Revisao Conceitos MecSol1

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Revisão de conceitos: mecânica dos sólidos
Projeto Mecânico
Engenharia Mecânica
Sumário
Carregamento axial
Torção pura
Vigas sob flexão pura
Cisalhamento na flexão
Cisalhamento puro
Flexão em dois planos
Cisalhamento em vigas de seção padronizada
Carregamento axial
Pode ser identificado quando um corpo é submetido a um par de forças colineares e que atuam na linha que contém o centróide (NORTON, 2013).
Na figura ao lado, pode-se verificar que a barra está carregada axialmente em virtude da aplicação de esforços colineares e que atuam na linha do centróide.
Fonte: NORTON, 2013.
Carregamento axial
Considerando que o elemento seja homogêneo e isotrópico, e que seção transversal do mesmo é constante, para um carregamento estático tem-se:
Deslocamento:
Tensão normal: 
Fonte: NORTON, 2013.
Carregamento axial
Assumindo as mesmas hipóteses anteriores e considerando que o membro carregado axialmente seja estaticamente indeterminado, pode-se escrever:
Lembrando-se que:
Fonte: HIBBELER, 2010.
Carregamento axial
Para encontrar as reações, tem-se:
Aplicando um balanço de forças na direção vertical (positivo para cima), tem-se:
Fonte: HIBBELER, 2010.
Carregamento axial
Relacionando as expressões anteriores, tem-se:
Fonte: HIBBELER, 2010.
Carregamento axial
Tensões axiais térmicas: em virtude da característica de expansão e contração de um material submetido a dada diferença de temperaturas, pode-se escrever:
Onde a variável α é denominada coeficiente de dilatação térmica unidirecional.
Fonte: HIBBELER, 2010.
Carregamento axial
Observando que o deslocamento imposto pela expansão/contração do material é anulado pelo efeito contrário ocasionado pelas reações de apoio, tem-se:
Fonte: HIBBELER, 2010.
Carregamento axial
Suponha que o elemento seja estaticamente indeterminado e esteja sujeito a uma diferença de temperaturas. Substituindo cada parcela do deslocamento, tem-se:
Fonte: HIBBELER, 2010.
Carregamento axial
Exemplo: a barra rígida mostrada na figura está presa no topo dos três postes feitos de aço A-36 e alumínio 2014-T6. Cada poste tem comprimento de 250 mm quando não há carga aplicada sobre a barra e a temperatura é T1 = 20ºC. Determinar a força suportada em cada poste se a barra estiver submetida a uma carga uniforme distribuída de 150 kN/m e a temperatura for aumentada para T2 = 80ºC.
Carregamento axial
Resolução: determinando a força equivalente do carregamento distribuído e aplicando um balanço de forças na direção vertical (positivo para cima), temos:
Carregamento axial
Os postes estão simetricamente posicionados e a força equivalente está posicionada no centro. Considerando que eles são estaticamente indeterminados, tem-se:
Portanto, os três postes irão sofrer os mesmos deslocamentos verticais por estarem presos ao solo e a barra. 
Fonte: HIBBELER, 2010.
Carregamento axial
Considerando que deslocamentos positivos na direção vertical acontecem para baixo e analisando os postes em função do tipo de material que os compõe, tem-se:
O deslocamento final para ambos é a somatória do efeito térmico com o efeito das reações de apoio.
Fonte: HIBBELER, 2010.
Carregamento axial
Observando que o deslocamento para os postes é o mesmo e usando as expressões anteriores, tem-se:
Substituindo cada formulação do deslocamento, tem-se:
Carregamento axial
Rearranjo a expressão, tem-se:
Sabendo que o comprimento inicial de todas as barras é igual, tem-se:
Carregamento axial
Isolando-se a carga P que surge na barra de aço, tem-se:
Carregamento axial
Substituindo as informações dadas no enunciado e encontrando o módulo de elasticidade e o coeficiente de expansão do aço e alumínio, tem-se:
Carregamento axial
Recorrendo a equação de equilíbrio de forças na direção vertical e resolvendo em conjunto com a equação anterior, tem-se:
Logo:
Carregamento axial
Analisando o resultado em conjunto com a figura, pode-se inferir que os postes de aço estão sob tração e o poste de alumínio está sob compressão. Isto ocorre porque a barra rígida impede que eles se expandam livremente e, dessa forma, a força equivalente causa maior impedimento de expansão ao poste de alumínio que se encontra posicionado no centro.
