lista de exercícios 6 metodos e modelos

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Faculdade de Administrac¸a˜o, Contabilidade e
Economia (FACE).
Me´todos e Modelos Quantitativos de Decisa˜o 1
Data: 14/04/2016
Ano: 1o Semestre 2016
Co´digo: 181102
Turma: A
Lista 5
Exerc´ıcio 1.
A CONFEDERAC¸A˜O MERIDIONAL DE KIBUTZIM e´ um grupo de treˆs kibutzim (comunidades
agr´ıcolas coletivas) em Israel. O planejamento geral para esses grupos e´ feito em seu Centro Te´cnico de
Coordenac¸a˜o. Esse escrito´rio esta´ planejando atualmente a produc¸a˜o agr´ıcola para o pro´ximo ano.
A produc¸a˜o agr´ıcola de cada kibutz e´ limitada tanto pela quantidade de a´rea irriga´vel dispon´ıvel como
pela quantidade de a´gua alocada para a irrigac¸a˜o pelo Comissariado de Recursos Hı´dricos (um o´rga˜o
governamental). Esses dados sa˜o fornecidos na Tabela abaixo. Entre as plantac¸o˜es adequadas para essa
regia˜o encontram-se beterraba, algoda˜o e sorgo e sa˜o estas que esta˜o sendo consideradas para o pro´ximo
per´ıodo. Essas plantac¸o˜es diferem basicamente nos respectivos retornos l´ıquidos esperados e consumo de
a´gua.
Ale´m disso, o Ministe´rio de Agricultura tem uma cota ma´xima para a a´rea total que pode ser dedicada
a cada uma dessas plantac¸o˜es pela Confederac¸a˜o Meridional de Kibutzim, conforme ilustrado na Tabela.
Em raza˜o da limitada disponibilidade de a´gua para irrigac¸a˜o, a Confederac¸a˜o Meridional de Kibutzim
na˜o sera´ capaz de usar toda sua a´rea irriga´vel para plantac¸a˜o de culturas na pro´xima temporada. Para
garantir equil´ıbrio entre os treˆs kibutzim, foi acordado que cada um deles vai plantar a mesma proporc¸a˜o
de sua a´rea irriga´vel. Por exemplo, se o kibutz 1 plantar 200 de seus 400 acres dispon´ıveis, enta˜o o kibutz
2 tera´ de plantar 300 de seus 600 acres, ao passo que o kibutz 3 plantaria 150 de seus 300 acres.
Entretanto, qualquer combinac¸a˜o das plantac¸o˜es pode ser cultivada no kibutzim. A tarefa que o Centro
Te´cnico de Coordenac¸a˜o deve enfrentar e´ planejar quantos acres devem ser dedicados a cada plantac¸a˜o
no respectivo kibutzim satisfazendo as dadas restric¸o˜es. O objetivo e´ maximizar o retorno l´ıquido total
para a Confederac¸a˜o Meridional do Kibutzim como um todo.
Kibutz Terra Utiliza´vel
(em acres)
Alocac¸a˜o de a´gua
(em acres pe´s)
1 400 600
2 600 800
3 300 375
Plantac¸a˜o Cota Ma´xima (em
acres)
Consumo de
A´gua (em acres
pe´s/acre)
Retorno L´ıquido
(US$/acre)
Beterraba 600 600 1000
Algoda˜o 500 800 750
Sorgo 325 375 250
1. Formule o problema de programac¸a˜o linear.
2. Resolva usando o Excel e interprete os resultados.
Exerc´ıcio 2.
A NORI & LEETS CO., um dos maiores produtores de ac¸o em sua regia˜o, localiza-se na cidade de
Steeltown e e´ o u´nico grande empregador nessa localidade. Steeltown cresceu e prosperou juntamente
com a companhia que agora emprega cerca de 50.000 residentes. Portanto, o pensamento dos habitantes
da cidade sempre foi: “Se e´ bom para a Nori & Leets, enta˜o e´ bom para a cidade”.
Entretanto, esse tipo de pensamento esta´ mudando: a poluic¸a˜o descontrolada gerada pelos fomos da
empresa esta´ destruindo a apareˆncia da cidade e colocando em risco a sau´de da populac¸a˜o. Uma revolta
recente dos acionistas resultou na eleic¸a˜o de uma nova diretoria mais esclarecida para a empresa. Esses
novos diretores esta˜o dispostos a seguir pol´ıticas socialmente corretas e veˆm discutindo com governantes
de Steeltown e representantes da sociedade o que fazer em relac¸a˜o ao problema da poluic¸a˜o do ar.
