Aula 5 medidas de posição e dispersão não agrupados 2017

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1 
 
MEDIDAS DE 
TENDÊNCIA CENTRAL, 
POSIÇÃO E DISPERSÃO 
 
 
 
2 
QUALITATIVA 
QUANTITATIVA 
NOMINAL 
ORDINAL 
CONTÍNUA 
DISCRETA 
peso, altura, salário, idade 
número de filhos, número de carros 
sexo, cor dos olhos 
classe social, grau de instrução 
Variável: 
Qualquer característica associada a uma população. 
Classificação das variáveis: 
3 
Variáveis Quantitativas 
MEDIDAS DE POSIÇÃO; 
 MEDIDAS DE VARIABILIDADE OU DISPERSÃO; 
 MEDIDAS DE ASSIMETRIA . 
ELEMENTOS TÍPICOS DA DISTRIBUIÇÃO DE 
DADOS 
4 
Variáveis Quantitativas 
- As outras medidas de posição são as 
SEPARATRIZES, que englobam: a própria 
MEDIANA, os QUARTIS e os PERCENTIS. 
- As mais importantes são as MEDIDAS DE 
TENDÊNCIA CENTRAL, pois os dados 
observados tendem, e geral, a se agrupar em torno 
de valores centrais: MÉDIA, MEDIANA E MODA. 
MEDIDAS DE POSIÇÃO: 
5 
n
x
n
xxxx
x
n
i
i
n



 1321
...
•Média: 
Dados: 2, 5, 3, 7, 8 
5
5
87352


x
x – média aritmética 
Xi – os valores da variável 
n- o número de valores 
6 
• Mediana: 
A mediana é o valor da variável que 
ocupa a posição central de um 
conjunto de n dados ordenados. 
2 
Posição da mediana: n+1 
7 
Exemplos: 
Dados: 2, 6, 3, 7, 8 
Dados ordenados: 2 3 6 7 8 
 n = 5 (ímpar) 
Posição da Mediana  
 n+1 5+1 = 3 
2 
Md = (4 + 6) / 2 = 5 
Dados: 4, 8, 2, 1, 9, 6  n = 6 (par) 
Dados ordenados: 1 2 4 6 8 9 
 
Md 
 6+1 = 3,5 
2 
 Md=6 
2 
8 
• Moda: 
É o valor que ocorre com maior 
frequência em uma série de valores. 
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
Conjunto 1 18 17 14 10 14 14 17 
Conjunto 2 9 8 8 14 13 10 10 11 15 7 
Conjunto 3 13 6 5 3 20 16 16 12 6 4 4 
Conjunto 4 41 29 30 6 10 36 17 7 21 33 16 38 
unimodal 
bimodal 
multimodal 
amodal 
9 
ANÁLISE COMPARATIVA DAS MEDIDAS DE POSIÇÃO 
 
MODA 
VANTAGENS DESVANTAGENS 
Fácil de calcular. Pode estar afastada do centro dos dados. 
Não é afetada pelos dados extremos. Difícil de incluir em funções matemáticas. 
Pode ser aplicada em qualquer escala: nominal, 
ordinal, intervalar e razão (ou proporcional). 
A amostra pode ter mais de uma moda e algumas 
amostras podem não ter moda. 
Não utiliza todos os dados da amostra. 
MEDIANA 
VANTAGENS DESVANTAGENS 
Fácil de calcular. Difícil de incluir em funções matemáticas. 
Não é afetada pelos dados extremos. Não utiliza todos os dados da amostra. 
É um valor único. 
Aplicável em escalas ordinal, intervalar e razão. 
MÉDIA 
VANTAGENS DESVANTAGENS 
Fácil de compreender e aplicar. É afetada pelos dados extremos da amostra. 
Utiliza todos os dados da amostra. Requer o conhecimento de todos os dados da 
amostra. É um valor único. 
Aplicável em escalas intervalar e razão. 
10 
POSIÇÃO RELATIVA DA MÉDIA, MODA e MEDIANA 
ASSIMÉTRICA POSITIVA quando os 
valores de seu extremo superior estão 
mais afastados da MÉDIA que seus 
valores do extremo inferior, resultando 
num contorno que apresenta uma 
cauda mais longa na direção do 
extremo superior dos valores. 
 
ASSIMETRIA NEGATIVA apresenta uma 
cauda mais longa na direção dos valores 
extremos inferiores, o que afeta a MÉDIA 
‘puxando-a’ também na direção dos 
valores extremos inferiores. 
 
simétrica 
11 
Separatrizes 
São medidas descritivas que buscam dividir os valores 
ordenados de uma variável em proporções 
essencialmente iguais 
Quartis 
São valores de uma série de dados que a dividem em 4 
partes iguais 
min max Q2 Q3 Q1 
Separatrizes 
Quartis 
São valores de uma série de dados que a dividem em 4 
partes iguais 
min max Q2 Q3 Q1 
25% 
50% 
75% 
Valor situado de tal modo na série que 25% dos dados é menor que ele e 75% 
dos dados são maiores 
Coincide com a mediana 
Valor situado de tal modo na série que 75% dos valores são 
menores que eles e 25% é maior 
13 
Percentis 
Denominamos percentis os 99 valores que separam 
uma série em 100 partes iguais. 
Indicamos P1, P2, P3,.....,P99 
É evidente que P50 = Md = Q2 
 
