Apostila Fundamentos de Matemática

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Universidade Estácio de Sá 
Apostila Fundamentos Matemáticos 
Profª Cristiane Leitão 
 
 
 
 
 Unidade I 
 Teoria dos Conjuntos 
 
 
 
I) Alguns Conceitos Primitivos 
Conjunto – é uma coleção de elementos. 
O conjunto de todos os brasileiros. 
O conjunto de todos os números naturais. 
O conjunto dos números reais tal que x
2
- 4 = 0. 
Em geral, um conjunto é denotado por uma letra maiúscula do alfabeto: A, B, C, ... 
 
II) Alguns Conjuntos Especiais 
Conjunto vazio: É um conjunto que não possui elementos. É representado por { } ou por Ø. O 
conjunto vazio está contido em todos os conjuntos. 
Conjunto universo: É um conjunto que contém todos os elementos do contexto no qual 
estamos trabalhando e também contém todos os conjuntos desse contexto. O conjunto universo 
é representado por uma letra U. Na sequência não mais usaremos o conjunto universo. 
 
III) Elemento 
 José da Silva é um elemento do conjunto dos brasileiros. 
 – 2 é um elemento do conjunto dos números reais que satisfaz à equação x2– 4 = 0. 
 Em geral, um elemento de um conjunto, é denotado por uma letra minúscula do 
alfabeto. 
 
IV) Pertinência 
José da Silva pertence ao conjunto dos brasileiros. 
– 2 pertence ao conjunto de números reais que satisfaz à equação x2 – 4 = 0. 
 Se um elemento pertence a um conjunto utilizamos o símbolo 

, que se lê: 
"pertence". 
A relação de pertinência é uma relação entre elemento e conjunto. 
 
V) Inclusão 
A relação de inclusão é uma relação entre conjuntos. Pela relação de inclusão dois 
conjuntos podem ser comparados. Diz-se que um conjunto A está contido em um conjunto B, 
se e somente se todo elemento de A é também um elemento do conjunto B. Simbolicamente: 
 A B x A x B     
. Podemos dizer também que o conjunto B contém o conjunto A: 
B A
. 
 
 
2 
 
VI) Igualdades e Desigualdades 
Diremos que um conjunto A é igual a um conjunto B se, e somente se, o conjunto A 
está contido no conjunto B e o conjunto B está contido no conjunto A. Quando a condição 
acima for satisfeita, escreveremos A = B (lê-se: A é igual a B) e quando não for satisfeita 
denotaremos tal fato por: 
A B
 (lê-se: A é diferente de B). Na definição de igualdade de 
conjuntos, não é importante a ordem dos elementos no conjunto. 
 
VII) Algumas notações para conjuntos 
Muitas vezes, um conjunto é representado com os seus elementos dentro de duas 
chaves 
{ e } através de duas formas básicas e de uma terceira forma geométrica: 
1. Apresentação: Os elementos do conjunto estão dentro de duas chaves { e }. 
A = { a, e, i, o, u } 
N = { 0, 1, 2, 3, 4, ... } 
M = { João, Maria, José } 
2. Descrição: O conjunto é descrito por uma ou mais propriedades. 
A = { x : x é uma vogal} 
N = { x : x é um número natural} 
M = { x : x é uma pessoa da família de Maria} 
3. Diagrama de Venn-Euler (lê-se: "Ven-óiler"): Os conjuntos são mostrados 
graficamente. 
 
 
VIII) Subconjuntos 
Dados os conjuntos A e B, diz-se que A está contido em B, denotado por A

B, se 
todos os elementos de A também estão em B. Algumas vezes diremos que um conjunto A está 
propriamente contido em B, quando o conjunto B, além de conter os elementos de A, contém 
também outros elementos. O conjunto A é denominado subconjunto de B e o conjunto B é o 
superconjunto que contém A. 
 
Propriedades: 
1. Todo conjunto é subconjunto de si mesmo, ou seja: 
A A A  
 
2. O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto, ou seja: 
A A 
 
 
IX) Pertinência X Inclusão 
Existem conjuntos cujos elementos são conjuntos, por exemplo, considere o conjunto 
 A = 
      , , , ,a b a b
 
Nesse caso, 

é elemento de A e portanto escrevemos 
A
 e não 
A
 (Nesse 
caso só podemos escrever se estivermos nos referindo ao conjunto vazio). O mesmo acontece 
com os outros elementos: 
     , , ,a A b A a b A  
. 
3 
 
Vejamos alguns subconjuntos de A. 
               ; ; ; , ; ,A a A b A a b A a b A     
 
 
X) Operações com Conjuntos 
1) União: 
A união dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A 
ou ao conjunto B. 
A

B = { x: x

A ou x

B } 
 
2) Interseção: 
A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao 
conjunto A e ao conjunto B. 
A

B = { x: x

A e x

B } 
Quando a interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto vazio, dizemos que estes conjuntos 
são disjuntos. 
 
3) Diferença de Conjuntos 
A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao 
conjunto A e não pertencem ao conjunto B. 
A – B = { x; a

Ae x

B } 
Do ponto de vista gráfico, a diferença pode ser vista como: 
 
 
4) Complemento de um Conjunto 
O complemento do conjunto B contido no conjunto A, denotado por 
B
AC
, é a diferença entre os 
conjuntos A e B, ou seja, é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto Ae 
não pertencem ao conjunto B. 
B
AC
 = A - B = { x; a

A e x

B } 
 
Graficamente, o complemento do conjunto B no conjunto A, é dado por: 
 
Quando falarmos simplesmente complementar do conjunto A estamos nos referindo ao 
conjunto universo e representamos simplesmente por 
A
, ou então, utilizamos a letra c posta 
como um expoente no conjunto, para indicar o complemento deste conjunto A
C
. Exemplos 
especiais são: Ø
c
= U e U
c
= Ø. 
 
4 
 
5) Conjunto das Partes de um conjunto 
Considere o conjunto A = 
 ,a b
. Vamos escrever os subconjuntos de A: 
Com nenhum elemento: 

 
Com um elemento: 
   , a b
 
Com dois elementos: 
 ,a b
 
O conjunto cujos elementos são todos os subconjuntos de a é chamado conjunto das 
partes de A e geralmente é indicado por P(A) (lê-se: P de A) 
P(A) = 
      , , , ,a b a b
 
Dado o conjunto B = 
 , ,m n p
. 
 P(B) = 
              , , , , , , , , , , , ,m n p m n m p n p m n p
 
Observe que no primeiro exemplo o conjunto A tem dois elementos e obtivemos 4 
subconjuntos (2
2
); no segundo exemplo B tem 3 elementos e obtivemos 8 subconjuntos (2
3
). 
De um modo geral, se um conjunto A tem n elementos, o número de elementos de P(A) é 2
n
. 
 
XI) Propriedades dos Conjuntos 
1. Reflexiva: Qualquer que seja o conjunto A, tem-se que: 
A

A = A e A

A = A 
2. Inclusão: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que: 
A

A

B, B

A

B, A

B

A, A

B

B 
3. Inclusão relacionada: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que: 
A

B equivale a A

B = B 
A

B equivale a A

B = A 
4. Associativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que: 
A

 (B

C) = (A

B) 

 C 
A

 (B

C) = (A

B) 

 C 
5. Comutativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que: 
A

B = B

A 
A

B = B

A 
6. Elemento neutro para a união: O conjunto vazio Ø é o elemento neutro para a reunião 
de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem: 
A

Ø = A 
7. Elemento neutro para a interseção: O conjunto universo U é o elemento neutro para a 
interseção de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem: 
A

U = A 
5 
 
8. Distributiva: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que: 
A

( B

C ) = ( A 

B ) 

 ( A 

C ) 
A

( B 

C ) = ( A 

B ) 

 (A 

C ) 
 
Leis de Augustus De Morgan 
O complementar da união de dois conjuntos é a interseção dos 
complementaresdesses conjuntos. 
(A

B)
c
 = A
c

B
c
 
O complementar da união de uma coleção finita de conjuntos é a interseção 
dos complementares desses conjuntos. 
(A1  A2  ...  An)
c
 = A1
c

A2
c

... 

An
c
 
O complementar da interseção de dois conjuntos é a união dos 
complementares desses conjuntos. 
(A

B)
c
 = A
c

B
c
 
O complementar da interseção de uma coleção finita de conjuntos é a união 
dos complementares desses conjuntos. 
(A1  A2  ...  An)
c
 = A1
c

A2
c

... 

An
c 
 
XII) Número de elementos da união entre conjuntos 
 Indicando por n(A) o número de elementos de A; n(B) o número de elementos de B; 
n(A

B) o número de elementos de A

B e n(A

B) o número de elementos de A

B, é válida 
a seguinte relação: 
 
( ) ( ) ( ) ( )n A B n A n B n A B    
 
 
 
XIII) Conjuntos Numéricos 
 
1) Conjuntos dos Números Naturais 
 O conjunto dos números naturais é representado pela letra maiúscula N e estes números 
são construídos com os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que também são conhecidos como 
algarismos indo-arábicos. 
 No século VII, os árabes invadiram a Índia, difundindo o seu sistema numérico. Embora 
o zero não seja um número natural no sentido que tenha sido proveniente de objetos de 
contagens naturais, iremos considerá-lo como um número natural uma vez que ele tem as 
mesmas propriedades algébricas que os números naturais. Na verdade, o zero foi criado pelos 
hindus na montagem do sistema posicional de numeração para suprir a deficiência de algo nulo. 
 