Torção pura
A torção ocorre quando um dado elemento, solicitado por um momento externo, tende a girar em torno o eixo de simetria da seção transversal. Caso o elemento esteja engastado em uma das extremidades ou transmitindo potência por meio de um elemento de transmissão, estará submetido a tensões cisalhantes que se distribuem ao longo da seção transversal.
Fonte: NORTON, 2013.
Torção pura
Considerando as seções transversais circulares maciça e anelar (ou vazado), o momento polar de inércia (J) muda em função da distribuição de massa em torno do centro da seção. Neste caso, a distância do centro a periferia é denominada c. 
Torção pura
Supondo que um elemento de seção circular maciça seja utilizado para transmitir potência, pode-se estimar o raio (diâmetro) da seção em função da potência transmitida e de uma tensão cisalhante admissível.
Torção pura
Supondo que um elemento de seção circular maciça seja utilizado para transmitir potência, pode-se estimar o raio (diâmetro) da seção em função da potência transmitida e de uma tensão cisalhante admissível.
Torção pura
Uma eixo submetido a diferentes torques pode sofrer uma deformação angular (cisalhante) na seção transversal. Supondo que este elemento esteja engastado em uma das extremidades, tem-se:
Torção pura
Analisando os cortes:
Corte AB:
Corte AC:
Corte DC:
Fonte: Hibbeler (2010).
Torção pura
Lembrando-se da regra da mão direita, quando o polegar aponta para “fora” do eixo o torque interno é positivo, de modo contrário, quando aponta para “dentro” do eixo é negativo. Assim, tem-se:
Fonte: Hibbeler (2010).
Torção pura
Fonte: Hibbeler (2010).
Torção pura
Exemplo: uma árvore de transmissão de seção circular e cuja tensão cisalhante admissível é 35 MPa transmite 5 kW de potência a 575 rpm. Considerando apenas a torção nesta árvore, determine o diâmetro mínimo para que suporte os esforços requeridos.
5000 W
575 rpm
Torção pura
Resolução:
5000 W
575 rpm
Vigas sob flexão pura
Suponha uma viga bi apoiada, submetida a dois esforços verticais P simetricamente posicionados. Considerando que a viga tenha seção transversal constante, tem-se:
Vigas sob flexão pura
As solicitações externas, neste caso as duas cargas verticais com valor P, provocam o surgimento de esforços internos. Tais esforços são denominados força cortante (V) e momento fletor (M). O momento fletor M faz com a viga sofra uma flexão e, dessa forma, tem-se:
Fonte: NORTON, 2013.
Vigas sob flexão pura
Sob ação do momento fletor M a viga é flexionada e tende a se curvar, surgem tensões normais que atuam na seção transversal se distribuindo ao longo da mesma.
Fonte: NORTON, 2013.
Vigas sob flexão pura
As tensões normais máximas ocorrem nas extremidades verticais da seção transversal do elemento estrutural. Estas tensões são denominadas tensões normais de flexão e são estimadas por:
Vigas sob flexão pura
Por uma questão de convenção de sinais, quando a curvatura tem concavidade para cima, as fibras superiores ficam sob compressão e as inferiores sob tração. A expressão, então, é:
Vigas sob flexão pura
Exemplo 6.15 (Hibbeler): a viga simplesmente apoiada mostrada na figura tem a área de seção transversal ilustrada abaixo. Determine a tensão de flexão máxima absoluta na viga e represente a distribuição de tensão na seção transversal.
Fonte: Hibbeler, (2010).
Vigas sob flexão pura
Resolução:
Estudo da seção transversal: nota-se quea seção transversal da viga em estudo é semelhante a um “I” e, portanto, é denominada perfil I.
Note que as duas abas, inferior e superior, têm as mesmas dimensões e estão unidas a alma. Fica claro que a linha neutra (NA) ficará na metade da dimensão vertical, ou seja, 170 mm acima da aba inferior (ou 170 mm abaixo da aba superior). A distribuição de massa pode ser considerada igual abaixo e acima da linha NA onde está localizado ponto C (centróide).
Vigas sob flexão pura
Resolução:
O cálculo do momento de inércia vai depender dos três retângulos que compõe a seção transversal e, portanto, podemos utilizar o Teorema dos Eixos Paralelos.