P25 = Q1; e 
 
P75 = Q3 
14 
O percentil de ordem p 100 (0 < p < 1), em um 
conjunto de dados de tamanho n, é o valor da variável 
que ocupa a posição p  (n + 1) do conjunto de dados 
ordenados. 
Percentis: 
percentil 50 = mediana ou segundo quartil (Md) 
percentil 25 = primeiro quartil (Q1) 
percentil 75 = terceiro quartil (Q3) 
percentil 10 = primeiro decil 
Casos particulares: 
15 
Exemplo de uso das separatrizes: 
 
Suponha que um entomologista selecionou 50 exemplares de uma espécie de inseto, 
de mesma ninhada e período de eclosão dos ovos. Submeteu os insetos às mesmas 
condições ambientais e nutricionais, para estimar o tempo de vida (longevidade) da 
espécie. Ao final do experimento, o pesquisador obteve os seguintes dados de 
longevidade (em dias de sobrevivência para cada exemplar): 
 
 16 17 18 18 18 20 20 21 21 21 22 23 23 24 24 25 25 26 26 27 27 27 28 29 30 31 31 
 
 33 33 34 36 36 37 38 38 41 42 42 43 45 45 46 47 50 52 53 59 61 65 70 
p  (n + 1) 
Determinando-se o 1º e 3º quartis: 
 
Q1 = p25 --------- 0,25 x (51) = 12,75 (posição) ------ (23+23)/2= 23 dias 
 
Significa que 25% dos insetos tiveram um tempo de vida igual ou menor que 
23 dias, e 75% período de vida igual ou maior que 23 dias. 
Q3 = p75 --------- 0,75 x (51) = 38,25 (posição) ------ (42+43)/2= 42,5 dias 
 
16 
Md = 3,05 Q1 = 2,05 Q3 = 4,9 
Md = 5,3 Q1 = 1,7 Q3 = 12,9 
Dados: 1,9 2,0 2,1 2,5 3,0 3,1 3,3 3,7 6,1 7,7  n=10 
Posição de Md: 0,5(n+1)= 0,511= 5,5 
Dados: 0,9 1,0 1,7 2,9 3,1 5,3 5,5 12,2 12,9 14,0 33,6 
 n=11 
Posição de Q1: 0,25 (11) = 2,75 
Posição de Q3: 0,75 (11) = 8,25 
 Md = (3 + 3,1)/2 = 3,05 
 Q1=( 2+2,1)/2=2,05 
 Q3=(3,7+6,1)/2=4,9 
17 
Grupo 1: 3,4,5,6,7 Grupo 2: 1, 3, 5, 7, 9 Grupo 3: 5,5,5,5,5 
Exemplo 2: Considere as notas de um teste de 3 grupos de alunos 
G 1 
* * * * * 
G 2 
 * * * * * 
G 3 
 
 
* 
* 
* 
* 
* 
0 10 5 
e md1= md2= md3 = 5 Temos: x1 = x2 = x3 = 5 
_ _ _ 
18 
Medidas de Dispersão 
Finalidade: encontrar um valor que resuma a 
variabilidade de um conjunto de dados 
•Amplitude (A): 
 
 
A = máx - min 
19 
Grupo 1: 3,4,5,6,7 Grupo 2: 1, 3, 5, 7, 9 Grupo 3: 5,5,5,5,5 
Exemplo 2: Considere as notas de um teste de 3 grupos de alunos 
G 1 
* * * * * 
G 2 
 * * * * * 
G 3 
 
 
* 
* 
* 
* 
* 
0 10 5 
e md1= md2= md3 = 5 Temos: x1 = x2 = x3 = 5 
_ _ _ 
Grupo 1, A = 4 
Grupo 2, A = 8 
Grupo 3, A = 0 
 
20 








n
i
in
n
xx
n
xxxxxx
sVariância
1
222
2
2
12
11
)()(...)()(
 
VariânciaPadrãoDesvio  s 
•Variância: 
•Desvio padrão: 
21 
G3: s2 = 0  s = 0 
Cálculo para os grupos: 
4 
G1: s2 =(3-5)2+(4-5)2+ (5-5)2+ (6-5)2+ (7-5)2 
G2: s2 = 10  s = 3,16 
  s = 1,58  s2 = 10/4= 2,5 
22 
- é uma medida de dispersão relativa 
- elimina o efeito da magnitude dos dados 
- exprime a variabilidade em relação à média 
%100
x
s
CV
• Coeficiente de Variação (CV) 
23 
Altura 1,143m 0,063m 5,5% 
Peso 50 kg 6kg 12% 
Média 
DesvioPadrão 
 
Coef. de 
Variação 
Conclusão: Os alunos são, aproximadamente, 
duas vezes mais dispersos quanto ao peso do que 
quanto à altura. 
Altura e peso de alunos 
Exemplo 3: 
24 
Conclusão: Em relação às médias, as alturas dos 
adolescentes e dos recém-nascidos apresentam 
variabilidade quase iguais. 
Desvio 
padrão 
Coef. de 
variação 
Média 
Recém-nascidos 50 6 12% 
Adolescentes 160 16 10% 
Altura (em cm) de uma amostra de recém-
nascidos e de uma amostra de adolescentes 
Exemplo 4: