mudanca coordenadas

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� PAGE �4� (Aula 6) CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNÇÃO VETORIAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
(Tóp. 4) MUDANÇA DE COORDENADAS �PAGE�3�
	Até agora se tem usado somente coordenadas cartesianas ortogonais, embora no tópico 1 da aula 8 do segundo curso de Cálculo foram apresentadas as coordenadas polares. Em vários ramos da Física, por exemplo, Teoria Eletromagnética e Dinâmica dos Fluidos, além de coordenadas cartesianas, são amplamente usados outros tipos de coordenadas, com maior freqüência, as coordenadas cilíndricas e esféricas. O objetivo deste texto é apresentar: inicialmente, as coordenadas cilíndricas e esféricas; posteriormente, coordenadas ortogonais em geral; por último, as formulações para o gradiente, divergente e rotacional em tais coordenadas.
	
	O sistema de coordenadas cilíndricas é uma extensão para o espaço do sistema de coordenadas polares. Se um ponto 
 do espaço está em coordenadas cilíndricas r, 
 e z, tais coordenadas são definidas da seguinte forma: r e 
 são as coordenadas polares do plano coordenado horizontal, e z é a mesma terceira coordenada cartesiana. Para estabelecer as relações entre as coordenadas cartesianas 
 e as cilíndricas 
 de um ponto P, s a figura a seguir.
Sendo assim, as fórmulas de mudança das coordenadas cartesianas para as coordenadas cilíndricas, são
	
	
 
 e 
	
	Decorre das fórmulas de mudança de coordenadas anteriores, as fórmulas de mudança das coordenadas cilíndricas para as coordenadas cartesianas, dadas por
	
	
 
 e 
	
	Uma equação em coordenadas cilíndricas é da forma 
 o seu gráfico é o conjunto ou a representação no espaço de todos os pontos 
 que a satisfazem. Portanto, a equação: 
 (a constante) equivale a 
 assim (de acordo como foi visto na segunda parte do texto complementar indicado no final do tópico da aula1) o gráfico de 
 é o cilindro circular reto de raio a e eixo coincidindo com o eixo Z; 
 
 equivale a 
 (isto é, 
 logo o gráfico de 
 é o plano contendo o eixo Z e vetor normal 
 e 
 (k constante) representa o plano horizontal contendo 
	Exemplo Resolvido. Achar a equação em coordenadas cilíndricas da superfície dada:
 (a) A esfera 
	(b) O cilindro 
Solução.
	(a) Sendo 
 substituindo 
 por 
 tem-se 
 que é a equação da esfera em coordenadas cilíndricas;
	(b) Sendo 
 fazendo 
 e 
 tem-se 
 isto é, 
 ou 
 A equação 
 representa apenas o eixo Z que está contido no gráfico de 
 logo 
 é a equação da superfície cilíndrica em coordenadas cilíndricas.
	Exemplo Proposto. Mostrar que a equação dada tem como gráfico a superfície indicada:
(a) 
 é o parabolóide hiperbólico 
(b) 
 é o plano 
	Seja um ponto 
 do espaço em coordenadas esféricas 
 
 e 
 então tais coordenadas são definidas da seguinte forma: 
 é a distância da origem O até P; 
 é a medida ao ângulo entre os vetores 
 e 
 daí 
 e 
 é a segunda coordenada polar da projeção de P no plano coordenado horizontal. Para encontrar as relações entre as coordenadas cartesianas 
 e as esféricas 
 de um ponto P, considere a figura a seguir.
Sendo assim, tem-se: 
 
 e 
 mas 
 logo substituindo r, obtém-se as fórmulas de mudança das coordenadas cartesianas para as coordenadas esféricas, dadas por
	
	
 
 e 
	
	Decorre das fórmulas de mudança de coordenadas anteriores, as fórmulas de mudança das coordenadas esféricas para as coordenadas cartesianas, dadas por
	