Juntos, eles chegaram a rigorosos padro˜es de qualidade do ar para a camada atmosfe´rica de Steeltown.
Os treˆs tipos principais de poluentes nessa camada atmosfe´rica sa˜o material particulado, o´xido de enxofre
e hidrocarbonetos. Os novos padro˜es requerem que a empresa reduza a emissa˜o anual desses poluentes
para os volumes especificados na Tabela abaixo. A diretoria instruiu a gereˆncia para que fizesse que o
pessoal da engenharia determinasse como atingir essas reduc¸o˜es do modo mais econoˆmico poss´ıvel.
As sideru´rgicas possuem duas fontes prima´rias de poluic¸a˜o, a saber: os alto-fomos para fabricar lin-
gotes de gusa e os fomos Siemens-Martin para transformar esses lingotes em ac¸o. Em ambos os casos os
engenheiros decidiram que os tipos mais eficientes de me´todos para reduc¸a˜o de poluic¸a˜o seriam: (1) au-
mentar a altura das chamine´s,6 (2) usar dispositivos filtrantes (inclusive retentores de gases) nas chamine´s
e (3) incluir materiais limpadores de alta qualidade entre os combust´ıveis usados nos fornos.
Cada um desses me´todos possui sua limitac¸a˜o tecnolo´gica na intensidade em que pode ser utilizado
(por exemplo, um aumento ma´ximo permitido na altura das chamine´s), mas ainda ha´ uma flexibilidade
considera´vel para emprego do me´todo em uma frac¸a˜o de seu limite tecnolo´gico. A Tabela abaixo ilustra
a quantidade de emissa˜o (em milho˜es de libras por ano) que pode ser eliminada de cada tipo de forno
usando-se completamente o limite tecnolo´gico para quaisquer dos me´todos de reduc¸a˜o de poluic¸a˜o.
Para fins de ana´lise, parte-se do pressuposto de que cada me´todo pode ser utilizado em n´ıveis inferiores
ao ma´ximo para atingir qualquer frac¸a˜o das reduc¸o˜es de taxas de emissa˜o apresentadas nessa tabela. Ale´m
disso, as frac¸o˜es podem ser diferentes para os alto-fornos e para os fornos Siemens-Martin. Para cada tipo
de forno, a reduc¸a˜o de emissa˜o alcanc¸ada por me´todo na˜o e´ afetada substancialmente por quaisquer que
sejam os outros me´todos tambe´m usados.
Apo´s esses dados terem sido analisados, tornou-se evidente que nenhum me´todo por si so´ seria capaz de
alcanc¸ar todas as reduc¸o˜es exigidas. No entanto, combinar todos os treˆs me´todos a plena carga em ambos
os tipos de fornos (o que teria um custo proibitivo caso os produtos da empresa tivessem de permanecer
com prec¸os competitivos) e´ muito mais adequado. Portanto, os engenheiros chegaram a` conclusa˜o que
teriam de usar alguma combinac¸a˜o de me´todos, talvez com capacidades parciais, baseados em custos
relativos. Ale´m disso, em virtudes das diferenc¸as entre os alto-fornos e os fornos Siemens-Martin, os dois
tipos provavelmente na˜o usariam a mesma combinac¸a˜o.
Foi realizado um estudo para estimar o custo anual total que seria acarretado em cada um dos me´todos
de reduc¸a˜o de poluic¸a˜o. O custo anual de um me´todo inclui despesas operacionais e de manutenc¸a˜o
crescentes, bem como receitas menores decorrentes de qualquer perda de eficieˆncia do processo de produc¸a˜o
provocado pelo uso do me´todo. Outro custo importante e´ o custo inicial (o desembolso inicial de capital)
exigido para instalar o me´todo.
Para tomar esse custo que ocorre uma u´nica vez comensura´vel em relac¸a˜o aos custos anuais permanen-
tes, o valor temporal do dinheiro foi usado para calcular o gasto anual (em relac¸a˜o a` vida u´til do me´todo)
que seria equivalente em valor a esse custo inicial. Essa ana´lise levou a estimativas do custo anual to-
tal (em milho˜es de do´lares) dados na Tabela para emprego dos me´todos a plena capacidade. Tambe´m
foi determinado que o custo de um me´todo sendo usado em um n´ıvel mais baixo e´ aproximadamente
proporcional a` frac¸a˜o da capacidade de reduc¸a˜o de poluic¸a˜o dada na Tabela que e´ alcanc¸ada.
