gabarito 8) Derivada - parte 3

Prévia do material em texto

Obs: Foi visto que, para uma função exponencial natural, 
𝑑
𝑑𝑥
𝑒𝑥 = 𝑒𝑥
Lembrando que ln 𝑥 = log𝑒 𝑥 = a , temos que 
𝑑
𝑑𝑥
ln(x) = 
1
𝑥
REGRAS GERAIS:
DERIVADA DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ⇒ 𝑓´ 𝑥 = cos 𝑥
𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 ⇒ 𝑓´ 𝑥 = −sen 𝑥
f(x) = tg(x)=> f´(x) = 𝑠𝑒𝑐2(𝑥)
f(x) = cotg(x)=> f´(x) = −𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2(𝑥)
f(x) = sec(x)=> f´(x) = sec(x)*tg(x)
f(x) = cossec(x)=> f´(x) = − cossec(x)*cotg(x)
Exercícios:
a) Encontre a derivada da função 𝑓 𝑥 = 𝑥2 ∗ 𝑠𝑒𝑛 𝑥
b) Encontre a segunda derivada de 𝑓 𝑥 = sec(𝑥)
c) Encontre a 27ª derivada de cos(x)
𝑓´ 𝑥 = 𝑥2 ∗ cos 𝑥 + 2𝑥 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑓´ 𝑥 = sec 𝑥 ∗ 𝑡𝑔 𝑥
𝑓"(𝑥) = sec(𝑥) ∗ 𝑠𝑒𝑐2(𝑥) + 𝑡𝑔(𝑥) ∗ sec 𝑥 ∗ 𝑡𝑔(𝑥)
𝑓"(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐3 𝑥 + sec 𝑥 ∗ 𝑡𝑔2(𝑥)
o ciclo se repete a cada 4 derivações: 
27/4=6 ciclos inteiros + 3, ou seja, sen(x) 
1ª = −𝑠𝑒𝑛 𝑥
2ª = − cos 𝑥
3ª = 𝑠𝑒𝑛 𝑥
4ª = cos(𝑥)
REGRA DA CADEIA
É a maneira pela qual podemos calcular a derivada de uma 
função composta.
Por exemplo, na função 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥2 − 4 temos ቊ
𝑓 𝑢 = 𝑠𝑒𝑛(𝑢)
𝑢 = 𝑥2 − 4
Representa-se uma função composta por 𝐹 𝑥 = 𝑓𝑜𝑔 = 𝑓 𝑔 𝑥
A regra da cadeia estabelece que a derivada de uma função 
composta é o produto das derivadas das funções.
REGRA DA CADEIA
Ex: 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 1 ቊ
𝑓 𝑢 = 𝑢
𝑢 = 𝑥2 + 1
𝑓 𝑢 = 𝑢 => 𝑓´ 𝑢 =
1
2
𝑢−
1
2 = 
1
2 𝑢
*
𝑢
𝑢
=
𝑢
2𝑢
𝑔 𝑢 = 𝑥2 +1 => g´ 𝑢 = 2𝑥
fog = 
𝑢
2𝑢
* 2𝑥 =
𝑥2+1
2(𝑥2+1)
∗ 2𝑥 = 
𝑥∗ 𝑥2+1
(𝑥2+1)
Podemos usar a notação de LEIBNIZ , onde 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝒅𝒚
𝒅𝒖
∗
𝒅𝒖
𝒅𝒙
𝑦 = 𝑢 ⇒
𝑑𝑦
𝑑𝑢
=
1
2 𝑢
=
𝑢
2𝑢
𝑢 = 𝑥2 + 1 ⇒
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 2𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
∗
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
𝑢
2𝑢
* 2𝑥 =
𝑥 𝑢
𝑢
= 
𝑥 𝑥2+1
𝑥2+1
1) 𝑓 𝑥 = (3𝑥2 + 1)2 ቊ
𝑓 𝑢 = 𝑢 2
𝑢 = 3𝑥2 + 1
𝑓 𝑢 = 𝑢 2=> 𝑓´ 𝑢 = 2𝑢
𝑔 𝑢 = 3𝑥2 +1 => g´ 𝑢 = 6𝑥
fog = 2𝑢 ∗ 6𝑥 = 2(3𝑥2 + 1)∗6x = (6𝑥2 + 2)∗6x = 36𝑥3 + 12𝑥
Obs: (3𝑥2 + 1)2= 9𝑥4 + 6𝑥2 + 1 ⇒ 𝑓´ 𝑥 = 36𝑥3 + 12𝑥
Exercícios: Use a regra da cadeia para resolver:
2) 𝑓 𝑥 =
1
3
𝑥2+𝑥+1
= 𝑥2 + 𝑥 + 1 −
1
3 ൝ 𝑓 𝑢 = 𝑢
−
1
3
𝑢 = 𝑥2 + 𝑥 + 1
fog = −
1
3
* 𝑢−
4
3 ∗ 2x + 1 = −
1
3
* (𝑥2 + 𝑥 + 1)−
4
3 ∗ 2x + 1 = −
2x+1
3∗
3
(𝑥2+𝑥+1)4