	
 
 e 
	
	
	Uma equação em coordenadas esféricas é da forma 
 o seu gráfico é o conjunto ou a representação no espaço de todos os pontos 
 que a satisfazem. Portanto, a equação: 
 (a constante) equivale a 
 assim (de acordo como foi visto na terceira parte do texto complementar indicado no final do tópico da aula 1) o gráfico de 
 é a esfera de centro na origem e raio a; 
 (
 constante) equivale a 
 logo (de acordo como foi visto na terceira parte do texto complementar indicado no final do tópico da aula1) o gráfico de 
 é um cone de centro na origem e eixo coincidindo com o eixo Z; 
 
 equivale a 
 logo o gráfico de 
 é o plano contendo o eixo Z e vetor normal 
 
	Exemplo Resolvido. Achar a equação em coordenadas esféricas da superfície dada:
(a) O cilindro 
	(b) A esfera 
Solução.
	(a) Sendo 
 fazendo 
 e 
 tem-se 
 daí 
 mas 
 e 
 (pois 
 logo 
	é a equação do cilindro em coordenadas esféricas;
	(b) Sendo 
 tem-se 
 fazendo 
 e 
 tem-se 
 isto é, 
 ou 
 A equação 
 representa apenas a origem que está contida no gráfico de 
 logo 
 é a equação da esfera em coordenadas esféricas.
	Exemplo Proposto. Mostrar que a equação dada tem como gráfico a superfície indicada:
(a) 
 é um hiperbolóide de uma folha; 
(b) 
 é a superfície de revolução obtida pela revolução da circunferência 
 em torno do eixo Z. 
	Seja a transformação 
 definida pelas equações
	(1)
	
	
isto é, 
 Se num subconjunto aberto contendo 
, a transformação F é de classe 
� e 
 pelo teorema da função inversa (enunciado no texto complementar indicado no final do tópico 2 da aula 07), numa vizinhança 
 de 
 estas equações podem ser resolvidas unicamente para u, v e w em função de x, y e z, ou seja, cada ponto 
 em 
 corresponde a um único ponto 
� em 
 dado pelas equações
	(2)
	
	
Isto significa que a função F estabelece a transformação entre as coordenadas 
 e 
 no espaço. 
	Para qualquer ponto fixo 
� em 
 são obtidas as curvas coordenadas em 
 passando por 
, conforme foram definidas no tópico 2 da aula 6, dadas por:
(a) Curva u-parâmetro, 
� 
� e 
�
(b) Curva v-parâmetro, 
� 
� e 
�
(c) Curva w-parâmetro, 
� 
� e 
�
	As curvas coordenadas definem localmente um sistema de coordenadas em 
, chamado de sistema de coordenadas curvilíneas UVW com origem em 
� e 
� é dito um ponto nas coordenadas curvilíneas u, v e w desse sistema. Diz-se ainda que as equações dadas em: (1), estabelecem uma mudança das coordenadas cartesianas para as coordenadas curvilíneas; (2), determinam uma mudança das coordenadas curvilíneas para as coordenadas cartesianas. 
	Os exemplos mais usuais de coordenadas curvilíneas no espaço são: as coordenadas cilíndricas 
�, dadas pelas equações
�
e as coordenadas esféricas 
�, definidas pelas equações 
�
Observe que tais equações foram estabelecidas inicialmente neste texto, usando outras letras invés de u, v e w. Nas figuras seguintes, aparecem as curvas coordenadas cilíndricas e esféricas, respectivamente.
	Considerações análogas podem ser feitas para uma transformação 
, assim estabelecendo mudanças de coordenadas no plano. Neste caso, o exemplo mais comum de coordenadas curvilíneas é o das coordenadas polares 
, dadas pelas equações
definidas no segundo curso de Cálcujlo, usando r e 
 invés de u e v, respectivamente. As curvas coordenadas de tal sistema estão indicadas na figura seguinte. 
	Os vetores unitários e tangentes às curvas coordenadas no ponto 
 são indicados por 
� 
 É relevante observar que, como foi suposto que 
 o terno 
� é positivo (conceito este visto num curso sobre vetores), além disso 
 é uma base do 
 (conceito este visto no curso de Álgebra Linear).
	É de interesse em aplicações futuras que se examine tais vetores com 
 fixo, porém arbitrário em 
 isto é, no subconjunto onde em cada ponto é possível definir um sistema de coordenadas curvilíneas. Note que se 
 varia em 
 então os vetores do terno 
� variam de sentido.
Teorema 1. Seja 
 o vetor posição de cada ponto 
� nas curvascoordenadas, então os vetores 
� são dados por
�
onde 
 
 e 
Demonstração. Sendo x, y e z funções de u, v e w, o vetor r também é uma função das coordenadas curvilíneas u, v e w. 
	
