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Formas indeterminadas e a Regra de L’Hôspital Material online: h-p://www.im.ufal.br/professor/thales/calc1-‐2010_2.html Regra de L’Hôspital Considere a função F (x) = lnx x− 1 Como calcular ? lim x→1F (x) Neste caso, o limite é denominado forma indeterminada do tipo lim x→a f(x) g(x) 0 0 Definição: Sejam f(x) e g(x) tais que lim x→a f(x) = limx→a g(x) = 0 Exemplo: lim x→1 x2 − x x2 − 1 = limx→1 x(x− 1) (x+ 1)(x− 1) = limx→1 x x+ 1 = 1 2 lim x→0 sinx x = 1 Regra de L’Hôspital Definição: Sejam f(x) e g(x) tais que Neste caso, o limite é denominado forma indeterminada do tipo lim x→±∞ f(x) = limx→±∞ g(x) = ±∞ lim x→±∞ f(x) g(x) ∞ ∞ Exemplo: lim x→∞ lnx x− 1 = ? Regra de L’Hôspital Regra de L’Hôspital: Sejam f e g deriváveis e g’ não nula em um intervalo aberto I que contém a (exceto possivelmente em a). Suponha que e e ou Então se o limite das derivadas existir. Obs.: A regra também vale para limites laterais e limites no infinito. Regra de L’Hôspital Exemplo: Forma indeterminada do tipo 0 0 Aplicando a Regra de L’Hôspital: Regra de L’Hôspital Exemplo: Forma indeterminada do tipo ∞ ∞ Aplicando a Regra de L’Hôspital: Temos a mesma forma indeterminada novamente. Vamos aplicar a regra novamente: Regra de L’Hôspital Exemplo: Aplicando a Regra de L’Hôspital: Temos a mesma forma indeterminada novamente. Mas podemos simplificar! Regra de L’Hôspital Exemplo: Aplicando a Regra de L’Hôspital: Forma indeterminada do tipo 0 0 Aplicando a Regra de L’Hôspital novamente: lim x→0 2 · secx · ddx [secx] 6x = lim x→0 2 · sec2 x tanx 6x = 1 3 lim x→0 sec 2 x · lim x→0 tanx x = 1 3 lim x→0 tanx x Regra de L’Hôspital Exemplo: Aplicando a Regra de L’Hôspital mais uma vez: 1 3 lim x→0 tanx x = 1 3 lim x→0 sec2 x 1 = 1 3 Regra de L’Hôspital Definição: Sejam f(x) e g(x) tais que e lim x→a f(x) = 0 limx→a g(x) = ±∞ Neste caso, o limite é denominado forma indeterminada do tipo lim x→a f(x) · g(x) 0 ·∞ Observe que , onde neste caso teremos uma forma indeterminada do tipo e podemos usar a Regra de L’Hôspital. lim x→a f(x) · g(x) = limx→a f(x) 1 g(x) 0 0 Regra de L’Hôspital Exemplo: lnx Forma indeterminada do tipo 0 ·∞ Regra de L’Hôspital Definição: Sejam f(x) e g(x) tais que e Neste caso, o limite é denominado forma indeterminada do tipo Estratégia: Tentar transformar a diferença em um quociente. lim x→a f(x) =∞ limx→a g(x) =∞ lim x→a[f(x)− g(x)] ∞−∞ Regra de L’Hôspital Exemplo: Aplicando a Regra de L’Hôspital: Regra de L’Hôspital Definição: Potências indeterminadas: e e e tipo tipo tipo Estratégia: Tome o logaritmo natural: Regra de L’Hôspital Exemplo: Quando , e Aplicando a Regra de L’Hôspital: = elimx→0+ ln y
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