Na seqüência abaixo consideraremos como naturais tendo início com o número zero e 
escreveremos este conjunto como: 
 N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} 
Representaremos o conjunto dos números naturais com a letra N. N é um conjunto com 
infinitos números. 
Excluindo o zero do conjunto dos números naturais, o conjunto será representado por N*, 
isto é: 
N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...} 
 
 
 
6 
 
2) Conjuntos dos Números Inteiros 
 
Z = {... , – 4, – 3, – 2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... } 
 
O conjunto dos números inteiros é infinito. A escolha da letra Z para representar o 
conjunto dos números inteiros, deve-se ao fato da palavra Zahl em alemão, significar número. 
É trivial entender que o conjunto dos números naturais N é um subconjunto do conjunto 
dos números inteiros Z, ou seja: N  Z. 
Chama-se oposto (ou simétrico aditivo) de um número inteiro a ao número – a. 
 
3) Conjunto dos Números Racionais 
Um número racional é o que pode ser escrito na forma 
m
n
, onde m e n são números 
inteiros, sendo que n deve ser não nulo, isto é, n deve ser diferente de zero. Frequentemente 
usamos 
m
n
para significar a divisão de m por n. O conjunto de todos os números racionais é 
denotado por Q. Assim, é comum encontrarmos na literatura a notação: 
*; e 
m
Q m Z n Z
n
 
   
 
 
4) Conjunto dos Números Irracionais 
Os números irracionais são decimais infinitas não periódicas, ou seja, os números que 
não podem ser escrito na forma de fração (divisão de dois inteiros). Como exemplo de números 
irracionais, temos a raiz quadrada de 2 e a raiz quadrada de 3: 
 
Outros números irracionais: o número  = 3,1415926535..., 
o número de Euller e = 2,71828.... 
 
5) Conjunto dos Números Reais 
Dados os conjuntos dos números racionais (Q) e dos irracionais, definimos o conjunto dos 
números reais como: 
 
 
 
 
O diagrama abaixo mostra a relação entre os conjuntos numéricos: 
 
Portanto, os números naturais, inteiros, racionais e irracionais são todos números reais . 
Assim todas as propriedades que vimos anteriormente valem para os números reais. Como 
subconjuntos importantes de IR temos: 
 IR* = IR-{0} 
 IR+ = conjunto dos números reais não negativos 
IR = Q  {irracionais} = {x| x é racional ou x é irracional} 
...7320508,13
...4142135,12


7 
 
IR_ = conjunto dos números reais não positivos 
 
Obs: Entre dois números reais existem infinitos números reais. Por exemplo:Entre os números 1 
e 2 existem infinitos números reais: 
1,01 ; 1,001 ; 1,0001 ; 1,1 ; 1,2 ; 1,5 ; 1,99 ; 1,999 ; 1,9999 ... 
 
É comum quando trabalhamos com o conjunto dos números reais utilizarmos a notação de 
intervalos. 
 
 
 
XIV) Intervalos 
1. Intervalo aberto: O conjunto de todos os números x que satisfazem a sequência da 
desigualdade a < x < b é chamado intervalo aberto e denotado por: 
   bxaxba , 
ou ( ) 
 
2. Intervalo fechado: 
   bxaxba , ou 
[ ] 
 
3. Intervalo semi-aberto à esquerda: 
   bxaxba , 
ou ( ] 
 
4. Intervalo semi-aberto à esquerda: 
   bxaxba , 
ou [ ) 
 
5. Intervalos infinitos:    
   
   
   
  IR
axxa
axxa
axxa
axxa





,
,
,
,
,
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a b 
a b 
a b 
a b 
8 
 
Lista de Exercícios sobre Conjuntos 
 
1) Uma pesquisa realizada num colégio sobre o gosto musical dos alunos indicou que 458 
gostam de rock, 112 gostam de música sertaneja, 62 de ambos e 36, de nenhum desses estilos 
musicais. Com base nestes dados, determine o número de alunos consultados. 544 
 
2) Numa cidade, foi feito um levantamento para saber quantas crianças haviam recebido as 
vacinas Tríplice e Sabin. Os resultados obtidos estão na tabela abaixo. Determine o número de 
crianças: 
 
 
a. abrangidas pela pesquisa 10606 
b. que receberam apenas a Sabin 4616 
c. que receberam apenas uma vacina 8150 
 
 
3) Dados os intervalos A = ]1, 4], B = ]2, 8[ e C = [4, 10], determine: 
a) (A  B)  C b) (A  B) – C c) (A  B)  C d) (B – A)  C 
 
 
4) Dados A= ] – 4 , 3] ; B= [– 5 , 5] e C = ] – 

, 1[ . Determine: 
a) 
A B C 
 = ] – 4, 1[ 
b)
( )A B C 
 = [– 5 ,1[ 
c)
C A
= ] – 

, – 4] 
d) 
( )A B C 
= [1 , 3] 
 
5) Um conjunto T tem 15 elementos, outro conjunto R tem 8 elementos e 5 elementos são 
comuns a T e R. Determine o número de elementos de 
T R
. 18 
 
 
6) Num certo bairro, foram entrevistadas 330 pessoas. Destas, 200 usam o shampoo A, 150 
usam o shampoo B e 50 não usam nem A nem B. Quantas pessoas usam A e B? 70 
 
7) Numa escola verificou-se a preferência de filmes de 600 alunos, descobrindo-se que 380 
deles gostam de ficção, 350 gostam de terror e 90 gostam de outros tipos de filmes. Quantos 
alunos gostam de: 
a) ficção apenas? 160 
b) ficção ou terror? 510 
c) ficção e terror? 220 
 
8) Dados os conjuntos 
 / 0 3A x x   
,
 / 3B x x  
e 
 / 2 3C x x    
, determine ( B – A )

C. 
 
9) Se x A e x  B, determinar se as sentenças são verdadeiras ou falsas: 
a) x (A  B) b) x (A  B) c) x (A – B) d) x (B – A) 
 
 
10) A e B são dois conjuntos tais que A – B tem 50 elementos, A  B tem 10 elementos e A B 
tem 75 elementos. Então, o número de elementos de B – A e o número de elementos de B são 
respectivamente: 
a) 10 e 20 b) 25 e 15 c) 15 e 25d) 20 e 30 e) 5 e 20 
 
 
Vacina Nº Crianças 
Sabin 5428 
Tríplice 4346 
Sabin e 
Tríplice 
812 
Nenhuma 1644 
9 
 
11) Sabendo-se que A  B, determinar se as sentenças são verdadeiras ou falsas: 
a) A  B = B b) A  B = A c) A – B = d) B  A = B 
 
12)Se A ,B e C são tais que: 
A B
 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7},
A B 
{4, 5}, 
C – B = {1, 2}, B – A = {6, 7} e 
 e B C C A  
. Calcule A – C : 
 
 
13)Sejam A, B e C subconjuntos do conjunto X = {1, 2, 3} tais que, simultaneamente, 
A  (C – B) = {1}, B  (A – C) = {2}, C  (B – A) = {3}. 
Sendo Y = A  B  C, determinar Y. 
 
 
14)Desejando verificar qual o jornal preferido pelos estudantes, uma pesquisa apresentou os 
resultados constantes na tabela abaixo: 
jornais A B C A e B A e C B e C A, B e C nenhum 
leitores 300 250 200 70 65 105 40 150 
 
a) Quantas pessoas leem apenas o jornal A? 205 
b) Quantas pessoas leem o jornal A ou B? 480 
c) Quantas pessoas não leem o jornal C? 500 
d) Quantas pessoas foram consultadas? 700 
 
15)Ao realizar-se uma prova contendo três questões A, B e C, 5 alunos acertaram as três 
questões, 7 acertaram as questões A e B, 9 acertaram B e C, 6 acertaram A e C, 11 acertaram A, 
18 acertaram B, 16 acertaram C e 2 não acertaram nenhuma. Quantos alunos realizaram a 
prova? 
 
16)Numa pesquisa sobre a preferência em relação a dois filmes, foram consultadas 470 pessoas 
e o resultado foi o seguinte: 250 delas assistiram ao filme F, 180 assistiram ao filme M e 60 aos 
filmes F e M. Calcule quantas pessoas: 
a) assistiram apenas ao filme F? 190 
b) assistiram apenas ao filme M? 120 
c) assistiram a um dos dois filmes? 310 
d) Não assistiram a nenhum dos filmes? 100 
 
17) Uma editora estuda a possibilidade de relançar as publicações: Helena, Iracema e a 
Moreninha. Para isso fez uma pesquisa e o resultado foi o seguinte, em cada 1000 pessoas 
consultadas, 
600 leram a A Moreninha 
400 leram Helena 
300 leram Iracema 
200 leram A Moreninha e Helena 
150 leram A Moreninha e Iracema 
100 leram Iracema e Helena 
20 leram as três obras. 
Calcule 
a) o número de pessoas que leu apenas uma das três obras. 460 
b) o número de pessoas que não leu nenhuma das três obras. 130 
 
 
18) Numa prova constituída de dois problemas, 300 alunos acertaram somente um dos 
problemas, 260 acertaram o segundo, 100 alunos acertaram os dois e 210 erraram o primeiro. 
Quantos alunos fizeram a prova? 450 
 
10 
 
19) Uma pesquisa de mercado sobre o consumo de três marcas A, B e C de um determinado 
produto apresentou os seguintes resultados: 
 
 
 
a) Qual é a porcentagem dos entrevistados que consomem as três marcas? 
b) Qual é a porcentagem dos entrevistados que consomem apenas uma das três marcas? 
c) Qual é a porcentagem dos entrevistados que consomem pelo menos duas das três marcas? 
 
