lista2 - métodos iterativos

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Lista de Exerc´ıcios no2
1. Localize, graficamente, as raizes das equac¸o˜es abaixo:
(a) ex − x2 + 3x− 2 = 0;
(b) x2 − 1− sen x = 0;
(c) 2x − 3x = 0.
(d) 2 ln (x) + 0.4x− 2 = 0.
2. Seja xi+1 = g(xi) um me´todo iterativo para obter aproximac¸o˜es para uma raiz da equac¸a˜o
f(x) = 0.
(a) Sabendo-se que f(x) = 0 tem uma raiz no intervalo (1.5, 2.5), quais dos me´todos ite-
rativos abaixo convergira˜o para essa raiz? Justifique analiticamente sua resposta.
• xi+1 = x2i − 2 ;
• xi+1 =
√
2 + xi ;
• xi+1 = 1 + 2
xi
.
(b) Dado x0 > 2, escolha adequadamente um dos me´todos dados acima e determine, grafi-
camente, x1 e x2.
3. Sabe-se que a equac¸a˜o cos(x)− e−x = 0 tem uma raiz x¯ no intervalo (1.1, 1.5).
(a) Verifique este fato graficamente.
(b) Calcule o nu´mero de iterac¸o˜es necessa´rias para se obter uma aproximac¸a˜o para x¯, com
precisa˜o ε = 10−3, pelo me´todo da bissecc¸a˜o ;
(c) Use o Me´todo da Bissecc¸a˜o e determine um intervalo de comprimento ≤ 0.1 que con-
tenha x¯.
(d) Tome os extremos deste intervalo como aproximac¸o˜es iniciais para o Me´todo da Secante
e calcule uma aproximac¸a˜o para a raiz x¯ com erro < 10−3 . Use, pelo menos, 6 d´ıgitos
significativos.
4. Seja p(x) = x3 − 2x− 1 = 0.
a) Determine um intervalo que contenha a raiz positiva de p(x);
b) Use o me´todo da Posic¸a˜o Falsa para calcular uma aproximac¸a˜o inicial para o me´todo de
Newton com precisa˜o ε ≤ 0.1.
c) Calcule a raiz positiva de p(x), pelo me´todo de Newton com ε ≤ 10−2.
5. Calcule o zero de f(x) = x3 − 5 que esta´ no intervalo [1.5, 2], pelo me´todo da Secante, ate´
que |f(xi)| < 10−2.
6. Seja f(x) = ex − 4x2 e x¯ sua raiz no intervalo (0, 1). Tomando x0 = 0.5, encontre x¯ com
erro < 10−3, usando:
(a) o MPF com a func¸a˜o de iterac¸a˜o g(x) = 1
2
ex/2;
(b) o me´todo de Newton.
Compare a rapidez de convergeˆncia.
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7. Seja f(x) = x e−x − e−3.
(a) Verifique, gra´fica e analiticamente, que f(x) possui um zero no intervalo (0, 1);
(b) Justifique teoricamente o comportamento da sequencia xk colocada a seguir, gerada
pelo me´todo de Newton para o ca´lculo do zero de f(x) em (0, 1), com x0 = 0.9 e
precisa˜o ε = 5× 10−6.
x0 = +0.9 x5 = −3.4962 x10 = −0.3041
x1 = −6.8754 x6 = −2.7182 x11 = +0.0427
x2 = −6.0024 x7 = −1.9863 x12 = +0.0440
x3 = −5.1452 x8 = −1.3189 x13 = +0.0480
x4 = −4.3079 x9 = −0.7444
8. Dado o polinoˆmio p(x) = x3 − 8x2 + 17x− 10:
(a) Usando a Regra de Sinais de Descartes, analisar o nu´mero de ra´ızes reais de p(x) = 0;
(b) Determinar a raiz que esta´ pro´xima a x = 3 pelo Me´todo de Newton. Usando o teorema
de Horner, determinar as outras raizes.
9. Considere o seguinte polinoˆmio
p(x) = x4 − 5x3 + 6x2 + 4x− 8
Partindo de x0 = 0.5, calcule a aproximac¸a˜o x3 de uma raiz x¯, pelo me´todo de Newton e
usando o algoritmo de Briot-Ruffini-Horner. Fac¸a os ca´lculos retendo 4 casas decimais e
usando arredondamento no corte dos d´ıgitos.
10. Determinar a regia˜o circular que conte´m todas as raizes da equac¸a˜o 3x5−x4−x3+x+1 = 0.
11. Uma bo´ia esfe´rica de raio R e densidade espec´ıfica ρ, ao flutuar na a´gua, afunda de uma
quantidade x, dada por x3 + 2Rx − 4ρR3 = 0. Achar o afundamento quando R = 3 e o
material e´ cortic¸a (ρ = 0.25).
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