4 - Aplicacoes de Matrizes e Determinantes

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4 – Aplicações de Matrizes e Determinantes: 
 
4.1 – Obtenção da Matriz Inversa: 
 
Existem dois métodos para obter uma matriz inversa. O primeiro utiliza operações 
elementares e o segundo utiliza o determinante. Cabe ressaltar que a inversa [ ] 1−A só existe se 
a matriz original [ ]A for não-singular ( [ ] 0Det ≠A ). 
 
4.1.1 – Obtenção da Matriz Inversa Através de Operações Elementares: 
 
Lembrando que [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]IAAAA == −− 11 , a mesma sucessão finita de operações 
elementares que transforma a matriz [ ]A na matriz identidade [ ]I , transforma a matriz 
identidade [ ]I na matriz inversa [ ] 1−A . 
Na prática, o que se faz é colocar a matriz identidade imediatamente após a matriz que 
se deseja obter a inversa (conforme a seguir) e aplicar as operações elementares às linhas de 
ambas simultaneamente. Desta forma, quando a matriz [ ]A tiver sido convertida na matriz 
[ ]I , a matriz [ ]I terá sido convertida na matriz [ ] 1−A . 
 
 
 
[ ]










=
100
010
001
|
111111
111111
111111
aaa
aaa
aaa
IA 
 
 
4.1.2 – Obtenção da Matriz Inversa Através do Determinante: 
 
Também é possível obter a matriz inversa por meio do determinante, através da 
seguinte relação: 
 
[ ] [ ]
[ ]A
AA
Det
Adj1
=
−
 
 
 
4.2 – Sistemas de Equações Algébricas Lineares: 
 
Uma equação polinomial de primeiro grau envolvendo as variáveis x1, x2,......, xm, 
do tipo: bxaxaxa mm =+++ LLL2211 é denominada Equação Algébrica Linear. Portanto, 
um conjunto de n equações deste tipo forma um Sistema de Equações Algébricas Lineares, 
conforme a seguir: 
 









=+++
=+++
=+++
nmmnnn
mm
mm
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
LLL
MMMMM
MMMMM
LLL
LLL
2211
22222121
11212111
 
 
 
 
É possível expressar este sistema também na forma matricial da seguinte forma: 
 
[ ] [ ] [ ] 1x1xx nmmn bxA = ou ainda, 












=


























nmmnnn
m
m
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
MM
L
MLMM
L
L
2
1
2
1
21
22221
11211
 
 
onde: [ ]A é a matriz dos coeficientes; 
[ ]x é o vetor solução ou vetor das variáveis; 
[ ]b é o vetor dos termos independentes. 
 
A solução do sistema acima é um vetor [ ]x de dimensão m x 1 que satisfaça todas as 
n equações. 
 
Observações: 
 
i) Um sistema que não possui solução é dito inconsistente. Se há solução, ele é dito 
consistente; 
ii) Um sistema em que o vetor dos termos independentes é nulo (ou seja, [ ] [ ]0=b ) é 
chamado de homogêneo. Já se [ ] [ ]0≠b , o sistema é denominado não-homogêneo; 
iii) Todo sistema homogêneo admite pelo menos a solução trivial (ou seja, [ ] [ ]0=x ); 
iv) Em um sistema homogêneo [ ] [ ] [ ]0=xA , tem-se que: 
 
• se matriz de coeficientes [ ]A for não-singular (ou seja, [ ] 0Det ≠A ), então o sistema 
admite somente a solução trivial (ou seja, [ ] [ ]0=x ); 
• se a matriz de coeficientes [ ]A for singular (ou seja, [ ] 0Det =A ), então há infinitas 
soluções (além da solução trivial); 
 
v) Em um sistema não-homogêneo [ ] [ ] [ ]bxA = , tem-se que: 
 
• se a matriz de coeficientes [ ]A for não-singular (ou seja, [ ] 0Det ≠A ), então o sistema 
admite solução única; 
• se a matriz de coeficientes [ ]A for singular (ou seja, [ ] 0Det =A ), caso exista solução, 
há infinitas soluções; 
 
A seguir, são apresentados os métodos mais populares para a solução de sistemas de 
equações algébricas lineares. 
 
4.2.1 – Método de Gauss: 
 
Este método consiste em transformar a matriz de coeficientes [ ]A em uma matriz 
triangular superior através de operações elementares. Estas mesmas operações elementares 
devem ser aplicadas ao vetor dos termos independentes [ ]b . 
Na prática, o que se faz é colocar o vetor dos termos independentes [ ]b imediatamente 
após a matriz de coeficientes [ ]A , obtendo-se assim o que chamamos de Matriz Ampliada. A 
seguir, aplicam-se as operações elementares às linhas da matriz ampliada até que matriz de 
coeficientes [ ]A se torne uma matriz triangular superior. 
 
Exemplo: Considere um sistema de equações lineares algébricas com duas equações e duas 
incógnitas. 
 






=











2
1
2
1
2221
1211
b
b
x
x
aa
aa
 
A matriz ampliada é dada por: 





22221
11211
baa
baa
. Aplicam-se operações elementares até 
que 021 =a . 
 
