PREPARA AV1 CALCULO VETORIAL

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Calculo Vetorial com 
Geometria Analítica 
Prof.: Robson Ferreira 
CONTEÚDO DESTA AULA 
Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
Apresentação e Vetores 
Álgebra de Vetores 
Produto e Ângulos de Vetores 
Equações da Reta 
Produto Misto 
Equações do Plano 
Adição de vetores 
Propriedades 
1. (comutativa). 
Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
Adição de vetores 
Propriedades 
1. (comutativa). 
Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
Adição de vetores 
Propriedades 
1. (comutativa). (associativa) 
Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
Adição de vetores 
Propriedades 
1. (comutativa). (associativa) 
Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
Adição de vetores 
Observe: 
Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
Adição de vetores 
Observe: 
Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
Adição de vetores 
Observe: 
Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
Adição de vetores 
Observe: 
Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
Adição de vetores 
Observe: 
Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
Adição de vetores 
Observe: 
Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
Adição de vetores 
Observe: 
Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
Adição de vetores 
Observe: 
Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
Adição de vetores 
Observe: 
Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
Adição de vetores 
Observe: 
Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
(elemento neutro) 
(elemento oposto) 
Propriedades 
Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
(elemento neutro) 
(elemento oposto) 
Indica-se: 
Propriedades 
Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
(elemento neutro) 
(elemento oposto) 
Indica-se: 
Observe 
que: 
Propriedades 
Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
(elemento neutro) 
(elemento oposto) 
Indica-se: 
Observe 
que: 
Propriedades 
Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
Atividade. 
Em cada item dado a seguir, determine o resultado da soma de vetores. 
Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
Atividade. 
Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
Em cada item dado a seguir, determine o resultado da soma de vetores. 
Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
Atividade. 
Em cada item dado a seguir, determine o resultado da soma de vetores. 
Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
Atividade. 
Em cada item dado a seguir, determine o resultado da soma de vetores. 
Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
Atividade. 
Em cada item dado a seguir, determine o resultado da soma de vetores. 
Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
Atividade. 
Em cada item dado a seguir, determine o resultado da soma de vetores. 
Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
Atividade. 
Em cada item dado a seguir, determine o resultado da soma de vetores. 
Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
Atividade. 
Em cada item dado a seguir, determine o resultado da soma de vetores. 
Produto de um número real por um vetor 
Definição 
Considere um número real a  0 e um vetor não nulo v. 
Chama-se produto de a por v um vetor w que satisfaz as condições dadas a 
seguir: 
2) A direção do vetor w é a mesma do vetor v. 
3) O sentido do vetor w é o mesmo do 
vetor v se a > 0 e contrário ao sentido do 
vetor v se a < 0. 
Se o número a for zero, ou o vetor v for nulo o produto de a por v é o vetor nulo. 
Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
Ilustração : 
Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
Produto Escalar 
Definição 
Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
Produto Escalar 
Definição 
Considere dois vetores não nulos e . 
Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
Produto Escalar 
Definição 
Considere dois vetores não nulos e . 
O produto escalar de por é o número real 
Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
Produto Escalar 
Propriedades 
Considere os vetores , e e seja t um número real. 
Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
Atividade: 
Determine o ângulo entre os vetores abaixo. 
 2,1,1u 

 2,1,0 v

 
vu
vu
v,ucos 

 

Lembre-se : 
Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
Exemplo 3: 
Determine o ângulo entre os vetores abaixo. 
Solução: 
     23
2
2
2
1 aaau 

 2,1,1u 

 2,1,0 v

Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
Exemplo 3: 
Determine o ângulo entre os vetores abaixo. 
Solução: 
     23
2
2
2
1 aaau 

     222 211u 

6
     222 210v 

5
 2,1,1u 

 2,1,0 v

Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
Exemplo 3: 
Determine o ângulo entre os vetores abaixo. 
Solução: 
 
vu
vu
v,ucos 

 
    
56
2,1,02,1,1



30
410 

30
5

     23
2
2
2
1 aaau 

     222 211u 

6
     222 210v 

5
 2,1,1u 

 2,1,0 v

Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
Exemplo 3: 
Determine o ângulo entre os vetores abaixo. 
Solução: 
 
vu
vu
v,ucos 

 
    