	Mantendo v e w constantes, r é o vetor posição de um ponto qualquer P da curva u-parâmetro, logo 
 é um vetor tangente à curva u-parâmetro em P, ou seja, 
é unitário e tangente à curva u-parâmetro em P. Similarmente, tem-se que
são unitários e tangentes às curvas v-parâmetro e w-parâmetro num ponto qualquer, respectivamente. Portanto, em particular, as mesmas expressões são usadas para achar estes vetores na origem do sistema. O que conclui a demonstração.
	Exemplo Resolvido 1. Achar os vetores 
� do sistema de coordenadas esféricas.
	Solução. Como o vetor posição r em função das coordenadas esféricas é
	
tem-se
Logo, pelo teorema 1, os vetores são
	
e 
 
	Exemplo Proposto 1. Calcular os vetores 
� do sistema de coordenadas cilíndricas.
	Um sistema de coordenadas curvilíneas é dito um sistema ortogonal, quando as curvas coordenadas se interceptam ortogonalmente em todo ponto de uma região 
 (isto é, quando os vetores 
� do sistema são mutuamente ortogonais em cada ponto de 
), onde F e 
 têm as condições mencionadas no início desta parte do texto.
	Exemplo Resolvido 2. Mostrar que o sistema de coordenadas esféricas é ortogonal.
	Solução. 
 Do exemplo resolvido 1, tem-se
	
	
e 
Portanto,
�
�
e 
�
Isto é, os vetores 
� são dois a dois ortogonais para todo (u,v,w), daí o sistema de coordenadas esféricas é ortogonal.
	Exemplo Proposto 2. Mostrar que o sistema de coordenadas cilíndricas é ortogonal.
	Considere as equações dadas em (2) nesta parte do texto, isto é, 
 
 e 
, as superfícies de níveis das funções 
 conforme foi definido no tópico da aula 3, são chamadas de superfícies coordenadas de u, v e w, respectivamente. Os vetores unitários e normais às superfícies coordenadas de u, v e w, são indicados por 
 
 e 
 respectivamente.
Teorema 2. Mostrar que os vetores unitários e normais às superfícies coordenadas de u, v e w são dados, respectivamente, por 
�
onde 
�
Demonstração. No tópico 2 da aula 5 foi provado que os vetores 
� são normais às superfícies de níveis das funções 
� respectivamente. Daí, segue-se à demonstração.
	Exemplo Resolvido 3. Encontrar os vetores unitários e normais às superfícies coordenadas, dadas pela transfor​mação coordenadas cilíndricas.
	Solução. A transformação coorde​nadas cilíndricas é definida pelas equações
 
 e 
	
Expressando u, v e w, como funções de x, y e z, obtém-se 
�
Calculando o gradiente de cada uma destas funções, encontra-se
 
 e 
Daí 
� 
 e 
� Logo, pelo teorema 2, os vetores unitários e normais às superfícies coordenadas, são
 
 e 
E após substituir x, y e z, ficam
	
 e 
	Exemplo Proposto 3. Determinar os vetores unitários e normais às superfícies coordenadas, dadas pela transfor​mação coordenadas esféricas.
	Os resultados do teorema seguinte, serão úteis na próxima parte deste texto.
Teorema 3. Se um sistema de coordenadas curvilíneas é ortogonal, então na origem do sistema UVW:
(a) 
 e 
 são conjuntos recíprocos de vetores;
(b) 
, 
 
 e 
(b) 
�
-x-x-x-x-x-x-x-x
Demonstração. Para demonstrar (a), inicialmente será provado que 
 e 
 são conjuntos recíprocos de vetores. Considerando ainda 
 usando a regra da cadeia (dada no corolário do teorema 3 do tópico 3 desta aula) para derivar dos dois lados em relação a u, obtém-se
 ou seja, 
Analogamente, das equações 
 e 
 tem-se
 e 
	Agora derivando 
 em relação a v, obtém-se
 ou seja, 
Similarmente, tem-se 
 
