Movimento Unidimensional

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MOVIMENTO RETILÍNEO
Vamos estudar o ramo da mecânica que estuda o movimento sem levar em conta as causa do movimento: Este ramo da física é denominado CINEMÁTICA”
Serão analisado inicialmente os casos mais simples, considerando:
O movimento apenas em linha reta 
 movimento. vertical ou horizontal .
Descrição dos movimentos sem preocupação com as suas causas
 Não será discutidos massa ou força que atuam no corpo.
Serão considerados apenas objetos que possam ser representados por partículas: corpo muito pequeno ou quando não há rotações e complicações semelhantes. Su aposição é descrita por um único ponto.
Posição e Deslocamento:
A posição de uma partícula é determinada a partir de um ponto de referência, conhecida com origem, sendo observado o sentido positivo e negativo do eixo coordenado:
Velocidade ---------
Velocidade média:
Seja uma partícula se movendo no eixo x: Para tempo t1 a partículas está em x1 (ponto P) e para tempo t2 a partícula está em x2 (ponto Q) .
Seja a variação da posição, conhecida como deslocamento, dado por x2-x1 e representado por (x:
Analogamente o intervalo de tempo é dado por: 
.
A velocidade média é definida como a razão entre (x e (t, dado por:
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 
GRAFICAMENTE:
Exemplos:
Supondo que você esteja dirigindo um carro numa estrada reta e percorre 8,4 km a 70 km/h até que o carro para por falta de combustível. Então você caminha 2,0 km adiante até o posto mais próximo em 30 minutos.a) Qual é o seu deslocamento total desde a saída até a chegada ao posto?b) Qual o tempo gasto neste percurso? Qual sua velocidade média do instante inicial até a chegada ao posto de gasolina? 
Supondo que para comprar a gasolina e voltar ao carro você gaste mais de 45min. Qual é a velocidade média deste o inicio da viagem até você voltar ao carro?
3) Numa corrida de 100m, os primeiros 50m são cobertos com a velocidade média de 10m/s e os segundos 50m com a velocidade média de 8m/s. Qual a velocidade média do corredor sobre os 100m?
Velocidade instantânea: 
Velocidade instantânea é a velocidade de um corpo num instante determinado de tempo:
Para calcular a velocidade instantânea fazemos o ponto O se aproximar cada vez mais de P, que corresponde a intervalo cada vez menores de tempo.
No limite de (t
 definimos a velocidade instantânea como:
 
Aceleração
Aceleração média: 
Suponha que a velocidade de um corpo varia com o tempo. Quando isto aconteceu diz-se que o corpo sofre uma ACELERAÇÃO.
Definição: 
Para o corpo em movimento ao longo do eixo x, supõe-se que no tempo t1 ela esta no ponto P, com velocidade v1, e um tempo t2 ela está no ponto Q, com velocidade v2, a aceleração média,
, da partícula é definida como a razão entre a variação da velocidade pelo intervalo de tempo:
GRAFICAMENTE:
aceleração instantânea:
Analogamente à velocidade instantânea definimos a aceleração instantânea o limite da aceleração média o limite quando o ponto O se aproxima cada vez mais de P.
 
 
MOVIMENTO COM ACELERAÇÃO CONSTANTE:
:
 	O movimento mais simples de uma partícula que tenha aceleração é conhecido como movimento retilíneo uniformemente acelerado(variado).
Sua aceleração é constante.
Exemplo: - corpos em queda livre 
 - Carro freando (aproximadamente)
Equação de movimento
Se a aceleração é constante a aceleração média é igual a aceleração instantânea;
 
 a=
Supondo que: 
 
 e
 (Equação da velocidade)
Análise gráfica:
Equação da posição:
Como a velocidade varia linearmente, a velocidade média em qualquer intervalo de tempo:é a média aritmética entre a velocidade incial (
) e final (
), portanto:
Logo ( de acordo com o equação da velocidade)
Lembrando da definição de 
, temos:
 (equação do deslocamento) 
Essas duas são as equações fundamentais. Podemos ainda determina uma outra equação importante em que eliminamos o tempo.
 