Portanto, para qualquer frac¸a˜o atingida, o custo anual total seria grosseiramente essa frac¸a˜o da quan-
tidade correspondente da Tabela. Foram estabelecidas enta˜o as condic¸o˜es para se desenvolver a estrutura
do plano de reduc¸a˜o de poluentes da empresa. Esse plano especifica que tipos de me´todos de reduc¸a˜o sera˜o
usados e a que parcela de suas capacidades plenas para: (1) os alto-fornos e (2) os fornos Siemens-Martin.
Em raza˜o da natureza combinato´ria do problema de se encontrar um plano que satisfac¸a as exigeˆncias
com o menor custo poss´ıvel, foi formada uma equipe de PO para solucionar o problema.
1. Formule o problema de programac¸a˜o linear.2. Resolva usando o Excel e interprete os resultados.
Exerc´ıcio 3.
A COMPANHIA SAVE-IT opera em um centro de reciclagem que coleta quatro tipos de res´ıduos
so´lidos e os trata de modo que possam ser combinados em um produto venda´vel. O tratamento e a com-
posic¸a˜o sa˜o processos distintos. Podem ser gerados treˆs compostos distintos desse produto, dependendo
do mix dos materiais utilizados. Embora haja alguma flexibilidade no mix de cada composto, padro˜es de
qualidade podem especificar a quantidade mı´nima ou ma´xima permitidas para a proporc¸a˜o de um res´ıduo
na composic¸a˜o do produto. Essa proporc¸a˜o e´ o peso do res´ıduo expresso na forma de porcentagem do
peso total para a composic¸a˜o do produto.
Para cada um dos dois compostos mais elevados e´ especificada uma porcentagem fixa para um dos
res´ıduos. Essas especificac¸o˜es sa˜o dadas na Tabela juntamente com o custo de combinac¸a˜o e o prec¸o de
venda para cada composto. O centro de reciclagem coleta seus res´ıduos so´lidos de fontes regulares e,
portanto, normalmente e´ capaz de manter uma taxa esta´vel de tratamento dos mesmos. A Tabela fornece
as quantidades dispon´ıveis para coleta e o tratamento de cada semana, bem como o custo de tratamento,
para cada tipo de res´ıduo.
A u´nica proprieta´ria da Companhia Save-It Co. e´ a Green Earth, uma organizac¸a˜o dedicada a questo˜es
ambientais, de modo que os lucros da Save-It sejam usados para ajudar no suporte a`s atividades da Green
Earth. A Green Earth levantou contribuic¸o˜es e subvenc¸o˜es que chegam a um volume de US$ 30 mil por
semana, para serem utilizados exclusivamente para cobrir todo o custo de tratamento de res´ıduos so´lidos.
A diretoria da Green Earth instruiu a gereˆncia da Save-It para dividir esse dinheiro entre os res´ıduos de
maneira que pelo menos metade da quantidade dispon´ıvel de cada res´ıduo seja efetivamente coletada e
tratada.
Dentro das restric¸o˜es especificadas nas Tabelas, a gereˆncia quer determinar a quantidade de cada
composto a ser produzida e o mix de res´ıduos exato a serem usados em cada composto. O objetivo
e´ maximizar o lucro l´ıquido semanal (receitas totais por vendas menos o custo total de composic¸a˜o),
exclu´ıdo o custo fixo de tratamento de US$ 30.000 por semana que esta´ sendo coberto por contribuic¸o˜es
e doac¸o˜es.
1. Formule o problema de programac¸a˜o linear.
2. Resolva usando o Excel e interprete os resultados.
Exerc´ıcio 4.
Sudoku e´ um problema de lo´gica baseado na alocac¸a˜o de nu´meros em quebra-cabec¸a na forma de
matriz. O objetivo e´ preencher uma matriz 9× 9 com nu´meros de 1 a 9 de modo que cada coluna, cada
linha, e cada uma das nove 3× 3 sub-matrizes que compo˜em a matriz maior contenha todos os d´ıgitos de
1 a 9.
Considere um problema Sudoku de dimensa˜o 4 × 4, nesse caso temos para cada sub-matriz temos 2
linhas e 2 colunas. Visualmente, temos:
Figura 1: Exemplo de Sudoku.
Nesse problema temos que preencher os quadrados faltantes com nu´meros de 1 a 4, de modo que em
nenhuma linha ou coluna da matriz superior contenha nu´meros repetidos, ale´m do mais, cada sub-matriz
tambe´m na˜o deve possuir nu´meros repetidos. Formule o problema de programac¸a˜o linear para solucionar
o Sudoku 4× 4.
Exerc´ıcio 5.