 
 
 e 
	Os produtos escalares obtidos, justificam que 
 e 
 são conjuntos recíprocos de vetores, logo tais vetores satisfazem:
 
 
 onde 
expressões similares para 
 
 e 
 além disso
 ou 
	Para mostrar que 
 e 
 são conjuntos recíprocos de vetores, observe que sendo 
 ortonormal, então 
 também é ortonormal, pois estes vetores são unitários e (por exemplo)
	Sendo 
 e 
 ortonormais, pode-se escrever
e 
pois (por exemplo) 
 uma vez que 
 (do início desta demonstração), assim
 ou seja, 
mas se 
 então 
 o que uma contradição, logo 
 Analogamente, 
 e 
�� EMBED Equation.DSMT4 
 O que prova a parte (a) do teorema.
	Para demonstrar a parte (b) do teorema, observe que como 
 e 
 e 
 são unitários, tem-se 
; analogamente, 
 e 
 Além disso, sendo 
 e (do início da demonstração) 
 obtém-se
analogamente, 
 e 
	Como 
 tem-se 
 pois 
 e 
 (uma vez que o terno 
 é positivo com 
, assim
analogamente, 
 e 
 Isto conclui a prova a parte (b) do teorema.
	A demonstração da parte (c) é imediata, pois sendo
uma vez que 
, obtém-se
O que conclui a demonstração do teorema.
	Seja um sistema de coordenadas curvilíneas definido pelas equações
�
Então, se uma função real f depende das coordenadas cartesianas x, y e z, fazendo a mudança de coordenadas fica 
� e para efeito de simplificação será indicada simplesmente por 
�.
Teorema 1. Se f é uma função real das coordenadas curvilíneas u, v e w, o gradiente de f é dado por
�
E se o sistema de coordenadas curvilíneas é ortogonal, então
�
Demonstração. O gradiente de f em coordenadas cartesianas ortogonais é
	Usando a regra da cadeia (dada no corolário do teorema 3 do tópico 3 desta aula), tem-se
�
e expressões similares para 
 e 
 Substituindo 
 
 e 
 no segundo membro do gradiente de f, obtém-se
	A segunda fórmula do teorema para 
�, decorre diretamente da substituição nesta última do 
� dados no teorema 3 da terceira parte deste texto.
	Exemplo Resolvido 1. Calcular o gradiente da função 
� no sistema de coordenadas esféricas.
	Solução. As coordenadas esféricas 
� são dadas pelas equações 
 
 e 
 Assim
	
�
e suas derivadas parciais de primeira ordem são
	Tem-se ainda do exemplo resolvido 1 da terceira parte deste texto que:
	
e 
	Como o sistema de coordenadas esféricas é ortogonal, conforme exemplo resolvido 2 da terceira parte deste texto, usando a segunda fórmula dada no teorema 1, encontra-se
	Exemplo Proposto 1. Calcular o gradiente da função 
� no sistema de coordenadas cilíndricas.
Teorema 2. Em coordenadas curvilíneas ortogonais u, v e w, o divergente do campo 
� é dado por
�
Demonstração. Pela propriedade (1) do divergente (dada no tópico 4 desta aula), tem-se
�
Como o sistema de coordenadas é ortogonal, usando o teorema 3 da terceira parte deste texto, acha-se
�
Substituindo 
� em 
� e usando a propriedade (2) do divergente (dada no tópico 4 desta aula), obtém-se
�
mas 
� (veja os exercícios 37a e 33 do exercitando do tópico 4 desta aula) e (dos teoremas 1 desta parte e 3 da terceira parte deste texto)
portanto, substituindo 
�, obtém-se
�
	Analogamente, encontra-se ainda que
�
	Somando 
� e colocando 
� em evidência, concluí-se a demonstração.
	Exemplo Resolvido 2. Calcular o laplaciano da fun​ção real dada no exercício resolvido 1, no sistema de coordenadas esféricas.
	Solução. Para o sistema de coordenadas esféricas, tem-se 
�, 
� e 
� E do exemploresolvido 1, 
	
