forma algébrica ou forma normal, onde a é chamado de parte real e bi, de parte imaginária. As operações de adição, subtração, multiplicação e divisão estão bem definidas para o conjunto dos complexos, assim como para os números reais.
Considere dois números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di. Vamos analisar como se dá cada uma das operações citadas para os elementos desse conjunto.
1. Adição
z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
Observe que basta somar a parte real de um com a parte real do outro e proceder da mesma forma com a parte imaginária.
Exemplo: Dados os números complexos z1 = 5 + 8i, z2 = 1 + 2i e z3 = 2 – 3i, calcule:
a) z1 + z2 = (5 + 8i) + (1 + 2i) = (5 + 1) + (8 + 2)i = 6 + 10i
b) z2 + z3 = (1 + 2i) + (2 – 3i) = (1 + 2) + (2 – 3)i = 3 – i
2. Subtração
A subtração é feita de forma análoga. Observe:
z1 – z2 = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i
Representação Geométrica
Para cada número complexo está associado o par de números reais (a,b). Está foi a conclusão de Gauss em sua tese de doutorado em 1799. Sua tese ainda sustenta que cada par de números reais (a,b) está associada a um único ponto do plano cartesiano. Logo, podemos associar a cada número complexo o ponto P do plano de coordenadas a e b, isto é, P(a,b).
Conclusão
Os números complexos são escritos na sua forma algébrica da seguinte forma: a + bi, sabemos que a e b são números reais e que o valor de a é a parte real do número complexo e que o valor de bi é a parte imaginária do número complexo. 
Referências Bibliográficas
Sites:
http://www.brasilescola.com/matematica/numeros-complexos.htm
http://www.brasilescola.com/matematica/conjunto-dos-numeros-complexos.htm
http://www.brasilescola.com/matematica/oposto-conjugado-igualdade-numeros-complexos.htm
http://www.alunosonline.com.br/matematica/operacoes-com-numeros-complexos-na-forma-algebrica.html
http://www.eumed.net/libros-gratis/2013a/1317/representacion.html
Data:
13/07/2015 ás 12:00