A Call Master e´ uma empresa que fornece servic¸os de consultoria de “call center” para outras empresas.
Ela foi procurada recentemente pela Editora Julho com o seguinte problema: Os clientes que ligam para
o 0800 da editora esta˜o esperando em me´dia de 7 a 15 minutos para serem atendidos.
Esse tempo de espera e´ considerado extremamente longo pela empresa, que deseja promover um melhor
servic¸o aos seus clientes, atendendo-os em ate´ 5 minutos.
A empresa sabe que a soluc¸a˜o para atender aos clientes mais rapidamente e´ aumentar nu´mero de
atendentes por hora, pore´m ela gostaria de programar o trabalho de modo a torna´-lo eficiente ao menor
custo de pessoal poss´ıvel.
Sendo assim, o desafio da Call Master e´ definir qual e´ o nu´mero o´timo de atendentes que a Editora
Julho deve ter para que o prazo de espera de cada cliente na linha seja de no ma´ximo 5 minutos.
A tabela abaixo apresenta o nu´mero de telefonemas esperados por hora. Sabendo que cada turno de
trabalho dura 6 horas e o tempo me´dio de atendimento e´ de 12 minutos, ajude a Call Master a solucionar
o problema da Editora Julho.
Hora´rio Nu´mero de cha-
madas
Hora´rio Nu´mero de cha-
madas
0:00-1:00 100 12:00-13:00 310
1:00-2:00 60 13:00-14:00 370
2:00-3:00 30 14:00-15:00 402
3:00-4:00 40 15:00-16:00 450
4:00-5:00 90 16:00-17:00 400
5:00-6:00 105 17:00-18:00 411
6:00-7:00 190 18:00-19:00 360
7:00-8:00 230 19:00-20:00 315
8:00-9:00 290 20:00-21:00 285
9:00-10:00 335 21:00-22:00 250
10:00-11:00 270 22:00-23:00 200
11:00-12:00 299 23:00-24:00 150
1. Formule o problema de programac¸a˜o linear.
2. Resolva usando o Excel e interprete os resultados.
Exerc´ıcio 6.
Dr. Jose´ Motoserra, o administrador chefe no Hospital Descanse Bastante, tem de determinar um
hora´rio para auxiliares de enfermagem. Durante o dia, varia a necessidade de auxiliares de enfermagem
trabalhando.
O Dr. Motoserra dividiu o dia em 12 per´ıodos de duas horas. O per´ıodo mais calmo do dia ocorre 0:00
(meia noite) a 6:00h, que comec¸a a` meia noite requer um mı´nimo de 40, 30 e 40 auxiliares respectivamente.
A demanda para auxiliares de enfermagem aumenta continuamente durante os pro´ximos quatro
per´ıodos do dia, comec¸ando com o per´ıodo de 6:00 as 8:00h, um mı´nimo de 60,60, 70 e 80 auxiliares
para estes quatro per´ıodos, respectivamente.
Depois de 14:00h a demanda por auxiliares diminui ate´ o anoitecer. Para os cinco per´ıodos de duas
horas que comec¸am as 14:00h e termina a meia noite, sa˜o requeridos 80,70,70,60 e 50 auxiliares, respec-
tivamente.
Cada auxiliar de enfermagem se apresenta ao servic¸o no comec¸o de um dos per´ıodos relatados e
trabalha oito horas sucessivas. As auxiliares de enfermagem tem um sala´rio padronizado, mas quando
trabalham a noite (entre as 22:00 e 6:00h) ganham adicionais noturnos.
Cada duas horas trabalhadas a` noite acrescentam ao sala´rio base 25%. Ou seja, uma auxiliar de
enfermagem que comec¸a a trabalhar as 16:00h trabalha ate´ meia noite e ganha 25% a mais do seu sala´rio
e uma outra que comec¸a as 22:00h tem 100% a mais do seu sala´rio.
Para evitar que o sala´rio chegasse a dobrar, o administrador-chefe determinou que nenhuma auxiliar
comec¸asse exatamente as 22:00h.
Dr. Motoserra quer determinar um quadro de hora´rio para as auxiliares de enfermagem que satisfac¸a
a`s exigeˆncias mı´nimas do hospital ao longo do dia, minimizando a folha de pagamento do hospital.
1. Formule o problema de programac¸a˜o linear.
2. Resolva usando o Excel e interprete os resultados.
Exerc´ıcio 7.
Suponha que um determinado armaze´m possua capacidade de 200.000 toneladas de armazenamento
de gra˜os.