56
2,1,02,1,1



30
410 

30
5

 
30
5
arccosv,u 

     23
2
2
2
1 aaau 

     222 211u 

6
     222 210v 

5
 2,1,1u 

 2,1,0 v

Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
Produto Escalar 
Expressão cartesiana do produto escalar 
 Sejam e assim: 
Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
Produto Escalar 
Expressão cartesiana do produto escalar 
 Sejam e assim: 
Então: 
Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
Produto Escalar 
Expressão cartesiana do produto escalar 
 Sejam e assim: 
Então: 
Exemplos: 
a) 872).6()4.(123.9 
Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
Produto Escalar 
Expressão cartesiana do produto escalar 
 Sejam e assim: 
Então: 
Exemplos: 
a) 872).6()4.(123.9 
b) 26)6.(3)4.(23.0 
Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
Definição 
Sejam e vetores não colineares. 
O produto vetorial de por , indicado por , é um vetor tal que: 
vu


Produto Vetorial 
Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
Definição 
Sejam e vetores não colineares. 
)v,u(senvuvu1

 )
O produto vetorial de por , indicado por , é um vetor tal que: 
vu


Produto Vetorial 
Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
Definição 
Sejam e vetores não colineares. 
)v,u(senvuvu1

 )
O produto vetorial de por , indicado por , é um vetor tal que: 
vu


2) O vetor é ortogonal aos vetores e . 
vu

 u

v

Produto Vetorial 
Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
Definição 
Sejam e vetores não colineares. 
)v,u(senvuvu1

 )
O produto vetorial de por , indicado por , é um vetor tal que: 
vu


2) O vetor é ortogonal aos vetores e . 
vu

 u

v

Se e são vetores colineares então 
0vu

Produto Vetorial 
Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
Metodo prático para o cálculo do produto Vetorial: 
Produto Vetorial 
Produto Vetorial 
Interpretação geométrica do produto vetorial 
Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
Produto Vetorial 
Interpretação geométrica do produto vetorial 
 Considere o paralelogramo ABCD dado a seguir. 
 Lembre-se de que: 
alturabaserea(ABCD)á 
 Assim, você pode escrever: 
alturaABrea(ABCD)á 

Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
Produto Vetorial 
Interpretação geométrica do produto vetorial 
 Considere o paralelogramo ABCD dado a seguir. 
 Lembre-se de que: 
alturabaserea(ABCD)á 
 Assim, você pode escrever: 
alturaABrea(ABCD)á 

Observe que: 








AD
altura
AD,ABsen








AD,ABsenADaltura
Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
Produto Vetorial 
Interpretação geométrica do produto vetorial 
 Considere o paralelogramo ABCD dado a seguir. 
 Lembre-se de que: 
alturabaserea(ABCD)á 
 Assim, você pode escrever: 
alturaABrea(ABCD)á 

Observe que: 








AD
altura
AD,ABsen








AD,ABsenADaltura
Assim, 








AD,ABsenADABrea(ABCD)á 

 ADAB 
Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
Produto Vetorial 
Interpretação geométrica do produto vetorial 
 Considere o paralelogramo ABCD dado a seguir. 
 Lembre-se de que: 
alturabaserea(ABCD)á 
 Assim, você pode escrever: 
alturaABrea(ABCD)á 

Observe que: 








AD
altura
AD,ABsen








AD,ABsenADaltura
Assim, 








AD,ABsenADABrea(ABCD)á 

 ADAB 
Além disso, 
2
|ADAB|
rea(ABC)á 



2
|ACAB|



Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
Produto Vetorial 
Interpretação geométrica do produto vetorial 
 Considere o paralelogramo ABCD dado a seguir. 
 Lembre-se de que: 
alturabaserea(ABCD)á 
 Assim, você pode escrever: 
alturaABrea(ABCD)á 

Observe que: 








AD
altura
AD,ABsen








AD,ABsenADaltura
Assim, 








AD,ABsenADABrea(ABCD)á 

 ADAB 
Além disso, 
2
|ADAB|
rea(ABC)á 



2
|ACAB|



Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
Produto Vetorial 
Atividade 1: 
Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
Vamos determinar o produto vetorial 
Definição 
Sejam , e vetores quaisquer. u v w
O produto misto de , e , indicado por é o número real   wvu  u v w  w,v,u 
Notação: 
    wvuw,v,u