 (equação de Torricelli)
OBS: Essas equações só valem para movimentos com aceleração constante .
Exemplos:
Um jumbo precisa atingir uma velocidade de 360 km/h para decolar. Supondo que a aceleração seja constante e que a pista de 1,8 km, qual o valor mínimo desta aceleração?
�
2) Um motorista dirige um carro a uma velocidade constante de 30 m/s, quando passo em frente a uma escola, onde a placa de limite de velocidade indica 10m/s. Neste instante, um policial que estava parado inicia uma perseguição a o motorista acelerando sua moto com aceleração constante de 3,0 m/s2. a) Qual o tempo que o policial leva para alcançar o motorista?b) Qual a velocidade do policial neste instante? c) Que distância cada veículo percorreu até este momento?
CORPOS EM QUEDA LIVRE:
A queda livre é o exemplo mais comum: de movimento retilíneo uniformemente variado.
Histórico: 
Aristóteles: corpos de massa maior caem mais rapidamente
Galileu: Dois corpos caem com o mesmo tempo (Torre de Pisa)
Exemplos:
Uma pena e esfera de ferro no vácuo.
 Esfera de ferro com tamanhos diferentes.
O Movimento em queda livre significa considerar:
Ausência da resistência do ar ( vácuo) 
Pouca variação na altura
Na queda livre todos os corpos caem com a mesma aceleração. Essa aceleração é chamada aceleração da gravidade, representada pela letra g . Ela é apontada para baixo e seu valor na superfície da terra vale 9,8 m/s²
Um corpo em queda livre é qualquer corpo que se mova livremente sob a ação exclusiva da gravidade, independente do seu movimento inicial. Corpos lançados para cima, para baixo, ou largados do repouso, estarão todos em queda livre.
Para estudar matematicamente esse movimento vamos considerar a direção vertical com y e escolher o sentido positivo o sentido “para cima”.
 Aceleração constante Queda Livre
 
 
 
Exemplos:
Um arremessador joga uma bola para cima com velocidade de 25 m/s. a)Quanto tempo a bola leva para chegar ao ponto máximo.b)Qual altura máxima atingida pela bola? c)Quanto tempo a bola leva para atingir uma altura de 25 m acima do ponto de lançamento. 
 