20) (UFES) As marcas de cerveja mais consumidas em um bar, num certo dia, foram A, B e S. 
Os garçons constataram que o consumo se deu de acordo com a tabela a seguir: 
a) Quantos beberam cerveja no bar, nesse dia? 
b) Dentre os consumidores de A, B e S, quantos beberam apenas duas dessas marcas? 
c) Quantos não consumiram a cerveja S? 
d) Quantos não consumiram a marca B nem a marca S? 
 
 
21) Numa pesquisa feita com 1000 famílias para se verificar a audiência dos programas de 
televisão, os seguintes resultados foram encontrados: 510 famílias assistem ao programa A, 305 
famílias assistem ao programa B e 386 assistem ao programa C. Sabe-se ainda que 180 famílias 
assistem aos programas A e B, 60 assistem aos programas B e C, 25 assistem a A e C, e 10 
famílias assistem aos três programas. 
a) Quantas famílias não assistem a nenhum desses programas ? 
b) Quantas famílias assistem somente ao programa A? 
c) Quantas famílias não assistem nem ao programa A nem ao programa B ? 
Respostas: a) 54 famílias, b) 315 famílias, c) 365 famílias. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A B C A e B A e C B e C nenhum 
48% 45% 50% 18% 15% 25% 5% 
11 
 
 
 
 
 Unidade II 
 Razão, Proporção, Regra de Três e Porcentagem 
 
 
 
 
I) Razão 
Quando comparamos dois números através da divisão, obtido chama-se razão entre 
esses dois números. 
Sendo a e b dois números racionais, com b 

0, denomina-se razão entre a e b ou razão de a 
para b o quociente 
b
a
 ou a : b. A razão 
b
a
 ou a : b pode ser lida de uma das seguintes 
maneiras: 
 
 ou ou 
 
 
Razões Inversas 
Dá-se o nome de razões inversas a duas razões que tem o produto igual a 1 (um). 
Ex: 
4
3
 e 
3
4
 são razões inversas, pois 
4
3
 . 
3
4
 = 1. 
 
Razões Iguais 
Duas razões são iguais quando as frações que representam estas razões forem 
equivalentes. 
Ex: 
10
5
 ~ 
4
2
. 
 
II) Proporção 
 Uma sentença matemática que expressa uma igualdade entre duas razões é chamada 
proporção. Proporção é uma igualdade entre duas razões. 
De um modo geral: 
 Quatro números racionais a, b, c e d, diferentes de zero, nessa ordem, formam uma 
proporção quando: a : b = c : d ou 
a
b
 = 
c
d
 
 
Quarta Proporcional 
Um número diz-se quarta proporcional quando forma com três outros uma proporção. 
 
Ex: O número 5 é a quarta proporcional de 9, 15 e 27 porque com esses números se forma 
a proporção: 
5 15
9 27

 
 
Cálculo da Quarta Proporcional: 
 
Seja a proporção: 
6 18
7 x

 
 
6 . x 7 . 18
 
razão de a para b a está para b a para b 
12 
 
 
7 . 18
x ou
6

 
 
III) Propriedades das Proporções: 
Soma dos termos 
Dada a proporção: 
d
c
b
a

 
Podemos escrever: 
 
 ou 
 
 
 
Diferença dos termos 
Dada a proporção: 
d
c
b
a

 
 
Podemos escrever: 
 
 ou 
 
 
 
 
Soma e diferença dos antecedentes e consequentes 
Dada a proporção 
d
c
b
a

 podemos escrever: 
 
 
Produto de proporções 
Multiplicando ordenadamente os termos de duas ou mais proporções, os produtos formarão 
ainda uma proporção. 
Dadas as proporções: 
 
3
3
3
3
2
2
2
2
1
1
1
1
d
c
b
a
d
c
b
a
d
c
b
a

 
 
Podemos escrever: 
321
321
321
321
ddd
ccc
bbb
aaa





 
 
IV) Regra de Três 
 
1) Regra de Três Simples Direta 
Com os três elementos dados e a incógnita estabelecemos uma proporção. Em seguida 
calculamos a quarta proporcional. 
 A e B serão grandezas diretamente proporcionais se o valor de B aumentar quando o 
valor de A aumentar ou se o valor de B diminuir quando o valor de A diminuir. 
 
2) Regra de Três Simples Inversa 
A regra de três é inversa quando o problema só envolve grandezas inversamente 
proporcionais. 
x = 21 
c
dc
a
ba 


 
d
dc
b
ba 


 
c
dc
a
ba 


 
ddc
b
ba 


 
d
c
b
a
db
ca



 
13 
 
A razão de dois valores de uma das grandezas é igual à razão inversa dos correspondentes 
na outra. 
 A e B serão grandezas inversamente proporcionais se o valor de B diminuir quando o valor 
de A aumentar ou quando o valor de B aumentar quando o valor de A diminuir. 
 
3) Regra de Três Composta 
Vamos apresentar uma maneira simples para resolver regra de três composta. 
Considere o exemplo: 
 
Doze operários, em 90 dias, trabalhando 8 horas por dia, fazem 36 m de certo tecido. Podemos 
afirmar que, para fazer 12 m do mesmo tecido, com o dobro da largura, 15 operários, 
trabalhando 6 horas por dia levarão? 
 
Em primeiro lugar monte o algoritmo, que seria: 
12 ----- 90 d ------ 8 h/d ------ 36 m 
15 ------ x ------ 6 h/d ------ 24 m 
Porque 24 m e não 12 m? Cuidado! Pois o tecido tem o dobro de largura. 
A seguir trabalhe com as colunas duas a duas (sendo sempre uma delas a coluna que contém o 
x) fixando as variáveis das demais colunas. Por exemplo, com o número de operários e o 
número de dias (colunas 1 e 2) 
teríamos o seguinte problema: "Doze operários fazem um determinado trabalho em 90 dias. Em 
quantos dias 15 operários executariam o mesmo trabalho trabalhando o mesmo número de h/d?" 
O algoritmo da regra de 3 simples seria: 
12 ------ 90 d 
15 ------ x 
Ora, "mais" operários significa "menos" tempo para o término da tarefa. A relação é inversa e 
portanto o algoritmo deve ser invertido na coluna 1 (importante: a coluna do x, deve permanecer 
fixa). 
O algoritmo fica então, temporariamente, como: 
15 ----- 90 d ----- 8 h/d ------ 36 m 
12 ----- x ----- 6 h/d ------ 24 m 
Passe agora para as colunas 2 e 3, O problema seria, então: "Um certo número de pessoas leva 
90 dias para executar uma determinada tarefa trabalhando 8 h/d. Quantos dias serão necessários 
se o mesmo grupo trabalhar apenas 6h/d?" O algoritmo é: 
90 d ----- 8 h/d 
 x ----- 6 h/d 
"Menos" horas trabalhadas por dia deve implicar em "mais" dias de trabalho. A relação também 
é inversa e a coluna 3 também deve ser invertida. Ficamos então com: 
15 ----- 90 d ----- 6 h/d ----- 36 m 
12 ----- x ----- 8 h/d ----- 24 m 
Vamos agora para a última coluna confrontando-a com a coluna de referência 2: "Um certo 
número de operários tece 36 m de tecido em 90 dias. Quantos dias serão necessários para 
tecerem 24 m? De maneira semelhante montamos: 
90 d ----- 36 m 
 x ----- 24 m 
Se o trabalho a ser realizado "diminui", o número de dias também"diminuirá". A regra é direta, 
e o algoritmo não deve ser modificado. 
 
O algoritmo em sua forma útil será então: 
14 
 
15 op ----- 90 d ----- 6 h/d ----- 36 m 
12 op ---- x ------ 8 h/d ----- 24 m 
Fixe agora sua atenção no x e multiplique os termos que estão na mesma linha ou coluna do x. 
Divida o resultado pelos demais membros, obtendo x. Ou seja: 
x = (90 * 12 * 8 * 24) / (15 * 6 * 36) = 64 dias. 
Observação: O assunto foi exposto de forma didática. Na prática você deve se acostumar a 
trabalhar diretamente em cima do algoritmo, verificando rapidamente se a razão é direta ou 
inversa, mantendo a ordem no primeiro 
caso e invertendo-a no segundo. Não é necessário montar problemas intermediários a não ser 
mentalmente e/ou em casos de dúvida. 
 