Distância entre centróides
Vigas sob flexão pura
Resolução:
Agora devemos determinar o comportamento do momento fletor ao longo do comprimento da viga.
Pelo gráfico obtido (via método das seções), nota-se que na posição 3,0 m ocorre o máximo momento fletor.
Vigas sob flexão pura
Resolução:
No ponto C, não há tensão alguma devido à linha neutra. Já o ponto B, localizado 150 mm acima da linha NA, há tensão normal de flexão e, por fim, a máxima tensão de flexão ocorre nas abas da viga. Aplicando a expressão da flexão, temos:
Vigas sob flexão pura
Resolução:
Note que foram encontrados os valores absolutos de tensão. Deve-se também observar que, para este caso, a posição 3,0 é a posição cujas tensões normais são máximas.
Vigas sob flexão pura
Resolução:
Note que foram encontrados os valores absolutos de tensão. Deve-se também observar que, para este caso, a posição 3,0 é a posição cujas tensões normais são máximas.
Cisalhamento na flexão
Em vigas apoiadas é comum a atuação combinada da força cortante V e do momento fletor M na seção transversal em uma dada posição ao longo do comprimento da mesma.
Cisalhamento na flexão
Ao analisar a seção transversal no ponto A, se observa que a esquerda do corte a tensão normal é menor que a direta em virtude do comportamento linear do momento fletor. 
Cisalhamento na flexão
A força cortante resultará em um esforço tangencial a seção transversal e que provoca uma tensão de cisalhamento. Então, em uma dada posição ao longo da viga, pode estimar a tensão normal gerada pelo momento fletor e a tensão cisalhante gerada pela força cortante.
Cisalhamento na flexão
Supondo a atuação da força cortante sobre a seção transversal em uma dada posição da viga, pode-se escrever:
Onde:
V: força cortante que atua na seção (N)
Q: momento de área (m³)
I: momento de inércia da seção (m⁴)
b: espessura do seção (m)
Cisalhamento na flexão
Para determinação do momento de área Q, utiliza-se a seguinte expressão:
Onde:
A’: área acima da posição y em análise (m²)
y’: distância entre o centróide da seção transversal e o centróide de A’ (m)
Cisalhamento na flexão
Observando que o momento de área depende da posição em relação a linha neutra da seção transversal, pode-se inferir que as máximas tensões cisalhantes ocorrem no centro e as tensões nulas ocorrem nas extremidades verticais.
Cisalhamento na flexão
Observando que o momento de área depende da posição em relação a linha neutra da seção transversal, pode-se inferir que as máximas tensões cisalhantes ocorrem no centro e as tensões nulas ocorrem nas extremidades verticais.
Cisalhamento na flexão
Exemplo: a viga simplesmente apoiada mostrada na figura tem a área de seção transversal ilustrada abaixo. Determine a tensão de cisalhamento máxima absoluta na viga.
Fonte: Hibbeler, (2010).
y
z
250 mm
125 mm
Cisalhamento na flexão
Resolução: primeiramente, calcula-se as reações de apoio, após determina-se os diagramas de força cortante e momento fletor, exibidos a seguir.
Cisalhamento na flexão
Cisalhamento na flexão
Cisalhamento na flexão
Como se pretende determinar a tensão de cisalhamento máxima que ocorre na viga, deve-se observar que as posições onde a força cortante é máxima são as extremidades apoiadas. Analisando a seção transversal pelo momento de área, tem-se:
z
250 mm
125 mm
y’
Cisalhamento na flexão
Como a seção transversal é retangular, o momento de inércia Iz da mesma é calculado por:
z
250 mm
125 mm
y
Cisalhamento na flexão
As tensões cisalhante máximas ocorrem no centro da seção transversal e, para este caso, nas extremidades apoiadas da viga. De posse do valor da força cortante máxima, tem-se:
z
250 mm
125 mm
y
Cisalhamento na flexão
A título de comparação, se for calculada a tensão normal de flexão máxima que ocorre na viga, tem-se:
z
250 mm
125 mm
y
Cisalhamento na flexão
Portanto, verifica-se que a tensão normal de flexão é superior a tensão cisalhante e ocorre na posição x = 3,0m. A tensão de cisalhamento máxima, inferior à tensão normal, ocorre nas extremidades, ou seja, x = 0m ou x = 6,0m.
