Oficina de Vetores - UFRJ

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Universidade Federal do Rio de Janeiro — Instituto de F´ısica
Oficinas de F´ısica — 2014/2
Oficina 1: Vetores
Data da Entrega: 18 de Agosto de 2014
1) Seja ABCDA um paralelogramo, −→a = −→AB e −→b = −−→AD. Expresse −−→BC, −−→CD, −→CA e −−→BD em
termos de −→a e −→b .
2) Sejam
−→
A 1,
−→
A 2 e
−→
A 3 vetores de mesmo mo´dulo A. O vetor
−→
A 1 aponta para o nordeste,
−→
A 2,
para o sudeste e
−→
A 3, para o sudoeste. Determine (i)
−→
A 1 +
−→
A 2 +
−→
A 3, (ii)
−→
A 1 +
−→
A 2, (iii)−→
A 2 +
−→
A 3, (iv)
−→
A 1 −−→A 2 e (v) −→A 2 −−→A 3.
3) Mostre que as diagonais de um paralelogramo cortam-se ao meio.
4) (P1.51) (a) O vetor
−→
A = −→ı + −→ + −→k e´ um vetor unita´rio? (b) Um vetor unita´rio pode
ter algum componente com mo´dulo maior do que 1? Pode ter algum componente negativo?
(c) Se
−→
A = a(3, 0ıˆ+ 4, 0ˆ), onde a e´ um nu´mero, determine um valor de a que torne
−→
A um
vetor unita´rio.
5) Seja um plano inclinado de um aˆngulo θ acima da horizontal e treˆs vetores
−→
P ,
−→
N e
−→
f em
um plano vertical que corta o inclinado ao longo de uma reta de ma´ximo declive. O vetor−→
P e´ vertical e aponta para baixo, o vetor
−→
N e´ perpendicular ao plano inclinado e aponta
no sentido em que se afasta do plano inclinado e o vetor
−→
f e´ paralelo ao plano inclinado e
aponta no sentido em que se sobe no plano inclinado. Escreva a soma vetorial
−→
P +
−→
N +
−→
f
em termos dos unita´rios nos dois sistemas de eixos no plano vertical conforme especificado
a seguir: (i) um sistema com OX paralelo ao plano inclinado com sentido em que se desce
no plano inclinado e OY perpendicular ao plano inclinado com sentido em que se afasta do
plano inclinado; (ii) um sistema com O′X ′ na horizontal no sentido em que se desce do plano
inclinado e O′Y ′ vertical para cima.
6) (P1.48) Em cada caso, determine os componentes x e y do vetor
−→
A : (a)
−→
A = 5, 0ıˆ − 6, 3ˆ;
(b)
−→
A = 11, 2ˆ− 9, 9ıˆ; (c) −→A = −15, 0ıˆ+ 22, 4ˆ; (d) −→A = 5, 0−→B , onde −→B = 4ıˆ− 6ˆ.
7) Sejam O, P1 e P2 treˆs pontos (na˜o colineares). Dados
−→r 1 = −−→OP1 e −→r 2 = −−→OP2, determine o
vetor −→r que vai de O ao ponto me´dio de P1P2.
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8) Sejam O, P1 e P2 treˆs pontos (na˜o colineares). Dados
−→r 1 = −−→OP1 e −→r 2 = −−→OP2, e os nu´meros
positivos m1 e m2, mostre que (i) o vetor
−→
R =
m1
−→r 1 +m2−→r 2
m1 +m2
, (1)
com ponto inicial O, tem seu ponto final entre os pontos P1 e P2, e que (ii) esse ponto final
esta´ mais pro´ximo de P1 do que de P2 se m1 > m2. (iii) Onde se encontra o ponto final no
caso em que m1 = m2?
9) (Exemplo 1.11) Ache o aˆngulo entre os dois vetores
−→
A = 2ıˆ+ 3ˆ+ kˆ e
−→
B = −4ıˆ+ 2ˆ− kˆ.
10) (P1.90) Na mole´cula de metano , CH4, cada a´tomo de H ocupa o ve´rtice de um tetraedro
regular em cujo centro se encontra o a´tomo de C. Usando eixos OXY Z tais que uma das
ligac¸o˜es C −H esteja na direc¸a˜o e sentido de ıˆ+ ˆ+ kˆ, uma ligac¸a˜o C −H adjacente estara´
na direc¸a˜o e sentido de ıˆ− ˆ− kˆ. Calcule o aˆngulo entre as duas ligac¸o˜es.
11) Seja um cubo de aresta a e um sistema de eixos OXY Z com origem em um ve´rtice do cubo
e eixos ao longo de treˆs arestas. Escreva na base de unita´rios do sistema de eixos os vetores
com ponto inicial no ve´rtice na origem e pontos finais nos demais ve´rtices.
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