Metodo do lugar das raizes S

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2014 
 INSTITUTO DE 
ESTUDOS SUPERIORES 
DA AMAZÔNIA – 
ESTACIO/IESAM 
 
Ozinilda Nacif 
matricula:1140820 
 
 
CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA 
DISCIPLINA: SISTEMAS DE CONTROLE 
PROFESSOR: JOSÉ AUGUSTO F. REAL 
LABORATÓRIO DE SISTEMAS CONTROLE 
MÉTODO DO LUGAR DAS RAÍZES. 
 
SISTEMA DE MALHA ABERTA 
1 - REPRESENTAÇÃO DE POLOS E ZEROS: 
( 5) _
( )
( 1)( 2)
( 5)
1 0
( 1)( 2)
S
G s
S S S
equacaocaracteristica
S
S S S


 

 
 
 
 
COMANDO NO MAT LAB 
>> clear all; 
>> close all; 
>> z = [-5]; 
>> p = [0 -1 -2]; 
>> k = 1; 
>> sys=zpk(z,p,k); 
>> rlocus(sys); 
title('Root Locus para Equação Característica 1+(K(s+5)/(s(s+1)(s+2))=0'); 
 
2 - POLO EM MALHA ABERTA ZERO EM MALHA ABERTA 
( 1)( 2) 0
0
( 1) 1
( 2) 2
( 5) 5
POLOS
S S S
S
S
S
ZEROS
S
  

  
  
  
 
3 – CONDIÇÕES DE ÂNGULO PARA UM POLO SOBRE O LR. 
1 ( 1)( 2) 0
( 1)( 2) 1
S S S
S S S
   
   
 
 
4 – CONDIÇÕES DE MODULO PARA UM POLO SOBRE O LR 
COMANDO NO MAT LAB 
clear all; 
 close all; 
s = -0.05494 + 1.99i 
g = (s + 5)/(s*(s + 1)*(s + 2)) 
q = -180 
s = 
 -0.0549 + 1.9900i 
g = 
 -0.4368 - 0.0007i 
q = 
-180 
Calculo do ganho 
 
2 2
 0.4368
1
 0.4368
1
 0.4368
2.289
1 2
( 1) ( 2)
G
G
K
K
K
J
 
   


 
  
 
1 2 63,34
1
tg  

 
0.0549 1.9900i
( 1)( 2) 1
s
k s s s
 
   
 
0.0549 1.9900i
0.0549 1.9900i( 0.0549 1.9900i 1)( 0.0549 1.9900i 2) 1
s
k
 
         
 
K=8,49 
5 – NÚMERO DE RAMOS NO LUGAR DAS RAIZES. 
O sistema possui 3 polos pela regra ele possui tambem3 ramos 
6 – PONTOS DE CRUZAMENTO COM O EIXO REAL DAS ASSITOTAS. 
n = número de pólos finitos de G(s)H(s), 
m = número de zeros finitos de G(s)H(s). 
O ponto de intersecção das assíntotas σ pode ser calculado como a seguir: 
 
(0 1 2) ( 5)
1
2
      
 
7 – ÂNGULOS DAS ASSITOTAS. 
np − nz = 3 − 1 = 2. Número de assíntotas? Duas (dois polos tenderão a zeros em ∞), 
com. 
O ponto de intersecção das assíntotas σ pode ser calculado como a seguir: 
K= 0,1,2,3 .......... 
0(2 1)180
k
np nz
 

 
0 0(2(0) 1)180 90
2
  
 
0 0 0(2(1) 1180 270 90
2
     
Os ângulos são = 
0 0 0180 , 90 , 90  
 
8 – LUGARES DAS RAIZES SOBRE O EIXO REAL. 
 
 
Vamos supor que o ponto de teste se encontra na região positiva 
s = σ > 0. Para qualquer ponto s = σ > 0 temos: 
∠s = ∠(s + 1) = ∠(s + 2) = 0o. 
Desta forma, a condição de ângulo para s = σ > 0 não é satisfeita. 
 Para s = −1 < σ < 0 temos: 
∠s = 180o, 
∠(s + 1) = ∠(s + 2) = 0o. 
Desta forma: 
−∠s − ∠(s + 1) − ∠(s + 2) = −180o. 
Logo, o trecho −1 < σ < 0 pertence ao lugar das raízes. 
 Para s = −2 < σ < −1 temos 
∠s = 180o, 
∠(s + 1) = 180o, 
∠(s + 2) = 0o. 
Desta forma: 
−∠s − ∠(s + 1) − ∠(s + 2) = −360o. 
Logo, o trecho −2 < σ < −1 não pertence ao lugar das raízes. 
9 – PONTOS DE CRUZAMENTO DO LUGAR DAS RAIZES COM O EIXO IMAGINARIO uso do critério de 
Routh – Hurwitz. 
OBS: COMPARAR O RESULTADO GRAFICO COM O OBTIDO COM O METODO DE ROUTH – HURWITZ 
3 2
( 5)
1 0
3 2
equacaocaracteristica
S
S S S

 
 
 
tabulação de Routh-Hurwitz 
 
Na linha referente a s¹,
6
0 6
3
K
K

  
 
K = 6 é o valor de transição. Já na equação auxiliar referente à s²: 
2
2
2
3 0
3 6 0
2
S K
S
S J
 
 
 
 
10 – SIMETRIAS EM RELAÇÃO AO EIXO REAL. 
 
COMANDO NO MAT LAB 
>> clear all; 
>> close all; 
>> z = [-5]; 
>> p = [0 -1 -2]; 
>> k = 1; 
>> sys=zpk(z,p,k); 
>> rlocus(sys); 
hold off; 
% Label do grafico 
axis([-6,6,-6,6]); 
grid MINOR; 
xlabel('Eixo Real'); ylabel('Eixo Imaginario'); 
title('Root Locus para Equação Característica 1+(K(s+5)/(s(s+1)(s+2))=0');