Cisalhamento puro
O cisalhamento puro ocorre quando uma força atua tangencialmente a seção transversal de um elemento, não havendo flexão. Assim, todo o esforço externo é empregado para gerar uma força cortante que atuará na seção no sentido de cisalhar a mesma.
Cisalhamento puro
O cisalhamento duplo ocorre quando, por exemplo, um pino prende dois elementos que são tracionados por uma força P. Esta força se divide igualmente entre as duas extremidades que possuem, por hipótese, a mesma área. Supondo um pino de seção transversal circular, tem-se:
Cisalhamento puro
Exemplo: a junta mostrada abaixo é solicitada por uma força axial de 5 kN e está unida por um pino cujo diâmetro é 25 mm. Com base no esquema mostrado, determine a tensão normal nas hastes circulares e a tensão de cisalhamento no pino da união.
Fonte: Hibbeler, (2010).
Cisalhamento puro
Resolução: determinando as tensões normais nas hastes circulares.
Fonte: Hibbeler, (2010).
Cisalhamento puro
Resolução: determinando as tensões normais nas hastes circulares.
Fonte: Hibbeler, (2010).
Flexão em dois planos
Segundo Budynas (2011) a flexão em uma viga pode ocorrer em dois planos, ou seja, XY e XZ. A figura abaixo exemplifica esta ocorrência:
Flexão em dois planos
Exemplo: a viga abaixo ilustrada tem 0,2 m de comprimento na direção x e está solicitada por um carregamento distribuído no plano XY e uma carga pontual no plano XZ. Determine a tensão normal causada por ambos esforços.
Flexão em dois planos
Resolução: primeiro se determina o diagrama do momento fletor para ambos os planos analisados. No plano ZX tem-se:
Flexão em dois planos
Resolução: primeiro se determina o diagrama do momento fletor para ambos os planos analisados. No plano XY tem-se:
Flexão em dois planos
Verifica-se que, como a viga está engastada, os maiores momentos fletores ocorrem na posição x = 0m, que corresponde ao ponto O.
Flexão em dois planos
Para determinar o momento de inércia, deve-se observar o eixo em torno do qual a viga tende a girar em função do esforço aplicado. 
z
40 mm
20 mm
y
Flexão em dois planos
Deve-se determinar a tensão normal nos pontos A e B mostrado abaixo e posicionados na seção transversal retangular. Ambos os pontos estão posicionados em x = 0 m.
z
40 mm
20 mm
y
A
B
Flexão em dois planos
z
40 mm
20 mm
y
A
B
Flexão em dois planos
Ainda segundo Budynas (2011) quando o elemento estrutural estiver engastado e possuir seção transversal circular a expressão da tensão normal de flexão fica:
Flexão em dois planos
Exemplo: considere o exemplo anterior e as mesmas dimensões e carregamentos. Substitua a seção transversal retangular por uma circular com diâmetro de 30 mm e determine a tensão normal de flexão na posição x = 0 m.
Cisalhamento em vigas de seção padronizada
Segundo Budynas (2011) algumas vigas de seção padronizada tem a expressão da tensão de cisalhamento deduzida e tabela, conforme figura abaixo.
Fonte: BUDYNAS, 2011.
Cisalhamento em vigas de seção padronizada
Relembrando que a tensão normal de flexão máxima ocorre nos extremos verticais da seção transversal, ao passoque a tensão de cisalhamento máxima ocorre na linha neutra da seção.
Fonte: BUDYNAS, 2011.
Propriedades das seções transversais
Momento de inércia de algumas seções transversais
Fonte: NORTON, 2013.
Propriedades das seções transversais
Momento de inércia de algumas seções transversais
Fonte: NORTON, 2013.
Propriedades das seções transversais
Momento de inércia de algumas seções transversais
Fonte: NORTON, 2013.
Referência bibliográficas
BUDYNAS, Richard G.; NISBETT, J. Keith. Elementos de
máquinas de shigley: projeto de engenharia mecânica. 8. ed.
Porto Alegre: Mcgraw-Hill, 2011.
NORTON, Robert L. Projeto de máquinas: uma abordagem
integrada. 4. ed. Porto Alegre: Bookman, 2013.
HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 7. ed. São
Paulo: Pearson, 2010.