obtém-se
�
Portanto, usando a fórmula do teorema 2, obtém-se
	Exemplo Proposto 2. Calcular o laplaciano da fun​ção real dada no exercício proposto 1, no sistema de coordenadas cilíndricas.
Teorema 3. Em coordenadas curvilíneas ortogonais u, v e w, o rotacional do campo vetorial 
� é dado por
��EMBED Equation 
Demonstração. Da propriedade (1) do rotacional (dada no tópico 4 desta aula), tem-se
�
Como o sistema de coordenadas é ortogonal, pelo teorema 3 da terceira parte deste texto, 
� Logo, usando a propriedade (2) do rotacional (dada no tópico 4 desta aula) e o exercício 33 do exercitando do tópico 4 desta aula, obtém-se
�
Usando o teorema 1 e substituindo 
 encontra-se
�
mas 
� portanto
�
	Similarmente, encontra-se ainda
�
e
�
	Somando 
� e agrupando as parcelas, concluí-se a demonstração.
	Exemplo Resolvido 3. Calcular o rotacional do campo definido por 
no sistema de coordenadas cilíndricas.
	Solução. As coordenadas cilíndricas u, v e w são dadas pelas equações
�
assim
		
Os vetores unitários e tangentes às curvas coordenadas cilíndricas são
	Como 
� são vetores ortonormais, tem-se
e 
Assim, substituindo 
, 
 e 
, obtém-se as componentes do campo F com relação aos vetores básicos do sistema de coordenadas cilíndricas, ou seja,
�
	Tem-se ainda, para o sistema de coordenadas cilíndricas, que 
� 
� e 
�
	Portanto, usando a fórmula do teorema 3, obtém-se
	Exemplo Proposto 3. Calcular o rotacional do campo definido por 
 no sistema de coordenadas esféricas.
	Exemplo Resolvido 4. Se uma partícula se desloca e tem como referencial o sistema de 
	Solução. Em função das coordenadas esféricas, tem-se
	coordenadas esféricas UVW, mostrar que:
(a) O vetor posição da partícula é
�
(b) A velocidade da partícula é 
(c) A aceleração da partícula é
 
 
	
�
 e
	
	(a) Substituindo x, y, z, 
, 
 e 
 em 
 e simplificando, obtém-se r(t) em 
 esféricas.
	(b) Sabe-se que x, y e z estão dependendo do tempo, logo u, v e w também dependem do tempo e conseqüentemente 
�
	Como 
 tem-se
mas
logo substituindo 
 em 
�, encontra-se
	(c) Como 
, tem-se
Deve-se calcular agora, cada uma das parcelas que aparecem no lado direito desta última equação. Assim: 
	(I) 
 substituindo 
 encontrado no item (b), obtém-se
(II) 
 mas 
 logo substituindo, obtém-se
	
 mas 
 onde a segunda igualdade é pela substituição de 
 e 
, portanto substituindo 
 encontra-se
�� EMBED Equation.DSMT4 
	Finalmente, somando os resultados encontrados em (I), (II) e (III), e agrupando cada uma das componentes, tem-se a expressão para a aceleração.
	Exemplo Proposto 4. Se uma partícula se desloca e tem como referencial o sistema de coordenadas cilíndricas UVW, mostrar que:
(a) O vetor posição da partícula é 
(b) A velocidade da partícula é 
	(c) A aceleração da partícula é 
	Exemplo Resolvido 5. Um dipolo elétrico é uma dis​tribuição de cargas elétricas iguais e opostas q e 
 separadas por uma distância d muito peque​na. Num dipolo elétrico, em​bora a carga total seja igual a zero (pois as duas cargas são iguais e opostas), o fato das cargas estarem separadas por uma pequena distância é sufici​ente para evitar o desapa​recimento do campo elétrico E (isto é, uma região onde uma outra carga experimenta uma força decorrente das duas cargas do dipolo). Mostrar que o campo elétrico do dipolo elétrico, num ponto P e em coordenadas esféricas (u,v,w), é
onde 
� é o momento do di​polo elé​trico.
	Solução. A figura ilustra as curvas coordenadas esféricas com origem no ponto P onde está uma carga de prova.
 Da Física, tem-se 
 onde 
 é o potencial de uma carga Q e 
 Para várias cargas, o potencial elétrico V, num ponto P, é a soma dos potenciais de cada carga. Daí, para o dipolo elétrico, tem-se
	