3) 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑠𝑒𝑛(𝑥) ቊ
𝑓 𝑢 = 𝑒𝑢
𝑢 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
fog = 𝑒𝑢 ∗ cos(𝑥)= 𝑒𝑠𝑒𝑛(𝑥) ∗ cos(𝑥)
Exercícios: Use a regra da cadeia para resolver:
4) 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 1 5 ∗ 𝑥3 − 𝑥 + 1 4 ൝
𝐴 = 2𝑥 + 1 5
𝐵 = 𝑥3 − 𝑥 + 1 4
fog = A d(B) + B d(A)
A => ቊ 𝑓 𝑢 = 𝑢
5
𝑢 = 2𝑥 + 1
fog(A) = d(A) = 5𝑢4 ∗ 2 = 10 ∗ (2𝑥 + 1)4
fog = 2𝑥 + 1 5 * [4(𝑥3 − 𝑥 + 1)3 ∗ 3𝑥2 − 1 ] + 𝑥3 − 𝑥 + 1 4 * [10 ∗ (2𝑥 + 1)4]
= 4* 2𝑥 + 1 5 * (𝑥3 − 𝑥 + 1)3∗ 3𝑥2 − 1 + 10 * (2𝑥 + 1)4 ∗ 𝑥3 − 𝑥 + 1 4
= 2 * 2𝑥 + 1 4 * (𝑥3 − 𝑥 + 1)3 * [ 2* 2𝑥 + 1 * 3𝑥2 − 1 + 5 * 𝑥3 − 𝑥 + 1 ]
= 2 * 2𝑥 + 1 4 * (𝑥3 − 𝑥 + 1)3 * (17𝑥3 + 6𝑥2 − 9𝑥 + 3)
B => ቊ
𝑓 𝑢 = 𝑢4
𝑢 = 𝑥3 − 𝑥 + 1
fog(B) = d(B) = 4𝑢3 ∗ 3𝑥2 − 1 =
= 4(𝑥3 − 𝑥 + 1)3 ∗ 3𝑥2 − 1
Exercícios: Use a regra da cadeia para resolver:
Exercícios: Use a regra da cadeia para resolver:
5) 𝑓 𝑥 = ln 𝑥3 + 1 𝑦 = ln 𝑢 ⇒
𝒅𝒚
𝒅𝒖
=
1
𝑢
𝑢 = 𝑥3 + 1 ⇒
𝒅𝒖
𝒅𝒙
= 3𝑥2
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝒅𝒚
𝒅𝒖
∗
𝒅𝒖
𝒅𝒙
=
1
𝑢
* 3𝑥2=
1
𝑥3+1
* 3𝑥2 =
3𝑥2
𝑥3+1
REGRA DE L´HÔPITAL
É usada para calcular LIMITES quando o resultado, à primeira 
vista, aparentar ser indeterminado.
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
se f(a) e g(a) = 0, temos
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= 
𝑓´(𝑥)
𝑔´(𝑥)
se g´(a)≠ 0.
Ex: lim
𝑥→0
3𝑥−𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑥
=>ቊ
𝑓 𝑥 = 3𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ⇒ 𝑓′ 𝑥 = 3 − cos(𝑥)
𝑔 𝑥 = 𝑥 ⇒ 𝑔′ 𝑥 = 1
𝑓´(𝑥)
𝑔´(𝑥)
=
3−cos(0)
1
= 3 -1 = 2
Exercícios: Use a regra de L´Hôpital para resolver:
1) lim
𝑥→0
1+𝑥−1
𝑥
= lim
𝑥→0
1
2
∗ 1+𝑥
−
1
2
1
= lim
𝑥→0
1
2∗ 1+𝑥
=
1
2
2) lim
𝑥→0
𝑥−𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑥3
= lim
𝑥→0
1−𝑐𝑜𝑠(𝑥)
3𝑥2
Como a indeterminação continua, faremos a derivada de 2ª ordem:
lim
𝑥→0
1−𝑐𝑜𝑠(𝑥)
3𝑥2
= lim
𝑥→0
0−(−𝑠𝑒𝑛(𝑥))
6𝑥
= lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
6𝑥
Como a indeterminação continua, faremos a derivada de 3ª ordem:
lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
6𝑥
= lim
𝑥→0
𝑐𝑜𝑠 𝑥
6
=
1
6
Exercícios: Use a regra de L´Hôpital para resolver:
3) lim
𝑥→0
1−𝑐𝑜𝑠(𝑥)
𝑥+𝑥2
= lim
𝑥→0
0−(−𝑠𝑒𝑛(𝑥))
1+2𝑥
= lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
1+2𝑥
=
0
1
= 0
4) lim
𝑥→1
𝑙𝑛(𝑥)
𝑥−1
= lim
𝑥→1
1
𝑥
1
= 
1
1
= 1
5) lim
𝑥→∞
𝑙𝑛(𝑥)
3 𝑥
= lim
𝑥→∞
1
𝑥
1
3
𝑥
−
2
3
= lim
𝑥→∞
3
𝑥∗𝑥
−
2
3
= lim
𝑥→∞
3
𝑥
1
3
=0
6) lim
𝑥→∞
𝑥2−1
2𝑥2+1
= lim
𝑥→∞
2𝑥
4𝑥
= 
1
2