Um bloco é lançado para baixo, com uma velocidade de 10m/s, e cai num penhasco durante 3,1s até atingir o rio.a)Qual é a altura do penhasco?b)Qual é a velocidade do bloco imediatamente antes de tocar na água? 
Uma bola é lançada verticalmente para cima demora 2,25 s para chegar até a altura de 36,8 m. (a) Qual era a sua velocidade inicial? (b) Qual é a sua velocidade nesta altura. (c) Ate que altura a bola chega?
 Um elevador de construção vazio é sustentado por um cabo que quebra quando o elevador está parado no alto da construção de 120 m de altura. (a) Com que velocidade o elevador bate no solo? (b) Qual o tempo de queda? (c) Qual era a sua velocidade na metade do caminho de descida? (d) Qual o tempo de queda até a metade da descida?
Um balão sobe com velocidade de 1,2 m/s e, quando está a 80 m de altura, um pacote se desprende dele. (a) Em quanto tempo o pacote atinge o solo? (b) Com que velocidade o pacote chega ao solo? Qual é a altura máxima atingida pelo pacote?
No instante t = 0, uma pedra cai de um rochedo até as águas de um lago. Outra pedra é arremessadado mesmo rochedo 1,6 s depois da queda da primeira, com a velocidade inicial de 32 m/s. As duas pedras atingem a água no mesmo instante. Calcular a altura do rochedo
�
4 a Lista de Exercícios
Suponha que um desportista , correndo numa pista, cubra a distância de 1 milha em exatamente 4 minutos. Qual foi a sua velocidade média em (a) mi/h (b) km/h e (c) cm/s?
Lança-se uma bola verticalmente no ar. Qual é a sua aceleração no ponto mais alto da sua trajetória? 
Um corredor corre em linha reta, com velocidade média de 5,0 m/s, durante 4 min, e depois com a velocidade média de 4,0 m/s, durante 3 min. (a) Qual o deslocamento total? (b) Qual a sua velocidade média sobre todo o intervalo de tempo? R: a)1920m; b) 4,57m/s.
Calcule a sua velocidade média, nos seguintes casos: (a) Numa pista retilínea, você anda 72 m à velocidade de 1,2 m/s, depois corre 72 m a 3 m/s. (b) Na mesma pista, você caminha a 1,2 m/s, durante 1,0 min e depois corre a 3,0 m/s, durante 1,0 min.
R: a)1,71m/s. b) 2,1m/s
Em uma competição de bicicletas com percurso de 30km, você percore os primeiros 15 km com uma velocidade média de 12 km/h. Qual deve ser a sua velocidade média nos 15 km restantes para que sua velocidade média no percurso total de 30 km seja de a) 6km/h e b) 18km/h? R: a) 4km/h e b) 36,0km/h
Um avião, para aterrissar num navio aeródromo, dispõe de 70 m de pista. Se a velocidade inicial for de 60 m/s, (a) qual deve ser a aceleração na aterrissagem, admitindo-se seja constante? (b) Quanto tempo leva o avião até parar? R: -25,7m/s2; b)2,33s.
Um automóvel aumenta, uniformemente, sua velocidade de 25 para 55 km/h, em 0,50 min. Um ciclista acelera uniformemente do repouso até atingir 40 km/h em 0,50 min. Calcule suas acelerações. R: 0,278m/s2; 0,37 m/s2
O limite de velocidade em uma rodovia passa de 80 km/h para 100 km/h. Que tempo é economizado por quem viaje entre duas cidades, distantes 700 km uma da outra e ligadas por tal rodovia se passarmos a viajar com a velocidade maior?R: 1,75h
Um corpo parte do repouso e move-se em linha reta com aceleração constante, percorrendo uma distância de 20m em 4 s. (a) Qual a velocidade final? (b) Qual o tempo necessário para cobrir a metade da distancia? (c) Qual a distância percorrida na metade do tempo total? (d) Qual a velocidade quando o corpo atinge atingiu a metade da distância total? (e) Qual a velocidade quando o corpo na metade do tempo total?
(a) Com que velocidade uma bola deve ser lançada verticalmente para cima, de forma a alcançar a altura máxima de 50 m? (b) Quanto tempo ele ficará no ar? 
 R: a)31,3m; b)3,19s.
Um carro, com pneus em bom estado, é capaz de frear com uma desaceleração de 4,92 m/s² (supondo constante). (a) Viajando inicialmente a 24,6 m/s, em quanto tempo esse carro consegue parar? (b) Que distância percorre nesse tempo?
 R: a) 5s e b) 61,5m.
 Um vândalo joga uma pedra com velocidade inicial de 12m/s, verticalmente para baixo, do telhado de um prédio de 30,0 m de altura. (a) Em quanto tempo a pedra alcança o solo? (b) Qual a velocidade dela no instante do impacto?
R:a)1,54s; b)-27,1m/s