	Como d é muito pequena com relação a |r| (onde r é o vetor posição de P), pode-se tomar 
� Tem-se ainda, em coordenadas esféricas, que 
� logo 
� Assim, encontrou-se
�
	Portanto, usando a fórmula do teorema 1 desta seção, obtém-se
	Exemplo Proposto 5. Calcular o campo elétrico do dipolo elétrico, num ponto P e em coordenadas cilíndricas.
1. Verifique que o sistema das equações 
� 
� e 
� pode ser resolvido unicamente para u, v e w em função de x, y e z. Calcule os vetores unitários e tangentes às curvas coordenadas curvilíneas dadas pelo sistema.
 
2. Para cada um dos sistemas de coordenadas curvilíneas, definido pelo sistema de equações seguintes: (i) Encontre os vetores unitários e tangentes às curvas coordenadas; (ii) Verifique se o sistema é ortogonal; (iii) Encontre os vetores unitários e normais às superfícies coordenadas, num ponto qualquer.
	(a) 
	(b) 
	(c) 
 onde a é uma constante positiva;
	(d) 
	(e) 
	(f) 
3. Mostre que as matrizes de mudança da base 
 do sistema de coordenadas cartesianas para a base 
� do sistema de coordenadas cilíndricas e reciprocamente, são dadas, respectivamente por
4. Mostre que as matrizes de mudança da base 
 do sistema de coordenadas cartesianas para a base 
� do sistema de coordenadas esféricas e reciprocamente, são dadas, respectivamente por
	
5. Determine as funções coordenadas do campo vetorial 
 em relação aos vetores unitários e tangentes do sistema de coordenadas:
	(a) Cilíndricas;	(b) Esféricas.
6. As funções coordenadas do campo vetorial 
� são relativas ao sistema de coordenadas : (a) cilíndricas, (b) esféricas. Encontre as funções coordenadas de G em relação ao sistema de coordenadas cartesianas.
	Nos exercícios 7 e 8, (u,v,w) são as coordenadas: (a) cilíndricas; (b) esféricas. Calcule o gradiente e laplaciano da função indicada:
7. 
�	8. 
�
	Nos exercícios 9 e 10, (u,v,w) são as coordenadas: (a) cilíndricas; (b) esféricas. Calcule o rotacional do campo vetorial indicado:
 9. 
�
10. 
�
	Nos exercícios 11 a 14, calcule o gradiente da função dada no sistema de coordenadas (a) cilíndricas e (b) esféricas:
11. 
�	12. 
�
13. 
�	14. 
�
	Nos exercícios 15 a 18, calcule o divergente do campo vetorial dado no sistema de coordenadas (a) cilíndricas e (b) esféricas:
15. 
	16. 
17. 
	18. 
	Nos exercícios 19 e 20, calcule o laplaciano da função dada no sistema de coordenadas (a) cilíndricas e (b) esféricas:
19. 
�	20. 
�
	Nos exercícios 21 a 24, calcule o rotacional do campo vetorial dado no sistema de coordenadas (a) cilíndricas e (b) esféricas:
21. 
	22. 
23. 
	24. 
25. Suponha que os vetores básicos de um sistema de coordenadas curvilíneas UVW, definido por uma transformação linear, são 
 