Produto Misto 
 
321
321
321
ccc
bbb
aaa
w,v,u 

Expressão cartesiana do produto misto 
Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
Produto Misto 
Atividade: 
Determine o produto misto dos vetores u, v e w, dados a seguir:      1,3,2 e 2,0,1v ,1,3,1  wu

Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
Produto Misto 
Atividade: 
Determine o produto misto dos vetores u, v e w, dados a seguir:      1,3,2 e 2,0,1v ,1,3,1  wu

 
132
102
131
w,v,u




32
02
31
  660w,v,u 

 630  3
Solução: 
Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
Interpretação geométrica do produto misto 
altura SV base 
Considere o paralelepípedo de arestas AB, AD e AE. 
O volume desse paralelepípedo pode ser calculado 
pela fórmula: 
Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
Interpretação geométrica do produto misto 
 Considere a base ABCD e lembre-se de que a área 
dessa base pode ser determinada como: 

 ADABSbase
Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
Interpretação geométrica do produto misto 
 Considere a base ABCD e lembre-se de que a área 
dessa base pode ser determinada como: 

 ADABSbase
Agora observe a altura h em relação a essa base. 
Essa altura h é o módulo da projeção do vetor AE na direção do produto 
 , ou seja, wADAB  
Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
Interpretação geométrica do produto misto 

 AEwprojh  





 

wwAE

)cos(.AE 

 Então, 
altura SV base 

 ADAB )cos(.AE 
 






 AEADAB








AE,AD,ABV
Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
I - Equação vetorial 
Equações da reta 
Para determinar uma equação vetorial de uma reta r, 
você deverá ter: 
 Um ponto dessa reta. 
 Um vetor não nulo na direção da reta. 
Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
Para determinar uma equação vetorial de uma reta r, 
você deverá ter: 
 Um ponto dessa reta. 
 Um vetor não nulo na direção da reta. 
Considere então a reta r determinada pelos pontos A e B. 
Se P é um ponto qualquer da reta r então: 

 ABtAP
Assim, você pode escrever: 

 ABtAP
equação vetorial da reta r 
I - Equação vetorial 
Equações da reta 
Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
Atividade1: 
Determine uma equação vetorial da reta AB, sabendo que 
A(2,-1,0) e B(0,-1,3). 
I - Equação vetorial 
Equações da reta 
Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
Atividade1: 
Determine uma equação vetorial da reta AB, sabendo que 
A(2,-1,0) e B(0,-1,3). 
Solução: 
)3,0,2(ABvr 
 Rb , )3,0,2()0,1,2( :  tPr
I - Equação vetorial 
Equações da reta 
Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
Atividade 2 
Considere a reta r dada a seguir, e faça o que se pede. 
Rt , )2,0,2(t)0,1,2(X :r 
I - Equação vetorial 
Equações da reta 
Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
Atividade 2 
Considere a reta r dada a seguir, e faça o que se pede. 
a) Verifique se os pontos A(-2,-1,4) e B(1,0,2) pertencem à reta r. 
Solução: 
Para que um ponto pertença à reta r, ao substituir as coordenadas desse ponto 
na equação vetorial de r, você obtém um único valor para o parâmetro t. 
Rt , )2,0,2(t)0,1,2(X :r 
I - Equação vetorial 
Equações da reta 
Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
Atividade 2 
Considere a reta r dada a seguir, e faça o que se pede. 
a) Verifique se os pontos A(-2,-1,4) e B(1,0,2) pertencem à reta r. 
Solução: 
Para que um ponto pertença à reta r, ao substituir as coordenadas desse ponto 
na equação vetorial de r, você obtém um único valor para o parâmetro t. 
Assim, 
Daí, o ponto A pertence à reta r. 
Rt , )2,0,2(t)0,1,2(X :r 
  )2,0,2(t)0,1,2(2,-1,4-    )t2,0,t2()0,1,2(2,-1,4-    )t2,1,t22(4,1,-2- 
 