No in´ıcio do meˆs de janeiro esse armaze´m tinha 8.000 toneladas de gra˜os de trigo. Considerando que
em cada meˆs esse armaze´m pode comprar ou vender trigo a prec¸os prefixados pelo governo em qualquer
quantidade desejada, desde que sujeitas a`s restric¸o˜es de armazenagem e do estoque inicial do meˆs (vendas
ma´ximas no Mesi = saldo mesi−1), resolva o problema de maneira a maximizar o lucro da operac¸a˜o nos
pro´ximos 12 meses.
Os dados sa˜o dados pela tabela abaixo:
Meˆs Prec¸o de venda
(R$/t)
Prec¸o de compra
(R$/t)
Janeiro 3 8
Fevereiro 6 8
Marc¸o 8 2
Abril 2 3
Maio 4 4
Junho 5 3
Julho 6 3
Agosto 1 2
Setembro 3 5
Outubro 2 5
Novembro 3 3
Dezembro 3 3
O queremos descobrir e´ quanto devemos comprar e vender em cada meˆs.
1. Formule o problema de programac¸a˜o linear.
2. Resolva usando o Excel e interprete os resultados.
Exerc´ıcio 8.
Uma franquia da Empresa de Correios e Tele´grafos (ECT) deseja estabelecer o nu´mero de funciona´rios
de hora´riointegral que deve contratar para iniciar suas atividades.
Para fazeˆ-lo, recebeu uma tabela da ECT uma tabela com o nu´mero mı´nimo de funciona´rios por dia
da semana. Essas informac¸o˜es encontram-se na tabela abaixo:
Dia da semana Nu´mero de fun-
ciona´rios
Domingo 11
Segunda-Feira 18
Terc¸a-Feira 12
Quarta-Feira 15
Quinta-Feira 19
Sexta-Feira 14
Sa´bado 16
O sindicato dos empregados mante´m um acordo sindical que determina que cada empregado deve
trabalhar cinco dias consecutivos e folgar em seguida dois dias, as franquias devem tambe´m ter apenas
empregados com hora´rio integral. Desejamos formular o nu´mero total de empregados que a franquia deve
contratar e o nu´mero de empregados por dia.
1. Formule o problema de programac¸a˜o linear.
2. Resolva usando o Excel e interprete os resultados.
Exerc´ıcio 9.
Suponha que uma empresa fabrique treˆs produtos tais que os custos unita´rios para produzir os produtos
1, 2 e 3 sa˜o R$ 25, R$10 e R$ 15, respectivamente, e que os prec¸os necessa´rios (em reais) a fim de ser
capaz de vender x1, x2 e x3 as unidades sa˜o 35 + 100x−1/31 , 15 + 40x
−1/4
2 e 20 + 50x
−1/2
3 , respectivamente.
Formule um modelo de programac¸a˜o na˜o-linear para o problema de determinar quantas unidades de cada
produto, a empresa deve produzir para maximizar o lucro e resolva no Excel.
Exerc´ıcio 10.
Um corretor da bolsa, Joa˜o Rico, acaba de receber um telefonema de seu cliente mais importante, Ze´
Mane´, esse tem para investir R$ 50.000 e quer usa´-lo para comprar dois ativos.
O Banco 1 e´ um so´lido banco com um potencial de crescimento respeita´vel e pouco risco envolvido ja´
o Banco 2 e´ muito mais especulativo. Os dois bacos esta˜o sendo elogiado em dois boletins de investimento
como tendo potencial de crescimento excepcional, mas tambe´m sa˜o considerados muito arriscado.
Ze´ gostaria de um retorno grande em seu investimento, mas tambe´m tem um considera´vel aversa˜o ao
risco. Por isso, ele instruiu Joa˜o Rico a analisar o mix de investimentos dos dois ativos. O prec¸o do bloco
com 1000 ac¸o˜es para o banco 1 custa 20000 e para o banco 2 o lote com 1000 ac¸o˜es custa 30000.
Apo´s alguma pesquisa Joa˜o Rico (que foi aluno de MMQD) descobriu que o retorno esperado para o
banco 1 e´ de 5 reais por ac¸a˜o do banco 1 e 10 por ac¸a˜o do banco 2, ja´ a variaˆncia associada ao ativo 1 e´
de 4 reais2 e para o ativo 2 e´ de 100 reais2 a covariaˆncia entre os ativos e´ de 5.
Sem atribuir um valor nume´rico espec´ıfico para o mı´nimo retorno esperado aceita´vel, formule um
problema de programac¸a˜o na˜o-linear para este problema e resolva no Excel.