 e 
 Calcule o gradiente e o laplaciano, com relação a esse sistema de coordenadas, da função 
�
26. Se os vetores básicos de um sistema de coordenadas curvilíneas UVW, definido por uma transformação linear, são 
 
 e 
 Mostre que o divergente e o rotacional, com relação a esse sistema de coordenadas, do campo vetorial dado por 
 são 
 e 
 respectivamente.
27. Seja 
� um campo vetorial com relação ao sistema de coordenadas (i) cilíndricas e (ii) esféricas, calcule:
	 (a) 
�	(b) 
�	(c) 
�	(d) 
�	(e) 
�
	Sugestão: no item (e), veja o exercício 37(b) do exercitando do tópico 4 desta aula.
28. Se r é o vetor posição de cada ponto de uma bola esférica, usando os resultados do exercício 27, mostre que:
	(a)�	(b) 
�
	(c) 
�	(d) 
29. Use o resultado do exercício 28 (d) para mostrar que 
� pode ser escrito nas formas:
	(a) 
 	(b) 
�
30. Use o exercício 27 deste exercitando, para mostrar que o laplaciano de uma função f das coordenadas polares r e SYMBOL 113 \f "Symbol", é 
	E verifique que as funções seguintes são harmônicas:
	(a) 
�	
	(b) 
 se 
�.
31. Se (u,v,w) são as coordenadas cilíndricas, mostre que o campo vetorial: 
	(a) 
� tem um potencial vetorial;
	(b) 
� é um potencial vetorial do campo F.
32. Se (u,v,w) são as coordenadas esféricas, mostre que o campo vetorial:
	(a) 
 é solenoidal;
	(b) 
 pode ser um potencial vetorial do campo F, encontrando a função f(u,v).
33. Sejam (u,v,w) são as coordenadas cilíndricas, 
� funções definidas por
	mostre que 
� é harmônica.
34. Se (u,v,w) são as coordenadas esféricas, 
� são funções definidas por
	mostre que 
� é harmônica.
35. Resolva a equação de Laplace se a solução depende apenas da coordenada cilíndrica u.
36. Resolva a equação de Laplace se a solução depende somente da coordenada esférica u.
37. Demonstre que o gradiente, o divergente, o rotacional e o laplaciano, dados em coordenadas cartesianas ortogonais, independe da translação do sistema de coordenadas. E quanto à rotação dos eixos coordenados, será que existe ainda independência dos citados operadores? Justifique sua resposta.
38. Seja f uma função real das coordenadas curvilíneas ortogonais (u,v,w). Mostre que o laplaciano de f é 
39. Suponha que uma partícula se desloca sobre um cilindro circular reto e sua aceleração é normal ao cilindro em cada instante. Use o exemplo proposto 4 da última parte deste texto para mostrar que a trajetória da partícula é uma reta ou uma circunferência, ou uma hélice cilíndrica. Veja o exercício 21 do exercitando do tópico 1 da aula 2.
40. Demonstre a segunda lei de Kepler (veja exercício 24 do exercitando do tópico 1 da aula 2) usando o exercício proposto 4 da última parte deste texto. Sugestão: (a) Use que as coordenadas polares são as coordenadas cilíndricas com 
� para mostrar que 
 é constante; (b) Em seguida, se A(t) é a área varrida por r(t) num tempo t, use que 
� para concluir que A'(t) é constante.
41. Um quadrupolo elétrico é uma distribuição de quatro cargas iguais com carga total igual a zero. Considere o quadrupolo elétrico com distribuição de cargas ao longo do eixo Z, sendo as duas cargas negativas na origem e as duas cargas positivas em posições simétricas à distância d da origem. Mostre que o potencial elétrico V e o campo elétrico E, desse quadrupolo, num ponto P, podem ser dados em coordenadas esféricas (u,v,w) por
	onde o momento do quadrupolo elétrico é 
�
 1. 
 5. (a) 
	 
 
 7. 
	e 
 
	
 9. (a) 
 
	 (b) 
11. 
	
13. 
 
15. 
17. 
 e 
19. 
 e 
 
21. 
 e 
23. 
 e 
25. 
 e 
27. 
	 
	 
	 
	 
35. 
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