 
Exercícios: 
1) 21 pintores, trabalhando 8 horas por dia, pintam um edifício em 6 dias. Nas mesmas 
condições, quantos dias serão necessários para que 9 pintores, trabalhando 7 horas por dia, 
pintem o mesmo edifício? 
 Resposta: 16 dias 
 
2) 14 operários, em 10 dias, trabalhando 8 horas por dia, fazem 56.000 peças. Quantos dias 
levarão 9 operários, para fazer 32.400 peças, trabalhando 6 horas por dia ? 
 Resposta: 12 dias 
 
3) Se 5 máquinas, funcionando 6 horas por dia, durante 30 dias, produzem 50.000 peças, em 
quantos dias, 10 máquinas, funcionando 6 horas por dia, produzirão 90.000 peças? 
 Resposta: 27 dias 
 
 
V) Porcentagem 
 
É o valor obtido quando aplicamos uma razão centesimal a um determinado valor. 
Ex: 25% = 
25
100
 = 
1
4
 
 
Para converter uma razão comum numa razão centesimal basta multiplicarmos o 
numerador e o denominador por uma fração que tenha 100 como antecedente e o denominador 
da fração que se quer converter como consequente. 
 
Ex: 
100
3
3 754 75%
1004 100
4
4

  

 
 
 
Exercícios: 
 
1) Uma compra foi efetuada por R$ 1.500,00. Obteve um desconto de 25%. Qual foi o valor 
pago? 
2) Uma agência de viagem tem um pacote para Bueno Aires por R$ 850,00. No próximo mês 
terá um aumento de 12%. Qual será o novo preço da viagem? 
3) Um comerciante comprou 10 sacas de arroz por R$ 300,00. Quanto ele deverá vender cada 
saca para obter um lucro de 35%? 
4) Um computador custava R$ 2.000,00 e teve um aumento de R$ 100,00. De quantos por 
cento foi esse aumento? 
15 
 
5) Por R$750,00 vendi minha máquina fotográfica com 25% de prejuízo sobre o custo. Por 
quanto comprei a máquina? 
6) Na venda de um certo objeto houve lucro de R$12,00 correspondente a 16% do preço de 
custo. Qual foi o preço de custo? 
7) Uma pessoa devia R$ 20.000,00 e pagou R$7.400,00. Quantos por cento da dívida foram 
pagos? 
8) O salário de um trabalhador era de R$ 840,00 e passou a ser de R$966,00. Qual foi a 
porcentagem de aumento? 
9) Paulo gastou 40% do que tinha e ainda ficou com R$87,00. Quanto ele tinha e quanto ele 
gastou, em reais? 
 
OBS: Se ele gastou 40%, a quantia de R$ 87,00 corresponde a 60% do que ele possuía. 
Fazemos então 60% de x = 87 
 
 
 
Lista de Exercícios sobre Razão, Proporção e Regra de Três 
 
1) Calcule os valores de x , y e z nas proporções abaixo: 
 a) 
2 5 7
x y z
 
 sabendo que 
168x y z  
 
 b) 
5
3
x
y

 sabendo que 
32x y 
 
 c) 
5 2
x y

 sabendo que 
84x y 
 
 d) 
3 5
x y

 sabendo que 
40x y 
 
 
 
2) Num colégio com 1000 alunos, 65/100 dos alunos são do sexo masculino. Todos os 
estudantes foram convidados a opinar sobre o novo plano do governo, apurados os 
resultados verificou-se que 2/5 do total dos homens e ½ do total das mulheres 
manifestaram-se a favor do plano. Quantos estudantes desse colégio são favoráveis ao 
plano? 
 
3) Antônio, João e Pedro trabalham na mesma empresa há 8, 6 e 2 anos respectivamente. 
A empresa distribuiu uma gratificação de R$ 60.000,00 para esses funcionários em 
partes diretamente proporcionais ao tempo de serviço de cada um. Quantos reais, Pedro 
recebeu de gratificação? 
 
4) Para montar uma sociedade Márcio, Cláudio e Ricardo formaram uma sociedade. 
Márcio entrou com R$ 24.000,00. Cláudio com R$ 27.000,00 e Ricardo com R$ 
30.000,00. depois de 6 meses, a empresa obteve um lucro de R$ 32.400,00 que foi 
dividido entre os sócios em partes diretamente proporcionais à quantia que cada um 
investiu. Quanto coube a cada um? 
 
5) Duas pessoas apostaram juntas e ganharam numa loteria R$ 60.000,00. Quanto coube a 
cada uma, se as importâncias que jogaram estão na razão 
2
3
? 
 
6) Numa cantina escolar, de cada 4 refrigerantes vendidos, 3 são da marca X. na última 
quinta feira foram vendidos 100 refrigerantes. Qual a venda do refrigerante X nesse dia? 
16 
 
 
7) No carnaval passado, a escola de samba Vaidade desfilou com 5000 componentes. De 
cada 5 integrantes dessa escola, 2 eram mulheres e 3 eram homens. Quantas mulheres e 
quantos homens desfilaram pela Vaidade? 
 
8) Numa loja de automóveis, entre cada 17 automóveis vendidos, 2 são de luxo e 15 são 
populares. No primeiro semestre deste ano, a loja vendeu 153 automóveis. Quantosautomóveis de luxo e popular ela vendeu? 
 
9) Em um restaurante , 150 fregueses consomem 3.000 esfihas em 5 dias. Calcule quantas 
esfihas 200 fregueses irão consumir em 30 dias, admitindo que todos os fregueses 
tenham hábitos iguais. 
 
10) Uma gráfica tem 5 máquinas iguais que imprimem 36.000 panfletos em 2 horas. Se 
duas dessas máquinas não estiverem funcionando, em quanto tempo as restantes fariam 
27.000 panfletos? 
 
11) Se 6 impressoras iguais produzem 1.000 panfletos em 40 minutos, em quanto tempo 3 
dessas impressoras produziriam 2.000 panfletos? 
 
 
 
 
 
 
 Unidade III 
 Funções 
 
 
 
I) Introdução 
Ao lermos um jornal ou uma revista, diariamente nos deparamos com gráficos, tabelas e 
ilustrações. Estes são instrumentos muito utilizados nos meios de comunicação. Um texto com 
ilustração, é muito mais interessante, chamativo, agradável e de fácil compreensão. Não é só nos 
jornais ou revistas que encontramos gráficos. Os gráficos estão presentes nos exames 
laboratoriais, nos rótulos de produtos alimentícios, nas informações de composição química de 
cosméticos, nas bulas de remédios, enfim em vários lugares. Ao interpretarmos estes gráficos, 
verificamos a necessidade do conceito de plano cartesiano. 
 
O conceito de função é um dos mais importantes conceitos da Matemática. Considere o 
seguinte exemplo: Um teatro está exibindo uma peça a R$ 10,00 o ingresso, então: 
 Se em uma sessão forem vendidos 80 ingressos, a renda total será de 80.10,00 = 800,00. 
 Se forem vendidos 100 ingressos, a renda total será de 100.10,00 = 1.000,00. 
De um modo geral, indicamos por x o número de ingressos vendidos e por y a renda total, 
os valores de x e y se relacionam pela igualdade y = 10x, esta situação constitui um exemplo de 
função. 
Vejamos outros exemplos de funções: 
Consumo: Se sabemos, que, em certa padaria, o preço do pão francês é R$ 0,20, podemos 
calcular o valor a ser pago em uma compra relacionando duas grandezas: a quantidade 
comprada com o preço correspondente a essa quantidade. Dizemos que o valor pago é função da 
quantidade de pães. 
 Telefonia: Em chamadas telefônicas, podemos relacionar o tempo de conversa à 
quantidade de pulsos a serem cobrados. Assim a quantidade de pulsos é função do tempo de 
conversação. 
O preço da água a ser paga mensalmente é função da quantidade de água consumida. 
17 
 
O tempo gasto por um carro para percorrer determinada distância é função de sua 
velocidade. 
 
 
 
II) Definição de função 
Utilizando o conceito de relação: 
Dados dois conjuntos A e B, não vazios, e uma relação R de A em B.R será uma função de 
A em B se, e somente se, para todo x

 A existe um só y

 B tal que (x, y) 

 R. 
De um modo geral, podemos definir que uma relação de A em B é função se todo elemento 
de A participar da relação e se cada elemento de A só estiver associado a um único elemento de 
B. 
 
 
Exemplos: 
 
 
 A f B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 C g D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 E h F 
 
 
 
 
 
 
 
 7 
 1 
 2 
 3 
 4 
 5 
 6 
 18 
 19 
 16 
 13 
 15 
 1 
 2 
 3 
 4 
 8 
 9 
 10 
 12 
 13 
 5 
 6 
 8 
 7 
 1 
 2 
 3 
 4 
 5  2 
18 
 
 G t H 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Note que, nos exemplos acima, as relações f, g e h são funções, pois: 
 todo elemento de A está associado, através de f, a um único elemento de B; 
 todo elemento de C está associado, através de g, a um único elemento de D; 
 todo elemento de E está associado, através de h, a um único elemento de F; 
 porém, tnão é função, pois o elemento 4 está associado através de t a mais de um elemento de 
H (1 e 6). 
 
 
Sem utilizar o conceito de relação: 
Em algumas equações em x e y, é possível isolar a variável y e colocá-la em função de x, 
de modo que, para cada valor de x, fique associado um único valor de y. Geometricamente, isto 
significa que qualquer reta vertical x = k corta o gráfico da equação, no máximo, em um ponto. 
 Neste caso, dizemos que y é uma função de x e representamos esse fato por: 
y = f(x) (lê-se: f de x). A variável x é denominada variável independente e a variável 
y, variável dependente. 
 
