Lista #2 - Determinantes e Aplicacoes

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LISTA DE EXERCÍCIOS #2 – DETERMINANTES E APLICAÇÕES 
 
Disciplina: Álgebra Linear (VCE 00013) 
Professor: Alberto Paiva 
 
 
1a Questão: Matrizes Inversas e Determinantes 
 
i) Através de operações elementares, transforme a matriz [ ]A em uma matriz identidade 
[ ] 3x3I . 
[ ]
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
352
224
312
A 
 
ii) Dada a matriz [ ]
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=
1111
1101
1100
0110
A , determine: 
 
(a) A matriz inversa [ ] 1−A através de operações elementares; 
(b) A matriz adjunta [ ]AAdj . 
(c) A matriz inversa [ ] 1−A através do determinante (Regra de Cramer). 
 
iii) Qual o resultado dos determinantes a seguir (caso utilize alguma propriedade, justifique 
a resposta): 
 
(a) [ ]
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−=
−
8
732cos0
047.0110log
171070
sen3ln12
2
1
95201400
00138.0tg
3
x
x
i
x
A
x
β
β
β
; (b) [ ]
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
1cos1702
0233203ln
tg0sen000
00sen03
3
275.050022
7.10cos01
β
ββ
β
β
x
i
x
x
i
e
B
x
 
 
(c) [ ]
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=
125.0tg4cos
023255sen
00sen
3
73.72
000cos3
00001022
000001
x
i
i
x
C
ββ
β
β
β
 
 
(d) [ ]
( )
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
−−−
=
1cos3.202
-90sen211002-44
tg01000
00103
cos5.050122
ln0cos01
β
β
β
β
β
xe
i
x
x
i
xx
D 
 
iv) Para a matriz [ ]A abaixo, calcule det [ ]A det [ ] 1−A : 
 
[ ]
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
=
1cos17
8
72
0225log3203ln
50sen075.00
0sen0tg
3
2050322
73cos7.101
β
β
ββ
ββ
x
xe
ii
x
A x 
 
 
2a Questão: Sistemas de Equações Algébricas Lineares e Problemas de Valor Característico 
 
i) Sem resolver, verifique se os sistemas abaixo têm solução diferente da trivial. 
Justifique. 
 
(a) 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+−
=+−
=−+
024
032
0
zyx
zyx
zyx
 (b) 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−+
=−+
=++
0
042
0223
zyx
zyx
zyx
 
 
ii) Resolva o sistema de equações lineares abaixo pelos seguintes métodos: 
 
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
=−+−
=+−+−
=++
=−+−
8232
2623
423
722
4321
4321
321
4321
xxxx
xxxx
xxx
xxxx
 
 (a) Método de Gauss; 
 (b) Método de Gauss-Jordan; 
 (c) Regra de Cramer. 
 
 
iii) Calcule os valores de k para que o sistema abaixo tenha uma única solução. 
 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=++
=−+
=++
23
1
332
zykx
zyx
zkyx
 
 
iv) Determine os autovalores e autovetores (normalizados) para a matriz [ ]A a seguir: 
 
[ ]
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
100
021
012
A 
 
v) Considere a matriz simétrica [ ]A apresentada a seguir. 
 
[ ]
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
100
031
013
A 
 
(a) Verifique que a matriz [ ] 2A também é uma matriz simétrica; 
(b) Verifique que os autovalores de [ ] 2A correspondem ao quadrado dos respectivos 
autovalores de [ ]A ; 
(c) Verifique que os autovetores de [ ] 2A são os mesmos da matriz [ ]A . 
(d) Baseado no item (b), determine [ ] DA ; 
 
vi) Demonstre que os elementos da diagonal principal de uma matriz triangular são os 
próprios autovalores da matriz. Utilize uma matriz genérica [ ] 3x3A . 
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS: 
 
1a Questão: Matrizes Inversas e Determinantes 
 
ii) Itens (a), (b) e (c): [ ]
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
−
−
=
1111
1101
1100
0110
A 
iii) Item (c): det [ ] ββ cossen20=C ; Item (d): det [ ] 0=D 
iv) det [ ]A det [ ] 11 =−A 
 
2a Questão: Sistemas de Equações Algébricas Lineares e Problemas de Valor Característico 
 
i) (a) Admite infinitas soluções; (b) Admite somente a solução trivial. 
ii) { } 4,3,2,1 :para 2;3;1;1/S 4321 ===−==ℜ∈= ixxxxx i 
iii) { }32/S ≠∧≠ℜ∈= kkk 
iv) Autovalores: 121 == λλ ; 33 =λ ou [ ]
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
300
010
001
D
A 
 Autovetores: [ ]
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=
3
1
3
1
3
1
1
x ; [ ]
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
=
6
2
6
1
6
1
2
x ; [ ]
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−=
0
2
1
2
1
3
x 
 ou [ ]
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
−=
0
6
2
3
1
2
1
6
1
3
1
2
1
6
1
3
1
T 
v) (a) [ ]
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
100
0106
0610
2
A 
 (b) Autovalores de [ ]A : 11 =λ ; 22 =λ e 43 =λ ou [ ]
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
400
020
001
D
A 
 Autovalores de [ ] 2A : 11 =λ ; 42 =λ e 163 =λ ou [ ]
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
1600
040
001
2
D
A 
 (c) Autovetores de [ ]A e de [ ] 2A : [ ]
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
1
0
0
1
x ; [ ]
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
0
2
1
2
1
2
x ; [ ]
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−=
0
2
1
2
1
3
x 
 ou [ ]
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−=
001
2
1
2
10
2
1
2
10
T 
 (d) [ ]
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
200
020
001
D
A