Um motorista de competição acelera o carro inicialmente em repouso, até a velocidade de 10 m/s numa pista de 400m. (a) Quanto tempo leva para percorrer a pista? (b) Qual a sua velocidade ao final de 200m? R: a)80s; b)7,07m/s 
Dois trens, em vias paralelas, estão inicialmente parados e a 40 m do outro. O trem da esquerda acelera para a direita a 1,4 m/s². O da direita acelera para a esquerda a 2,2 m/s². Que distância percorre o trem da esquerda até encontrar o outro?
R: 15,5 m
 Um objeto é largado de uma ponte a 45 m acima da água. O objeto cai dentro de um barco que se desloca com velocidade constante e estava a 12 m do ponto de impacto no instante em que o objeto foi solto. Qual é a velocidade do barco? R:3,96m/s
Um parafuso se desprende do piso de um elevador que está subindo com velocidade constante de 6m/s. O parafuso chega ao solo em 3s. (a) A que altura estava o elevador no instante em que o parafuso se desprendeu? (b) Qual a velocidade do parafuso ao atingir o solo? R: a) 26,1m; b) -23,4m/s
Uma bola é arremessada para cima com velocidade inicial de 20 m/s. (a) Quanto tempo fica a bola no ar? (b) Qual a maior altura atingida pela bola ?(c) Em que instante a bola está a 15 m de altura? 
R: a) 4,08s: b) 20.4m; c) 0,315s (subida) e 0,99s(descida)
Um tatu assustado salta para cima, subindo 0,544 m em 0,200 s. (a) Qual era sua velocidade inicial? (b) Qual a sua velocidade nessa altura? (c) Quanto ele ainda subirá?
R: a)3,7 m/s; b) 1,74m/s; c) 0,154m
Dois objetos caem da mesma altura em queda livre, com 1,0 s de intervalo. Quanto tempo os dois ficam separados por 10 m depois que o primeiro objeto cair?
R: a)1,52s
Uma bola de chumbo é deixada cair de um trampolim localizado a 5,20 m acima da superfície de um lago. A bola bate na água com uma certa velocidade e afunda com a mesma velocidade constante. Ela chega ao fundo 4,80 s após ter sido largado. (a) Qual é a profundidade do lago? (b) qual é a velocidade média da bola? (c) Suponha que toda a água do lago seja drenada. A bola é atirada do trampolim e, novamente, chega ao fundo 4,80 s depois. Qual é a velocidade inicial da bola?
R: a)38,1m; b)9,02m/s; c)14,5 m/s
Uma bola é lançada verticalmente para cima do topo de um edifício com uma velocidade de 10m/s. (a) qual será a velocidade depois de 3s? (b) Se a altura do edifício for 55m, em quantos segundos ela atinge o chão? (c) Qual a sua velocidade imediatamente antes de atingir o solo? R: a) -19,4m/s b) 4,52s c) -34,3 m/s
Um bloco é lançado verticalmente para cima e atinge uma altura máxima de 320m. a)Qual a sua velocidade inicial? (b) Quanto tempo leva o bloco para atingir a altura máxima? (c) Quanto tempo leva o bloco para atingir a altura de 200m? R: a) 79,2; b) 8,08s c) 3,13s
Uma bola é lançada verticalmente para baixo de uma altura de 59m com velocidade inicial de 21 m/s. (a) Qual a sua velocidade exatamente antes de atingir ao solo. (b) Que tempo ela necessita para ela atingir o solo. (c) Se a fosse jogada verticalmente para cima, da mesma altura e com a mesma velocidade inicial, quais seriam a resposta do iten (a) e (b) ? R: a)40,0m/s; b) 1,94s; c) 40,0 m/s e 6,23s.
Um foguete é lançado verticalmente e sobe com aceleração vertical constante de 20m/s2 durante 1,0 min. Seu combustível esgota-se ao fim desse tempo e o foguete continua a mover-se como uma partícula livre. (a) Qual a altitude máxima alcançada? (b) Qual o tempo total decorrido desde o disparo até que o foguete caia na Terra? R: 109km; 332s
-6 -5 –4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
x (m)
x2
x1
(x = x2 - x1
(x
P
Q
x
.
.
(x= x2-x1
(t = t2-t1
.
.
Q
(x
t1
(t
P
X1
 X2
x
t
t1
� EMBED Equation.3 ���
Coeficiente angular
� EMBED Equation.3 ���
 (derivada de x em relação a t)
� EMBED Equation.3 ���
(t
.
P
.
Q
(v
v1
v2
t1
t2
v
t
� EMBED Equation.3 ���
 
 ( Coeficiente Angular) 
(derivada de v em relação a t)
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
Tempo inicial
t1=0 , v1=v0
t2=t , v2= v
Tempo qualquer
t
.
t
v
v
vo
v-vo
t
v = vo+at� EMBED Equation.3 ��� reta
( y = mx+b)
a=� EMBED Equation.3 ���(inclinação)
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
 
 
 
 
 
 Considerar a 
 orientaçãopositiva 
 + para cima
 a=-g
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