 O gráfico da equação denomina-se gráfico da função f. 
 
 y y 
 
 
 
 
 x = k x = k 
 
 É função Não é função 
 
Mais formalmente: Dados dois conjuntos A e B, uma função f de A em B é uma lei ou 
regra de correspondência que a cada elemento x de A, denominado Domínio, associa um único 
elemento y = f(x) de B, denominado Contradomínio ou campo de valores de f. 
 
Notação: f : A → B 
 x |→ y = f(x) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4 
 3 
 2 
 1 
 6 
 8 
 9 
19 
 
Ex1: Observe na tabela o número de locações de DVD realizadas por uma locadora e o preço 
total correspondente. 
Número de Locações 1 2 3 4 
Preço (R$) 5 10 15 20 
 
a) O preço da locação é dado em função de que? 
b) Qual é a variável independente nessa situação? 
c) Escreva uma lei matemática que associe o número x de locações com o preço y. 
d) Qual o preço de 20 locações de DVD? 
e) Quantas locações correspondem ao preço de R$ 50,00? 
 
Ex2: Uma locadora de veículos aluga automóveis a uma taxa fixa de R$ 150,00 mais R$ 0,10 
por quilômetro rodado. 
a) Expressar o custo de locação em função da quilometragem. 
b) Expressar o custo de locação se o automóvel andar 100Km 
 
Ex3: O preço que pagamos quando andamos de táxi é composto por uma parte fixa, 
denominada bandeirada, e uma parte variável, que depende do número de quilômetros rodados. 
 
a) Expresse o preço de uma “corrida” (y) em função do número correspondente de 
quilômetros rodados (x), considere o preço da “bandeirada” R$3,50 e R$ 0,25 o preço 
por quilômetro rodado. 
Pede-se : 
b1) O preço a ser pago para uma corrida de 4,0Km. 
b2) O número de quilômetros rodados por uma corrida que custou R$ 7,50 
b3) O número de quilômetros rodados por uma corrida que custou R$ 3,50 
 
Ex4: (UFF) Em um certo dia, três mães deram à luz em uma maternidade. A primeira teve 
gêmeos, a Segunda, trigêmeos e a terceira, um único filho. 
Considere, para aquele dia, o conjunto das três mães, o conjunto das seis crianças e as 
seguintes relações: 
 
 I) A que associa cada mãe ao seu filho. 
 II) A que associa cada filho à sua mãe. 
 III)A que associa cada criança ao seu irmão. 
 São funções : 
(A) somente a I. 
(B) somente a II. 
(C) Somente a III. 
(D) Todas 
(E) Nenhuma 
 
 
III) Aplicações na Economia 
 As funções de 1º grau, são úteis para descrever o comportamento de algumas funções 
econômicas. 
 
 Função Custo, Função Receita e Função Lucro, Ponto de “break even” 
 Considere uma firme que fabrica e vende um determinado bem (produto). Se x 
representa a quantidade produzida e vendida, então, 
 - o custo fixo CF é a soma de todos os custos que não dependem do nível de produção 
tais como aluguel, seguros etc 
 - o custo variável CV(x) é a soma de todos oscustos que dependem do número x de 
unidades produzidas tais como mão-de-obra, material etc 
 - o custo total C(x) é a soma do custo fixo com o custo variável 
20 
 
 - a receita total R(x) é a quantia que o fabricante recebe pela venda de x unidades 
 - o lucro total L(x) é a diferença entre a receita total e o custo total: 
 L(x) = R(x) – C(x) 
Resumindo: 
 
 
 
 
 
Ponto de “break even”(ponto de ruptura) 
É o ponto de interseção entre o gráfico da receita total e o gráfico do custo total. Ele 
indica a quantidade produzida tal que o lucro total é zero. É a partir dessa quantidade mínima 
que o produtor começará a ter lucro. 
 
Ex5: Uma indústria de autopeças tem um custo fixo de R$ 15.000,00 por mês. Se cada peça 
produzida tem um custo de R$ 6,00 e o preço de venda é de R$ 10,00 por peça, quantas peças 
deve a indústria produzir para ter um lucro de R$ 30.000,00 por mês? 
 
Sol: Custo total: C(x) = 15.000 + 6x 
 Receita total: R(x) = 10x 
 Lucro total = receita total – custo total 
 L(x) = R(x) – C(x) 
 30.000 = 10x – (15.000 + 6x) 
 30.000 = 4x – 15.000 
 4x = 45.000Assim: x = 11.250 
A indústria precisa vender mais de 11.250 peças por mês para ter lucro. 
 
 
 Função Demanda, Função Oferta, Ponto de Equilíbrio 
 A quantidade demandada (procura) de um determinado bem depende do preço desse 
bem, dos preços de outros bens, e de outros fatores. A lei de procura afirma que: quanto menor 
o preço de um determinado bem, maior a quantidade que se deseja comprar por unidade de 
tempo. 
 
OBS: Os economistas, ao contrário dos matemáticos representam a variável independente p 
(preço) no eixo vertical e a variável dependente q (quantidade demandada) no eixo horizontal. 
 
 A quantidade ofertada de um determinado bem depende do preço desse bem, da oferta 
de insumos, dos impostos e subsídios, e de outros fatores, a oferta, de um modo geral é a 
quantidade de um bem que determinada indústria esta disposta a vender em um certo período de 
tempo. Numa situação “normal”, se o preço aumentar, a quantidade ofertada aumentará 
concomitantemente. 
O gráfico de uma curva de oferta e demanda será parecido com o gráfico abaixo: 
 
 A figura (A) mostra uma representação mais geral de curvas de oferta e demanda, 
enquanto a figura (B) representa a oferta e a demanda como funções lineares. 
Custo total = custo fixo + custo variável 
Lucro total = receita total – custo total 
21 
 
 
 O ponto de equilíbrio é o ponto de interseção do gráfico da oferta com o gráfico da 
demanda. Suas coordenadas são o preço de equilíbrio e a quantidade de equilíbrio. Se o preço 
está acima do preço de equilíbrio há excesso de oferta e o preço tende a cair; se o preço está 
abaixo do preço de equilíbrio, há escassez de oferta e o preço tende a subir. 
 
Ex6: Num modelo linear de oferta e procura, as quantidades ofertadas e demandadas são 
respectivamente, funções lineares do preço: 
qd= 24 – p 
qs= – 20 + 10p 
Pede-se o preço e a quantidade de equilíbrio. Esboce o gráfico da situação. 
 
Sol: Fazendo qd = qs, temos que o preço de equilíbrio: 
24 – p = – 20 + 10p 
Logo p = 4. Substituindo em qd (ou qs), obtemos 
qd= 24 – 4 = 20 
Assim, preço de equilíbrio = 4, quantidade de equilíbrio = 20 
 
OBS: O símbolo qd designa quantidade demandada e qs indica quantidade ofertada ( a letra s 
vem do inglês supply = oferta). 
 
 
 
Exercícios 
1) Uma locadora de veículos aluga automóveis a uma taxa fixa de R$ 150,00 mais R$ 0,10 por 
quilômetro rodado. 
a) Expressar o custo de locação em função da quilometragem. 
b) Expressar o custo de locação se o automóvel andar 100Km 
c) Expressar o custo de locação se o automóvel ficou parado 3 dias 
d) Quantos quilômetros o automóvel andou se a locação custou R$ 350,00 
 
2) Uma empresa fabrica determinada mercadoria, cujo custo é R$ 2,00 a unidade. Na produção 
dessas mercadorias, há um custo mensal fixo de R$ 22.500,00 referentes a despesas com 
salários, encargos, manutenção de máquinas etc. Sabendo que cada unidade será vendida por R$ 
4,00, determinar: 
a) Qual a função custo total? 
b) Quantas unidades a fábrica precisa vender para atingir o ponto de nivelamento? 
c) Qual será o lucro ou prejuízo da fábrica, se forem vendidas 1000 unidades? 
d) Quantas unidades a fábrica precisa vender para obter um lucro de R$ 5.000,00? 
 
3) A equação de demanda de um certo bem é qd= 14 – 2p e a equação de oferta é qo= – 10 + 6p. 
Determine o ponto de equilíbrio. E faça o gráfico da situação. 
 
4) O lucro L sobre as vendas é dado por 
2200 2000 3800L x x   
 em que x é o número de 
unidades vendidas por dia ( em centenas). Determine o intervalo para x no qual o lucro seja 
maior que 1000. 
 
5) Uma empresa fabrica um produto a um custo de $ 0,65 por unidade e o vende por $ 1,20 por 
unidade. O investimento inicial da empresa para produzir o produto foi $10.000. A empresa 
alcançará o ponto de break-even se vender 18000 unidades? Quantas unidades a empresa deve 
vender para alcançar o ponto de break-even? 
 
6) As equações de demanda e oferta para um DVD player são dar por pd= 195 – 5,8x e 
po= 150 + 3,2x respectivamente,em que pé o preço e x representa o número de unidades em 
milhões. Determine o ponto de equilíbrio para esse mercado. 
22 
 
 
IV) Função Real de Variável Real 
 Uma função f é uma função real de variável real se seu domínio e seu contradomínio são 
subconjuntos dos Reais. 
 
V) Valor de uma Função num Ponto 
 Seja f uma função de A em B. Se 
a A
, então f(a) chama-se valor da função fno ponto 
a ou imagem de a pela função f. 
 
Ex7: Calcule o valor da função 
23 1
( )
1 4
x
f x
x



 no ponto x = 2. 
Ex8: Calcule o valor da função 3
2
4
( )
2
x x
f x
x x



 no ponto x = – 1. 
 