4.2.2 – Método de Gauss-Jordan: 
 
Este método prevê a redução da matriz ampliada a uma Matriz da Forma Escada, que 
deve obedecer às seguintes regras: 
 
i) O primeiro elemento não-nulo de uma linha não-nula deve ser unitário (igual a 1); 
ii) Abaixo do primeiro elemento não-nulo de uma coluna qualquer (com exceção da coluna 
dos termos independentes), todos os elementos são nulos; 
iii) Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas. Consequentemente, há uma 
equação redundante no sistema; 
 
Exemplo: Considere a seguinte matriz ampliada da forma escada: 










1100
3010
2001
. 
Esta matriz indica que a solução do sistema é: 





=
=
=
1
3
2
3
2
1
x
x
x
 
 
4.2.3 – Regra de Cramer: 
 
Este método baseia-se na existência da matriz inversa e só pode ser aplicado quando o 
número de equações é igual ao número de incógnitas, ou seja, quando a matriz [ ]A de 
coeficientes for quadrada. 
Considere um sistema de equações lineares algébricas com n equações e n incógnitas: 
 









=+++
=+++
=+++
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
LLL
MMMMM
MMMMM
LLL
LLL
2211
22222121
11212111
 
 
 
Escrevendo este sistema na forma matricial, tem-se: 
 
[ ] [ ] [ ] 1x1xx nnnn bxA = 
 
Para a solução do sistema acima, considere o seguinte artifício: pré-multiplicar ambos 
os termos por [ ] 1−A . 
 
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]bAxAA 11 −− = 
 
Mas [ ] [ ] [ ]IAA =−1 , portanto: [ ] [ ] [ ]bAx 1−= . 
 
Lembrando que [ ] [ ][ ]
[ ][ ]
[ ]A
A
A
AA
Det
Cof
Det
Adj
T
1
==
−
, tem-se: 
 
[ ]


























=












nnnnn
n
n
n b
b
b
AAA
AAA
AAA
A
x
x
x
M
L
MOMM
L
L
M
2
1
21
22221
11211
2
1
Det
1
 
 
onde: [ ]














=
nnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
A
L
MOMM
L
L
21
22221
11211
Adj 
 
Desta forma, as diversas soluções xi assumem a seguinte forma: 
 
[ ]A
AbAbAb
x
nn
Det
1122111
1
+++
=
LL
; 
[ ]A
AbAbAb
x
nn
Det
2222211
2
+++
=
LL
; 
 
[ ]A
AbAbAb
x
nnnnn
n
Det
2211 +++
=
LL
 
 
Observa-se que o numerador de cada uma das expressões acima é exatamente o 
determinante obtido a partir da matriz original [ ]A , quando se substitui a respectiva coluna 
pelo vetor dos termos independentes [ ]b . Este procedimento é conhecido como uma 
Expansão de Laplace por colunas. 
 
Exemplo: Para um elemento genérico xi, tem-se: 
 



























=
nnnn
n
n
nninnn
ni
ni
i
aaa
aaa
aaa
abaa
abaa
abaa
x
L
MOMM
L
L
LL
MOMLMM
LL
LL
21
22221
11211
21
222221
111211
Det
Det
 
 
 
4.3 – Problemas de Valor Característico (Autovalores e Autovetores): 
 
Diversos problemas físicos recaem no seguinte sistema de equações: 
 









=+++
=+++
=+++
nnnnnn
nn
nn
xxaxaxa
xxaxaxa
xxaxaxa
λ
λ
λ
LLL
MMMMM
MMMMM
LLL
LLL
2211
22222121
11212111
 
 
 
 
onde λ, em geral, é um parâmetro constante do problema. Este sistema pode ser escrito na 
seguinte forma matricial: 
 
[ ] [ ] [ ] 1x1xx nnnn xIA ∅=− λ 
 
 
Para que o sistema acima possua solução não-trivial (ou seja, [ ] [ ]∅≠x ), a matriz 
[ ]IA λ− deve ser singular, ou seja: 
 
[ ] 0Det =− IA λ 
 
Este determinante recai em um polinômio de grau n (correspondente ao número de 
equações do sistema inicial) conhecido como Polinômio Característico ou Equação 
Característica. 
Usualmente, os problemas físicos envolvem determinantes de terceira ordem que 
fornecem um polinômio característico da seguinte forma: 
 
0IIIIII 33 =−+− λλλ 
 
onde I, II e III são conhecidos como o primeiro, o segundo e o terceiro invariantes da 
matriz [ ]A , respectivamente. Estes invariantes são dados por: 
 
[ ] 332211trI aaaA ++== 
322331132112332233112211II aaaaaaaaaaaa −−−++= 
[ ] AA == DetIII 
 
tal que [ ]Atr é conhecido como o traço de [ ]A e corresponde à soma dos elementos da 
diagonal principal. 
As raízes λ
 i ( 3,2,1=i ) deste polinômio são conhecidas como Autovalores (ou ainda, 
Valores Característicos ou Valores Próprios), enquanto os vetores solução do problema [ ]
i
x 
são denominados Autovetores (ou ainda, Vetores Característicos ou Vetores Próprios). 
Alternativamente, é possível determinar os três invariantes da matriz [ ]A a partir de 
seus autovalores, conforme a seguir: 
 
321I λλλ ++= 
133221II λλλλλλ ++= 
321III λλλ= 
Observações: 
 
i) A cada autovalor está associado um autovetor. Além disso, o número de autovalores e de 
autovetores é igual ao número de equações do sistema original. Um sistema que possui 
autovalores repetidos é dito Sistema Degenerado; 
 
ii) É comum ordenar os autovalores do sistema em ordem crescente, ou seja: 
nλλλ <<< LL21 ; 
 
iii) Os autovetores formam uma nova base ortogonal para o espaço vetorial que contém as 
equações do sistema original. Portanto, ainda que haja autovalores repetidos, é necessário 
definir diferentes autovetores para formar esta nova base. Se os autovetores estiverem 
normalizados, esta base é dita ortonormal; 
 
iv) Se os autovetores normalizados forem dispostos numa matriz quadrada de ordem n x n 
[ ] [ ] [ ][ ]
n
xxx LL
21
onde cada vetor [ ]x tem dimensão n x 1, esta matriz constitui um 
operador linear que converte tensores de qualquer ordem da base original para a nova 
base;