2t2t4
1-1-
2tt222-








I - Equação vetorial 
Equações da reta 
Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
Atividade 2 
Considere a reta r dada a seguir, e faça o que se pede. 
a) Verifique se os pontos A(-2,-1,4) e B(1,0,2) pertencem à reta r. 
Solução: 
Verificando se o ponto B pertence à reta r. 
Rt , )2,0,2(t)0,1,2(X :r 
  )2,0,2(t)0,1,2(1,0,2    )t2,1,t22(2,0,1 
 
1t2t2
(F) 1-0
21tt221








Daí, o ponto B não pertence à reta r. 
I - Equação vetorial 
Equações da reta 
Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
1. Equação vetorial 
Equações do plano 
Um dos axiomasda Geometria garante que três pontos não colineares 
determinam um único plano. 
Considere então os pontos A, B e C, não colineares e seja  o plano 
determinado por esses pontos. 
Então, um ponto P é ponto do plano  se, só se os vetores AB, BC e AP 
são coplanares. 

 BChABtAPDaí, você pode escrever: 
equação vetorial do plano . 

 BChABtAP
Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
1. Equação vetorial 
Equações do plano 
Um dos axiomas da Geometria garante que três pontos não colineares 
determinam um único plano. 
Considere então os pontos A, B e C, não colineares e seja  o plano 
determinado por esses pontos. 
Então, um ponto P é ponto do plano  se, só se os vetores AB, BC e AP 
são coplanares. 

 BChABtAPDaí, você pode escrever: 
equação vetorial do plano . 

 BChABtAP
Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
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1. Equação vetorial 
Equações do plano 
Um dos axiomas da Geometria garante que três pontos não colineares 
determinam um único plano. 
Considere então os pontos A, B e C, não colineares e seja  o plano 
determinado por esses pontos. 
Então, um ponto P é ponto do plano  se, só se os vetores AB, BC e AP 
são coplanares. 

 BChABtAPDaí, você pode escrever: 
equação vetorial do plano . 

 BChABtAP
Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
1. Equação vetorial 
Equações do plano 
Assim, para determinar uma equação vetorial de um plano , você 
deverá ter: 
 Um ponto desse plano. 
 Dois vetores LI com representantes nesse plano. 
Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
1. Equação vetorial 
Equações do plano 
Assim, para determinar uma equação vetorial de um plano , você 
deverá ter: 
 Um ponto desse plano. 
 Dois vetores LI com representantes nesse plano. 
Atividade 1 
Determine uma equação vetorial plano ABC, sabendo que A(2,-1,0), B(0,-1,3) 
e C(0,2,3). 
Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
1. Equação vetorial 
Equações do plano 
Assim, para determinar uma equação vetorial de um plano , você 
deverá ter: 
 Um ponto desse plano. 
 Dois vetores LI com representantes nesse plano. 
Atividade 1 
Determine uma equação vetorial plano ABC, sabendo que A(2,-1,0), B(0,-1,3) 
e C(0,2,3). 
Solução: 
)3,0,2(ABv1 
 )0,3,0(BCv2 

  Rh e t , 0,3,0h)3,0,2(t)0,1,2(P : 
Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
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1. Equação vetorial 
Equações do plano 
Determine uma equação geral do plano  sabendo que esse plano é 
perpendicular à reta r dada a seguir e que passa pelo ponto A(0,0,0). 
z2y
2
x
 :r 
Atividade 2 
Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
Calculo Vetorial com Geometria Analítica 
1. Equação vetorial 
Equações do plano 
Determine uma equação geral do plano  sabendo que esse plano é 
perpendicular à reta r dada a seguir e que passa pelo ponto A(0,0,0). 
z2y
2
x
 :r 
Atividade 2 
Solução: 
Observe que se uma reta é perpendicular a um plano o 
vetor direção da reta é um vetor normal ao plano. 
Assim, 
 1,1,2vn r 

Daí, 
0dzyx2 
Substituindo o ponto A(0,0,0) nessa equação você 
obtém, 
0d000.2  0d 
Logo a equação geral do plano  será: 
0zyx2: 
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