Ex9: Sabe-se que uma função f definida por f(x) = ax – 4 com a real e f(3) = 11. Calcule f(–5). 
 
Ex10: Seja f: R 

R uma função tal que 
( 1) 2 ( ) 5f x f x  
 e 
(0) 6f 
. Determine o valor de 
f (2): 
 
Ex11: Seja 
:f R R
 uma função tal que para todo x, 
(2 3) 2xf x  
. O valor de f(5) é: 
 
OBS 1: Uma função pode levar elementos distintos para o mesmo elemento, por exemplo: 
2
2
2
( )
(2) 2 4
( 2) ( 2) 4
y f x x
f
f
 
 
   
 
 
OBS 2: Podem existir elementos do contradomínio que não são imagens de elementos do 
domínio. Por exemplo: 
2( )y f x x 
, os números negativos não seriam imagem de nenhum 
elemento do domínio. 
 
 
VI) Domínio, Contradomínio e Imagem de uma função 
São válidas as mesmas considerações da definição de domínio e imagem feitas para as 
relações, haja vista uma função ser um caso particular de uma relação. Assim: 
 
 Dada uma função f : A → B, temos: 
 o conjunto A é chamado domínio da função, e o conjunto B é chamado contradomínio 
da função que é indicado por CD(f) ou CD; 
 para cada x

 D(f), o elemento f(x)

 B é chamado valor assumido por f ou imagem de 
x pela função f. 
 
Domínio de f = D = 
 Dom = ( ) / com ( )f D f x A y B y f x    
 
Imagem de f = Im = 
 Im( ) / ( ) , onde ( )f y B f x y x D f   
 
 
 
Domínio e Imagem – Aspectos Gráficos 
 Se fé uma função real de variável real, temos que: 
 O domínio de f é o conjunto obtido pela projeção do gráfico de f , no eixo x. 
 A imagem de f é o conjunto obtido pela projeção do gráfico de f , no eixo y. 
 
23 
 
Ex12: Determine o domínio das funções abaixo: 
a) 
( ) 2f x x
 b) 
1
( )f x
x

 c) 
y x
 d) 
( )
2
x
f x
x


 
 e)
24 1y x 
 f) 
3 2 4y x x    
 g) 
2
4
x
y
x


 h) 
2
1
( )
5 6
f x
x x

 
 i)
xx
x
xf
4
2
)(
3 

 
2l) ( ) 3 2f x x x  
 
 
Ex13: O conjunto imagem da função real f(x) = 
2 218 2 9x x  
 é: 
 a) 
 , 3] [3, )   
 
 b) [ -3, 3] 
 c) {0} 
 d) {-3, 3} 
 
 
VII) Funções Iguais 
Duas funções f: A  B e g: C  D são iguais se, e somente se, apresentarem: 
 Domínios iguais (A = C); 
 Contradomínios iguais (B = D) 
 f (x) = g(x) para todo x do domínio. 
 
 
VIII) O zero de uma função 
 O número real x que pertence ao domínio da função f e faz f(x) = 0 é denominado zero 
da função f ou raiz da função f. 
 
Ex14: Considere a função f definida por f(x) = ax + b , com a e b números reais, f(2) = 8 e 
f(–2) = – 4 . Determine: a ,b e o zero da função. 
 
Ex15: Calcule o valor de a sabendo que o gráfico de y = ax + 3 passa no ponto (– 1 ;1). 
 
Ex16: Calcule a e b de modo que a função 
 f(x) = (a –2 )x + (2 –2b) 
intercepte os eixos x e y nos pontos x = – 2 e y = 6. Escreva a função e faça seu gráfico. 
 
IX) Sinal de uma função 
Seja f: A B definida por y = f(x). Para que valores de x temos f(x) > 0, f(x) < 0 e f(x) = 0? 
Isso significa estudar o sinal da função y = f(x) para cada x pertencente ao seu domínio. 
 
 
X) Classificação das Funções 
As funções podem ser classificadas em injetora, sobrejetora, bijetora ou nenhuma delas. 
 Função Injetora – uma função fde A em B é injetora se leva elementos distintos para 
elementos distintos, ou seja, 
1 2x x
 então 
1 2( ) ( )f x f x
. 
Ou, de modo equivalente: f : A → B é injetora, se e somente se, 
1 2( ) ( )f x f x
 então 
1 2x x
. 
 
 Função Sobrejetora– uma função fde A em B é sobrejetora, se para todo elemento y de 
B, existe algum x de A tal que 
( )f x
 = y. 
f é sobrejetora 
 , , , |y y B x x A f x y    
 
24 
 
Em outras palavras, uma funçaõ é sobrejetora, se a sua imagem coincide com o 
contradomínio. 
 
 Função Bijetora (Bijeção)– uma função f de A em B é bijetora se é, ao mesmo tempo 
injetora e sobrejetora. 
 
XI) Função Inversa 
Seja uma função f de A em B bijetora. Isto significa que a cada y pertencente à B, existe 
em correspondência um único elemento x de A tal que 
( )f x
= y . A função que faz essa 
correspondência chama-se função inversa de f e é designada por 
1f 
. Temos então que se 
( )f x
 = y então 
1( )x f y
. 
 
Notação: f : A → B f–1 : B → A 
 x |→ y = f(x) y |→ 
1( )x f y
 
 
Note que D(f
 –1
) = B e Im(f
 –1
) = A 
 
 
OBS: Para encontrarmos a função inversa, basta isolar o valor de x, pois 
1( )x f y
. 
Uma outra maneira de encontrar a função inversa de uma função y = f(x), procedemos da 
seguinte maneira: 
a) Na sentença y = f(x), trocamos y por x, e x por y. 
b) Explicitamos novamente y na nova função obtida pelo item anterior. 
 
Gráficos de funções inversas 
Os gráficos de duas funções inversas f e f
–1
são simétricos em relação à reta suporte que divide 
ao meio os quadrantes ímpares (bissetriz), ou seja, a função f(x) = x. 
 
 
Ex17: Seja f uma função bijetora cujo gráfico é: 
 
 
A função inversa de f(x), cujo gráfico é: 
 
 
0 1 2 3 4 5 6 7
0
1
2
3
4
5
6
7 y
x
f
0 1 2 3 4 5 6 7
0
1
2
3
4
5
6
7
f
 -1
bissetriz
y
x
f
25 
 
Ex18: Determinar a função inversa de y = x + 5. Trocando as variáveis: 
x = y + 5 
 y = x – 5 = f –1 (função inversa) 
 
Ex19: Determinar a função inversa de y = 2x + 1 
 
Ex20: Determine a função inversa das funções: 
 
a) 
( ) 3 1f x x 
 b) 
( ) 1
2
x
f x  
 c) 
( )
1 4
x
f x
x


 
d) 2 4
( )
1
x
f x
x



 e) 2 3
( )
5 2
x
f x
x



 f) 
2( ) 2 3f x x x  
 
g) 
2( ) 2f x x x 
 h) 
2( ) 4 3f x x x  
 
 
Ex21: Esboce o gráfico da função 
2( ) 2 3f x x x  
 e encontre sua inversa. 
 
Ex22: Seja 
:f R R
definida por 
( ) 2f x ax 
e g a função inversa de f . Sendo f(

2) =10. 
Determine g: 
 
Ex23: 
 
Consideremos a função inversível f cujo gráfico é visto acima. Determine a lei que define 
f 
–1
 . 
 
XII) Operações com Funções 
Dadas as funções f e g, podemos realizar algumas operações, entre as quais: 
 (f + g)(x) = f(x) + g(x) 
 (f – g)(x) = f(x) – g(x) 
 (f. g)(x) = f(x). g(x) 
 (f/g)(x) = f(x)/g(x), se g(x)≠ 0 
 
O domínio das funções f + g ,f – g , f . g , é dado pela interseção doa domínios de f e g. O 
domínio de f / g é a interseção dos domínios de f e g, excluindo-se os pontos x onde 
g(x) = 0. 
 
XIII) Função Composta 
 Seja f uma função de um conjunto A aplicada em um conjunto B, e seja guma outra 
função de B aplicada em um conjunto C. Chama-se função composta de g e f à função h de A 
em C, a qual a imagem de qualquer elemento x de A, é obtida após aplicar f em x, obtendo-se 
f(x) e aplicar g neste valor de f(x), obtendo-se g[f(x)]. Sua representação é feita por h(x) = 
g[f(x)], para todo x

A, ou h(x) = g o f(x). 
 
26 
 
 
 
Ex24: Sejam as funções,f(x) = x + 1 e g(x) = x
2
. 
f o g (x) = f(x
2
) = x
2
 + 1 
g o f (x) =(x + 1) = (x + 1)
2
 
 
Ex25:Consideremos as funções reais definidas por f(x) = x
2 
+ 1 e g(x) = 2x – 4 . Determine: f o 
g (x) ,g o f(x) e g o g 
–1
(x) 
 
Exercícios sobre Função Composta 
 
1) Considere as funções f(x) = 2x + 3 e g(x) = ax + b. Determine f o g (x) , g o f (x). 
 
2) Considerando as funções reais: f(x) = 3x – 4 , g(x) = x2 – 3x + 4 e h(x) = 5 – 5x. 
Encontre: fog(x) gof(x) (fofog)(x) go(foh)(x) 
fog(–2) gof(1) (fofog)( –3) go(foh)( –1) 
 
3) Sendo f(x) = 7 – 5x e fog(x) = x3 –5 determine g(x). 
 
4) Sendo f(x) = 3x – 8 e gof(x) = x2– 3x + 6, determine g(x). 
5) Considerando as funções 
1
( ) 2 1 com 
2
f x x x  
 e 
( ) 4 1g x x 
 determine fog 
e gof . 
 
6) Sejam as funções reais 
( ) 2 7f x x 
 e 
2( ) 2 3f g x x x  
. Determine a lei de 
formação da função g. 
 
7) Sejam f e g funções de R em R, sendo R o conjunto dos números reais, dadas por 
f(x) = 2x – 3 e f(g(x)) = – 4x + 1. Nestas condições, g(–1) é igual a: 
a) -5 
b) -4 
c) 0 
d) 4 
e) 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 
 
8) 
 
No esquema anterior, f e g são funções, respectivamente, de A em B e de B em C. Então: 
a) g(x) = 6x + 5 
b) f(x) = 6x + 5 
c) g(x) = 3x + 2 
d) f(x) = 8x + 6 
e) g(x) = (x – 1)/2 
 
9) Se f (g (x) ) = 5x – 2 e f (x) = 5x + 4 , então g(x) é igual a: 
 a) x – 2 
 b) x – 6 
 c) x – 6/5 
 d) 5x – 2 
 e) 5x + 2 
 
10) A função f é definida por f(x) = ax + b. Sabe-se que f(–1) = 3 e f(3) = 1, então podemos 
afirmar que f(1) é igual a: 
 a) 2 
 b) -2 
 c) 0 
 d) 3 
 e) -3 
11) Uma função real é tal que f(x). f(y) = f(x + y) ,f(1) = 3 e f(
3
) = 4. O valor de f(2 + 
3
) é: 
 a) 18 
 b) 24 
 c) 36 
 d) 42 
 e) 48 
 
12) Sendo f e g duas funções tais que: f(x) = ax + b e g(x) = cx + d . Podemos afirmar que a 
igualdade gof(x) = fog(x) ocorrerá se e somente se: 
 a) b(1 – c) = d(1 – a) 
 b) a(1 – b) = d(1 – c) 
 c) ab = cd 
 d)ad = bc 
 e) a = bc 
 
 
 
28 
 
 
XIV) Função crescente e função decrescente 
 
Uma função real f, de variável real, é crescenteem A , A  D( f ), se, e somente se, para 
quaisquer números x1 e x2 do conjunto A, ocorre x2>x1f (x2) > f (x1). 
 
Uma função real f, de variável real, é decrescente em A , A  D( f ), se, e somente se, 
para quaisquer números x1 e x2 do conjunto A, ocorre x2>x1f (x2) < f (x1). 
 
 
Ex26: Seja a função f cujo gráfico é: 
 
 
 f é crescente no intervalo 
[-6, -2]; 
 f é constante no intervalo 
[-2, 3]; 
 f é decrescente no intervalo 
[3, 5]. 
 
 
OBS: É importante observar que uma mesma função y = f(x), pode não ter o mesmo 
comportamento (crescente ou decrescente) em todo seu domínio. É bastante comum que uma 
função seja crescente em certos subconjuntos e decrescentes em outros. 
 
XV) Funções Usuais e suas características: 
 
Função Constante: Seja c um número real. A função constante associa a cada x

R o valor 
f(x) = c. Ou seja, 
( )y f x c 
, onde
c R
 
Ex: f(x) = 2 
 
 
 
 
 
OBS: O gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo x. 
 
Função Identidade: É uma função f:R R que para cada x em R, associa f(x) = x. O gráfico 
da Identidade é uma reta que divide o primeiro quadrante e também o terceiro quadrante em 
duas partes iguais. 
 
 
 
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
0
1
2
3
4
5
6
f
y
x
29 
 
Função do 1º Grau (Afim):
( )y f x ax b  
, onde 
0a 
 
 
Conceituação: 
Uma máquina fabrica 2 m de corda por minuto. A tabela abaixo descreve a produção dessa 
máquina em função do tempo. 
 
Tempo (min) Produção (m) 
1 2 
2 4 
3 6 
4 8 
5 10 
 
O gráfico correspondente a essa tabela é: 
 
 
Se diminuirmos mais e mais o intervalo entre as medições. Obteremos mais e mais 
pontos, e todos numa mesma reta. Podemos dizer que o gráfico abaixo descreve a produção 
dessa máquina em função do tempo. 
 
 
Qualquer reta do plano cartesiano, não paralela a um dos eixos, é gráfico de uma função do tipo: 
 
f (x) = ax + b com {a, b}  R e a0 
 
OBS: 
1)Toda função do 1º grau com b = 0 recebe o nome particular de função linear. 
2) A função afim é crescente se, e somente se, o coeficiente angular for positivo. 
3) A função afim é decrescente se, e somente se, o coeficiente angular for negativo. 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11 Produção (m)
Tempo (min)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11 Produção (m)
Tempo (min)
30 
 
Exercícios sobre Função do 1º Grau 
 
1) Seja 
f
 a função de 
R
 em 
R
definida por 
( ) 3 2f x x 
. Calcular: 
a) f(2) b) f(-3) c) f(0) d) 
 32f
 
 
2) Seja f a função de 
R
 em 
R
 definida por 
, 3
( ) 2 , 3 5
3 , 5
x se x
f x x se x
x se x


  
 
 
Calcule o valor da expressão 
(2) (3) (4) (5) (6)f f f f f   
 e faça um esboço do gráfico de f(x) 
 
 
3) Construa os gráficos das seguintes funções de 
R
 em 
R
: 
a) y = x + 2 b) y = – x + 1 c) y = 2x – 1 d) y = –3x – 4 
 
 
4) Obtenha a equação da reta que passa pelos pontos (2,3) e (3,5). 
 
 
5) Uma função afim é tal que f(–1) = 3 e f(1) = 1. Determine o valor de f(5). 
 
 
6) Um grande poluente produzido pela queima de combustíveis fósseis é o dióxido sulfídrico (
2SO
). Uma pesquisa feita em Oslo, Noruega, demonstrou que o número (N) aproximado de 
peixes mortos em um certo rio, por semana, é dado por uma função afim da concentração C de 
2SO
. Foram feitas as seguintes medidas: 
Concentração (em 
3g/m
) Mortes 
401 106 
500 109 
 
Qual é a concentração máxima de 
2SO
 que pode ser despejada no rio para que o número de 
mortes não ultrapasse 115, fato que poderia prejudicar a reprodução da espécie? 
a) 2100 b) 2400 c) 3150 d) 3300 e) 3750 
 
 
7) Obter a equação da reta que passa pelo ponto (1, 3) e tem coeficiente angular igual a 2. 
 
 
8) Obter a equação da reta com coeficiente linear igual a –3 e passa pelo ponto (–3, –2). 
 
 
9) Na função 
( )f x ax b 
, determine a e b respectivamente, para que se tenha f(2) = –1 e 
f(3) = 4. 
a) 3 e 4 b) 1 e 1 c) 1 e 2 d) 0 e 1 
 
10) Sabe-se que 
f
é uma função definida por
4)(  axxf
, com 
a
real e
.11)3( f
 Calcule 
).5(f
 
 
 
 
 
31 
 
11)Um eletricista e um encanador prestam serviços em domicílio. 
Eletricista 
Deslocamento: $20 
Trabalho: $12 por cada hora 
 
Encanador 
O custo do serviço prestado está representado no gráfico abaixo. 
 
custo 
 
26 
 
 
 
10 
 
 
 0 1 horas de trabalho 
 
 
a) Qual é o preço de cada hora de trabalho prestada pelo encanador? 
b) O Sr. Silva chamou o eletricista e o encanador para que fizessem umas reparações. O 
eletricista fez a reparação em 2 horas e meia e o encanador trabalhou durante 4 horas. quanto Sr. 
Silva pagou no total para os dois trabalhadores? 
c) Determine a expressão analítica que representa o custo, de um serviço prestado pelo 
eletricista em t horas. 
d) Determine a expressão analítica que representa o custo, de um serviço prestado pelo 
encanador em t horas. 
 
 
Função do 2º Grau (Quadrática):
2( )y f x ax bx c   
 , onde 
0a 
 
Ex: 
2( ) 3 2f x x x  
 onde a = 1, b =–3 e c = 2 
OBS: O gráfico de uma função do 2º grau é uma parábola. 
 
Concavidade 
A parábola representativa da função do 2º grau 
2y ax bx c  
 pode ter a concavidade voltada 
para “cima” ou voltada para “baixo”. 
Se a > 0, a concavidade da parábola está voltada para cima. 
Se a < 0, a concavidade da parábola está voltada para baixo. 
 
Máximo e Mínimo 
A função quadrática 
2y ax bx c  
 admite um valor máximo (mínimo) 
4
y
a


 em 
2
b
x
a


 se, e somente se, a< 0 (a> 0). 
 
Vértice 
O ponto 
,
2 4
b
V
a a
  
 
 
 é chamado vértice da parábola representativa da função quadrática. 
 
 
 
32 
 
Exercícios sobre Função do 2º Grau 
1) Considere a função real 
107)( 2  xxxf
 e determine: 
 a) O domínio da função; 
 b) 
)5()3(  ff
; 
 c) Para quais valores de x ocorre 
?2)( xf
 
 d) Um esboço do gráfico. 
 
2) Determinar os zeros reais das funções: 
a) 
2( ) 3 2f x x x  
 b) 
2( ) 7 12f x x x   
 c) 
2( ) 3 7 2f x x x  
 
d) 
2( ) 2 1f x x x  
 e) 
2 1( ) 2
2
f x x x  
 f) 
2 3( ) 1
2
f x x x   
 
3) Determinar o valor máximo ou o valor mínimo, e o ponto de máximo ou o ponto de mínimo 
das funções abaixo, definidas em 
R
. 
 
a) 
22 5y x x 
 b) 
24 8 4y x x  
 c) 
23 12y x x  
 
d) 
2 7 5
2 2
y x x  
 e) 
2 5 7y x x   
 
4) Determinar o valor de m na função real 
2( ) 3 2f x x x m  
 para que o valor mínimo seja 
5
3
. 
5) Determinar o valor de m na função real 
2( ) 3 2( 1) ( 1)f x x m x m     
 para que o valor 
máximo seja 2. 
 
6) Construir os gráficos das funções definidas em 
R
 
a) 
2 2y x x 
 b) 
2 2 4y x x  
 c) 
22 4y x x  
 
 
7) O gráfico de 
2( )f x x bx c  
, onde b e c são constantes, passa pelos pontos (0, 0) e 
 (1, 3). Então 
 5f 
 vale: 
2
a) 
9

 b) 
2
9 
 c) –15 d) 
1
4

 e) 15 
8) O ponto extremo V da função quadrática 
2( ) 6 8f x x x   
 é: 
a) um máximo, sendo V = (3, –1). 
b) um mínimo, sendo V = (–3, +1). 
c) um máximo, sendo V = (3, +1). 
d) um mínimo, sendo V = (3, +1). 
e) um mínimo, sendoV = (3, –1). 
 
9) O custo para se produzir x unidades de um produto é dado por 22 100 5000C x x  . O 
valor de unidades produzidas para se obter um custo mínimo é: 
a) 25 b) 3750 c)40 d) 45 e) 4950 
 
10) Considere uma função cujos valores são dados pela fórmula 
2( ) 2P x x x 
e cujo domínio 
é o conjunto dos inteiros. Qual o valor de x tal que 
( ) 10P x 
? 
a) 9 b) 6 c) –2 d) –3 e) 0 
 
 
 
33 
 
11) A função que relaciona o risco R de morte de um indivíduo com a dose D de radiação a que 
ele é submetido é dada por 
21,5R D D 
. Com relação a um indivíduo que tenha sido submetido 
a uma contaminação radioativa, o aumento de R, em porcentagem, devido a uma variação de D 
de 1 para 2, é igual a: 
 
a) 80% b) 130% c) 179% d) 220% 
 
12) A altura de uma bola lançada verticalmente pelo Wallace é dada me função do tempo por 
uma função quadrática definida por: 
2( ) 4,9 19,6 1,4h t t t   
 
 ondeh(t) representa a altura da bola ( em metros) e, 
 t representa a variável tempo (em segundos) 
 
a) Determine a altura da bola quando é largada pelo Wallace. 
b) Determine a altura máxima atingida pela bola. 
c) Quanto tempo demora para bola atingir o solo? 
 
 
13) Numa cena de filme, dentro de um avião, a namorada do herói é empurrada pelo vilão, 
caindo sem pára-quedas. O herói apanha um pára-quedas e salta atrás dela para salvá-la. A 
posição em metros do herói e da namorada, em relação ao solo, é dada em função do tempo t , 
em segundos, após a queda da namorada por: 
2
1
2
2
( ) 5( 3) 1450 , 3
( ) 3,2 1450 , 0
h t t t
h t t t
    
   
 
respectivamente. Evidentemente, o herói salva a sua amada! 
a) quanto tempo decorreu desde que o herói saltou até pegar a namorada? 
b) A que altura se encontravam os dois em relação ao solo? 
 
 
Função Exponencial:
( ) kxy f x a 
 , onde 
0 e 1a a 
k real 
Exemplos: f(x) = x2 , f(x) = x23.e , f(x) = 0,32x3
4
æ ö÷ç ÷ç ÷÷çè ø
 
A principal característica de uma função exponencial é o aparecimento da variável no expoente. 
Esse tipo de função expressa situações onde ocorre grandes variações em períodos curtos. As 
exponenciais, como são conhecidas, possuem diversas aplicações no cotidiano, na Matemática 
financeira está presente nos cálculos relacionados aos juros compostos, pois ocorre acumulação 
de capital durante o período da aplicação. 
 
Ex: Num depósito a prazo efetuado em um banco, o capital acumulado ao fim de certo tempo é 
dado pela fórmula M = C . (1 + i)
n
, onde M representa o capital acumulado (montante), C o 
valor do depósito (capital inicial), i a taxa de juros ao mês e n o tempo de meses em que o 
dinheiro está aplicado. Nesse sistema, ao final de cada mês os juros capitalizados são 
incorporados ao depósito. 
 
Para um depósito de R$ 1 000,00, com taxa de 2% ao mês, qual o capital acumulado ao fim de 6 
meses? 
 
M = C . (1 + i)
n
 
M = 1000 . (1 + 0,02)
6
 
M = 1000 .1,02
6
 
34 
 
M = 1000 . 1,126162419264 
M = 1 126,16 
O capital acumulado será de R$ 1.126,16. 
 
 
Gráfico da função exponencial 
 
 Para 
0 1a< <
 temos: 
O gráfico representa uma função decrescente. 
 
 
 
 
 Para 
1a>
temos: 
O gráfico representa uma função crescente. 
 
 
 
 
 
 
 
Função Logarítmica:
( ) logay f x x 
 , onde 
0 , 1 e 0a a x  
 
Exemplos: g(x) =
4log x
 , 
1,3( ) logf x x=
 , 
1
4
( ) logh x x=
 
As Funções logarítmicas são as funções em que utilizam na sua lei de formação o operador 
logaritmo. Como o logaritmo é a operação inversa da exponencial, seus respectivos tipos de 
função também são inversas uma da outra. Por este motivo as Funções logarítmicas são na 
maioria das vezes utilizadas nas mesmas áreas de aplicações. 
Uma aplicação muito interessante das funções logarítmicas é a medição da magnitude dos 
abalos sísmicos (terremotos). A escala Richter que classifica a magnitude dos terremotos utiliza 
uma função logarítmica na base 10. 
 
Gráfico da função logarítmica 
 
Para 
1a>
: Função crescente 
 
 
 
 
 
 
 
Para 
0 1a< <
: Função decrescente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35 
 
Como foi dito a função logarítmica é a função inversa da exponencial. Observe o gráfico 
comparativo a seguir: 
 
OBS: O logaritmo natural é o logaritmo de base e, onde e é um número irracional 
aproximadamente igual a 2,718281828459045... chamado de número de Euler. 
 
 
 
Exercícios sobre Função Exponencial e Logarítmica 
 
1) Suponha que o número de indivíduos de uma determinada população seja dado pela função: 
  .2 btF t a 
 , onde a variável t é dada em anos e a e b são constantes. 
a) Encontre as constantes a e b de modo que a população inicial (t=0) seja igual a 1024 
indivíduos e a população após 10 anos seja a metade da população inicial. 
b) Qual o tempo mínimo para que a população se reduza a 1/8 da população inicial? 
c) Esboce o gráfico da função F(t) para t

[0,40]. 
 
2) Numa população de bactérias, há 
  9 310 .4 tP t 
 bactérias no instante t medido em horas (ou 
fração da hora). Sabendo-se que inicialmente existem 
910
 bactérias, quantos minutos são 
necessários para que se tenha o dobro da população inicial? 
a) 20 b) 12 c) 30 d) 15 e) 10 
 
3) O gráfico mostra, em função do tempo, a evolução do número de bactérias em certa cultura. 
Dentre as alternativas abaixo, decorridos 30 minutos do início das observações, o valor mais 
próximo desse número é: 
a) 18.000 
b) 20.000 
c) 32.000 
d) 14.000 
e) 40.000 
 
 
 
 
4) O valor de um automóvel daqui a t anos é dado pela lei 
tV )9,0.(20000
( em dólares). 
Calcule o valor desse automóvel daqui a 4 anos. 
 
 
 
 
 
36 
 
5) O gráfico mostra o comportamento da função logarítmica na base a. Então o valor de a é: 
a) 10 
b) 2 
c) 1 
d) 1/2 
e) -2 
 
 
 
 
6) Sabe-se que (1/3, 1) pertence ao gráfico de 
  lognf x x
. O valor de b é: 
a) 27 
b) 81 
c) 1/27 
d) 1/81 
 
 
 
 
 
7) Uma aplicação financeira obedece à regra 
ttM )1,1.(50000)( 
, em que 
)(tM
 é o montante 
final após 
t
meses. Determine o montante final após : 
a) 3 meses b) 6 meses c) 1 ano 
 
 
8) A taxa de inflação anual de certo pais é de 
% 15
, isto é, a cada ano os produtos 
comercializados naquele pais têm seus preços multiplicados por 
15,1
 e em 
n
 anos por 
n)15,1(
. 
Quantos anos são necessários para que os produtos comercializados naquele país dobrem de 
preço?